4) Função Quadrática

4) Função Quadrática Professora Laura Aguiar 4.1) Estudando função quadrática Eduardo tem em seu sítio uma região retangular que é utilizada para o plantio de morangos. Com o objetivo de aumentar a produção, ele pretende ampliar essa região em uma mesma medida, tanto no comprimento quanto na largura, como mostra a figura. Podemos representar a área (f) dessa região após a ampliação em função da medida x indicada. F(x)= (7+x)(10+x) F(x)= 70 + 7x + 10x + x 2 F(x)= x 2 + 17x + 70 A fórmula obtida corresponde à lei da função que expressa a área da região após a ampliação. Esse é um exemplo de uma função denominada função quadrática. Se considerarmos x=3, isto é, se a região for ampliada em 3m na largura e 3m no comprimento, podemos calcular a sua área a partir dessa função. F(3)=3 2 + 17.3 + 70 = 9 + 51 + 70 = 130 Portanto, nesse caso a área da região após a ampliação será 130 m 2. 4.1.1) Definição Chamamos de função quadrática, ou também função do 2 grau, toda função que assume a forma: 2 f : R R; f ( x) ax bx c onde a, b, c R e a 0. 62

Dizemos que a, b e c são os coeficientes da função. Exemplos: a) F(x)=x 2 + 2x 7, com a=1, b=2 e c=-7. b) G(x)= 9x 2 + 5, com a=9,b=0 e c=5. c) H(x)=-3x 2, com a=-3,b=0 e c=0. d) I(x)= x 2 + 2x, com a=1, b=2 e c=0. 4.2) Propriedades da Função Quadrática Função Algébrica Racional Inteira Não sobrejetora e não injetora x, são os pontos onde ( ) 0 2 Raízes: x 1 e 2 f x, pontos onde ela toca o eixo das abscissas As raízes são encontradas utilizando a Fórmula de Bháskara ax bx c 0. As raízes da função são os Pontos Extremos A função terá um ponto de mínimo se a 0 A função terá um ponto de máximo se a 0 O ponto de máximo ou de mínimo coincide com o vértice da parábola Raízes: Uma equação da forma quadrática pode ter duas, uma ou nenhuma raiz (Valor de x pra quando y=0). Isto varia de acordo com o valor de Δ (Δ=b² -4ac). Δ=0 : a função representada possui raiz única. (I) Δ>0 : a função representada possui duas raízes reais (II) Δ<0: a função representada não possui raízes reais. (III) 63

Podemos observar que no caso III (quando Δ<0) o gráfico da parábola que representa a função não intercepta o eixo x. No caso I (quando Δ=0) a parábola intercepta o eixo x em um único ponto. E no caso II (quando Δ>0) temos duas raízes reais, portando, o gráfico intercepta o eixo x em dois pontos. Concavidade: O coeficiente a determina a concavidade da parábola, ou seja, se sua abertura está voltada para cima ou para baixo. a>0 : concavidade voltada para cima a<0 : concavidade voltada para baixo ( caso do lançamento de projéteis) C: o coeficiente C coincide com a coordenada Y do ponto de interseção do gráfico com o eixo Y. Vértice: O vértice da parábola representa o ponto do gráfico em que o comportamento muda, ou seja, o ponto em que a função passa de crescente para decrescente ( no caso da concavidade voltada para baixo) ou quando a função passa de decrescente para crescente (quando a concavidade está voltada para cima). Então podemos concluir que quando a>0 a parábola possui ponto de mínimo e quando a<0 a ela possui ponto de máximo. Esses pontos especiais (mínimo e máximo) são representados pelo vértice. E para encontrar as coordenadas (X v, Y v ) do vértice podemos utilizar as fórmulas: X v = Y v = Temos que Y v assume o valor de mínimo quando a>0 e Y v assume o valor máximo da função quando a<0. Simetria: Paralelo ao eixo y passa pelo vértice um eixo de simetria que divide a parábola em duas metades igualmente espelhadas. Isso significa que com exceção do vértice qualquer valor de y terá dois correspondentes em x (traçando uma reta paralela a x o gráfico interceptará esta reta em dois pontos, então para um mesmo valor de y há dois valores de x associados). Esses correspondentes em x são equidistantes ao eixo de simetria ( a distância entre eles e o eixo de simetria é igual). 64

Obs.: Por esta característica podemos encontrar as coordenadas do X v e do Y v de maneira alternativa: conhecendo-se as raízes sabemos que o ponto médio entre elas representa a coordenada x do vértice. Substituindo o X v encontrado na equação chega-se ao valor da coordenada Y do vértice. Sinal: a função será positiva nos intervalos que o seu gráfico está acima do eixo x e será negativa nos intervalos que seu gráfico está abaixo do eixo x. 4.3) Método Prático para a confecção do Gráfico 1 Passo: Determine a concavidade da parábola avaliando o valor de a. 2 Passo: Determinar onde a parábola intercepta o eixo-y, avaliando o valor de c 3 Passo: Determinar onde a parábola intercepta o eixo-x, para tal basta achar suas raízes. 4 Passo: Encontre as coordenadas do Vértice Xv e Yv 5 Passo: Marque as informações obtidas no gráfico 6 Passo: Trace o Gráfico. 65

Exemplo: 2 y x x 5 6 4.4) Estudo do Sinal 1 caso: a 0 2 caso: a 0 3 caso: a 0 O estudo da variação do sinal da função quadrática é bastante útil na resolução das inequações produto e quociente, além de auxiliar no cálculo de domínio de funções. Exemplos: a) 2 x 4 0 2 x 5x 4 b) 2 x x 1 2x 4 4.5) Fixação 1) (Enem) Um boato tem um público-alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em geral, essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhecem o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o conhecem. Em outras palavras, sendo R a rapidez de propagação, P o público-alvo e x o número de pessoas que conhecem o boato, tem-se: R(x) = k.x.(p-x), onde k é uma constante positiva característica do boato. Considerando o modelo acima descrito, se o público-alvo é de 44.000 pessoas, então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: a) 11.000. b) 22.000. c) 33.000. d) 38.000. e) 44.000. 2) (UFSM) Da frieza dos números da pesquisa saíram algumas recomendações. Transformadas em políticas públicas, poderiam reduzir a gravidade e as dimensões da tragédia urbana do trânsito. -A primeira é a adoção de práticas que possam reduzir a gravidade dos acidentes. 66

-A segunda recomendação trata dos motociclistas, cuja frota equivale a 10% do total, mas cujos custos correspondem a 19%. O 'motoboy' ganha R$2 por entrega, a empresa, R$8. É um exército de garotos em disparada. O pedestre forma o contingente mais vulnerável no trânsito e necessita de maior proteção, diz a terceira recomendação da pesquisa. Entre a 0h e às 18h da quinta-feira, as ambulâncias vermelhas do Resgate recolheram 16 atropelados nas ruas de São Paulo. Fonte: "Folha de São Paulo" (adaptado). A 100 m de um semáforo, o motorista de um automóvel aplica os freios de modo suave e constante, a fim de imprimir uma força de frenagem constante até o repouso. Após a freada, foram coletados os seguintes dados: Considerando que a distância do automóvel ao semáforo, no instante de tempo t, é dada pela função quadrática s(t) = (1/2)at² - vt + 100, onde a é a aceleração constante imprimida no instante da freada e v, a velocidade no instante da freada, o tempo necessário para o automóvel atingir a posição onde está localizado o semáforo é, em segundos, a) 4,5 b) 4,6 c) 4,8 d) 4,9 e) 5 3) (Puccamp) O biodiesel resulta da reação química desencadeada por uma mistura de óleo vegetal (soja, milho, mamona, babaçu e outros) com álcool de cana. O ideal é empregar uma mistura do biodiesel com diesel de petróleo, cuja proporção ideal ainda será definida. Quantidades exageradas de biodiesel fazem decair o desempenho do combustível. Seja f a função desempenho do combustível obtido pela mistura de biodiesel com combustível de petróleo, dada por f(p) = 12p p², em que p é a porcentagem de biodiesel na mistura, 0 p 12. O valor de p que gera o melhor desempenho é tal que a) p < 0,06 b) 0,06 p < 0,6 c) 0,6 p 5,8 d) 5,8 < p 6,2 e) p > 6,2 4) (Unesp) O gráfico da função quadrática definida por y=x²-mx+(m-1), onde m pertence ao conjunto dos Reais, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x=2 é: a) - 2. b) - 1. c) 0. d) 1. e) 2. 67

5) (ITA) Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de uma substância química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, tem-se que a concentração (em moles) após 2,5 segundos é: Tempo (s) Concentração (moles) 1 3,00 2 5,00 3 1,00 a) 3,60 b) 3,65 c) 3,70 d) 3,75 e) 3,80 6) (UFMG) A função f(x) do segundo grau tem raízes -3 e 1. A ordenada do vértice da parábola, gráfico de f(x), é igual a 8. A única afirmativa VERDADEIRA sobre f(x) é: a) f(x) = -2(x-1)(x+3) b) f(x) = -(x-1)(x+3) c) f(x) = -2(x+1)(x-3) d) f(x) = (x-1)(x+3) e) f(x) = 2(x+1)(x-3) 7) (UFPE) O gráfico da função y=ax²+bx+c é a parábola da figura a seguir. Os valores de a, b e c, são, respectivamente: a) 1, - 6 e 0 b) - 5, 30 e 0 c) - 1, 3 e 0 d) - 1, 6 e 0 e) - 2, 9 e 0 8) (PUC-SP) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de certo produto é x-10, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. A quantidade vendida, a cada mês, depende do preço de venda e é, aproximadamente, igual a 70-x. Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do produto é, aproximadamente, uma função quadrática de x, cujo valor máximo, na unidade monetária usada, é a) 1200 b) 1000 c) 900 d) 800 e) 600 68

9) (UFSC) Assinale a ÚNICA proposição CORRETA. A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é: a) y = -2x + 2. b) y = x + 2. c) y = 2x + 1. d) y = 2x + 2. e) y = -2x - 2. 10) (Mackenzie) Se a função real definida por f(x) = - x² + (4 k²) possui um máximo positivo, então a soma dos possíveis valores inteiros do real k é: a) - 2. b) - 1. c) 0. d) 1. e) 2. 11) (Faap) A água que está esguichando de um bocal mantido horizontalmente a 4 metros acima do solo descreve uma curva parabólica com o vértice no bocal. Sabendo-se que a corrente de água desce 1 metro medido na vertical nos primeiros 10 metros de movimento horizontal, conforme a figura a seguir: Podemos expressar y como função de x: a) y = -x² + 4x + 10 b) y = x² - 10x + 4 c) y = (-x²/10) + 10 d) y = (- x²/100) + 10x + 4 e) y = (-x²/100) + 4 12) (Unirio) 69

Um projétil é lançado do alto de um morro e cai numa praia, conforme mostra a figura anterior. Sabendose que sua trajetória é descrita por h = -d² + 200d + 404, onde h é a sua altitude (em m) e d é o seu alcance horizontal (em m), a altura do lançamento e a altitude máxima alcançada são, respectivamente: a) superior a 400m e superior a 10km. b) superior a 400m e igual a 10km. c) superior a 400m e inferior a 10km. d) inferior a 400m e superior a 10km. 13) (UFSM) Um laboratório testou a ação de uma droga em uma amostra de 720 frangos. Constatou-se que a lei de sobrevivência do lote de frangos era dada pela relação v(t) = at² + b, onde v(t) é o número de elementos vivos no tempo t (meses). Sabendo-se que o último frango morreu quando t=12 meses após o início da experiência, a quantidade de frangos que ainda estava viva no 10 mês é a) 80 b) 100 c) 120 d) 220 e) 300 14) (UFPE) Uma mercearia anuncia a seguinte promoção: "Para compras entre 100 e 600 reais compre (x + 100) reais e ganhe (x/10)% de desconto na sua compra". Qual a maior quantia que se pagaria à mercearia nesta promoção? a) R$ 300,50 b) R$ 302,50 c) R$ 303,50 d) R$ 304,50 e) R$ 305,50 15) (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gramado, o jogador "Chorão" chutou a bola em direção ao gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola descreveu uma parábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. Após o chute de "Chorão", nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. A representação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura a seguir: 70

A equação da parábola era do tipo: y=(-x²/36)+c. O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi: a) na baliza b) atrás do gol c) dentro do gol d) antes da linha do gol 16) (UFSM) A figura mostra um retângulo com dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na reta que passa pelos pontos A(0,12) e B(8,0). As dimensões x e y do retângulo, para que sua área seja máxima, devem ser, respectivamente, iguais a a) 4 e 6 b) 5 e 9/2 c) 5 e 7 d) 4 e 7 e) 6 e 3 17) (Fuvest) A função f(x), definida para -3 x 3, tem o seguinte gráfico: Onde as linhas estão ligando (-1,0) a (0,2) e (0,2) a (1,0) são segmentos de reta. Supondo a 0, para que valores de a o gráfico do polinômio p(x)=a*(x²-4) intercepta o gráfico de f(x) em exatamente 4 pontos distintos? a) -1/2 < a < 0 b) -1 < a < -1/2 c) -3/2 < a < -1 d) -2 < a < -3/2 e) a < -2 71

18) (Unesp) Considere a função f(x) = [1/(4a)]*x² + x + a, onde a é um número real não nulo. Assinale a alternativa cuja parábola poderia ser o gráfico dessa função. 19) (UFPE) Um caminhoneiro transporta caixas de uvas de 15kg e caixas de maçãs de 20kg. Pelo transporte, ele recebe R$2,00 por caixa de uvas e R$2,50 por caixa de maçãs. O caminhão utilizado tem capacidade para transportar cargas de até 2.500kg. Se são disponíveis 80 caixas de uvas e 80 caixas de maçãs, quantas caixas de maçãs ele deve transportar de forma a receber o máximo possível pela carga transportada? a) 80 b) 75 c) 70 d) 65 e) 60 20) (CESGRANRIO) O diretor de uma orquestra percebeu que, com o ingresso a R$9,00 em média 300 pessoas assistem aos concertos e que, para cada redução de R$1,00 no preço dos ingressos, o público aumenta de 100 espectadores. Qual deve ser o preço para que a receita seja máxima? a) R$ 9,00 b) R$ 8,00 c) R$ 7,00 d) R$ 6,00 e) R$ 5,00 21) (PUCMG) A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é dada por f(t) = t² - 7t + A, onde t é medido em minutos e A é constante. Se, no instante t = 0, a temperatura é de 10 C, o tempo gasto para que a temperatura seja mínima, em minutos, é: a) 3,5 b) 4,0 c) 4,5 d) 6,5 e) 7,5 22) (UFSM) Na produção de x unidades mensais de um certo produto, uma fábrica tem um custo, em reais, descrito pela função de 2º grau, representada parcialmente na figura. O custo mínimo é, em reais. a) 500 b) 645 c) 660 d) 675 e) 690 23) (PUCSP) Um veículo foi submetido a um teste para a verificação do consumo de combustível. O teste consistia em fazer o veículo percorrer, várias vezes, em velocidade constante, uma distância de 100km em estrada plana, cada vez a uma velocidade diferente. Observou-se então que, para velocidades entre 20km/h e 120km/h, o consumo de gasolina, em litros, era função da velocidade, conforme mostra o gráfico seguinte. 72

Se esse gráfico é parte de uma parábola, quantos litros de combustível esse veículo deve ter consumido no teste feito à velocidade de 120km/h? a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28 24) (PUCCAMP) Na figura a seguir tem-se um quadrado inscrito em outro quadrado. Pode-se calcular a área do quadrado interno, subtraindo-se da área do quadrado externo as áreas dos 4 triângulos. Feito isso, verifica-se que A é uma função da medida x. O valor mínimo de A é: a) 16 cm² b) 24 cm² c) 28 cm² d) 32 cm² e) 48 cm² 25) (FEI) Durante o processo de tratamento uma peça de metal sofre uma variação de temperatura descrita pela função: f(t) = 2 + 4t t², 0 < t < 5. Em que instante t a temperatura atinge seu valor máximo? a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 4.6) Pintou no ENEM 1)(ENEM)Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e x é: A) V = 10.000 + 50x x². B) V = 10.000 + 50x + x². C) V = 15.000-50x - x². D) V = 15.000 + 50x - x². E) V = 15.000-50x + x². Resposta: D 2) ENEM/2010) A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. 73

Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm x 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm x 100 cm). O valor da segunda encomenda será a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo. Resposta: B 3) ENEM/2010) Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função 7 t 20, para 0 t 100 5 T(t) 2 2 16 t t 320, para t 100 125 5 em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado. Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 ºC e retirada quando a temperatura for 200 ºC. O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a a) 100. b) 108. c) 128. d) 130. e) 150. Resposta: D Gabarito: 1) B 2) E 3) D 4) D 5) D 6) A 7) D 8) C 9) D 10) C 11) E 12) A 13) D 14) B 15) C 16) A 17) B 18) C 19) D 20) D 21) A 22) D 23) D 24) D 25) C 74

4.7) Sessão Leitura Função do 2º grau e o lançamento oblíquo Ao estudarmos qualquer assunto referente à matemática, nos perguntamos: Onde isso é aplicado na vida real?. Pois bem, veremos um caso de aplicação prática da função de 2º grau, o lançamento oblíquo de projéteis. O lançamento oblíquo é um movimento bidimensional, composto de dois movimentos unidimensionais e simultâneos, um vertical e um horizontal. Durante uma partida de futebol, quando o jogador faz um lançamento para um companheiro, observa-se que a trajetória descrita pela bola é uma parábola. A altura máxima atingida pela bola é o vértice da parábola e a distância que separa os dois jogadores é o alcance máximo da bola (ou objeto). Vamos realizar um exemplo para melhor entendimento. Exemplo 1. Uma empresa de armamentos bélicos realizará testes sobre um novo tipo de míssil que está sendo fabricado. A empresa pretende determinar a altura máxima que o míssil atinge após o lançamento e qual seu alcance máximo. Sabe-se que a trajetória descrita pelo míssil é uma parábola representada pela função y = x 2 + 3x, onde y é a altura atingida pelo míssil (em quilômetros) e x é o alcance (também em quilômetros). Quais serão os valores encontrados pela empresa? 75

Solução: Sabemos que a trajetória do míssil descreve uma parábola representada pela função y = x 2 + 3x e que essa parábola tem concavidade para baixo. Assim, a altura máxima que o míssil atinge será determinada pelo vértice da parábola, uma vez que o vértice é o ponto máximo da função. Teremos O alcance máximo do míssil será a posição em que ele retornar ao solo novamente (momento em que atinge o alvo). Pensando no plano cartesiano, será a posição em que o gráfico da parábola intercepta o eixo x. Sabemos que para determinar os pontos onde a parábola cruza o eixo x basta fazer y = 0 ou x 2 + 3x = 0. Assim, teremos: Portanto, podemos afirmar que a altura máxima que o míssil atingirá será de 2,25 Km e o alcance máximo será de 3 km. 76

Por Marcelo Rigonatto Equipe Brasil Escola 4.8) Referências MELLO,J. L.P. (2005). Matemática: Construção e significado. Volume único. 1. Ed. São Paulo: Moderna SOUZA, Joamir. (2010). Matemática: Novo Olhar. Volume 1. 1 Ed. São Paulo: FTD PAIVA,Manoel. (2005). Matemática. Volume único. 1 Ed. São Paulo: Moderna http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-2-o-grau-lancamento-obliquo.htm (Acesso em 10/01/2014) 77