UNIVERSIDADE VALE DO RIO DOCE

UNIVERSIDADE VALE DO RIO DOCE DISCIPLINA: GEOMETRIA DESCRITIVA FAENGE FACULDADE DE ENGENHARIA CURSOS - ENGENHARIA CIVIL - ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL 1

SUMÁRIO - Apresentação Pag 3 - Noções de Projeções Pag. 3 - Classificação das Projeções Pag. 4 - Projeções Cônicas Pag. 4 - Projeções Cilíndricas Pag. 4 - Projeção Cilíndrica Obliqua Pag. 5 - Projeção Cilíndrica Ortogonal Pag. 5 - Estudo do Ponto Pag. 6 - Diedros de Projeção Pag. 6 - Épura Pag. 7 - Posições do Ponto no espaço Pag. 8 - Coordenadas Pag.12 - Planos Bissetores Pag.12 - Simetria de pontos Pag.13 - Estudo da Reta Pag.16 - Determinação de uma Reta Pag.17 - Posições de Reta Pag.18 - Situações de Reta Pag.22 - Traço de Reta Pag.24 - Bibliografia Pag.25 2

APRESENTAÇÃO A Geometria Descritiva é a parte da matemática aplicada que tem como objetivo representar sobre o plano as figuras do espaço, ou seja, resolver problemas de três dimensões em duas dimensões. Para conseguir esse objetivo, são usados processos construtivos que permitem representar, no plano, a figura espacial de tal maneira que todo problema relativo a essa figura se possa interpretar sobre sua representação plana. A Geometria Descritiva foi criada por Gaspar Monge (matemático francês), que viveu no século XVIII e servia nas tropas de Napoleão na campanha do Egito. Ele projetava construções bélicas (fortes militares) e necessitava representar graficamente seus projetos para que pudessem ser construídos, independente do local ou pais. A Geometria Descritiva é importante na formação de profissionais que trabalham com espaço e forma. E, portanto, base para desenho de maquinas, arquitetura e engenharia. Os estudos feitos a partir da obra de Monge provocaram a sua evolução e também a descoberta de novas propriedades da geometria plana. Podemos então entender a Geometria Descritiva como sendo: Uma ciência que estuda métodos de representações de figuras espaciais sobre um plano. NOÇÕES DE PROJEÇÕES A palavra projeção vem do latim - "projectione". Projeção é o processo pelo qual se incidem raios sobre um objeto em um plano chamado plano de projeção. A projeção do objeto é sua representação gráfica no plano de projeção. O estudo das projeções se propõe a possibilitar a representação gráfica sobre planos, de figuras situadas no espaço, de maneira que possamos resolver os problemas relativos à sua forma, dimensão e, em alguns casos, de posição. A operação geométrica projeção supõe a existência de quatro elementos básicos: - O objeto; - O plano de projeção (a superfície onde se realiza a projeção); - O centro de projeção (representando o observador); - Os raios projetantes (retas que partem do centro de projeção e se dirigem para os diversos pontos do espaço a serem projetados). A Projetante é a reta que a partir do centro de projeção, passa pelos pontos do objeto e intersecta o plano de projeção. Pode ser oblíqua ou ortogonal ao plano de projeção, dependendo da direção adotada. Centro de Projeção é o ponto fixo de onde partem ou por onde passam as projetantes. 3

CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES: Os sistemas de projeções são classificados de acordo com a posição ocupada pelo centro de projeção. Esse centro pode ser finito ou infinito, determinando: 1-. Sistema Cônico ou central: o centro de projeção está a uma distância finita da superfície. 2-. Sistema Cilíndrico ou paralelo: centro de projeção a uma distância infinita da superfície. 1- Projeção cônica: A projeção cônica, também chamada de projeção central é o tipo de projeção cujos raios que incidem no objeto e no plano de projeção são todos concorrentes no ponto O, gerando assim a forma de um cone. O centro de projeção O, ocupando uma posição finita, as projetantes resultam convergentes, razão pela qual este sistema é denominado de sistema de projeção central, cônica ou perspectiva. Este sistema representa os objetos como são vistos e não como realmente são (perspectiva exata). Na projeção cônica, quanto mais próximo o objeto estiver do centro de projeção, mais ampliada será sua projeção. 2- Projeção Cilíndrica: A projeção cilíndrica, também chamada de projeção paralela, é o tipo de projeção cujos raios projetantes que incidem no objeto e no plano de projeção são todos paralelos entre si, gerando a forma de um cilindro. O centro de projeção O está situado no infinito (ponto impróprio) e as projetantes são retas paralelas à direção. Este sistema representa as linhas que caracterizam o objeto como ele realmente é. Este tipo de projeção é a usada no desenho técnico. Podemos ter dois tipos de projeção cilíndrica: 2.1- Projeção cilíndrica oblíqua; 2.2- Projeção cilíndrica ortogonal. 4

2.1 - Projeção Cilíndrica Oblíqua: Os raios projetantes estão oblíquos (inclinados) ao Plano de Projeção. 2.2 - Projeção Cilíndrica Ortogonal: Os raios projetantes estão perpendiculares ao Plano de Projeção. Neste tipo de projeção o objeto é representado em verdadeira grandeza. Este último sistema foi adotado por Gaspar Monge. 5

ESTUDO DO PONTO Diedros de Projeção Uma única projeção ortogonal não é suficiente para localizar um determinado ponto no espaço, pois diversos pontos situados na mesma prumada terão sua projeção ortogonal no plano horizontal no mesmo lugar. Desta forma, Gaspar Monge criou o Método de dupla projeção cilíndrico ortogonal ou Método Mongeano. Este sistema possui dois planos de projeção: um Vertical (π ) e outro Horizontal (π), perpendiculares entre si, que se interceptam numa reta chamada linha de terra (LT) ou (π π ). Estes planos delimitam quatro regiões denominadas de diedros e quatro semi-planos. - Plano Horizontal Anterior ( A ) ou PHA - Plano Horizontal Posterior ( P ) ou PHP - Plano Vertical Superior ( S ) ou PVS - Plano Vertical Inferior ( I ) ou PVI 6

No Brasil a ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas) admite a representação tanto no 1 Diedro, como no 3 Diedro, sendo o mais utilizado a do 1 Diedro. A representação no 3 diedro é comum em indústrias estrangeiras, principalmente nas americanas. Voltando ao Método de dupla projeção cilíndrica ortogonal... As duas projeções ortogonais: a vertical A e a horizontal A e sua projeção na linha de terra O(A), identificam perfeitamente o ponto (A). - Representamos os pontos no espaço com LETRA MAIUSCULA entre parênteses. Ex: (A). - Representamos a projeção horizontal de um ponto com a letra maiúscula/linha. Ex: A - Representamos a projeção vertical de um ponto com a letra maiúscula apenas. Ex: A. - Chamamos de Cota de um ponto, a distância dele ao plano horizontal de projeção; - Chamamos de Afastamento de um ponto, a distância dele ao plano vertical de projeção; - Linha de Terra LT é a linha de interseção entre os planos vertical e horizontal; - Linha de projeção ou chamada é linha perpendicular à LT, que une as projeções de um mesmo ponto. - A distância entre a projeção do ponto (A) na linha e o ponto O (origem) é chamada de Abscissa. Épura 7

Para representar e interpretar as figuras no espaço é necessário que os dois planos de projeção sejam representados em uma mesma superfície plana. Para tanto, faz-se o rebatimento do plano horizontal rotacionando-o 90 no sentido horário em torno da LT, de modo que o (π S) venha a ficar em coincidência com o (πp) e conseqüentemente o (π I) também em coincidência com o (πa). Seria a planificação de uma figura no espaço. Ao rotacionar o plano, obtemos a épura conforme o desenho abaixo. A linha de terra pode ser representada por LT ou dois traços no inicio e final e abaixo da linha. Posições do Ponto no espaço e a representação de sua Épura 1- Ponto no 1 Diedro 8

Quando um ponto se encontra no 1 Diedro, sua cota e seu afastamento são positivos. Quando se rotaciona o plano horizontal e se forma a Épura verificamos sempre que a cota positiva é representada acima da LT e o afastamento positivo representado abaixo da LT. Esta regra se aplica a representação de todos os pontos independente do diedro a que pertence. 2- Ponto no 2 Diedro Quando um ponto se encontra no 2 Diedro, sua cota é positiva e seu afastamento negativo. Quando se rotaciona o plano horizontal e se forma a Épura verificamos que a cota positiva é representada acima da LT e o afastamento negativo também está acima da LT. 3- Ponto no 3 Diedro 9

Quando um ponto se encontra no 3 Diedro, sua cota e seu afastamento são negativos. Quando se rotaciona o plano horizontal e se forma a Épura verificamos que a cota negativa é representada abaixo da LT e o afastamento negativo é representado acima da LT. 4- Ponto no 4 Diedro Quando um ponto se encontra no 4 Diedro, sua cota é negativa e seu afastamento positivo. Quando se rotaciona o plano horizontal e se forma a Épura verificamos que a cota negativa e o afastamento positivo são representados abaixo da LT. Existem alguns casos especiais em que um ponto pertence a mais de um diedro ao mesmo tempo. Neste caso, dizemos que o ponto pertence não a dois diedros, mas ao plano. 5- Ponto no Plano Horizontal 10

Quando um ponto no espaço pertence a um plano horizontal, sua cota =0. Então sua projeção horizontal, coincide com o próprio ponto e sua proteção vertical está localizada na linha de terra. Isto independe se ele está no PHA ou PHP. Nestes casos, na épura, o afastamento será representado abaixo da LT (como no exemplo) ou acima da LT respectivamente, mas a cota sempre estará representada na linha de terra. 6- Ponto no Plano Vertical Quando um ponto no espaço pertence a um plano vertical, seu afastamento =0. Então sua projeção vertical, coincide com o próprio ponto e sua proteção horizontal está localizada na linha de terra. Isto independe se ele está no PVI ou PVS. Nestes casos, na épura, a cota será representada abaixo da LT (como no exemplo) ou acima da LT respectivamente, mas o afastamento sempre estará representado na linha de terra. 7- Ponto na Linha de Terra 11

Quando um ponto no espaço pertence à linha de terra, seu afastamento e sua cota são = 0. Então sua projeção vertical e sua projeção horizontal coincidem com o próprio ponto e todos estão localizados na linha de terra. Em épura acontecerá o mesmo, ou seja, todos serão representados na linha de terra. Em resumo, no estudo do ponto, de acordo com a posição dele no espaço, deve-se considerar os sinais dos diedros conforme a tabela abaixo: COORDENADAS Quando queremos localizar um ponto no espaço, são necessárias três medidas. Uma no eixo x, uma no y e outra no eixo z. Estas medidas são chamadas de coordenadas. O conhecimento do afastamento (comprimento, distancia horizontal=y) e da cota (altura ou distancia vertical=z) e de um ponto determinam com precisão as distâncias do ponto aos planos de projeção (π) e (π ), mas na prática, o ponto necessita de mais outra medida - a abscissa que posiciona o ponto no eixo x ou linha de terra, a partir de um ponto de origem (o) qualquer. Este ponto de origem necessariamente está localizado na LT e a abscissa é positiva quando um ponto está à direita do o e negativa quando um ponto está à esquerda (ou antes) do ponto o. As coordenadas de um ponto são, pois: abscissa, afastamento e cota, nessa ordem. A(x,y,z) Exemplo: (A) [1; 2; 1] 12

PLANO BISSETOR Plano bissetor é o plano que divide o diedro em duas regiões iguais. Só existem dois planos bissetores: o 1º bissetor cortando os diedros ímpares (1º e 3º) chamado de plano bissetor ímpar representado pela letra do alfabeto grego beta (β) juntamente com os números 1 e 3 ou com a letra i (β 1,3 ou βi) ou ainda PBI. o 2º bissetor cortando os diedros pares (2º e 4º) chamado de plano bissetor par representado pela letra do alfabeto grego beta (β) juntamente com os números 2 e 4 ou com a letra p (β 2,4 ou βp) ou ainda PBP. O ponto quando está situado no plano bissetor tem grandezas de afastamento e cota iguais, mas dependendo do diedro que está localizado seu sinal poderá estar invertido: - Um ponto situado no PBI, 1 diedro possui cotas e afastamento com medidas iguais e sinais igualmente positivos. - Um ponto situado no PBI, 3 diedro possui cotas e afastamento com medidas iguais e sinais igualmente negativos. - Um ponto situado no PBP, 2 diedro possui cotas e afastamento com medidas iguais, mas a cota será positiva e o afastamento negativo. - No entanto, um ponto situado no PBP, 4 diedro possui cotas e afastamento com medidas iguais, mas o afastamento será positivo e a cota negativa. 13

Bp Bi SIMETRIA DE PONTOS Dois pontos (A) e (B) são simétricos em relação a um plano, quando este plano é o mediador do segmento formado pelos dois pontos, isto é, quando o plano é perpendicular ao segmento formado por esses dois pontos e contendo o seu ponto médio (M), onde o segmento (A)(M) é igual ao segmento (M)(B). A M B Mas então um ponto pode ser simétrico ao plano horizontal, ao plano vertical, aos planos bissetores e até a própria linha de terra. Vejamos como isto acontece: Pontos simétricos em relação aos planos de projeção: Horizontal 14

Os pontos possuem a mesma abscissa, o mesmo afastamento em grandeza e sentido (sinal) e a cota da mesma grandeza, porém de sentido contrário (sinal inverso). Vertical Os pontos possuem a mesma abscissa, a mesma cota em grandeza e sentido (sinal) e o afastamento da mesma grandeza, porém de sentido contrário (sinal inverso). Pontos simétricos em relação aos planos bissetores Plano bissetor ímpar 15

' βi Seja o ponto (A) e a reta que representa o 1º bissetor (βi). Verifica-se que a figura (A)A MA é um retângulo igual ao formado por (B)B MB, e, como (A) e (B) são simétricos (portanto mesma abscissa), a cota de um dos pontos é igual ao afastamento do outro e vice-versa. A épura se caracteriza por abscissas iguais; afastamento e cota de um dos pontos iguais respectivamente a cota e afastamento do outro, isto é, as projeções de nomes contrários simétricos em relação à linha de terra. Plano bissetor par βp ' Seja o ponto (A) e a reta que representa o 2º bissetor (βp). Verifica-se que as abscissas são iguais e que a cota de um é simétrica ao afastamento do outro e reciprocamente. A épura se caracteriza por abscissas iguais e cota de (A) igual ao afastamento de (B) e cota de (B) igual ao afastamento de (A), portanto, as projeções de nomes contrários são coincidentes. Pontos simétricos em relação à linha de terra 16

Seja a linha de terra a mediatriz do segmento (A)(B). Então são iguais os retângulos que se observam na figura e os pontos simétricos em relação à linha de terra possuem abscissas iguais e cotas e afastamentos simétricos. A épura é caracterizada pelas projeções de mesmo nome dos dois pontos (A) e (B), simétricos em relação à linha de terra. ESTUDO DA RETA Uma reta é formada por infinitos pontos. A projeção destes pontos no plano forma a projeção da reta no plano. Então a projeção de uma reta sobre um plano é o lugar das projeções de todos os seus pontos sobre esse plano. Mas dois pontos são suficientes para determinar uma reta, logo às projeções de qualquer segmento pertencente a uma reta ficam perfeitamente determinados quando são conhecidas as projeções dos seus pontos extremos. Seja a reta (A)(C) e o plano ( ). A reta (A)(C), juntamente com as projetantes dos pontos extremos (sempre perpendiculares ao plano) formam um plano ( ) perpendicular ao plano ( ) denominado de plano projetante da reta ou plano projetante vertical. A interseção entre estes dois planos forma a reta AC que a projeção da reta no espaço no plano horizontal. 17

A projeção de uma reta sobre um plano só deixa de ser uma reta, quando ela lhe for perpendicular, pois nesse caso a projeção será um ponto. Quando uma reta for paralela a um plano a sua projeção sobre esse plano é igual e paralela à própria reta. Diz-se então que a reta se projeta em Verdadeira Grandeza (VG). Quando uma reta for oblíqua a um plano, sua projeção sobre esse plano é sempre menor que a reta no espaço, pois o cateto adjacente de um triangulo retângulo é sempre menor do que a hipotenusa. Determinação de uma Reta De um modo geral, a posição de uma reta no espaço fica bem determinada quando são conhecidas as projeções dessa reta sobre dois planos ortogonais. ' Se o ponto (C) pertence a reta (A)(B) suas projeções também pertencerão às retas (A)(B). 18

Regra geral Um ponto pertence a uma reta, quando as projeções desse ponto estão sobre as projeções de mesmo nome da reta, isto é, a projeção horizontal do ponto sobre a projeção horizontal da reta e projeção vertical também sobre a projeção vertical da reta. POSIÇÕES DE RETA 1- Reta Qualquer - Chamamos uma reta de Reta Qualquer quando ela é oblíqua aos dois planos de projeção. - Suas coordenadas apresentam abscissas, cotas e afastamentos diferentes. - Sua épura é caracterizada por possuir ambas as projeções oblíquas à LT. - Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes. ' 2- Reta Horizontal ou de Nível 19

- Chamamos uma reta de Horizontal ou de Nível quando ela é paralela ao plano horizontal e oblíqua ao vertical. - Suas coordenadas apresentam cotas com mesmo valor e mesmo sinal. - Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical paralela à LT e a projeção horizontal oblíqua a essa mesma linha. - A projeção horizontal é representada em verdadeira grandeza (V.G.) - Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes. ' 3- Reta Frontal ou de Frente - Chamamos uma reta de Reta Frontal ou de Frente quando ela é paralela ao plano vertical e oblíqua ao horizontal. - Suas coordenadas apresentam afastamentos com mesmo valor e mesmo sinal. - Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal paralela à LT e a projeção vertical oblíqua a essa mesma linha. - A projeção vertical é representada em verdadeira grandeza (V.G.) - Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes. ' 4- Reta Frontal-Horizontal ou Fronto-Horizontal 20

- Chamamos uma reta de Reta Fronto-Horizontal quando ela é paralela simultaneamente aos dois plano de projeção e conseqüentemente paralela a LT. - Suas coordenadas apresentam afastamentos e cotas com mesmo valor e mesmo sinal. - Sua épura é caracterizada por possuir ambas as projeções paralelas à L.T. - Ambas as projeções são representadas em verdadeira grandeza (V.G.) - Todos os seus pontos pertencem a um mesmo quadrante. ' 5- Reta Vertical - Chamamos uma reta de Reta de Vertical quando ela é perpendicular ao plano horizontal. - Suas coordenadas apresentam abscissas e afastamentos com mesmo valor e mesmo sinal. - Sua épura é caracterizada por possuir a projeção horizontal reduzida a um ponto (chamada projeção pontual) e a vertical perpendicular à L.T. - A projeção vertical é representada em verdadeira grandeza (V.G.) - Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes. ' 6- Reta de Topo 21

- Chamamos uma reta de Reta de Topo quando ele é perpendicular ao plano vertical. - Suas coordenadas apresentam abscissas e cotas com mesmo valor e mesmo sinal. - Sua épura é caracterizada por possuir a projeção vertical reduzida a um ponto (chamada projeção pontual) e a horizontal perpendicular à L.T. - A projeção horizontal é representada em verdadeira grandeza (V.G.). - Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes. ' 7- Reta de Perfil - Chamamos uma reta de Reta Perfil quando ela é oblíqua aos dois planos de projeção, mas perpendicular (ou ortogonal) à LT. - Suas coordenadas apresentam abscissas com mesmo valor e mesmo sinal. - Sua épura é caracterizada por possuir as projeções perpendiculares à LT. - Os pontos da reta podem pertencer a quadrantes diferentes. 22

Assim como nos pontos existem alguns casos especiais em que uma reta pertence ou está contida nos semi-planos de projeção: SITUAÇÕES DE RETA - (Retas contidas nos semi-planos): Uma reta está contida no Plano, quando todos os pontos daquela reta também pertencem ao plano. Elas podem estar contidas no PVS, no PVI, no PHA, no PHP e na linha de terra. Para cada caso, estas retas apresentam algumas peculiaridades que iremos ver a seguir e também se assemelham as retas vistas anteriormente. 8- Plano Vertical Superior (PVS) - Dizemos que uma reta está contida no PVS, quando os afastamentos de seus pontos são zero e suas cotas são positivas. - Apesar de afastamentos nulos, os pontos apresentam afastamentos com valores relativos iguais, então esta reta também pode ser considerada uma Reta Frontal. - Sua épura se caracteriza como na reta frontal, por projeção vertical em real grandeza e projeção horizontal sobre a linha de terra. 's a 9- Plano Vertical Inferior (PVI) - Dizemos que uma reta está contida no PVI, quando os afastamentos de seus pontos são zero e suas cotas são negativas. - Esta reta também pode ser considerada uma Reta Frontal. - Caso as abscissas também forem iguais esta reta poderá ser considerada também Vertical. - Sua épura se caracteriza por projeção vertical em real grandeza e projeção horizontal sobre a linha de terra. a 'i 23

10- Plano Horizontal Anterior (PHA) - Neste caso, dizemos que uma reta está contida no PHA, quando as cotas de seus pontos são zero e os afastamentos são positivos. - Apesar de cotas nulas, os pontos apresentam cotas com valores relativos iguais, então esta reta também pode ser considerada uma Reta Horizontal. - Sua épura se caracteriza por projeção horizontal em real grandeza e projeção vertical sobre a linha de terra. 's a 11- Plano Horizontal Posterior (PHP) Uma reta está contida no PHP, quando as cotas de seus pontos são zero e os afastamentos são negativos. - Esta reta também pode ser considerada uma Reta Horizontal, mas se por acaso as abscissas também forem iguais esta reta poderá ser considerada também de Topo. - Sua épura se caracteriza por projeção horizontal em real grandeza e projeção vertical sobre a linha de terra. 's p 12- Reta contida na L.T. - Uma reta está contida na LT quando as cotas e os afastamentos de seus pontos são nulos. - Esta reta também pode ser considerada uma Reta Fronto-Horizontal. - Sua Épura se caracteriza pelas projeções horizontal e vertical sobre a linha de terra. 's a 24

TRAÇO DE RETAS - Traço de reta é o ponto onde uma reta fura ou atravessa um plano, portanto, quando uma reta for paralela a um plano, não haverá traço sobre esse plano. - O traço sobre o plano vertical (π ) é chamado de traço vertical (V). - O traço sobre o plano horizontal (π) é chamado de traço horizontal (H). Traço Vertical Para se obter o traço vertical (V) de uma reta, determina-se o ponto da reta que tenha também afastamento nulo ou onde o prolongamento de uma reta toca o plano vertical. - Em épura, para se obter o traço vertical da reta (A)(B) prolonga-se a projeção de nome contrário (horizontal) até a LT onde é determinado o ponto V, projeção horizontal de (V). A partir de V traça-se uma linha de chamada (perpendicular a LT) até cruzá-la com o prolongamento do da projeção vertical da reta. Defini-se ali o traço vertical (V). - Devemos observar que V sempre irá coincidir com o ponto objetivo (V), pois é um ponto do prolongamento da reta (A)(B) que pertence ao plano vertical e seu afastamento é nulo. Traço Horizontal Para obter o traço horizontal (H) de uma reta, determina-se o ponto da reta que tenha também cota nula ou onde o prolongamento de uma reta toca o plano horizontal. - Em épura para obter o traço horizontal da reta (A)(B) prolonga-se a projeção de nome contrário (vertical) até a LT onde é determinado o ponto H, projeção vertical do traço (H). A partir de H traça-se uma linha de chamada (perpendicular a LT) até cruzá-la com o prolongamento do da projeção horizontal da reta. Defini-se ali o traço horizontal (H). - Devemos observar que H sempre irá coincidir com o ponto objetivo (H), pois é um ponto do prolongamento da reta (A)(B) que pertence ao plano horizontal e sua cota é nula. 25