8 esltados de Medições Indiretas Fndamentos de Metrologia Motivação ±c c b ±b omo estimar a incerteza do valor de ma grandeza qe é calclada a partir de operações matemáticas ticas com os resltados de otras grandezas medidas? b. c?
8. onsiderações Preliminares Medições indiretas O valor do mensrando é determinado a partir de operações matemáticas ticas envolvendo resltados de das o mais grandezas de entrada medidas separadamente. Exemplos: área de m terreno calclada através s do prodto entre sa largra pelo se comprimento. eterminação da corrente elétrica mltiplicando a qeda de tensão sobre m resistor pelo valor da sa resistência.
O Modelo Matemático tico É necessário m modelo matemático tico qe relacione as grandezas de entrada com o valor do mensrando. Exemplos: l. h V d / t d x z x y y z ependência estatística stica & correlação as variáveis veis aleatórias são consideradas estatisticamente independentes o não correlacionadas se as variações aleatórias da primeira não gardam nenhm tipo de sincronismo com as da segnda. Exemplo: a temperatra da ága do mar na praia da Joaqina e a cotação do ólar. 3
ependência estatística stica as variáveis veis aleatórias são consideradas estatisticamente dependentes o correlacionadas se as variações aleatórias da primeira ocorrem de orma sincronizada com as variações aleatórias da segnda. Exemplos: Os valores em eal da cotação do Ero e do ólar na verdade qem mais mda é o eal. temperatra da ága do mar em das praias próximas. orrelação direta Na correlação direta as variações estão sincronizadas de tal orma qe: a o amento aleatório do valor da primeira variável vel aleatória é acompanhado de m amento proporcional da segnda variável. vel. b a redção aleatória do valor da primeira variável vel aleatória é acompanhado de ma redção proporcional da segnda variável. vel. 4
orrelação inversa Na correlação inversa as variações estão sincronizadas de tal orma qe: a o amento aleatório do valor da primeira variável vel aleatória é acompanhado de ma redção proporcional da segnda variável. vel. b a redção aleatória do valor da primeira variável vel aleatória é acompanhado de m amento proporcional da segnda variável. vel. nalogia da Gangorra... e possem correlação direta e possem correlação inversa e possem correlação inversa 5
oeiciente de orrelação sendo ρ,y cov, Y σ σ Y ρ, Y cov, Y σ. σ o coeiciente de correlação entre e Y a covariância entre e Y o desvio padrão da variável aleatória o desvio padrão da variável aleatória Y Y Estimativa do oeiciente de orrelação sendo r, Y x i e y i x n e y r, Y n i n i x x y i i x x. n i i y y y estimativa do coeiciente de correlação para e Y i-ésimo par de valores das variáveis e Y valores médios das variáveis e Y número total de pares de pontos das variáveis e Y i 6
orrelação direta e inversa orrelação direta pereita: ρ, Y,00 orrelação inversa pereita: ρ, Y -,00 sência total de correlação ρ, Y 0,00 orrelação entre múltiplas m variáveis veis aleatórias - - - - - - - - 7
Nas medições indiretas háh boas chances de correlação qando: Há erros sistemáticos ticos consideráveis e não compensados nas medições de ambas grandezas; Uma mesma grandeza de inlência age ortemente em ambos processos de medição; mbas grandezas são medidas pelo mesmo SM em condições distintas das de calibração o mito tempo após s a calibração ter sido realizada. Nas medições indiretas háh boas chances de não haver correlação se: mbos os sistemas de medição oram recentemente calibrados e estão operando em condições próximas das condições de calibração e as respectivas correções estão sendo aplicadas; istintos sistemas de medição são tilizados em condições em qe não háh ma mesma grandeza de inlência presente qe possa aetar signiicativamente ambos os processos de medição. 8
9 8. 8. Estimativa da Incerteza Estimativa da Incerteza ombinada em Medi ombinada em Medições não ões não orrelacionadas MN orrelacionadas MN aso Geral de MN aso Geral de MN,,, n G L n n G L i coeiciente de sensibilidade Podem ser calclados analitica o nmericamente
Exemplo: aso Geral de MN Na determinação da massa especíica ρ de m material so-se se m processo indireto, medindo-se em m laboratório, rio, com ma balança, a, a massa m de m cilindro cjo diâmetro e altra h oram determinados por m micrômetro e m paqímetro respectivamente. pós s a compensação dos erros sistemáticos, ticos, oram encontrados os segintes resltados e os respectivos números de gras de liberdade para cada grandeza de entrada: Medições ealizadas Para a massa: m 580 ± g νm m 4 h Para o diâmetro: 5,43 ± 0,006 mm ν Para a altra: h 77,35 ± 0, mm νh h 4 0
Massa Especíica h ρ m,, h ρ ρ m Vol 4m π h onsiderando qe as medições oram eetadas em condições de laboratório e as componentes sistemáticas oram compensadas, é mito provável qe as medidas das três grandezas sejam não correlacionadas. incerteza padrão associada a cada grandeza envolvida será calclada dividindo-se a incerteza expandida pelo coeiciente t de Stdent: m Um/t 4 /,0 0 g U/t /,00 0,0030 mm h Uh/t 4 0,/,0 0,050 mm
álclo da incerteza combinada lclo da incerteza combinada h h m m ρ 3 4 8 4 h h m h m m h π π π ρ h h m m ρ ρ álclo da incerteza combinada lclo da incerteza combinada 77,35 0,050 5,43 0,0030 580 0 ρ ρ 8 8 4053,.0 4,8.0 5,57 4005,8 ρ ρ ρ h h m m ρ ρ
álclo da incerteza combinada ρ 4.m 4. 580 π..h 3, 459.5, 43 3 0,04039 g/ mm.77,35 8 ρ ρ. ρ 0,04039. 4053,.0 0.00056 g/mm 3 álclo do número n de gras de liberdade eetivos 4 4 4 4 ρ m h ν ν ν ν e m 0,00056 0,04039 ν e 4 0 580 4 4 h 0,0030 5,43 ν 4,3 4 t, 0 e 4 0,050 77,35 4 4 3
Valor da massa especíica: Uρ,0. ρ Uρ,0. 0,00056 0,000564 g/mm3 ρ 0,0404 ± 0,00056 g/mm3 Exercício cio de MN V V I I etermine a corrente elétrica qe passa por m resistor de 500,0 ±,0 Ω sobre o qal oi medida ma qeda de tensão de 50,0 ± 3,0 V.,0/,0 0,5 Ω V 3,0/,0,5 V 4
8.3 Estimativa da Incerteza ombinada de Medições orrelacionadas M dição de M om correlação direta pereita: x x x x om correlação inversa pereita: x x x x 5
dição de M Soma de múltiplos m termos: Z E E F Z E F F Z E F E F Z Sbtração de M om correlação direta pereita: x x x x om correlação inversa pereita: x x x x 6
Sbtração de M Para múltiplos m termos: Z - - - G - G - H Z G - H H Z G H G H Z Mltiplicação de M om correlação direta pereita: x. x x x x. x x x x. x x x om correlação inversa pereita: x. x x x 7
Mltiplicação de M Para múltiplos m termos: Z... K. K L. Z K. L F Z K L K L Z ivisão de M om correlação direta pereita: x / x x / x x x x x x / x x x om correlação inversa pereita: x / x x x 8
ivisão de M Para múltiplos m termos: Z. /. /. / M / M - N / Z M. N N - Z M N M N Z - - aso Geral de M Incerteza máxima m possível G,,..., n G... n n i coeiciente de sensibilidade Pode ser calclado analitica o nmericamente 9
aso Geral de M Incerteza máxima m possível G, 3 e 4 a Não correlacionadas: G 3 4 5 5 b orrelação direta: G 3 4 7 c orrelação inversa: G - 3 4 d Máxima possível: G.. 3 4 7 8.4 Estimativa da Incerteza ombinada Qando o oeiciente de orrelação é onhecido 0
ependência Estatística stica Parcial Grandezas de entrada não podem ser realisticamente modeladas como sendo pereitamente dependentes e nem independentes do ponto de vista estatístico; stico; orma de qantiicar a dependência estatística stica linear parcial é através s do coeiciente de correlação linear entre cada par de grandezas de entrada envolvidas; Haverá dependência parcial se o coeiciente de correlação or m número n não inteiro. ependência Estatística stica Parcial ombinações de grandezas de entrada estatisticamente dependentes e independentes são envolvidas. Sejam, por exemplo, as grandezas a, b e c onde sabe-se, se, a priori,, qe: a e b são estatisticamente dependentes ra,b a e c e b e c são estatisticamente independentes entre si ra,c 0 e rb,c 0 incerteza padrão combinada da grandeza G dada por: G a, b, c pode ser estimada por:
aso Geral G,,..., n G n i i i i n n i j i coeiciente de sensibilidade Pode ser calclado analitica o nmericamente i j. i. r, j i j r, i j coeiciente de correlação entre i e j Medições correlacionadas e não correlacionadas Para múltiplos m termos: r G - 0-0 - - 0 0 0 0
3 Medi Medições correlacionadas e não ões correlacionadas e não correlacionadas correlacionadas,..,..,..,..,..,.. r r r r r r G Medi Medições correlacionadas e não ões correlacionadas e não correlacionadas correlacionadas.0..0....0..... G... G [ ] G
orrelação parcial G h, α h sin α com rh, α -0,5 G h α h. α. r h, α h α hα sin α h hcos α α sin α hcos α h.. 0,5 G α [ α. h h cos α. α h sin αcos α. h. α ] G 4 sin ependência Estatística stica Parcial Exemplo : Seja o volme V de m paralelepípedo pedo determinado a partir do prodto dos comprimentos de cada m dos ses lados. Os lados a e b oram medidos por m mesmo sistema de medição e nas mesmas condições. O lado c oi medido por otro instrmento independente e em momentos distintos. etermine a incerteza padrão do volme. Solção: m mesmo instrmento sado para medir os lados a e b, é provável vel qe estas grandezas de entrada estejam ortemente correlacionadas este ato deveria ser veriicado experimentalmente pelo cálclo c do coeiciente de correlação entre a e b, b e c e entre a e c ; 4
ependência Estatística stica Parcial Exemplo continação ão: Para três grandezas de entrada: ssme-se aqi qe ra, b. omo a medição do lado c é independente das demais, assme-se rb, c 0 e ra, c 0. ependência Estatística stica Parcial Exemplo continação ão: sendo V a.b.c, estes dados aplicados na eqação icam: dividindo ambos os membros por V : 5
ESTIMTIV INETEZ E OEÇÃO EM MEIÇÕES INIETS Exemplo : etermine a incerteza na determinação da velocidade média m de m projétil a partir do tempo t qe este leva para percorrer a distância d entre dois sensores. distância oi medida, sendo encontrado d 8,4 ± 0,4 m, determinado com 0 gras de liberdade eetivos e t 5,6 ± 0,3 ms, determinado com gras de liberdade, jáj inclindo a inlência dos sensores e sas impereições. Solção: velocidade média m é calclada por V d/t; Medidas por instrmentos dierentes e, provavelmente, em momentos dierentes, as grandezas d e t certamente são estatisticamente independentes; eve-se estimar a incerteza padrão de V; ESTIMTIV INETEZ E OEÇÃO EM MEIÇÕES INIETS Exemplo continação: Para aplicar a eqação V d/t, deve-se tilizar as incertezas padrão de d e t obtidas a partir da divisão da incerteza expandida pelo respectivo ator de abrangência; Os valores de k95 para 0 e gras de liberdade são,3 e,3 respectivamente. ssim: d 0,4/,3 0,88 m t 0,3/,3 0,35 ms incerteza padrão combinada pode ser determinada por: 6
ESTIMTIV INETEZ E OEÇÃO EM MEIÇÕES INIETS Exemplo continação: Sendo o valor nominal de dado por: V 8,4 m/5,6 ms 3467,7 m/s a estimativa da incerteza padrão V será: ESTIMTIV INETEZ E OEÇÃO EM MEIÇÕES INIETS Exemplo continação: omo as nidades de cada grandeza são dierentes, é conveniente sar a eqação de Welch-Satterthwaite na orma relativa. ssim, o número n de gras de liberdade eetivo será: Logo, ν 5,9 e k95,7; ssim, a incerteza expandida será: U95V,7. 9,59 0,8 m/s com ν 6 E a velocidade expressa por: V 3468 ± m/s 7