Resumo de Aula: Notação científica. 1- Introdução Este resumo não trata exatamente sobre física, é sobre uma das formas que expressamos os resultados numéricos em ciências em geral (e na física em particular). O fato é que em física lidamos com uma grande gama de valores. Trabalhamos com números gigantescos tais como a massa da Terra ou a quantidade de átomos em 1g de hidrogênio, ou com números muito pequenos entre os quais podemos citar o tamanho de um átomo ou a massa de um elétron. Consideremos por exemplo a massa da Terra, cerca de sextilhões de toneladas (este é um valor aproximado). Quantos zeros possui este número? Expresso em toneladas este número possui 1 zeros, expresso em quilogramas este número possui zeros. m Terra.000.000.000.000.000.000.000.000 kg Há obviamente um grande inconveniente em ficar escrevendo este número gigantesco. Além disto, escrito desta forma, ele não faz nenhum sentido físico (veja o porquê no item ). E imagine a dificuldade em se fazer operações com números deste tamanho! O mesmo acontece com números muito pequenos. Tomemos por exemplo a massa de um elétron, um valor muito comum na física atômica: m elétron 0, 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 09 kg Não precisa se dar ao trabalho de contar quantos zeros há após a vírgula, são 1 zeros entre a ela e o número 9 (este valor da massa é um valor aproximado cuja função é apenas ilustrativa). As objeções a respeito deste número são as mesmas discutidas acima. O que vamos ver agora é uma maneira mais simples de se escrever tais números. Porém cabe aqui um alerta: a discussão inicial é puramente matemática, não física. No ultimo item discutiremos algumas sutilezas a respeito destes números e, principalmente por que não faz sentido físico escrever a massa da Terra, ou do elétron, com esta quantidade absurda de zeros. -Potências de 10 A notação científica é fundamentada no uso de certas características das potências de 10. De fato escrever 10 elevado a qualquer número inteiro é muito simples. Observe a tabela a seguir: Potências positivas Potências negativas 10 0 1 10 0 1 10 1 10 10-1 0,1 10 100 10-0,01 10 1.000 10-0,001 10 10.000 10-0,0001 10 100.000 10 0,00001 Podemos ver que o expoente positivo indica quantos zeros devemos colocar à esquerda do 1, enquanto os expoentes negativos indicam quantos zeros há à direita do número 1 (ou dito de outra forma, o expoente negativo nos diz quantas casas há após a vírgula). -Notação Científica
A notação cientifica se utiliza destas propriedades das potencias para reescrever os grandes ou pequenos números da ciência. A idéia básica é escrever estes zeros como uma potência de dez, com expoentes positivos ou negativos. Não há uma regra rígida de como se deve escrever números nesta notação. Veremos aqui a regra geral, mas há muitas exceções. Vamos à regra então: escreva o número de tal forma que à esquerda da vírgula tenha apenas números entre 1 e 9, quaisquer outros números devem ficar a direita, se necessário ande com a virgula para a direita ou para esquerda chegar a este padrão (veja a figura a seguir). Vamos ver alguns exemplos reescrevendo os números a seguir a) 000 Perceba que o número 000 pode ser escrito como Agora escrevemos 1000 como uma potência de 10 x 1000 x 10 Pronto, o número 000 foi escrito em notação científica! Apesar deste método ser simples há um método ainda mais simples, reescreveremos o número colocando uma virgula em um lugar inofensivo 000 = 000,0 Agora vamos utilizar a regra da vírgula, toda vez que a vírgula anda uma casa para a esquerda do zero aumentamos 1 no expoente. cada vez que a vírgula anda uma casa para a direita diminui-se um no expoente. Esquematicamente teremos: Quadro 1-Prefixos. É usual simplificarmos o uso da notação cientifica com o uso de prefixos das grandezas. Por exemplo, o k utilizado em kg e kg significa 1000, ou em notação científica, 10. Outro exemplo é o m utilizado em mm, ml ou mg, que significa 0,001 ou 10 -. As tabelas a seguir fornecem alguns prefixos, seus nomes e a potencia a que se referem. Para escrevermos nosso número em notação científica faremos a vírgula andar três casas para a esquerda e somamos no expoente. Como não há expoente então basta escrevermos,0 x 10. b) 000 Escrevemos o número como 000,0 e movemos a vírgula quatro casas para direita e escrevemos: Potência nome símbolo 10 kilo k 10 Mega M 10 9 Giga G 10 1 Tera T Potência nome símbolo 10 - deci d 10 - mili m 10 - micro 10-9 nano n 10-1 pico p
b) 17000 Escreva o número como 17000,0 e ande casas para a direita, teremos: 1,7 c) 1,7 Este número já possui vírgula, mais fácil. Ande casas para a direita e escreva 1,7 x 10 d),1 Este número possui uma vírgula e já tem uma potência de 10. Vamos andar duas casas para a direita e somar no expoente. Ficaremos com,1. e) 0,0 Este caso é diferente, para que este número fique no padrão da notação cientifica temos que andar duas casas para a direita, e o expoente será negativo:,0 x 10 - Seguindo este raciocínio podemos resolver os demais facilmente: f) 0,000 =, x 10 - g) 0,0 - = - h) 0,00 x 10 7 = x 10 i) - =, 1 -Operações (i) multiplicação A multiplicação de números escritos na forma de notação cientifica é simples, multiplicamos as potências entre si e os números entre si, acertando a vírgula da resposta final caso seja necessário. A multiplicação das potencias segue a regra matemática sobre produto de potencias de mesma base: conservamos a base e somamos os expoentes. Exemplos: a),0 x 10.,0 x10 =,0 x 10 + =,0 x 10 9 b), x 10.,0 x10 = 7, x 10 + = 7, x 10 7 c), x 10.,0 x10 = 1,0 x 10 + = 1,0 x 10 = 1, x 10 9 d), x 10.,0 x10 - =,9 x 10 +(-) =,9 x 10 - =,9 x 10 e), -7.,0 x10 - = 1,0 x 10-7+(-) = 1,0 x 10-7- =1,0 x 10-10 =,1 x 10-9 (ii) divisão Na divisão procederemos da mesma forma, mas lembrando que na divisão de potências de mesma base nós conservamos a base e subtraímos os expoentes. Exemplos: x 10 a) x 10-1, b) 0, x 10-0, x 10,0 x 10
7 x 10 c), x 10 - -(-) - x 10 d) -, x 10 e) 7 x 10 - -, x 10 0, x 10 --(-) --(-), x 10 0, x 10 - -, x 10 0, x 10 - x 10 (iii) Adição e subtração Neste caso devemos lembrar que só podemos somar ou subtrair coisas semelhantes, neste caso só podemos somar e subtrair quando as potencias de 10 são iguais. Este é o caso dos exemplos a e b a seguir. a) x 10 x 10 b) x 10 7 x 10 1 1, x 10 Porem pode acontecer que as potencias não sejam iguais, neste caso usaremos o truque de andar com a vírgula para igualá-las. No exemplo a seguir transformaremos x 10 em 0, x 10 movendo a vírgula uma casa para a esquerda: c) x 10 = 0, x 10 =, x 10 Veja agora outros exemplos: - d) x 10 - = x 10-0,000 =,999 x 10 e) x 10-7 - f) - - 0,00 0,0 x 10,99 - Notação científica e precisão.,0 x 10 De um ponto de vista matemático não há diferença entre escrever um número de maneira convencional e escreve-lo em notação científica. Porém em física há. Pode parecer estranho, mas tal diferença tem haver com o que chamamos de precisão dos resultados. Considere, por exemplo, que você queira escrever a distância entre sua casa e o supermercado. Digamos que esta distância seja próxima a 100 m. A pergunta é: o quanto eu tenho certeza deste valor? Será que a distância é exatamente 100 m? Ou 10 m? Ou 1 m? Ou serão 17 m? Será que tem sentido dizer que a distância é de, exatamente, 1, m? A notação científica nos permite escrever a distância e fornecer a idéia de quão preciso é o resultado. Digamos por exemplo que você ache que a distância é próxima a 1000 m (pode ser 1100 m ou 100 m), então você pode escrever d = 1 x 10 m. Isto significa que eu sei que este 1 é garantido, o resto dos números não se tem certeza. Para ter um melhor resultado você pode medir a distância com maior cuidado e chegar a conclusão que a distância é próxima a 1100 m, mas não sabe dizer se é 110m ou 110m. Então escreva d = 1,1 x 10 m. Neste caso você está dizendo que você tem certeza dos dois números que você colocou. Agora se você escrever d= 1,100 x 10 m o que isto significa? Significa que você tem certeza que a distância entre sua casa e o supermercado é de exatamente 1100 m, e que não este valor não está errado nem por um metro! Matematicamente falando, os números 1,1 x10, 1,10 x 10 e 1,100 x 10 são idênticos. Mas fisicamente não. O número 1,100 x10 diz que seu resultado não está errado nem por um metro. Na introdução deste texto foi citada, como exemplo, a massa da Terra, vamos escrevê-la novamente: m Terra.000.000.000.000.000.000.000.000 kg
Por que foi dito que este número não tem sentido físico? Por que, com todos estes zeros, este número diz que sabemos a massa da Terra sem errar nem por um quilo! Claro que isto não faz sentido. Provavelmente você não sabe nem a sua massa com esta precisão. Como procedemos então? Escrevemos em notação científica fornecendo apenas os números que temos alguma certeza que estão certos (chamamos estes números de algarismos significativos ): m Terra x10 kg Além de ser uma maneira mais compacta e operacional de se escrever este valor, a notação científica fornece uma maneira mais lógica de se escrevê-lo. Em física é comum termos números escritos com várias casas após a vírgula, mas os físicos só fazem isto quando tem certeza que estão certos, então, ao se deparar com um número com vários algarismos após a virgula, saiba que estes estão lá por que os cientistas tem certeza que aquele é o lugar deles. Para finalizar este resumo com um exemplo gostaria de escrever novamente a massa do elétron, desta vez em notação científica e com todos os algarismos significativos (os que temos certeza!), isto dará uma boa idéia de como se usa notação científica e de quão preciso pode ser um resultado experimental. Para ser bem preciso ao escrever este número vou deixar claro que há uma imprecisão igual a 0 nas duas ultimas casas decimais, ou seja este número possui um erro próximo de uma parte em milhões! m elétron 9,109 91x10-1 kg Veja mais sobre Física e Matemática no Site Plantão de Física - www.plantaofisica.blogspot.com