Elementos de Trigonometria (1)

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1 Elementos de Trigonometria (1) Américo Bento DEP. DE MATEMÁTICA ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA UNIV. DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO Primavera, 2012

2 O que é a Trigonometria? Trigonometria = trigono(três ângulos) + metria = triângulo + medir. A Trigonometria é o ramo da Matemática que trata dos processos que permitem calcular medidas de lados, ou ângulos, num triângulo a partir das medidas de outros lados, ou ângulos, no mesmo triângulo. É a «caixa de ferramentas» adequada para resolver muitos problemas. Alguns exemplos (elementares): identificar a largura de um rio sem ter de o atravessar; identificar a altura de um monumento ou de uma árvore (sem a eles subir!); identificar a altura de uma montanha; a inclinação de uma encosta; a inclinação da rua onde moramos; fazer o levantamento topográfico de terrenos;...

3 Triângulos rectângulos semelhantes 1 [ABE] e [ACD] são triângulos rectângulos semelhantes; 2 os pares de lados correspondentes (lados homólogos) são: ([BE], [CD]), ([AB], [AC]), ([AE], [AD]). 3 em triângulos semelhantes, os pares de lados homólogos são proporcionais, isto é, o quociente entre dois lados homólogos é invariante, desde que tomados pela mesma ordem.

4 Triângulos rectângulos semelhantes Formalmente, tem-se: BE CD = AB BE CD = AB AC e AC = AE AD, isto é, BE CD = AE [ BE AD AE = CD ]. (1) AD Ora, relativamente ao ângulo com vértice em A, temos ( ) cateto oposto = BE hipotenusa [ABE] AE }{{} = Justificámos, assim, o facto: Proposição por (1) CD AD = ( ) cateto oposto. (2) hipotenusa [ACD] Nos pares de ângulos homólogos (agudos) de dois quaisquer triângulos rectângulos semelhantes, o quociente entre o cateto oposto e a hipotenusa, respectivos, é invariante.

5 Seno de um ângulo agudo Este quociente depende, portanto, unicamente do ângulo; é, assim, um número que podemos associar a cada ângulo agudo. Tal número foi nomeado por SENO do ângulo. Se o ângulo é α, usamos a abreviatura sin(α) [ou sen(α)] para denotar o seno do ângulo α. Definição Sendo α um ângulo de um triângulo rectângulo, define-se o seno de α pelo quociente entre o cateto oposto a α e a hipotenusa, isto é, sin(α) = cateto oposto hipotenusa. Exemplo. Considere o triângulo rectângulo cujos lados medem três, quatro e cinco unidades de comprimento. Calcule o seno dos ângulos agudos do triângulo. Proposição Se α é um ângulo (agudo) num triângulo rectângulo, então sin(α) 1.

6 Um outro invariante... nos triângulos rectângulos cateto oposto No quociente hipotenusa, adjacente temos uma outra invariância. Assim, Proposição se substituirmos cateto oposto por cateto Nos pares de ângulos homólogos (agudos) de dois quaisquer triângulos rectângulos semelhantes, o quociente entre o cateto adjacente e a hipotenusa, respectivos, é invariante. Isto é, é invariante o quociente ) ( cateto adjacente hipotenusa Demonstração. O caminho para justificar esta Proposição é idêntico ao que desenvolvemos para o seno de um ângulo. Que nome atribuir a este número? Consideremos o seguinte: seja [ABC] um triângulo rectângulo em C e denotemos por α e β os ângulos agudos opostos aos lados L A e L B, respectivamente.. α

7 Um outro invariante... nos triângulos rectângulos Consideremos a informação contida na seguinte tabela: sin( ) cateto adjacente hipotenusa α L A hipotenusa L B hipotenusa β L B hipotenusa L A hipotenusa Estes resultados e o facto de os ângulos α e β serem complementares, isto é: α+β = 90 o, induziram a designação CO- SENO de um ângulo. Dizemos L que B hipotenusa é o co-seno do ângulo α por ser igual ao seno do seu complementar. Se o ângulo éα, usamos a abreviatura cos(α) para denotar o coseno do ângulo α. Definição Sendo α um ângulo agudo de um triângulo rectângulo, define-se o co-seno de α pelo quociente entre o cateto adjacente a α e a hipotenusa, isto é, cos(α) = cateto adjacente. hipotenusa

8 Um outro invariante... o co-seno Exemplo. Considere o triângulo rectângulo cujos lados medem três, quatro e cinco unidades de comprimento. Calcule o co-seno dos ângulos agudos do triângulo. Proposição Se α é um ângulo (agudo) num triângulo rectângulo, então cos(α) 1. Demonstração.... Para não esquecermos: Proposição Se α é um ângulo (agudo) num triângulo rectângulo, então: cos(90 o α) = sin(α); sin(90 o α) = cos(α).

9 A fórmula fundamental da trigonometria Temos: sin(α) = BC AC ; cos(α) = AB AC. Logo: sin 2 (α) = Portanto, ( ) BC 2 = ( BC )2 AC ( AC ) 2; cos2 (α) = ( ) AB 2 = ( AB )2 AC ( AC ) 2. sin 2 (α)+cos 2 (α) = ( BC )2 2 ( AC ) 2+( AB ) ( AC ) 2 = ( BC ) 2 +( AB ) 2 ( AC ) 2 = ( AC ) 2 ( AC ) 2 = 1.

10 A tangente de um ângulo (tangente trigonométrica) Em triângulos rectângulos semelhantes, foi mostrado que são invariantes, os quocientes (cat. op.) α (cat. adj.) α,. hip. hip. De modo semelhante, se mostra que o quociente invariante. Este invariante designa-se por tangente do ângulo α; denota-se por tan(α). (cateto oposto) α (cateto adjacente) α é Definição Sendo α um ângulo agudo de um triângulo rectângulo, tem-se: tan(α) = (cateto oposto) α (cateto adjacente) α.

11 Valores possíveis para tan( ) de um ângulo agudo Relativamente a um ângulo agudo α de um triângulo rectângulo, se o cateto oposto é maior do que o adjacente, temos (cat. op.)α tan(α) = (cat. adj.) > 1. α) Se o cateto oposto é igual ao adjacente, (cat. op.)α temos tan(α) = (cat. adj.) = 1. α) Se o cateto oposto é menor do que o (cat. op.)α adjacente, temos tan(α) = (cat. adj.) < 1. α) Portanto: Proposição Se α é um ângulo cuja amplitude pertence ao intervalo ]0 o, 90 o [, então tan(α) ]0, + [.

12 A co-tangente de um ângulo agudo (cateto oposto) α (cateto adjacente) α Uma vez que é invariante, o seu inverso também o é. Isto é, é invariante o (cateto adjacente)α quociente (cateto oposto) α. Este invariante é a tangente do complementar de α. Por tal facto, designa-se por cotangente do ângulo α; denotase por cot(α). Definição Sendo α um ângulo agudo de um triângulo rectângulo, tem-se: cot(α) = (cateto adjacente) α (cateto oposto) α.

13 Valores possíveis para cot( ) de um ângulo agudo Relativamente a um ângulo agudo α de um triângulo rectângulo, se o cateto oposto é maior do que o adjacente, temos (cat. adj.)α cot(α) = (cat. op.) < 1. α) Se o cateto oposto é igual ao adjacente, (cat. adj.)α temos cot(α) = (cat. op.) = 1. α) Se o cateto oposto é menor do que o (cat. adj.)α adjacente, temos cot(α) = (cat. op.) > 1. α) Portanto: Proposição Se α é um ângulo cuja amplitude pertence ao intervalo ]0 o, 90 o [, então cot(α) ]0, + [.

14 Tangente versus co-tangente Proposição Sendo α um ângulo agudo: tan(α) = sin(α) cos(α) ; cos(α) cot(α) = sin(α) ; tan(α) = 1 cot(α). Demonstração. Temos: tan(α) = cat.op. cat.adj. = cat.op. hip. cat.adj. hip. = Proposição Sendo α um ângulo agudo: cat.op. hip. cat.adj. hip. = sin(α) cos(α) ; (...) tan(90 o α) = cot(α); cot(90 o α) = tan(α). Demonstração. Temos: tan(90 o α) = sin(90o α) cos(90 o cos(α) = α) }{{} sin(α) = cot(α). porque?

15 Razões trigonométricas do ângulo de 30 o sin(30 o ) =? 1 O triângulo [ABC] é rectângulo em B e BAC = 30 o. 2 O triângulo [ADB] é a reflexão do [ABC] relativamente ao eixo AB. Logo, o triângulo [ADC] é equilátero. 3 Assim: BC = 1 2 DC e AC = DC = AD. 4 Ora: sin(30 o ) = op. 1 2 DC 1 2 AC = DC (3) hip. = BC AC = (3) DC = 1 2. cos(30 o ) =? Pela FFT, cos 2 (30 o )+sin 2 (30 o ) = 1. Portanto,... tan(30 o ) =? tan(30 o ) = sin(30o ) cos(30 o )? cot(30o ) =? cot(30 o ) = cos(30o ) sin(30 o )? Proposição sin(30 o ) = 1 2 ; cos(30o ) = 3 2 ; tan(30o ) = 3 3 ; cot(30o ) = 3.

16 Razões trigonométricas do ângulo de 60 o Comecemos por recordar que 60 o + 30 o = 90 o, isto é, 60 o e 30 o são complementares. Pelo que já vimos atrás, podemos escrever: sin(60 o ) = cos(90 o 60 o ) = cos(30 o ) = 3 2. cos(60 o ) = sin(90 o 60 o ) = sin(30 o ) = 1 2. tan(60 o ) = cot(90 o 60 o ) = cot(30 o ) = 3. cot(60 o ) = tan(90 o 60 o ) = tan(30 o ) = 3 3. Proposição sin(60 o ) = 3 2 ; cos(60o ) = 1 2 ; tan(60o ) = 3; cot(60 o ) = 3 3.

17 Razões trigonométricas do ângulo de 45 o sin(45 o ) =? 1 O triângulo [ABC] é isósceles e rectângulo em B. 2 Logo, os ângulos adjacentes ao lado [AC] são geometricamente iguais. Uma vez que são ângulos complementares, decorre que a sua amplitude é de 45 o. 3 Por serem complementares, o seno de um coincide com o co-seno do outro. Assim, sin(45 o ) = cos(45 o ). 4 Imediatamente, temos: tan(45 o ) = cot(45 o ) = 1. Usando (3) na FFT, temos: 2 sin 2 (45 o ) = 1... Consequentemente: cos(45 o ) =...; Proposição sin(45 o ) = cos(45 o ) = 2 2 ; tan(45o ) = cot(45 o ) = 1.

18 Elementos de Trigonometria (2) Américo Bento DEP. DE MATEMÁTICA ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA UNIV. DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO Primavera, 2012

19 Funções trigonométricas Sentido POSITIVO de leitura Semi-recta ȮP é o lado origem. Semi-recta ȮQ é o lado final.

20 Funções trigonométricas Sentido NEGATIVO de leitura Semi-recta ȮP é o lado origem. Semi-recta ȮQ é o lado final.

21 Funções trigonométricas Ângulo GENERALIZADO Amplitudeαou... α mais uma volta? A cada par ordenado de semi-rectas corresponde uma família de amplitudes da forma α+k 360 o, k Z.

22 Funções trigonométricas Arco GENERALIZADO A cada par ordenado de pontos sobre uma circunferência corresponde uma família de amplitudes de arco da forma α+k 360 o, k Z. Ao arco(pq) corresponde a família da forma α+m 360 o, m Z. Ao arco(qp) corresponde a família da forma β + n 360 o, n Z.

23 Funções trigonométricas Quadrantes Diz-se um ângulo pertence ao 1 o, 2 o, 3 o ou 4 o quadrantes se o lado origem é Ox + e tem lado final no 1 o, 2 o, 3 o ou 4 o quadrantes, respectivamente.

24 Funções trigonométricas Função seno No esquema precedente, o ângulo α tem lado origem na semi-recta Ox + e lado final na semi-recta ȮP. Definição (Nova definição de seno de um ângulo) ordenada de P dis(p,o) A definição sin(α) := preserva a definição construída com base num triângulo rectângulo. Qualquer ponto na semi-recta ȮP pode ser tomado; de facto, dados P, Q no lado final do ângulo, os triângulos rectângulos [OBP] e [OEQ] são semelhantes. Assim, o ponto a considerar pode ser escolhido à distância de uma unidade da origem: dis(p, O) = 1 Sendo P(x, y) um ponto do lado final de um ângulo α com lado origem Ox + y, define-se seno de α pela relação sin(α) = dis(p, O).

25 Funções trigonométricas sin(180 o α) = sin(α) A semi-recta ȮP é o lado final do ângulo α. A semi-recta ȮP é a reflexão de ȮP relativamente ao eixo Oy. Portanto, a cada ponto P(x, y) em ȮP corresponde um ponto P na semi-recta ȮP de tal modo que P e P têm uma mesma ordenada e dis(p, O) = dis(p, O). Consequentemente: sin(180 α) = ordenada de P dis(p, O) = y dis(p, O) = y dis(p, O) = sin(α).

26 O seno de um ângulo e o círculo trigonométrico Para cada ponto B sobre a fronteira do círculo, o seno do ângulo com lado origem Ox + e lado final ȮB é a ordenada do ponto B. Sinal da função seno: 1 o e 2 o quadrantes: positivo; 3 o e 4 o quadrantes: negativo. Proposição (Variação) α, 1 sin(α) 1. Proposição (Paridade) α, sin( α) = sin(α).

27 Variação monótona e periodicidade do seno A partir do que foi exposto, três factos são de conclusão imediata: ângulos que diferem de múltiplos inteiros de 360 o têm igual seno; nos 1 o e 4 o quadrantes, se aumenta o ângulo então aumenta o seno; nos 2 o e 3 o quadrantes, se aumenta o ângulo então diminui o seno. Estas três asserções merecem registo formal. Assim: Proposição (Periodicidade do seno) Qualquer que seja α e qualquer que seja o inteiro relativo k, tem-se: sin(α+k 360 o ) = sin(α). Proposição (Variação monótona do seno: 1 o e 4 o quadrantes) Sejam α,β [ 90 o, 90 o ]. Se α<β então sin(α)< sin(β). Proposição (Variação monótona do seno: 2 o e 3 o quadrantes) Sejam α,β [90 o, 270 o ]. Se α<β então sin(α)> sin(β).

28 Funções trigonométricas ::: Função co-seno No esquema precedente, o ângulo α tem lado origem na semi-recta Ox + e lado final na semi-recta ȮP. Definição (Nova definição de co-seno de um ângulo) abcissa de P dis(p,o) A definição cos(α) := preserva a definição construída com base num triângulo rectângulo. Qualquer ponto na semi-recta ȮP pode ser tomado; de facto, dados P, Q no lado final do ângulo, os triângulos rectângulos [OBP] e [OEQ] são semelhantes. Assim, o ponto a considerar pode ser escolhido à distância de uma unidade da origem: dis(p, O) = 1 Sendo P(x, y) um ponto do lado final de um ângulo α com lado origem Ox + x, define-se co-seno de α pela relação cos(α) = dis(p, O).

29 Funções trigonométricas ::: cos(180 o α) = cos(α) A semi-recta ȮP é o lado final do ângulo α. A semi-recta ȮP é a reflexão de ȮP relativamente ao eixo Oy. Portanto, a cada ponto P(x, y) em ȮP corresponde um ponto P na semi-recta ȮP de tal modo que P e P têm abcissas simétricas e dis(p, O) = dis(p, O). Consequentemente: cos(180 α) = abci. de P dis(p, O) = x dis(p, O) = x dis(p, O) = cos(α).

30 O co-seno de um ângulo e o círculo trigonométrico Para cada ponto B sobre a fronteira do círculo, o co-seno do ângulo com lado origem Ox + e lado final ȮB é a abcissa do ponto B. Sinal do co-seno: 1 o Q e 4 o Q: positivo; 2 o Q e 3 o Q: negativo. Proposição (Variação) α, 1 cos(α) 1. Proposição (Paridade) α, cos( α) = cos(α).

31 Variação monótona e periodicidade do co-seno A partir do que foi exposto, três factos são de conclusão imediata: ângulos que diferem de múltiplos inteiros de 360 o têm igual co-seno; nos 1 o e 2 o quadrantes, se aumenta o ângulo então diminui o co-seno; nos 3 o e 4 o quadrantes, se aumenta o ângulo então aumenta o co-seno. Estas três asserções merecem registo formal. Assim: Proposição (Periodicidade do co-seno) Qualquer que seja α e qualquer que seja o inteiro relativo k, tem-se: cos(α+k 360 o ) = cos(α). Proposição ( co-seno: 1 o e 2 o quadrantes = DECRESCENTE ) Sejam α,β [0 o, 180 o ]. Se α<β então cos(α)> cos(β). Proposição ( co-seno: 3 o e 4 o quadrantes = CRESCENTE) Sejam α,β [180 o, 360 o ]. Se α<β então cos(α)< cos(β).

32 Funções trigonométricas ::: Função tangente No esquema precedente, o ângulo α tem lado origem na semi-recta Ox + e lado final na semi-recta ȮP. Definição (Nova definição de tangente de um ângulo) 1 Para cada ponto P(x, y), x 0, ordenada de P definição tan(α) := abcissa de P preserva a definição construída com base num triângulo rectângulo. 2 Qualquer ponto na semi-recta ȮP pode ser tomado; de facto, dados P, Q no lado final do ângulo, o [OBP] e o [OEQ] são semelhantes. 3 Assim, o ponto a considerar pode ser escolhido à distância de uma unidade da origem: dis(p, O) = 1 Sendo P(x, y), x 0, um ponto do lado final de um ângulo α com lado origem Ox +, define-se tangente de α pela relação tan(α) = y x.

33 Periodicidade e paridade da função tangente O ângulo (180 o + α) tem lado origem na semi-recta Ox + e lado final na semi-recta ȮP, sendo P o simétrico de P relativamente à origem O. Consequentemente, as coordenadas de P são simétricas das coordenadas de P. Temos, portanto: Proposição (Periódica...) Se existe tan(α) então k Z, tan(α+k 180 o ) = tan(α). Proposição (Par ou ímpar?) Se existe tan(α) então No esquema precedente, o ângulo tan( α) = tan(α). α tem lado origem na semi-recta Ox + e lado final na semi-recta ȮP. Exemplos. Exercícios 20(d),(f).

34 Função tangente como função de seno e do co-seno Para cada ângulo α 90 o + k 180 o, k Z, cujo lado final seja a semi-recta ȮP, podemos tomar um ponto qualquer nesta semi-recta [excepto (0, 0)] para escrever a tangente de α. Assim, podemos tomar o ponto de intersecção da semi-recta ȮP com a fronteira do círculo trigonométrico. As coordenadas de tal ponto são (x, y) = (cos(α), sin(α)). Logo, Proposição Se cos(α) 0 então tan(α) = sin(α) cos(α). Exercício. Usando a caracterização precedente para tan(α), mostre que: 1 tan(α+180 o ) = tan(α); 2 a função tangente é ímpar; 3 tan(180 o α) = tan(α).

35 Círculo trigonométrico e o eixo das tangentes Para identificar relações entre as tangentes de diferentes ângulos usa-se a recta paralela ao eixo das ordenadas na abcissa x = 1. Assim, tal recta é a tangente geométrica à fronteira do círculo trigonométrico no ponto (1, 0). O ponto P tem abcissa cos(α) e ordenada sin(α). Logo, tan(α) = sin(α) cos(α). Por outro lado, [OBP] e [OET] são semelhantes; portanto, tan(α) = ET = ET OE 1 = y 1 = y. Justificámos, por conseguinte, o facto: ) Seja α = (Ox +, ȮP. Se existir, tan(α) é a ordenada do ponto de intersecção da semi-recta ȮP com a recta de abcissa constante x = 1 [eixo das tangentes].

36 Sinal e monotonia da tangente Resumo: se α = 90 o + k 180 o, k Z, tan(α) não existe; no 1 o Q e no 3 o Q, a tangente é positiva; no 2 o Q e no 4 o Q, a tangente é negativa. no 2 o Q e no 3 o Q, se aumenta o ângulo então aumenta a tangente; nos 1 o Q e 4 o Q, se aumenta o ângulo então aumenta a tangente. Formalmente, as duas últimas asserções são, respectivamente: Proposição ( tangente: 2 o Q e 3 o Q ::: monótona CRESCENTE ) Sejam α,β ]90 o, 270 o [. Se α<β então tan(α)< tan(β). Proposição ( tangente: 1 o Q e 4 o Q ::: monótona CRESCENTE) Sejam α,β ] 90 o, 90 o [. Se α<β então tan(α)< tan(β). Este factos e a periodicidade da tangente permitem escrever: Proposição Em cada intervalo da forma ] 90 o + k 180 o ; 90 o + k 180 o [, k Z, a tangente é crescente.?? sinal da derivada??

37 Variação da tangente Podemos concluir que quando α percorre o conjunto ] 90 o ; 90 o [, tan(α) passa por todas as ordenadas do eixo das tangentes. Portanto, tan(α) percorre todos os valores de a +, isto é, o intervalo ] ; + [. Este facto e a periodicidade da tangente justificam a seguinte asserção: Proposição Para cada k Z, se α percorre o conjunto ] 90 o + k 180 o ; 90 o + k 180 o [ então tan(α) percorre o intervalo ] ; + [.

38 Funções trigonométricas ::: Função co-tangente No esquema precedente, o ângulo α tem lado origem na semi-recta Ox + e lado final na semi-recta ȮP. 1 Para cada ponto P(x, y), y 0, abcissa de P definição cot(α) := ordenada de P preserva a definição construída com base num triângulo rectângulo. 2 Qualquer ponto na semi-recta ȮP pode ser tomado; de facto, dados P, Q no lado final do ângulo, o [OBP] e o [OEQ] são semelhantes. 3 Assim, o ponto a considerar pode ser escolhido à distância de uma unidade da origem: dis(p, O) = 1 Definição (Nova definição de co-tangente de um ângulo) Sendo P(x, y), y 0, um ponto do lado final de um ângulo α com lado origem Ox +, define-se co-tangente de α pela relação cot(α) = x y.

39 Periodicidade e paridade da função co-tangente O ângulo (180 o + α) tem lado origem na semi-recta Ox + e lado final na semi-recta ȮP, sendo P o simétrico de P relativamente à origem O. Consequentemente, as coordenadas de P são simétricas das coordenadas de P. Temos, portanto: Proposição (Periódica...) Se existe cot(α) então k Z, cot(α+k 180 o ) = cot(α). Proposição (Par ou ímpar?) Se existe cot(α) então No esquema precedente, o ângulo cot( α) = cot(α). α tem lado origem na semi-recta Ox + e lado final na semi-recta ȮP.

40 Função co-tangente: função de co-seno e do seno Para cada ângulo α 0 o + k 180 o, k Z, cujo lado final seja a semi-recta ȮP, podemos tomar um ponto qualquer nesta semi-recta [excepto (0, 0)] para escrever a co-tangente de α. Assim, podemos tomar o ponto de intersecção da semi-recta ȮP com a fronteira do círculo trigonométrico. As coordenadas de tal ponto são (x, y) = (cos(α), sin(α)). Logo, Proposição Se sin(α) 0 então cot(α) = cos(α) sin(α). Exercício. Usando a caracterização precedente para cot(α), mostre que: 1 cot(α+180 o ) = cot(α); 2 a função co-tangente é ímpar; 3 cot(180 o α) = cot(α).

41 Ü ÜÓ Ó¹Ø Ò ÒØ Ý Círculo trigonométrico e o eixo das co-tangentes ÓØ «µ Ó «µ ÓØ «µ ܽ Ü ½ Ü Ò «µ Ó «µ «½ ½ Para identificar relações entre as co-tangentes de diferentes ângulos usa-se a recta paralela ao eixo das abcissas na ordenada y = 1. Assim, tal recta é a tangente geométrica à fronteira do círculo trigonométrico no ponto (0, 1). O ponto P tem abcissa cos(α) e ordenada sin(α). Logo, cot(α) = cos(α) sin(α). Por outro lado, [OQP] e [OSR] são semelhantes; portanto, cot(α) =? =?? 1 = x 1 = x. Justificámos, por conseguinte, o ) facto: Seja α = (Ox +, ȮP. Se existir, cot(α) é a abcissa do ponto de intersecção da semi-recta ȮP com a recta de ordenada constante y = 1 [eixo das co-tangentes].

42 Sinal e monotonia da co-tangente Resumo: se α = 0 o + k 180 o, k Z, cot(α) não existe; no 1 o Q e no 3 o Q, a co-tangente é positiva; no 2 o Q e no 4 o Q, a co-tangente é negativa. no 1 o Q e no 2 o Q, se aumenta o ângulo então diminui a co-tangente; nos 3 o Q e 4 o Q, se aumenta o ângulo então diminui a co-tangente. Formalmente, as duas últimas asserções são, respectivamente: Proposição ( co-tangente: 1 o Q e 2 o Q ::: monótona DECRESCENTE ) Sejam α,β ]0 o, 180 o [. Se α<β então cot(α)> cot(β). Proposição ( tangente: 3 o Q e 4 o Q ::: monótona DECRESCENTE) Sejam α,β ]180 o, 360 o [. Se α<β então cot(α)> cot(β). Este factos e a periodicidade da co-tangente permitem escrever: Proposição Em cada intervalo da forma ]0 o + k 180 o ; 180 o + k 180 o [, k Z, a tangente é decrescente.?? sinal da derivada??

43 Ü ÜÓ Ó¹Ø Ò ÒØ Ý Variação da co-tangente ÓØ «µ Ó «µ ÓØ «µ ܽ Ü ½ Ü Ò «µ Ó «µ «½ ½ Podemos concluir que quando α percorre o conjunto ]0 o ; 180 o [, cot(α) passa por todas as abcissas do eixo das co-tangentes. Portanto, cot(α) percorre todos os valores de + a, isto é, o intervalo ] ; + [. Este facto e a periodicidade da co-tangente justificam a seguinte asserção: Proposição Para cada k Z, se α percorre o conjunto ]0 o + k 180 o ; 180 o + k 180 o [, então cot(α) percorre o intervalo ] ; + [.

44 Elementos de Trigonometria (3) Américo Bento DEP. DE MATEMÁTICA ESCOLA DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA UNIV. DE TRÁS-OS-MONTES E ALTO DOURO Primavera, 2012

45 Conservação da FFT O ângulo α tem lado origem na semirreta Ox + e lado final na semirreta ȮP. (1) Seja d = dis(p, O). De acordo com as definições de seno e de co-seno, temos sin(α) = y d, cos(α) = x d. (2) Logo, sin 2 (α) = y 2, cos 2 (α) = x2. d 2 d 2 (3) Consequentemente: sin 2 (α)+cos 2 (α) = y 2 + x2 = y 2 +x 2. d 2 d 2 d 2 (4) Podemos interpretar d como a hipotenusa do [OPE]. Assim, pelo teorema de Pitágoras, d 2 = (PE) 2 +(EO) 2 = x 2 + y 2 = x 2 + y 2. (5) De (3) e (4): sin 2 (α)+ cos 2 (α) = 1. Considere os casos: (i) ȮP coincide com Ox+ ; (ii) ȮP coincide com Oy + ; (iii) ȮP coincide com Ox ; (iv) ȮP coincide com Oy. Verifique que a fórmula fundamental da trigonometria continua válida.

46 A unidade de medida: RADIANO RADIANO é o menor ângulo (ao centro) determinando por um arco de circunferência de comprimento igual ao raio. 1 Quantos RADIANOS cabem na amplitude de uma circunferência?... ou, de outro modo: quantas vezes cabe o raio de uma circunferência nela própria? 2 Ora, saber quantas vezes cabe r em 2πr é dividir esta quantidade por aquela. Assim, 2πr r = 2π; isto é, o raio r cabe 2π vezes na circunferência de comprimento 2πr. Logo, uma vez que a cada r corresponde 1rad, é de esperar que na amplitude da circunferência caibam 2π vezes 1rad, isto é, 2πrad.

47 A unidade de medida: RADIANO De facto, se ao raio r corresponde 1 radiano (1rad) então ao comprimento 2πr corresponde x radianos. Resolvendo a equação que traduz esta relação de proporcionalidade: 1rad r = x 2πr x = 2πr 1rad r x = 2πrad. Consequentemente, temos: RADIANO é o menor ângulo (ao centro) determinando por um arco de circunferência de comprimento igual ao raio. 360 o 2πrad 180 o πrad 90 o (π/2)rad 60 o (π/3)rad 45 o (π/4)rad 30 o (π/6)rad.

48 Amplitude de ângulo em radianos e a recta real Qualquer amplitude de ângulo em graus pode ser expressa em radianos. De facto, sendo α uma amplitude de ângulo (em graus) e x a mesma amplitude em radianos, a relação de proporcionalidade permite escrever x está para α, assim como πrad está para 180 o x πrad = α 180 o x = α 180 πrad. Esta unidade de medida radianos permite tratar cada amplitude de ângulo como uma grandeza escalar de natureza igual à natureza do comprimento do raio. Escrevemos cos ( π 3 rad) no lugar de cos(60 o ); na forma simplificada: cos ( π 3). Escrevemos sin ( π 4 rad) no lugar de sin(45 o ); na forma simplificada: sin ( π 4). As expressões cos(2), sin(3), tan(5) são interpretadas como cos(2rad), sin(3rad), tan(5rad).

49 Seno ::: co-seno ::: tangente ::: co-tangente

50 lim sin x x, quando x 0 Notemos que x, sin x, tan x são grandezas da mesma natureza (estamos a usar a unidade radianos). Portanto, podemos escrever: se x 0 + então Aplicando lim, resulta Uma vez que lim x 0 + sin x Logo: lim x 0 + x sin x < x < tanx. (1) Dividindo (1) por sin x [notar que sinx > 0, se x 0 + ], obtemos 1 < x sin x < 1 cos x. (2) x 1 lim x 0 + sin x lim 1 x 0 + cos x. 1 cos x = 1, decorre que lim x 0 + = 1. (*) x sin x = 1.

51 lim sin x x, quando x 0? x 0? Ora: x 0 se, e só se, x 0 +. Assim, por (*): Mas, por outro lado, sin( x) sin x lim = lim x 0 + x x 0 x = lim x 0 sin x x. sin( x) lim = 1. x 0 + x Por conseguinte: lim x 0 sin x x = 1. Daqui e de (*), resulta: sin x lim x 0 x = 1. sin(2x) sin(3x) Ex. Calcule: (a) lim ; (b) lim x 0 3x x 0 sin(5x) ; sin(3x) (c) lim x 0 tan x

52 A função real, de variável ¹½ real, sin( ) ¹ ¹ ¹ ¹¾ ¹½ ½ ¾ ¹ Ý Ü sin : R R, x sin(x) ½ Figura: Gráfico da função sin(x) Pela periodicidade, conhecido o gráfico em qualquer intervalo de amplitude 2π, ficamos a conhecer todo o gráfico. No intervalo ] π 2, π 2[, sin(x) é monótona crescente. Logo, neste intervalo, a sua derivada tem sinal positivo (= declive da tangente geométrica ao gráfico). O contradomínio é a projecção do gráfico no eixo das ordenadas; é o intervalo [ 1, 1]. Os zeros da função ocorrem nos valores da forma kπ, k Z; (intersecção do gráfico com o eixo Ox).

53 A função real, de variável real, sin( ); derivada Proposição Sendo a e b dois ângulos, tem-se: sin a sin b = 2 sin a b 2 cos a+b 2. Exercício. Deduza a fórmula para sin a+sin b. Exercício. Deduza a fórmula para cos a+cos b. Exercício. Deduza a fórmula para cos a cos b. Teorema (Derivada de sin(x)) A derivada de sin(x) é cos(x), isto é, sin (x) = cos(x). Demonstração. Usando a definição de derivada, temos: (sin x) sin(x + h) sin(x) 2 sin x+h x = lim = lim h 0 h h 0 h 2 sin h 2 = lim cos ( ) x + h 2 sin h 2 = lim lim h 0 h h 0 h cos x 0 = 1 cos(x) = cos(x). 2 2 cos x+h+x 2 ( x + h ) 2

54 A função real, de variável real, sin( ); derivada Teorema (Derivada de sin(u(x))) Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então a derivada da função sin(u(x)) é u (x) cos(u(x)), isto é, (sin(u(x))) = u (x) cos(u(x)). Demonstração. Recordemos: sin(u(x)) = (sin u)(x). Portanto, (sin(u(x))) = (sin u) (x) = (sin) (u(x)) u (x) = u (x) cos(u(x)). Exemplos

55 A função real, de variável ¹½ real, cos( ) ¹ ¹ ¹ ¹¾ ¹½ ½ ¾ ¹ Ý Ü cos : R R, x cos(x) ½ Figura: Gráfico da função cos(x) Pela periodicidade, conhecido o gráfico em qualquer intervalo de amplitude 2π, ficamos a conhecer todo o gráfico. No intervalo ]0, π[, cos(x) é monótona decrescente. Logo, neste intervalo, a sua derivada tem sinal negativo (= declive da tangente geométrica ao gráfico). O contradomínio é a projecção do gráfico no eixo das ordenadas; é o intervalo [ 1, 1]. Os zeros da função ocorrem nos valores da forma π 2 + kπ, k Z; (intersecção do gráfico com o eixo Ox).

56 A função real, de variável real, cos( ); derivada Teorema (Derivada de cos(x)) A derivada de cos(x) é sin(x), isto é, cos (x) = sin(x). Demonstração. Usando a fórmula fundamental da trigonometria e a derivada de uma potência, temos: 1 sin 2 x + cos 2 x = 1 sin 2 x = 1 cos 2 x, (pela FFT); 2 (sin 2 x) = 2(sin x) (sin x) = 2 cos x sin x, (derivada de uma potência e derivada do sin(x)); 3 (1 cos 2 x) = 0 (cos 2 x) = 2(cos x) cos x, (derivada da diferença; derivada de uma potência); 4 Por (1), (2) e (3), temos: 2 cos x sin x = 2(cos x) cos x. Logo: (cos x) = sin x.

57 A função real, de variável real, cos( ); derivada Teorema (Derivada de cos(u(x))) Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então a derivada da função cos(u(x)) é u (x) sin(u(x)), isto é, (cos(u(x))) = u (x) sin(u(x)). Demonstração. Recordemos: (cos(u(x))) = (cos u) (x) e cos(u(x)) = (cos u)(x). Portanto, (cos u) (x) = (cos) (u(x)) u (x) = sin(u(x)) u (x) = u (x) sin(u(x)). Exemplos

58 A função real, de variável real, tan( ) Não existe tan(x) se x = π 2 + kπ, k Z. Portanto, tan( ) está definida em intervalos da forma ] π 2 + ½¾ kπ, Ý π 2 + kπ[, k Z. Assim, para cada k Z: tan : ] π 2 + kπ, π [ 2 + kπ R, x tan(x) ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¾ ¹½ ¹½ ¹¾ ¹ ½ ¾ Ý Ø Ò Üµ Ü Pela periodicidade, ¹ conhecido ¹ o gráfico em qualquer intervalo ] da forma π 2 + kπ, π 2 + kπ[, k Z, ficamos a conhecer todo o gráfico. No intervalo ] π 2, π 2[, tan(x) é monótona crescente. Logo, a sua derivada tem sinal positivo (= declive da tangente geométrica ao gráfico).

59 A função real, de variável real, tan( ) ::: derivada Teorema Se x π 2 + kπ, k Z, então (tan x) = 1 cos 2 x. Demonstração. ( Temos: ) sin x (tan x) = = (sin x) cos x sin x(cos x) cos x cos 2 x Teorema = = 1 cos 2 x. Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então: nos pontos x onde existe u (x) e u(x) π 2 + kπ, k Z, tem-se (tan(u(x))) = u (x) cos 2 (u(x)). Demonstração. Recordemos que tan(u(x)) é a expressão designatória da composta da função u( ) com a função tan( ); isto é: (tan(u(x))) = (tan u) (x). Ora, (tan u) (x) = (tan) (u(x)) u (x) = 1 cos 2 (u(x)) u (x) = u (x) cos 2 (u(x)). (...)

60 A função real, de variável real, tan( ) ::: derivada Exemplos Sendo f(x) = tan(2x 3 2x + 1), temos: f (x) = (2x 3 2x + 1) cos 2 (2x 3 2x + 1) = 6x 2 2 cos 2 (2x 3 2x + 1). Sendo Sendo Sendo g(x) = tan(sin x), temos: g (x) = h(x) = tan(cos x), temos: h (x) = i(x) = tan(tan x), temos: (sin x) cos 2 (sin x) = cos x cos 2 (sin x). (cos x) cos 2 (cos x) = sin x cos 2 (cos x). i (x) = 1 (tan x) cos 2 (tan x) = cos 2 x cos 2 (tan x) = 1 (cos 2 x) cos 2 (tan x).

61 A função real, de variável real, cot( ) Não existe cot(x) se x = 0+kπ, k Z. Portanto, cot( ) está definida em intervalos da forma ]0+kπ, ½¾ Ý π + kπ[, k Z. Assim, para cada k Z: cot : ]0+kπ, Ý ÓØ Üµ π + kπ[ R, x cot(x). ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¾ ¹½ ¹½ ¹¾ ¹ ½ ¾ Ü Pela periodicidade, conhecido o gráfico em ¹ qualquer intervalo da ¹ forma ]0+kπ, π + kπ[, k Z, ficamos a conhecer todo o gráfico. No intervalo ]0+kπ, π + kπ[, cot(x) é monótona decrescente. Logo, a sua derivada tem sinal negativo (= declive da tangente geométrica ao gráfico).

62 A função real, de variável real, cot( ) ::: derivada Teorema Se x kπ, k Z, então (cot x) = 1 sin 2 x. Demonstração. Temos: ( cos x ) (cot x) (cos x) sin x cos x(sin x) = = sin x sin 2 x Teorema = = 1 sin 2 x. Se u é uma função real, de variável real x, com derivada finita, então: nos pontos x onde existe u (x) e u(x) kπ, k Z, tem-se (cot(u(x))) = u (x) sin 2 (u(x)). Demonstração. Recordemos que cot(u(x)) é a expressão designatória da composta da função u( ) com a função cot( ); isto é: (cot(u(x))) = (cot u) (x). Ora, (cot u) (x) = (cot) (u(x)) u (x) = 1 sin 2 (u(x)) u (x) = u (x) sin 2 (u(x)). (...)

63 A função real, de variável real, cot( ) ::: derivada Exemplos Sendo f(x) = cot(2x 3 x + 1), temos: Sendo Sendo Sendo f (x) = (2x 3 x + 1) sin 2 (2x 3 x + 1) = 6x sin 2 (2x 3 x + 1). g(x) = cot(sin x), temos: g (x) = h(x) = cot(cos x), temos: h (cos x) (x) = sin 2 (cos x) i(x) = cot(tan x), temos: (sin x) sin 2 (sin x) = cos x sin 2 (sin x). = ( sin x) sin 2 (cos x) = i (tan x) (x) = sin 2 (tan x) = 1 cos 2 x sin 2 (tan x) = sin x sin 2 (cos x). 1 (cos 2 x) sin 2 (tan x).