Tabela de um Enunciado Simbolizado

Lógica para Ciência da Computação I Lógica Matemática Texto 5 Tabela de um Enunciado Simbolizado Sumário 1 Tabelas dos conectivos 2 1.1 Observações................................ 5 1.2 Exercício resolvido............................ 8 2 Avaliação de enunciados atômicos 9 2.1 Observações................................ 9 2.2 Exercício resolvido............................ 10 3 Tabela de um enunciado 11 3.1 Observações................................ 15 3.2 Exercícios resolvidos........................... 15 Neste texto, abordamos os conceitos de tabela (de avaliação) de um conectivo, interpretação de um enunciado simbolizado e tabela (de avaliação) de um enunciado simbolizado. Depois de estudá-lo, vamos ser capazes de: descrever as tabelas dos conectivos; construir a tabela de um enunciado simbolizado. 1

1 Tabelas dos conectivos O estudo da avaliação de enunciados consiste em, dado um enunciado (proferido em um certo contexto) determinar se ele é verdadeiro ou falso (naquele contexto). Os adjetivos verdadeiro, falso são chamados de valores, quando são usadas na avaliação de enunciados da maneira que será agora especificada. Inicialmente, vamos avaliar os enunciados de acordo com a maneira como eles são formados pela aplicação de conectivos a enunciados atômicos. Posteriormente, vamos avaliar enunciados formados de maneira mais complexa. Sempre que for conveniente, vamos simbolizar os valores de acordo com a tabela abaixo: valor símbolo verdadeiro V falso F Como no caso dos conectivos, esta convenção tem como objetivos (1) simplificar a avaliação de enunciados e (2) alertar que na Linguagem Matemática os valores são usados de uma maneira peculiar. Quanto à avaliação de enunciados formados por seu intermédio, em Matemática, os conectivos são usados de acordo com as seguintes ideias: Semântica dos conectivos Em matemática, quando negamos um enunciado, simplesmente, trocamos o seu valor. Tabela de avaliação do não: A negação ϕ é V quando ϕ é F ; a negação ϕ é F quando ϕ é V. Isto pode ser resumido na seguinte tabela: ϕ ϕ V F F V Em matemática, quando afirmamos uma conjunção, simplesmente, afirmamos ambos os enunciados. 2

Tabela de avaliação do e: A conjunção ϕ ψ é V quando ϕ e ψ são ambos V ; a conjunção ϕ ψ é F quando ao menos um dentre ϕ e ψ é F. Isto pode ser resumido na seguinte tabela: ϕ ψ ϕ ψ V V V V F F F V F F F F Em matemática, quando afirmamos uma disjunção, simplesmente, apresentamos duas alternativas que não se excluem necessariamente. Tabela de avaliação do ou: Assim, a disjunção ϕ ψ é V quando ao menos um dentre ϕ e ψ é V ; a disjunção ϕ ψ é F quando ϕ e ψ são ambos F. Isto pode ser resumido na seguinte tabela: ϕ ψ ϕ ψ V V V V F V F V V F F F É natural considerarmos que enunciados verdadeiros têm mais valor do que enunciados falsos. Ou seja, é do senso comum considerar que F < V. Além disso, quando afirmamos uma implicação ϕ ψ, é natural considerarmos que o valor de ϕ garante (sustenta) o valor de ψ. Ora, se consideramos F < V, não podemos considerar como V uma implicação cujo antecedente é V e cujo consequente é F pois, neste caso, estamos passando de um valor maior para um valor menor. Baseados nestas ideias, podemos dizer que, em Matemática, quando afirmamos uma implicação, simplesmente, afirmamos que a verdade não diminui, quando passamos do entecendente para o consequente, ou seja, uma implicação é V se, e somente se, nela, a verdade não passa de V para F. 3

Tabela de avaliação do se...então: A implicação ϕ ψ é F quando ϕ é V e ψ é F ; a implicação ϕ ψ é V em todos os outros casos. Isto pode ser resumido na seguinte tabela: ϕ ψ ϕ ψ V V V V F F F V V F F V Em matemática, quando afirmamos uma bi-implicação, simplesmente, afirmamos que os enunciados componentes têm os mesmos valores. Tabela de avaliação do se, e somente se: A bi-implicação ϕ ψ é V quando ϕ e ψ têm o mesmo valor; a bi-implicação ϕ ψ é falsa quando ϕ e ψ têm valores distintos; Isto pode ser resumido na seguinte tabela: ϕ ψ ϕ ψ V V V V F F F V F F F V Exemplo 1 Considere os enunciados o dia tem 24 horas, 16 é igual a 4 que são V, V e F, respectivamente. (a) Temos que as negações Mário de Andrade escreveu Sagarana o dia não tem 24 horas, 16 não é igual a 4 Mário de Andrade não escreveu Sagarana são F, F e V, respectivamente. (b) Assim, as conjunções o dia tem 24 horas e 16 é igual a 4 4

o dia não tem 24 horas e Mário de Andrade escreveu Sagarana são V e F, respectivamente. (c) Já as disjunções o dia não tem 24 horas ou 16 não é igual a 4 o dia não tem 24 horas ou Mário de Andrade não escreveu Sagarana são F e V, respectivamente. (d) Agora, as implicações se o dia não tem 24 horas e Mário de Andrade escreveu Sagarana, então o dia não tem 24 horas se o dia tem 24 horas, então: o dia não tem 24 horas ou 16 não é igual a 4 são V e F, respectivamente (usualmente, empregamos os sinais de pontação principalmente, ponto e vírgula e dois pontos na tentativa de deixar a estrutura do enunciado mais clara). (e) E, finalmente, as bi-implicações 16 não é 4 se, e somente se, o dia tem 24 horas o dia tem 24 horas se, e somente se, Mário de Andrade não escreveu Sagarana são F e V, respectivamente. 1.1 Observações Observação 1 Tabelas de avaliação também são chamadas de tabelas de valores ou tabelas-de-verdade ou, ainda, simplesmente, tabelas-verdade. Elas emprestam aos conectivos, quando usados na Linguagem Matemática, significados diferentes daqueles que eles possuem quando usados na Língua Portuguesa. O estudo das distinções entre as maneiras como os conectivos são usados na Linguagem Matemática e as maneiras como eles são usados na Lingua Portuguesa é uma matéria complicada demais para ser tratada aqui. Mas, só para ilustrar esta situação, vamos ver alguns exemplos. Usos do não Na Linguagem matemática, como mostra a tabela do não, o conectivo não é sempre usado para negar um enunciado. 5

Na Língua Portuguesa, por outro lado, existem frases que possuem ocorrência explícita do conectivo não mas que não são usadas como negações. De fato, considere a frase Ela não é a negação de Na verdade, ela quer dizer algo como Usos do e em que nível de moral uma pessoa não desce em que nível de moral uma pessoa desce uma pessoa pode descer até um nível de moral muito baixo. Na Linguagem Matemática, como mostra a tabela do e, para uma conjunção ser V, basta que ambos os enunciados usados na sua formação sejam V. Na Língua Portuguesa, por outro lado, existem frases formadas por aplicação do e cujo valor não pode ser determinado apenas a partir do valor dos enunciados usados na sua formação. De fato, considere os enunciados atômicos Tarzan tirou a roupa, Tarzan caiu no rio os quais admitimos serem ambos V. Considere agora as frases e obtidas por aplicações do Tarzan tirou a roupa e Tarzan caiu no rio Tarzan caiu no rio e Tarzan tirou a roupa e aos enunciados atômicos dados. Quanto ao valor destas frases, temos que uma das duas deve ser V, pois admitimos que ambas as componentes são V, mas não sabemos dizer qual das duas é V, pois não sabemos em que ordem os fatos registrados nos enunciados atômicos ocorreram. Usos do ou Na Língua Portuguesa, quando dizemos o céu vai ficar nublado ou vai chover 6

não excluímos completamente a possibilidade de ambas as coisas acontecerem ao mesmo tempo. Este é o uso do ou no sentido não-exclusivo, ou ainda, no sentido inclusivo. Mas, em português, existe uma outra maneira, talvez ainda mais frequente, de se usar o ou. De fato, usualmente, quando dizemos Marcelo vai de carro ou Marcelo vai de ônibus estamos querendo dizer que uma das duas coisas vai acontecer, e estamos excluindo os casos em que elas acontecem ao mesmo tempo. Este é o uso do no sentido exclusivo. Embora na Língua Portuguesa o uso do ou ou no sentido exclusivo seja mais frequente, na Linguagem Matemática, como mostra a tabela do ou, o ou é sempre usado no sentido inclusivo. Usos do se...então Considere os enunciados Paulo fica doente, o médico receita o remédio para Paulo que consideramos como V. Considere, agora a frase se Paulo fica doente, então o médico receita o remédio para Paulo Se a frase acima é V, o médico apenas cumpre sua obrigação. Agora, considere a frase se o médico receita o remédio para Paulo, então Paulo fica doente Se a frase acima é V, duas coisas podem acontecer: (i) Se Paulo fica doente porque toma o remédio, o médico é negligente. (ii) Se Paulo fica doente por qualquer outro motivo, mas não porque toma o remédio, o médico não pode ser acusado de negligência. Na Língua Portuguesa, usualmente, o valor de uma implicação depende da existência de alguma relação de causa e efeito entre o antecedente e o consequente. Assim, usualmente, não diríamos que um enunciado como se 2 = 5, então Paris é a capital da França é V, como a tabela do se...então nos obriga a fazer. 7

Usos do se, e somente se Na Linguagem Matemática, como mostra a tabela do se, e somente se, para uma bi-implicação ser V, basta que ambos os enunciados usados na sua formação tenham o mesmo valor. Na Língua Portuguesa, além disso, eles devem também ter o mesmo significado. Por exemplo, na Linguagem Matemática um enunciado como 2 é par se, e somente se, Paris é a capital da França é classificado como V. Já na Língua Portuguesa, nem faz muito sentido considerar este enunciado, pois não parece haver nenhuma relação entre o significado das suas componentes. Observação 2 Para avaliar um enunciado molecular, é suficiente ter os valores dos seus componentes e uma descrição da maneira como ele é formado, por meio dos conectivos lógicos, a partir destes componentes. Ou seja, se temos os valores dos componentes, então podemos determinar de maneira direta o valor do enunciado molecular. Observação 3 Reciprocamente, para avaliar um enunciado molecular, é necessário ter os valores dos seus componentes e uma descrição da maneira como ele é formado, por meio dos conectivos lógicos, a partir destes componentes. Ou seja, se não temos os valores dos componentes, então não podemos determinar de maneira direta o valor do enunciado molecular. 1.2 Exercício resolvido Exercício 1 Classifique cada enunciado abaixo como V ou F. Observe que temos que utilizar conhecimentos matemáticos básicos para avaliar os componentes dos enunciados moleculares. Observe também o uso de vírgulas e parênteses para demarcar a maneira como os enunciados são formados. (i) 2 > 0 e 2 > 1, ou 2 > 3 (ii) 2 < 1 e (( 2) 2 2 2 ) (iii) (10 é par) ou (10 é racional) (iv) 4 < 3 ou, se 2 é par, então 4 < 3 (v) 16 = 6 se, somente se, 121 = 11 Antes de ler a resolução, tente resolver o exercício usando os conceitos estudados. Resolução do Exercício 1: (i) Temos que 2 > 0, 2 > 1 são V, V. Assim, 2 > 0 e 2 > 1 é V. Logo, 2 > 0 e 2 > 1, ou 2 > 3 é V. (ii) Temos que ( 2) 2 2 2 é V. Assim, (( 2) 2 2 2 ) é F. Logo, 2 < 1 e (( 2) 2 2 2 ) é F. (iii) Temos que 10 é par, 10 é racional são V, V. Assim, (10 é par), (10 é racional) são F, F. 8

Logo, (10 é par) ou (10 é racional) é F. (iv) Temos que 2 é par, 4 < 3 são V, V. Assim, se 2 é par, então 4 < 3 é V. Logo, 4 < 3 ou, se 2 é par, então 4 < 3 é V. (v) Temos que 16 = 6, 121 = 11 são F, V. Assim, 16 = 6 se, somente se, 121 = 11 é F. 2 Avaliação de enunciados atômicos Para avaliar um enunciado molecular, é necessário e suficiente que tenhamos os valores dos enunciados atômicos componentes. Como vimos, os enunciados atômicos são da forma ou da forma E é P, ou seja, uma expressão e uma propriedade E 1, E 2,..., E n são R, ou seja, mais de uma expressão e uma relação. Assim, temos: No primeiro caso, quando o objeto denotado por E possui a propriedade expressa por P, o enunciado é V. Caso contrário, isto é, quando o objeto denotado por E não possui a propriedade expressa por P, o enunciado é F. No segundo caso, quando os objetos denotados por E 1, E 2,..., E n estão relacionados pela relação expressa por R, o enunciado é V. Caso contrário, isto é, quando os objetos denotados por E 1, E 2,..., E n não estão relacionados pela relação expressa por R, o enunciado é F. Exemplo 2 Os enunciados atômicos 1 é positivo, 2.012 é ímpar, 2 < 3, 0 = 1 são V, F, V, F, respectivamente. 2.1 Observações Observação 4 A avaliação de um enunciado atômico pode ser uma tarefa bastante trivial ou uma tarefa extremamente difícil. Tudo depende do nosso conhecimento sobre os objetos, propriedades ou relações aos quais o enunciado se refere. Por exemplo, qualquer pessoa que já tenha cursado o Ensino Básico sabe que o enunciado 2 22 é par é V. Por outro lado, uma pessoa que só tem esse nível de conhecimento dificilmente saberá avaliar corretamente o enunciado como V. π é transcendente 9

Observação 5 Um mesmo enunciado atômico pode ser avaliado como V em um dado contexto e como F em outro. Por exemplo, o enunciado D. Pedro II é imperador do Brasil é avaliado como F antes de 1840; como V de 1840 até 1889; e como F novamente a partir de 1890. Observação 6 Vamos sempre considerar que: Um dado enunciado atômico é verdadeiro em certos contextos e é falso em outros. Mesmo que saibamos que ele é verdadeiro e não conheçamos os contextos nos quais ele é falso ou, alternativamente, saibamos que ele é falso e não conheçamos os contextos nos quais ele é verdadeiro. Este é um procedimento usual nos estudos de Linguagem e Lógica Matemáticas; embora pareça estranho no caso de enunciados de conteúdo matemático aparentemente simples, como 2+3+5 é um número negativo e O triângulo de lados 3, 4 e 5 é retângulo De fato, proferidos em seus contextos usuais, estes enunciados são F e V, respectivamente. Além disso, não parece muito fácil determinar contextos nos quais eles são V e F, respectivamente. Mas, de acordo com o que foi dito acima, vamos considerar que estes contextos existem. 2.2 Exercício resolvido Exercício 2 Classifique cada enunciado abaixo como V ou F. (i) 12 é um número primo (ii) Anderson Silva é recordista no número de nocautes no UFC (iii) 2 10 < 10 2 (iv) Paul Erdös [ foi um ] grande matemático 1 0 (v) a matriz é invertível 0 1 Antes de ler a resolução, tente resolver o exercício usando os conceitos estudados. 10

Resolução do Exercício 2: Vamos ter que usar conhecimentos básicos, gerais e de Matemática, para avaliar os enunciados. (i) F. Um número natural n, não nulo e diferente de 1, é primo se, e somente se, ele tem exatamente dois divisores (positivos): 1 e n. Como 1 2 12 e 2 é divisor (positivo) de 12, temos que 12 não é primo. (ii) V. Esta informação pode ser encontrada em http://pt.wikipedia.org/wiki/anderson Silva. Consultada em 09/01/2013. (iii) F. Sabemos que 2 10 = 1.024 e que 10 2 = 100, e que 100 < 1.024. (iv) V. Esta informação pode ser encontrada em http://pt.wikipedia.org/wiki/paul Erdös. Consultada em 09/01/2013. (v) V. Uma matriz quadrada[ é invertível ] se, e somente, se seu determinante é diferente de zero. Como det = 1 0, a 1 0 0 1 matriz é invertível. Resolvendo este exercício, estamos convencidos de que avaliar um enunciado atômico realmente depende do conhecimento que possuímos sobre o fato que ele expressa. 3 Tabela de um enunciado Dado um enunciado ϕ, formado por aplicações dos conectivos a enunciados atômicos, duas situações podem acontecer: 1. sabemos os valores dos componentes e podemos, a partir daí, por meio das tabelas dos conectivos, determinar de maneira direta o valor de ϕ; 2. não sabemos os valores dos componentes e, para determinar o valor de ϕ, devemos primeiro pesquisar estes valores, de maneira a poder aplicar as tabelas dos conectivos. Como vimos, a determinação do valor de enunciados atômicos pode depender estritamente dos nossos conhecimentos gerais e, portanto, não é uma tarefa da Lógica. Por outro lado, dada uma atribuição qualquer de valores a enunciados atômicos, não importando qual seja, podemos determinar de maneira direta o valor de qualquer enunciado construído a partir deles por aplicações sucessivas dos conectivos. Assim, um passo natural na análise lógica de um enunciado é associar a ele uma tabela que lista todas as possíveis atribuições de valores aos seus componentes e lista também os valores que o enunciado pode assumir, em cada caso. Vamos apresentar agora, algumas definições que nos permitem descrever este processo de maneira precisa. 11

Interpretações Uma interpretação para um enunciado simbolizado ϕ é uma atribuição de valores, V ou F, a todas as variáveis que ocorrem em ϕ, de modo que a cada variável seja atribuído um único valor. Exemplo 3 (a) O enunciado simbolizado é uma variável e, portanto, possui apenas duas interpretações, dadas na tabela: p p V F Cada interpretação corresponde a uma das linhas da tabela, a partir da segunda linha. (b) O enunciado simbolizado p p possui ocorrências de apenas uma variável, p. Por isso, ele também possui apenas duas interpretações, dadas na tabela: p V F (c) O enunciado simbolizado (p q) p possui ocorrências de duas variáveis, p e q. Portanto, ele possui as quatro interpretações, dadas na tabela: p q V V V F F V F F (d) O enunciado simbolizado (((p q) (q r)) (p r)) 12

Portanto, ele possui as oito inter- possui ocorrências de três variáveis, p, q e r. pretações, dadas na tabela: p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F Tabela de um enunciado A cada enunciado simbolizado ϕ corresponde uma tabela de avaliação, que descreve o comportamento de valores de ϕ, isto é, que descreve que valores ϕ assume em cada uma das suas interpretações. Seja ϕ um enunciado simbolizado no qual ocorrem (exatamente) as variáveis p 1,..., p m. Por exemplo, para ilustrar as explicações, vamos considerar o enunciado simbolizado (p q) (( p) ( q)) (1) no qual ocorrem exatamente as variáveis p e q. A tabela de ϕ é construída mediante a execução dos seguintes passos: 1. Em uma linha de referência, escrevemos as variáveis p 1,..., p m. Por exemplo, o primeiro passo para construir a tabela de (1) é escrever p q 2. Abaixo da linha de referência, escrevemos todas as interpretações para ϕ. Por exemplo, o segundo passo para construir a tabela de (1) é escrever p V V F F q V F V F 3. Utilizando as tabelas dos conectivos, calculamos gradativamente todos os valores de cada enunciado simbolizado utilizado na formação de ϕ, até obter o valor de ϕ. Este terceiro passo é o mais complexo. Em primeiro lugar, observe que os enunciados simbolizados utilizados na formação de (1) são: p q, p, q, p q 13

Agora, aplicando sucessivamente as tabelas dos conectivos a p q, p, q, e p q, obtemos a seguinte sequência de tabelas que ilustram a construção da tabela de avaliação de (1): (i) De acordo com a tabela do, para p q, temos a tabela parcial: p q p q V V V V F F F V F F F F (ii) De acordo com a tabela do, para p, temos a tabela parcial: p q p q p V V V F V F F F F V F V F F F V (iii) Analogamente, de acordo com a tabela do, para q, temos a tabela parcial: p q p q p q V V V F F V F F F V F V F V F F F F V V (iv) De acordo com a tabela do, para p q, temos a tabela parcial: p q p q p q ( p) ( q) V V V F F V V F F F V V F V F V F F F F F V V V (v) Finalmente, de acordo com a tabela do, temos a tabela de (p q) (( p) ( q)): p q p q p q ( p) ( q) (p q) (( p) ( q)) V V V F F V V V F F F V V V F V F V F F V F F F V V V V 4. Ao final do processo, a tabela formada é a tabela de avaliação de ϕ. 14

3.1 Observações Observação 7 Cada interpretação de um enunciado simbolizado ϕ corresponde a um contexto no qual os enunciados atômicos (simbolizados pelas variáveis) que ocorrem em ϕ são avaliados. Observação 8 Como o valor do enunciado pode ser determinado diretamente a partir dos valores dos enunciados atômicos que o compõem, quando listamos todas as interpretações, estamos listando todos os contextos relevantes para a avaliação do enunciado. 3.2 Exercícios resolvidos Exercício 3 Determine o valor de cada enunciado abaixo: (i) (8 + 2 = 11) (2 3 > 3 2 ) (ii) (2 22 é par) (2 22 > 2) (iii) (8 3 = 4) ( 2 é algébrico) (iv) (0 = 1) ( 2 é racional) Exercício 4 Determine o valor de cada enunciado simbolizado abaixo, de acordo com as informações dadas: (i) p é F e p q é V (ii) p é V e p q é V (iii) q é F e p q é V (iv) p é F e p q é F Exercício 5 Sabendo que p q é V e p r é F, determine o valor de cada enunciado simbolizado: (i) [ (p q)] ( p q) (ii) [(p q) (q r)] r (iii) { [( q) r]} p (iv) { [p q]} [ p q] Exercício 6 Determine, se possível, uma interpretação para as variáveis p, q, r, s, na qual p (r s) seja F e (q s) p seja V. Exercício 7 Construa a tabela de cada enunciado abaixo: (i) (ii) (iii) (iv) p (p p) (p q) ( p q) [(p q) (p r)] [( p q) ( p r)] [p (q r)] [ p ( q r)] Exercício 8 Considere que cada tabela abaixo é a tabela de um enunciado simbolizado, cujas colunas intermediárias foram apagadas. Para cada tabela, determine um enunciado ϕ que possui exatamente a tabela dada: (i) p q... ϕ V V... F V F... V F V... V F F... V (ii) p q... ϕ V V... V V F... V F V... F F F... V 15

(iii) p q r... ϕ V V V... F V V F... F V F V... F V F F... F F V V... F F V F... F F F V... F F F F... V (iv) p q r... ϕ V V V... V V V F... V V F V... F V F F... V F V V... V F V F... F F F V... V F F F... V Antes de ler as resoluções, tente resolver os exercícios usando os conceitos estudados. Resolução do Exercício 3: (i) Como 2 3 > 3 2 é F, o enunicado é F. (ii) Como 2 22 é par é V, o enunciado é V. (iii) Como 8 3 = 4 é F, o enunciado é V. (iv) Como ambos os componentes são F, o enunciado é V. Resolução do Exercício 4: (i) Como p q é V, temos: p é V ou q é V. Como p é F, só resta a segunda alternativa. Daí, q é V. (ii) Temos: p é V. Além disso, como p q é V, a verdade não diminui, quando passamos de p para q. Assim, q é V. (iii) Temos que ter p é F pois, caso contrário, teríamos: p é V e q é F. Mas isto nos levaria a p q é F, contradizendo a hipótese que p q é V. (iv) Temos: p é F. Além disso, como p q é F, p e q têm valores diferentes. Assim, q é V. Resolução do Exercício 5: Como p q é V, temos: p é V e q é V. Como p é V e p r é F, temos: r é F. (i) Como p é V, temos: p é F ; assim, p q é F ; logo, [ (p q)] ( p q) é F. (ii) Como p é V, temos: p q é V ; como q é V, temos: q r é V ; assim, (p q) (q r) é V ; logo, [(p q) (q r)] r é V. (iii) Como p é V, temos: p é F ; assim, p é V ; logo, { [( q) r]} p é V. (iv) Como q é V, temos: q é F ; como p é V, daí, temos: p q é F ; assim, (p q) é V ; assim, (p q) é F ; assim, (p q) é V ; agora, como p é V, temos: p é F ; assim, p q é V ; logo, { [p q]} [ p q] é V. Resolução do Exercício 6: Para que p (r s) seja F, devemos ter p como V e r s como F. Como r s é F, devemos ter r e s como F. Agora, como p é V, para que (q s) p seja V, devemos ter q s como V. Mas, dado que s é F, temos que s é V. Assim, a única possibilidade é que q seja V. Logo, a interpretação procurada é p, q, r, s são V, V, F, F. Resolução do Exercício 7: (i) A tabela de ϕ : p (p p) é: p p p p ϕ V F F V F V V V 16

(ii) A tabela de ψ : (p q) ( p q) é: p q p q p q p q ψ V V F F V V V V F F V F V V F V V F V F F F F V V V V V (iii) A tabela de θ : [(p q) (p r)] [( p q) ( p r)] é dada abaixo, onde θ 1 : (p q) (p r), θ 2 : ( p q) ( p r) e θ : θ 1 θ 2. p q r p q r p q p r θ 1 p q p r θ 2 θ V V V F F F V V V V V V V V V F F F V V F V V F F F V F V F V F F V V F V V V V F F F V V F F F F F V V F V V V F F F F F F F V V F V F V F V F V V F V V V F F V V V F V F V V F F F F F F V V V V V V V V V V (iv) A tabela de δ : [p (q r)] [ p ( q r)] é dada abaixo, onde θ 1 : (p q) (p r), θ 2 : ( p q) ( p r) e θ : θ 1 θ 2. p q r p q r q r p (q r) q r p ( q r) δ V V V F F F V V V F F V V F F F V F F F V F V F V F V F F F F V F V F F F V V V V V F F F V V V F F V F V V F F V F V F V F V F F F F F V V V F F V F F F F F F V V V V F V V F Resolução do Exercício 8: (i) Observe que a tabela é obtida trocando-se os valores da tabela de avaliação do e. Assim, um enunciado simbolizado que possui esta tabela é (p q) (Verifique esta afirmação!). (ii) Observe que a tabela expressa que o valor não pode descrescer de q para p. Assim, um enunciado simbolizado que possui esta tabela é q p. (Verifique esta afirmação!). (iii) Observe que a tabela só apresenta V na interpretação p, q, r : F, F, F. Assim, um enunciado simbolizado que possui esta tabela é p ( q r). (Verifique esta afirmação!). (iv) Observe que a tabela apresenta V nas interpretações em que p e q possuem os mesmos valores ou nas interpretações em que q e r possuem os mesmos valores. Assim, um enunciado simbolizado que possui esta tabela é (p q) (q r). (Verifique esta afirmação!) c 2014 Márcia Cerioli, Renata de Freitas e Petrucio Viana IM-UFRJ, IME-UFF 17