Trigonometria MA092 Geometria plana e analítica do triângulo retângulo. Francisco A. M. Gomes UNICAMP - IMECC Setembro de 205 O que é trigonometria A trigonometria é um ramo da matemática no qual se estuda As relações entre ângulos e distâncias, usando triângulos retângulos. A representação de fenômenos periódicos da vida real. Assim, podemos definir as funções trigonométricas como funções de ângulos (para trabalharmos com triângulos); de números reais quaisquer (para os fenômenos periódicos). Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 2 / 20 Um problema prático de distância Resumo do problema Problema Queremos determinar os comprimentos y e z das barras da treliça de cobertura dada na figura acima, sabendo que a base da treliça mede 6 m; o ângulo entre a barra superior e a horizontal mede 20. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 / 20 Problema simplificado Dados x e θ, determinar y e z. Dificuldade: se conhecêssemos dois lados do triângulo retângulo, poderíamos usar o teorema de Pitágoras para determinar o outro. Entretanto, conhecemos apenas um lado e os três ângulos. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 4 / 20
Cateto em função do ângulo e da Tomando a de um triângulo retângulo como o diâmetro de uma circunferência, observamos que os comprimentos dos catetos são definidos unicamente em função do ângulo θ. Seno Dado um triângulo retângulo com um ângulo agudo θ, a razão entre o a θ e a é chamada seno de θ: sen(θ) y z Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 5 / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 6 / 20 Seno e cosseno em triângulos semelhantes sen(θ) y z y 2 z 2. cos(θ) x z x 2 z 2. Cosseno Dado um triângulo retângulo com um ângulo agudo θ, a razão entre o a θ e a é chamada cosseno de θ: Observando dois triângulos semelhantes, reparamos que o seno e o cosseno não dependem das medidas dos catetos ou da, mas apenas do ângulo θ. cos(θ) x z Seno e cosseno como funções de θ O seno e o cosseno podem ser definidos como funções do ângulo θ Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 7 / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 8 / 20
Exercício Exercício 2 Triângulo retângulo com todos os lados conhecidos Determinar sen(θ) e cos(θ). sen(θ) cat. oposto 5 cos(θ) cat. adjacente 4 5. Triângulo retângulo com dois lados conhecidos Determinar sen(θ) e cos(θ). z 2 4 2 + 2 2 20 z 20 2 5. sen(θ) 2/z 2/(2 5) / 5 5/5. cos(θ) 4/z 4/(2 5) 2/ 5 2 5/5. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 9 / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 0 / 20 Voltando ao problema da treliça Ângulos complementares α + β 90 (α e β são complementares) sen(α) y z cos(β) e cos(α) x z sen(β) Observamos que cos(20 ) x/z /z e sen(20 ) y/z. Sabendo que cos(20 ) 0, 940 e sen(20 ) 0, 42, obtemos z /cos(20 ) /0, 940, 9m y z sen(20 ), 9 0, 42, 09m Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 / 20 Seno e cosseno de ângulos complementares Se α e β são ângulos complementares, então sen(α) cos(β) Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 2 / 20
Ângulos complementares Exemplo Sabendo que sen(0 ) 2 e cos(0 ) sen(60 ) e cos(60 ) 2, determine Relação fundamental Podemos determinar os catetos a partir da e do ângulo θ: sen(θ) y z cos(θ) x z y z sen(θ) x z cos(θ) sen(60 ) cos(0 ) 2 Se a medir, os catetos medirão sen(θ) e cos(θ). cos(60 ) sen(0 ) 2 Assim, pelo teorema de Pitágoras, sen 2 (θ) + cos 2 (θ). Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 4 / 20 A tangente Outras funções trigonométricas Outras funções trigonométricas Secante (sec), cossecante (csc) e cotangente (cot) Tangente Em um triângulo retângulo, a tangente de θ é dada por Assim, tan(θ). tan(θ) sen(θ) cos(θ). Observe que cot(θ) cos(θ) sen(θ). Em um triângulo retângulo, temos sec(θ) csc(θ) cot(θ) cos(θ) sen(θ) tan(θ) Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 5 / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 6 / 20
Exercício Exercício 4 Rampa de bicicleta Uma rampa tem altura h, 5m e ângulo de inclinação igual a 5. Determine seu comprimento, c. Altura da torre Parado a 20m do centro da base de uma torre, um topógrafo descobre que o ângulo de elevação do topo da torre mede 69, 7. Determine a altura aproximada da torre. tan(69, 7 ) h/20 sen(5 ) h/c c h/sen(5 ), 5/0, 259 5, 79m. h 20 tan(69, 7 ) h 20 2, 70 24m. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 7 / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 8 / 20 Exercício 5 Exercício 6 Problema Determine o seno do ângulo θ tal que cos(θ) 0, 7 sen(θ) 0, 74. Problema Determine o valor de x na figura. x 60 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 9 / 20 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) Geometria plana e analítica Setembro de 205 20 / 20