Considere as situações: 1ª situação: Observe as dimensões da figura a seguir. Qual a expressão que representa a sua área? X X x 2 ou x. x
2ª situação: Deseja se cercar um terreno de forma retangular cujo comprimento e largura medem, respectivamente, 3x e y. Quantos metros de tela deve se comprar? 3x y Devemos calcular o perímetro do terreno: 3x+3x+y+you6x+2y
3ª situação: Mari tinha x reais. Foi a uma a lanchonete e tomou 2 sorvetes. Cada sorvete custou y reais. Qual a expressão algébrica que representa a quantia que restou para Mari depois que pagar os sorvetes? Como cada sorvete custou y reais, ela gastou 2y reais. Então, a expressão algébrica pedida é: x 2y.
4ª SITUAÇÃO Uma pessoa ganha R$ 30,00 por dia de trabalho. Para se efetuar o cálculo de quanto essa pessoa ganhará durante alguns dias de trabalho, é possível escrever a seguinte expressão algébrica: 30. x no qual X representa o número de dias trabalhados, que pode variar: 01 dia, 02 dias, 15 dias e etc. Resolvendo então algumas sentenças do problema acima: - Se a pessoa trabalhar 03 dias: - Se a pessoa trabalhar 15 dias: 30. 3 = R$ 90,00 30. 15 = R$ 450,00
Nas situações apresentadas, escrevemos expressões matemáticas nas quais aparecem números e letras, ou somente letras. Essas expressões matemáticas são chamadas algébricas ou literais.
Observações importantes sobre expressões algébricas 1) Nas expressões algébricas não é comum se escrever o sinal de multiplicação, observe: 3.x» se representa 3x a.b» se representa ab 5.y» se representa 5y 2.x» se representa 2x 2) É possível ter expressões algébricas com mais de uma variável ou ainda sem variável. 4xy» expressão algébrica com duas variáveis: x e y 5a²bc²» expressão algébrica com três variáveis: a, b e c 35» expressão algébrica sem variável.
TODO NÚMERO NATURAL MULTIPLICADO PELO NÚMERO 1 É IGUAL A ELE MESMO Assim, na matemática, essa propriedade pode ser escrita e representada da seguinte maneira: x. 1 = x no qual X representa um número natural qualquer podendo, portanto, a sentença assumir quaisquer valores.
AGORA É COM VOCÊS!! Uma escola tem x alunos. Qual a expressão algébrica que representa: Otriplodonúmerodealunos. O número de alunos que a escola teria se entrassem 52 alunos. O número de alunos que a escola teria se saíssem 20 alunos.
Vejamos... Respostas: 3x x + 52 x 20
VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA Na 3ª situação, onde Mari comprou 2 sorvetes, cada um custando y reais e pagou com x reais. Vimos que o que lhe restou de troco foi representado pela expressão algébrica : x 2y Agora, suponha que ela tivesse 50 reais e cada sorvete custasse 2 reais.
Neste caso, facilmente encontraríamos o que ela recebeu de troco. Expressão algébrica que representa o troco: x 2y se x = 50 reais e y = 2 reais Temos então: 50 2. 2 ou 50 4 Portanto, Mari recebeu de troco 46 reais.
O que é valor numérico Em expressões algébricas quando substituímos variáveis de uma sentença por números e efetuamos as devidas operações, o resultado encontrado é o valor numérico da expressão. O valor numérico da expressão 4x + 3, para o valor de X = 4 é: 4x + 3 = 4. x + 3 = 4.4 + 3 = 16 + 3 = 19
EXERCÍCIO: 1) Qual é o valor numérico da expressão 4x xy quando: a) x=2ey=6 b) x=12ey= 2 Observe: Vamos substituir as variáveis pelos números. a) 4.2 2.6=8 12= 4 b) 4. 12 12. ( 2) = 48 + 24 = 72
A parte numérica do termo de uma expressão algébrica é denominada coeficiente e a outra parte da sentença formada por letras é chamada de parte literal. Vamos destacar nas sentenças abaixo a parte literal e o coeficiente dos termos: 6x Coeficiente: 6 Parte Literal: x - 10y Coeficiente: - 10 Parte Literal: y 4x²y² Coeficiente: 4 Parte Literal: x²y²
-bc Coeficiente: Parte Literal: - 1 (bc é igual 1bc) bc -15 Coeficiente: -15 Parte Literal: Não existe Dois ou mais termos que possuem a mesma parte literal e também coeficientes diferentes são denominados de termos semelhantes. 5x e 4x 6ab e -7ab
Classificação das expressões algébricas IRRACIONAIS RACIONAIS
Expressões algébricas irracionais são aquelas que apresentam variáveis sob radicais. Exemplos:
Expressões algébricas racionais são aquelas que não apresentam variáveis sujeitas à operação radiciação. INTEIRAS FRACIONÁRIAS Exemplos: 2x + 3 4y
CLASSIFICAÇÃO DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Monômio: possui apenas um termo; 4x X² 5 ab
CLASSIFICAÇÃO DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Binômio: possui dois termos, ou é formado por dois monômios; 2x+2y 2x 6 a + b
CLASSIFICAÇÃO DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Trinômio: possui três termos, ou é formado por três monômios; X²+3xy+3 2ab b+c 5x²y+10x y²
CLASSIFICAÇÃO DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Polinômio: é constituída pela soma algébrica de um número qualquer de monômio; Ou seja, expressões de dois termos e de três termos também podem ser chamados de polinômios;
2x+2y; é um binômio ou polinômio; 2ab b+c; é um trinômio ou polinômio; 4x³+2x² 5x+1; é um polinômio.
MONÔMIOS OU TERMOS ALGÉBRICOS Considere a situação: Calcular a área de um terreno retangular, cujas dimensões estão indicadas na figura. 2y Aárea:2y. x ou simplesmente 2yx O termo acima que representa a área do terreno é denominado de MONÔMIO. x
Definição: Monômioétodaexpressãoalgébricaracionalinteira que indica uma multiplicação entre números e variáveis ou apenas entre variáveis. Exemplos: 5x 2 y 2a 3 b 2
Em geral, um monômio é formado por uma parte numérica, que chamamos de coeficiente, e de uma parte literal. Por exemplo: 10xy, temos que 10 é o coeficiente e xy é a parte literal. 23abc, temosque 23éocoeficienteeabcéaparte literal.
Monômios semelhantes Definição: São aqueles que possuem a mesma parte literal. Exemplos: 2xy 8xy 49xy 12yx
OPERAÇÕES COM MONÔMIOS Adição e Subtração: Considere uma figura de forma retangular, cuja a medida do comprimento é o triplo da medida da largura. a) Escreva a expressão algébrica que representa o perímetro desse retângulo.
Temos que: largura = x comprimento = 3x O perímetro desse retângulo será: 3x + 3x + x + x = 8x Nesta questão, resolvemos uma adição de monômios
b) Escreva agora, a expressão algébrica que representa a diferença entre a medida do comprimento e a medida da altura. Temos que: comprimento = 3x altura = x Portanto, a diferença será: 3x x = 2x Neste caso, teremos uma subtração de monômios.
ATENÇÃO! A adição e subtração de monômios só pode ser feita quando os termos envolvidos são semelhantes. Nesse caso, adicionamos ou subtraímos os coeficientes e conservamos a parte literal.
EXERCÍCIO 1) Efetue as seguintes adições e subtrações de monômios. 3x + 6x = 4y 2y = 1,2xy + 3xy 0,2xy =
Polinômio reduzido Um polinômio que possui termos semelhantes pode ser escrito numa forma mais simples chamada FORMA REDUZIDA. Para isso, basta efetuarmos a adição e subtração dos coeficientes dos monômios semelhantes, conservando a parte literal desses monômios. Exemplo: 3x + 6x + 5y 3y = 9x + 2y
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE MONÔMIOS Considere que as dimensões de um retângulo sejam 3x e 2x, conforme a figura abaixo: 3x 2x Para calcularmos a área devemos multiplicar essas dimensões, então teremos: 3x. 2x = (3. 2).(x. x) = 6 x 2
OBSERVAÇÃO: Se a parte literal for a mesma, usamos a propriedade de potência. Lembrar... Potências de mesma base; conserva se a base e soma se os expoentes. a m. a n = a m+ n Se a parte literal for diferente, basta deixá la indicada no produto.
Devemos observar que quando multiplicamos monômios, multiplicamos os coeficientes e a parte literal. Exemplos: 2x.2x = (2.2). (x.x) = 4x² (3a 2 b). (5ab 3 ) = (3.5). (a 2.a). (b.b 3 ) = 15. (a 2 +1 ). (b 1 + 3 ) = 15 a 3 b 4
Outros exemplos: 2x. 3y = 6xy 20c. 2ab = 40abc x. 6a = 6xa
A figura abaixo representa parte do piso de um quarto, cuja forma é retangular. Esse piso será coberto por lajotas de forma quadrada, conforme abaixo: 2y 12y 2 2y 20y 2 a) Determine o monômio que representa a área total do piso do quarto. b) Determine o monômio que representa a área de cada lajota. c) Determine o monômio que representa a quantidade de lajotas necessária para cobrir totalmente o piso desse quarto. d) Considerando y = 1, calcule a quantidade de lajotas necessárias para cobrir o piso dessa sala.
Resolvendo o que foi pedido, temos: a)20y 2. 12y 2 = (20.12). (y 2.y 2 ) = 240y 4 b) 2y. 2y = (2.2). (y.y) = 4y 2 c) 240y 4 :4y 2 = (240:4). (y 4 :y 2 ) = 60y 2 d) 60y 2 = 60. 1 = 60 lajotas Nesse caso, efetuamos uma divisão entre monômios. Devemos observar que quando dividimos monômios, dividimos os coeficientes e a parte literal.
OBSERVAÇÃO: Se a parte literal for a mesma, usamos a propriedade de potência. Lembrar... Divisão de potências de mesma base, conserva se a base e subtraí se os expoentes. a m : a n = a m n Se a parte literal for diferente, basta deixá la indicada no quociente.
Exemplos: 6x 3 : 3x = 6. x 3 = 2x 2 3 x 10x 2 y 4 : 2xy 2 = 10 x 2 y 4 = 5xy 2 2x y 2