Valter B. Dantas Imagem e texto protegida por direitos autorais. Copia proibida. Geometria das Massas Centro de Massa de um Sistema Contínuo de Partículas Qual é a posição do Centro de Massa de um corpo de material homogêneo que possui um eixo de simetria Quando um corpo possui um eixo de simetria podemos considerar como sendo constituído por pares de partículas iguais e eqüidistantes do eixo. Cada par de partículas terá o seu CM sobre o eixo e conseqüentemente o CM do corpo pertence ao eixo de simetria Qual é a posição do Centro de Massa de um corpo de material homogêneo que possui um centro de simetria? O CM pertence aos eixos de simetria. O centro de simetria é o ponto de encontro de dois ou mais eixos de simetria, logo o. 1
CM do corpo está no centro de simetria Exemplo: Considere a chapa retangular mostrada na figura. O CM está no centro de simetria, logo as suas coordenadas são CM ( 20cm; 10cm) Como determinar a posição do Centro de Massa de um corpo que é constituído por partes de material homogêneo com centro de simetria? Cada parte será considerada como uma partícula de massa igual à de cada parte concentrada no seu centro de massa. Considere um corpo constituído por 3 partes mostradas na figura: Parte massa coordenadas amarela m1 x1;y1 azul m2 x2;y2 verde m3 x3;y3 2
O CM do corpo será calculado como se calcula o CM de um sistema discreto de partículas. O CM do conjunto terá como coordenadas: xcm =(m1x1+m2x2+m3x3) / (m1+m2+m3) e ycm =(m1y1+m2y2+m3y3) / (m1+m2+m3) Exemplo: Considere uma chapa em L de material homogêneo mostrada na figura. A chapa será dividida em 3 partes retangulares. Como a massa de cada parte é proporcional à sua área as massas serão substituídas pelas áreas no cálculo da média ponderada. Parte área (cm 2 ) coordenadas(cm) azul 1200 10;50 amarela 400 10;10 rosa 1600 60;10 O CM da chapa terá como coordenadas: xcm=(1200x10+400x10+1600x60)/(1200+400+1600) xcm= 35cm ycm=(1200x50+400x10+1600x10)/(1200+400+1600) y CM = 25cm 3
Como determinar a posição do Centro de Massa de uma chapa de material homogêneo cujos limites podem ser definidos matematicamente? Vamos determinar a ordenada do CM de massa da chapa de material homogêneo de contorno azul mostrada na figura. Dividimos a chapa em faixas, de alturas dy muito pequenas, paralelas ao eixo dos X. A ordenada do CM será a média ponderada das ordenadas y dos elementos de área ds tomando como pesos as áreas ds: A abscissa do CM será obtida da mesma forma: Exemplo: Veja em 4
Qual é a posição do Centro de Massa de uma chapa de material homogêneo de forma triangular? Quando dividimos o triângulo em faixas de pequena altura, paralelas a um dos lados, o centro de massa de cada faixa este situado no meio da faixa e conseqüentemente sobre a mediana. O CM do triângulo estará conseqüentemente situado sobre a mediana. Como o CM do triângulo está situado sobre as medianas, a sua posição corresponde ao ponto de encontro das medianas do triângulo. A geometria nos informa que este ponto está situado a uma distância de cada vértice igual a 2/3 do comprimento da mediana. Como determinar a posição do Centro de Massa de uma chapa de material homogêneo cujos limites não são definidos matematicamente? Suspendemos a chapa por meio de uma força (verde). Quando a chapa assume a posição de equilíbrio, traçamos a vertical que passa pelo ponto de suspensão. Na situação de equilíbrio o peso (vermelho) e o seu ponto de aplicação, o CM, estarão contidos nesta vertical. Suspendemos a chapa novamente a partir de um novo ponto de suspensão, repetindo os procedimentos anteriores. 5
O CM coincide com a interseção das duas verticais. Como determinar a posição do Centro de Massa de um sólido de material homogêneo cujos limites podem ser definidos matematicamente? Vamos determinar a ordenada do CM de massa do sólido de material homogêneo de contorno preto mostrado na figura. Dividimos o sólido em faixas, de alturas dy muito pequenas, paralelas ao eixo dos X. A ordenada do CM será a média ponderada das ordenadas y dos elementos de volume dv tomando como pesos os volumes dv: A abscissa do CM será obtida da mesma forma: Exemplo: Veja em Limites, Derivadas e Integrais. 6
Como determinar a posição do Centro de Massa de uma chapa de material homogêneo cujos limites podem ser definidos matematicamente? Como determinar a posição do Centro de Massa de uma chapa com a forma de um triângulo retângulo de material homogêneo Exemplo: Vamos calcular as coordenadas do CM da chapa triangular de material homogêneo e de contorno vermelho mostrada nas figuras. Cálculo da ordenada do Centro de Massa de uma chapa triangular de material homogêneo. Cálculo da ordenada do CM Vamos dividir o triângulo em faixas horizontais de altura dy cuja área é ds = x.dy (figura 1). Obtemos o valor de x na equação da reta hipotenusa x = (6 - y) / 2. A ordenada do CM será: Imagem e texto protegida por direitos autorais. Copia proibida A equação da reta hipotenusa é y/6 + x/3 =1 ou y = 6-2x O denominador das frações, que fornecem as coordenadas do CM, integral de ds é a área dos triângulos, isto é, S = (3x6)/2 >>> S = 9cm2. Cálculo da abscissa do CM Vamos dividir o triângulo em faixas verticais de largura dx cuja área é ds = y.dx (figura 2). Obtemos o valor de y na equação da reta hipotenusa y = 6-2x. A abscissa do CM será: 7
Considere o triângulo da figura e uma faixa amarela paralela ao eixo dos X. O centro de massa do triângulo de ordenada y será calculado por: 8
O centro de massa da faixa está no centro da faixa e, portanto sobre a mediana. O centro de massa do triângulo também denominado de baricentro está situado no ponto de encontro das medianas a uma distância de 2 / 3 do comprimento da mediana a partir do vértice e contado sobre a mediana, conforme mostra a figura. Cálculo da posição do Centro de Massa de uma chapa trapezoidal isósceles de material homogêneo? Como determinar a posição do Centro de Massa de um sólido de material homogêneo cujos limites podem ser definidos matematicamente? Como determinar a posição do Centro de Massa de um cone revolução de material homogêneo? Vamos determinar a posição do CM de um sólido de material homogêneo com a forma de um cone de revolução de altura h e raio da base R, mostrado na figura. Como o sólido possui um eixo de simetria, o seu CM estará sobre o eixo, logo, é necessário apenas calcular a ordenada do CM, cujo valor é: 9
Inicialmente vamos calcular o raio r da faixa em função de y. Vamos considerar os triângulos retângulos semelhantes de base r e R mostrados na figura abaixo, retirada da figura anterior. Como os triângulos são semelhantes os seus catetos são proporcionais: Vamos calcular o quadrado do raio que será necessário no cálculo do volume da faixa: Vamos calcular a ordenada do CM do cone sabendo da geometria que o volume V do cone é igual a V = (pr2.h)/3 A faixa será considerada como um cilindro de raio da base r, altura dy e o seu volume dv é igual a dv = pr2.dy Cálculo da ordenada do CM 10
11