- Os números naturais e suas operações: O conjunto dos números naturais é: N = {0;1;2;3;4;5;...}. Esse é o conjunto/grupo de números que mais utilizamos no dia-a-dia. Ele nos dá ideia de quantidade, ter ou não ter algo, quanto se tem disso ou daquilo. Com estes números podemos fazer 4 operações básicas: Soma dos números: 1 + 2 = 3, que nos diz, simplesmente, que se temos 1 coisa e alguém nos presenteia com 2 coisas, teremos, no final das contas, 3 coisas. Subtração: 4 2 = 2, essa operação nos leva a pensar em situações de perder ou pagar ou devolver coisas. Se você tinha 4 coisas e alguém ganhou ou recebeu 2 coisas de você, no final do dia você terá 2 coisas com você. Multiplicação: 2 x 3 = 6 repetem. 2 + 2 + 2 = 6, na prática, utilizamos a multiplicação para facilitar somas que se Divisão: 4 2 = 2 4 = 2 x 2 = 2 + 2, quando seu pai ou responsável ou você mesmo compra uma pizza e vocês vão comer com alguém, o que vocês fazem? - Procedimentos de conta: Adição para números pequenos é intuitiva: 1 + 1 = 2 3 + 2 = 5 15 + 2 = 17 20 + 12 = 32 52 + 101 = 153. Mas e com números grandes, como 1404 + 15072? Fazemos assim: - número com mais casa em cima; - soma de cima para baixo, da direita para esquerda, se sobrar vai para cima; 1 5 0 7 2 + 1 4 0 4 1 6 4 7 6 O mesmo vale para a subtração. 1 1 1 1 5 9 8 7 + 4 9 7 2 2 0 9 5 9 PENSE COMIGO! Suponha dois números naturais quaisquer, chamados de a e b. Se somarmos a e b, obtemos um único número natural c. Essa é a definição de adição para números naturais. Em uma linguagem mais compacta e precisa, temos que: (lê-se: para todo ( ) a e b pertencentes aos naturais, a soma de a mais b será igual a c, onde c pertence ao conjunto dos números naturais). Outras propriedades são: - Comutativa: a + b = b + a = c; (lê-se: para todo a, b e c pertencentes aos naturais). - Elemento neutro: a + 0 = a 0 + a = a - Associativa: (a + b) + c = a + (b + c). a + a = 2a então: N x a = a + a + a = 3a PERGUNTA ESPERTA: ISSO TUDO VALE PARA A SUBTRAÇÃO?
PENSE COMIGO! Vamos fazer o mesmo raciocínio agora para a subtração: (lê-se: a menos b é igual a c, para todo a, b e c pertencentes ao conjunto dos números naturais.) Isso é verdade? Faça algumas contas para descobrir e lembre-se do conjunto dos números naturais ou da reta dos números naturais: N = {0;1;2;3;4;5;...} A resposta é não! Se você disse não antes de ver a resposta, somente três coisas devem ter ocorrido: 1. Você ficou com medo e chutou a resposta não ; 2. Você sabe, bem lá no fundo, que não é a resposta, mas não sabe o porquê. Você tem uma intuição! 3. Você pensou em um exemplo óbvio: Se você tem quatro reais, mas deve cinco para o seu amigo, você, na verdade, ainda deve um real, ou seja: 4 5 = -1 resultando o quanto você ainda tem que pagar. É o quanto você tem que pagar. É o quanto você tem. VEJA SÓ! O resultado, -1, não está no conjunto dos números naturais, basta verificar lá em cima. A operação de subtração, que nada mais expressa do que situações cotidianas em que perdemos ou pagamos ou devolvemos alguma coisa, nos leva a outro conjunto de números que englobam números positivos E negativos. Chamando este grupo de conjunto dos números inteiros: Z = {...; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5;...} => Perceba que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos Conjunto N. números inteiros. Dizemos que N é um Como fazemos subtração? Quando números pequenos, fazemos: 4 3 = 1; 7 5 = 2; 1 2 = -1; 17 12 = 5; 20 10 = 10 SUBCONJUNTO de Z (conjunto dos inteiros). Quando números grandes, fazemos: 1 3 16 1 7 4 1 3 7 8 5 9 5 8 Observe que quando o número que está em cima é subtraído por um número embaixo maior que ele (3 5, por exemplo), é preciso emprestar do vizinho do número de cima uma unidade, fazendo com que este número fique com uma unidade a menos. Este novo conjunto nos permite definir a operação de subtração bem como suas propriedades: - Definição: a b = c; a, b e c є Z (onde c é único). - Propriedades da subtração: I) Elemento neutro ou nulo: a 0 = a ; 0 a = - a; II) NÃO É COMUTATIVA: a b b a (lê-se a menos b é diferente de b menos a); III) NÃO É ASSOCIATIVA: (a b) c a (b c); IV) a a = 0; V) a b = c
Estas propriedades de adição e subtração nos levam a algumas regras (intuitivas) sobre os sinais destas operações: A b c + se a > b se b > a + se b > a se a > b Em geral, nos problemas que iremos resolver, teremos vários termos e passos para solucionarmos, para melhorar as resoluções dos exercícios, utilizaremos símbolos que nos indicam qual operação fazer primeiro. Isto ficará claro quando, lá na frente, você errar uma questão por conta de um sinal. Na Matemática, notação e organização são importantíssimas! Por isso fazemos antes as contas entre parênteses ( ), depois as entre colchetes [ ] e, por último, as entre chaves { }. TENTE ESSA: Agora vamos falar sobre a multiplicação. Como vimos antes, a multiplicação nos ajuda a fazer somas que se repetem, como: 6 + 6 + 6 = 18 = 6 x 3 ou 6. 3 = 18 (para facilitar a notação). Da mesma forma que a adição e subtração, a multiplicação tem sua definição e suas propriedades. Veremos que a multiplicação engloba os números naturais e os negativos, logo a multiplicação se aplica aos números inteiros. Assim, definimos a multiplicação como: b vezes lê-se: para todo a, b e c pertencentes aos inteiros. - Propriedades: Comutativa: Elemento neutro (1): Associativa: Distributiva: * Elemento nulo (0): *Quando usamos letras, geralmente não colocamos o ponto entre elas, ele pode ficar implícito: a(.)b + a(.)c = ab+ac. VERIFIQUE VOCÊ MESMO? Talvez você não esteja acreditando que estas propriedades são válidas para todos os números inteiros. Seja curioso: verifique e se convença! Se você verificou, deve ter usado as regras dos sinais + e - na multiplicação, certo? Aqui estão elas, para a x b = c: a B c É IMPORTANTE SABER AS REGRAS DE SINAIS!
Lembro-lhe agora que a operação de multiplicação tem preferência sobre as de adição e subtração. Com isso, fazemos antes as conta entre parênteses ( ), depois as de colchetes [ ] e, então, as entre chaves { }, calculando, dentro delas, primeiro as operações de multiplicação para depois efetuar os cálculos de adição e subtração. TENTE ESSA: Devido às propriedades da multiplicação, bem como sua utilidade em diminuir e facilitar a notação da soma, os espertos montaram uma tabela que deve ser conhecida por vocês ( pelo menos o nome é): a famosa tabuada! Assim como os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 formam todos os outros e as somas e subtrações (levando em conta os sinais), temos que a multiplicação destes números são as multiplicações básicas. Relembrando: 0) a b c 0 0 0 +0 0 1 0 0 2 0 1) a b c 1 0 0 +1 1 1 1 1 2 2 2) a b c 2 0 0 +2 2 1 2 2 2 4 3) a b c 3 0 0 +3 3 1 3 3 2 6 4) a b c 4 0 0 +4 4 1 4 4 2 8 5) a b c 5 0 0 +5 5 1 5 5 2 10 0 9 0 6) a b c 6 0 0 +6 6 1 6 6 2 12 1 9 7) a b c 7 0 0 +7 7 1 7 7 2 14 2 9 8) a b c 8 0 0 +8 8 1 8 8 2 16 3 9 9) a b c 9 0 0 +9 9 1 9 9 2 18 4 9 13) a b c 13 0 0 +13 13 1 13 13 2 26 5 9 17) a b c 17 0 0 +17 17 1 17 17 2 34 6 9 7 9 8 9 9 9 13 9 17 9 AQUI VAI UM CONSELHO: SAIBA-A DE COR E SALTEADO!!!! - O procedimento para fazer multiplicações é o mesmo que para fazer contas de adição e subtração: As menores (se você decorar a tabuada) se fazem facilmente: 4. 3 = 12; 12. 2 = 24; 14. 7 = 98; 9. 7 = 63
Agora, com números grandes: 1 4 1 X 2 2 + 1 2 8 2 1 2 8 2-3 1 0 2 1 0 1 X 1 0 2 2 0 2 0 0 0-1 0 1-1 0 3 0 2 Dica: deixe as colunas organizadas e cuide dos restos. Se você pensar sobre os números e as operações que estamos estudando, irá notar alguns papéis importantes do número zero e também deste sistema de contagem com algarismos na forma 0, 1, 2, 3, 4,..., 9. Quando estudarmos a História da Matemática, iremos ver que este sistema foi criado pelo povo indiano. Temos vários outros sistemas de contagem (maias, egípcios, etc). Além deste que utilizamos, há ainda outro usado para datas de séculos: é o sistema romano, que possui os algarismos: I, V, X, L, C, D e M. Experimente fazer as operações básicas com este sistema! Como fica a multiplicação neste sistema? Divisão: O processo de divisão é o mais complicado das operações básicas, mas não deixa de ser intuitiva. Iremos notar que, assim como na operação de subtração, teremos um grupo de números não inteiros, logo não são naturais. Estes novos números acontecem, por exemplo, quando dividimos algo por alguma coisa maior, como dividir 1 por 2. Mas antes de explorar estes novos números, vamos aprender o procedimento de conta da divisão. Temos quatro formas diferentes de expressar uma divisão: 1 % 2 ou 1 : 2 ou 1/2. De qualquer forma, nós sempre utilizamos o seguinte formato para calcular divisões: a b (lê-se: três divididos por dois) Processos de divisão: Para o caso em que a é maior que b fazemos: 1) procuramos o número multiplicado por b que nos resulta em um valor MENOR E MAIS DE PRÓXIMO OU IGUAL À a. Fazemos, então, a tabuada do b. Imagine que a = 3 e b = 2, fazemos então: 2 x 0 = 0; 2 x 1 = 2; 2 x 2 = 4; 2 x 3 = 6;... Como 2 x 2 = 4 já ultrapassou 3, temos que o número 1 que multiplicado por 2 nos dá o valor MENOR E MAIS PRÓXIMO DE 3. Assim, colocamos o valor 1 embaixo do 2 e colocamos o resultado da multiplicação 2 x 1 embaixo do 3. Veja: 3 2-2 1 Faz-se agora a subtração entre o que queremos dividir pelo resultado da multiplicação dos fatores que chegaram ao menor e mais próximo valor inteiro de 3. 3 2-2 1 1 o que sobrou chamamos de RESTO.
Além do RESTO temos ainda o DIVIDENDO, DIVISOR e QUOCIENTE: Dividendo 3 2 Divisor - 2 1 Quociente (Resultado) 1 Resto Este é o resultado, por exemplo, de um problema de dividir igualmente três balas para 2 pessoas: cada pessoa só ganhará uma bala e ainda restará uma bala. Observe que você sempre estará procurando por um número, que multiplicado pelo divisor, seja ou dividendo ou o menor e mais próximo número dele. Entendido o procedimento de conta com 1 algarismo no DIVIDENDO, vamos acrescentar mais um e verificar qual é o processo: 33 / 2 1) Temos que verificar se o primeiro número do DIVIDENDO é MAIOR do que o DIVISOR. 2) Se sim, olhamos a tabuada do DIVISOR e procuramos um número que multiplicado por 2 (neste caso) nos dá o resultado menor e mais próximo do DIVIDENDO (nesse caso, 3). Aqui, esse valor é o número 1 (2 x 1 = 2), logo, ele vai embaixo do DIVISOR. 3) Fazemos a subtração. 4) Abaixamos o próximo número à direita. 5) Olhamos na tabuada do 2 o número que multiplicado por ele nos de 13 ou o menor e mais próximo dele, colocamos esse valor embaixo do 13 e subtraímos. 6) Como não há mais número para continuar, a conta terminou e o RESTO = 1. O QUOCIENTE, resultado, é 16. Logo se quiséssemos dividir igualmente 33 balas entre duas pessoas, cada uma irá receber 16 balas e sobrará 1. MAS E SE NO SEGUNDO PASSO VERIFICARMOS QUE O PRIMEIRO NÚMERO À ESQUERDA É MENOR, O QUE FAZEMOS? Voltamos à tabuada do divisor até obtermos o menor e mais próximo ou igual inteiro do dividendo: 2 x 1 = 2 13 2 2 x 2 = 4-12 6 Resultado ou Quociente 2 x 3 = 6 1 Resto 2 x 4 = 8 2 x 5 = 10 2 x 6 = 12 2 x 7 = 14 33 2-2 16 13-12 1 Sabemos dividir números com 1 e 2 algarismos, para 3, 4 e assim por diante, o processo é o mesmo. Ex: 1428 4 O 1º algarismo do dividendo (1) é menor -12 357 do que o divisor (4), logo, juntamos os 2 022 resultado ou quociente primeiros e vamos à tabuada do 4. -20 Baixamos o próximo número do dividendo 028 e vamos à tabuada, então trazemos para -28 baixo o último algarismo do dividendo e 00 vamos aos múltiplos de 4. Resto
IMPORTANTE: quando o resto é igual a zero dizemos que o dividendo é divisível pelo divisor. No exemplo acima então, 1428 é dividido por 4. Depois quando ficamos craques em fazer conta iremos observar certos padrões de divisibilidade. Além disso, os componentes de divisão seguem uma regra muito interessante: DIVIDENDO = DIVISOR X QUOCIENTE + RESTO, então:. Se você observar com atenção irá verificar que a multiplicação é à base da divisão. Ao dividir estamos sempre procurando qual número que multiplicado pelo divisor será o denominador ou o menor e mais próximo dele. Por isso a importância da tabuada. A adição e subtração, diferentemente da multiplicação e divisão, são mais intuitivas para a gente. Mas sabendo multiplicar, você saberá dividir! Vamos exercitar! Faça de acordo com os procedimentos que desenvolvemos até aqui, e o principal: entenda-os. Verifique, também, a fórmula DE = DI X QUO + RE: a) 1723/3 b) 426/3 c) 512/6 d) 1024/8 e) 4178/123 Agora que sabemos dividir com vários algarismos no dividendo e um algarismo no divisor, vamos aumentá-lo no divisor. Ex: 142 12 Veja que o processo é o mesmo: temos que analisar se os -12 11 primeiros dois números são maiores ou menores que o 22 Resultado divisor e fazer a sua tabuada. 14 é maior que 12, logo, -12 10 vamos à tabuada do 12. Resto => Note que paramos sempre quando o resto é menor que o divisor. 112 12-108 9 4 Quando os números do dividendo são menores, vamos abaixando algarismos da direita até que ele seja maior que o divisor. E, depois, vamos à tabuada. Neste caso, queremos encontrar o número que multiplicado por 12 nos dê 112: Vamos trabalhar: a) 1024 20 c) 14716 1138 e) 1092 91 b) 512 101 d) 141 7 f) 44567 886
Questão d: 141 7 => -14 20 001 Qual número que multiplicado por 7 é menor e mais próximo ou igual à 1? Vamos à tabuada: Portanto, é o número zero 7x0 =0; 7x1=7... Agora iniciamos com algumas divisões interessantes. Note que, até agora, fizemos somente procedimentos de cálculos para divisões com DIVIDENDOS maiores do que os DIVISORES. Mas o que irá acontecer se fizemos os divisores maiores que os dividendos? A resposta é que vão surgir os números fracionários ou não inteiros ou decimais, que estarão sendo acompanhados da vírgula, como por exemplo: 0,5. O aparecimento destes números irá nos levar a criação de um novo conjunto de números: o conjunto dos números racionais, que tem esse nome derivado de razões, que nada mais são do que as famosas divisões. A sua definição será, então, que: Q = {a/b a e b є Z} (lê-se: o número a/b tal que a e b pertençam aos inteiros). Se você pensar um pouco, perceberá que todos os números inteiros são racionas. Ex: a = 4 e b = 2, que é um inteiro. Logo, assim como o conjunto dos naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros, os conjuntos dos números naturais e inteiros serão subconjuntos do conjunto dos números racionais. Entendido isso, vamos aprender a fazer contas de divisão com o dividendo menor que o divisor. - O procedimento é quase o mesmo que os anteriores, com um porém: os restos das nossas divisões TERÃO que ser zero e, para tal, fazermos mais alguns pessoas e usamos a vírgula. Ex: 10 2-10 0,5 0 Quando o dividendo é menor que o divisor, acrescentamos o zero seguido de vírgula e colocamos um zero ao denominador, isso porque o zero é o número que multiplicado pelo divisor resultará num número menor e mais próximo do divisor. Depois vamos à tabuada do divisor e verificamos se há um número que multiplicado por ele dará um valor menor e mais próximo ou igual ao denominador. Ex: 10 4 4 x 0 = 0-8 0,25 4 x 1 = 4 20 4 x 2 = 8 20 4 x 3 = 12 0 4 x 4 = 16 4 x 5 = 20 Diferentemente de antes, queremos que o resto SEJA igual à zero, logo, acrescentamos um zero no resto e vamos de novo à tabuada do divisor. Podemos utilizar destes procedimentos para calcular as divisões de antes que não tinham o resto igual à zero.
Ex: 3 2-2 1,5 10 Note que SEMPRE que acrescentamos o primeiro zero, seja no denominador ou no resto, isso irá acarretar no aparecimento da vírgula no quociente. Se precisarmos de mais um zero no resto, isto não traz nenhuma mudança. Veja: 30 4-28 0,75 20-20 0 Agora se precisarmos de mais de um zero teremos que acrescentar os zeros no quociente. Ex: 100 100 1000 1000-100 0,01-1000 0,001 000 0000 Temos alguns casos em que não conseguimos zerar o resto. Ex: = 10 3-9 0,333.. 10-9 1 Dizemos então que lá no infinito, o resto vai zerar e que indica que se entende até o infinito. Esses resultados dessas divisões são chamados de DÍZIMAS e, devido a elas se repetirem com um determinado padrão, dizemos que são dízimas periódicas. Outro exemplo é: 220 101-202 0,217821782... 0180-101 0790-707 0830-808 0220-202 0180-101 0790-707 0830-808 022 sempre se repete na dízima.... Dizemos que este valor é o período. É ele que É BOM SABER! É possível determinar a fração que dá origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima. Para as dízimas simples, como 0,333..., a geratriz será o período no numerador e tantos noves quantos forem os algarismos do período. Veja: Para 0,333... o período é 3, então temos que 0,333.. = Para 0, 777... o período é 7, então 0,777... = Para 0,2323... o período é 23, então 0,2323... = Para dízimas periódicas compostas (0,125252525...), colocamos no numerador a parte não periódica, seguida do período, menos a parte não periódica; e no denominador fazemos tantos noves quanto o período e tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Observe: 0, 125252525 A parte não periódica seguida pelo período é: 125; O período é: 25; e o não período é: 1. Assim: 0,1252525... = e 0,04747... =.
Observe: 10000 1001-9009 0,000999000999... 09910 Período: 000999. -9009 09010-9009 00010000 0 este zero não mudou nada Agora vimos todos os procedimentos para dividirmos os números inteiros. Com isso, vamos praticar: a) 1024 14 b) 171 32 c) 4 10 d) 1 1001* e) 47 22 f) 4478 56 g) 9876 54321 h) 10001 102 i) 7 5 j) 18 17 Dica: vai ter vezes em que você não achará o resto igual a zero, assim como na dízima periódica. Faça, nestes casos, no mínimo 5 casas depois da vírgula. k) 512 17 l) 763 48 m) 7769 105 n) 17964 3317 o) 1092 78 p) 17 1048
É BOM SABER! CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE: Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. Divisibilidade por 2: Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplos: 1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par. Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo: 1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4. Divisibilidade por 5: Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. Exemplos: 1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Exemplos: 1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12). 3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2). Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7. Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9+9=18 4190-18=4172 2+2=4 417-4=413 3+3=6 41-6=35 que dividido por 7 é igual a 5! Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Exemplos: 1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000. 2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Exemplo: 2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9. Divisibilidade por 10: Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. Exemplos: 1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0. Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11. O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente. Exemplos: 1) 87549 Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si-Sp = 22-11 = 11 Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11. 2) 439087 Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10 Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 Si-Sp = 10-21 Como a subtração não pode ser realizada acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0. Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11. Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. Exemplos: 1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20). 2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4). 3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3). Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5. Exemplos: 1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5). 2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5). 3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3). Divisibilidade por 25: Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75. Exemplos: 200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25. Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo. Exemplos: 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
Observações: => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. => 2 é o único número primo que é par. Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplo: 15 têm mais de dois divisores => 15 é um número composto. Reconhecimento de um número primo Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos: => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo. Exemplos: 1) O número 161: não é par, portanto não é divisível por 2; 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo. 2) O número 113: não é par, portanto não é divisível por 2; 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e, além disso, o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo. Decomposição em fatores primos Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores. Decomposição do número 24 num produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3. De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos. As propriedades da divisão - A divisão é comutativa? Ou seja, a dividido por b é igual a b dividido por a? A resposta é não! - A divisão possui algum elemento neutro?
A resposta é sim:, logo 1 é o elemento neutro. - A divisão é associativa? (a b) c = a (b c)? A resposta é não! - A divisão é distributiva? a (b c) = a b + a c? A resposta é sim! Uma propriedade importante é que: 0 a = 0, o que é óbvio se você pensar que se você tem nada e vai dividir com os seus a amigos, seus amigo não ganham nada! E como ficarão as regras de sinal + e - na divisão? a b c IGUAL À TABELA DE SINAIS DA MULTIPLICAÇÃO! E para fazermos as contas em que ambas, multiplicação e divisão, aparecem, e que possuem o mesmo peso e devem ser feitas antes da adição e da subtração. Agora temos que: primeiro, fazemos as contas entre parênteses ( ), depois as de colchetes [ ] e então as { }, calculando, dentro delas, multiplicações e divisões (não importa qual das duas), para então efetuar as operações de adição e subtração. TENTE FAZER ESTA: E ISSO, QUANDO É? Vamos, então, praticar o que aprendemos! 148 276 1048 7042 12345 +46 +73 +402 +6451 +7890 14048 771 51 1418 98735 +7723 +66 +32 +810 +4621 934 111 1010 512 1408-73 -23-482 -91-202 144 172 548 3030 11111-275 -282-1057 -6060-72634
144 708 772 987 1044 2020 x72 x43 x56 x123 x7020 x7139 13 111 1576 2578 18043 1736 x19 x11 x489 x493 x9072 x 5 144 3 1404 42 1237 2 47 3 1771 13 216 20 14487 51 2020 11 44582 71 101 2 131 171 9575 2522 19943 1736 x19 x18 x489 x453 x9006 x 65 Se estiver cansado de fazer contas, descanse um pouco, porque as contas ainda não acabaram. Vamos aprender agora como fazermos as 4 operações com os números racionais na forma decimal (ex: 0,25). A adição e a subtração são simples, mas só lembre sempre de não perder a vírgula: 0,75 1,73 17,3 73,48 0,36 +0,45 +4,20 +4 +3,22 +0,64 1,20 5,93 21,3 76,70 1,00 0,75 0,45 7,41 2 12 3, 1 1 1 2-0,25-0,85-8,89-19,78 0,50-0,40-1,48 03,34
A multiplicação também é simples, mas não perca a vírgula! 0,75 4 5,7 1 141, 1 1 2 48 x0,01 x8 x 0,023 0,75 37,6 423,444 0,00-282,296-0,075 000,000-- 000,000--- 003,246404 A vírgula anda conforme as casas da multiplicação. Na última casa, temos a vírgula do resultado que é a soma de todas as casas. Mas o que você tem que entender é que a vírgula é só um indicador das casas numéricas. Isto se dá devido à nossa forma posicional de formar os números, com isso, cada casa tem seu peso. Agora na divisão, você deve seguir as nossas regras e procedimentos aprendidos, e prestar muita atenção na vírgula. 0,0,1 0,1-0,1 0,1 0,00 Isto pode parecer estranho a você, mas é só pensar que quando colocamos o zero no dividendo, estamos aumentando uma casa decimal. Para aumentar uma casa de um número com vírgula, muda-se a vírgula em uma casa. => 0,01 00,1 = 0,1 você deu uma unidade para este número, que é o que a gente fazia antes, na divisão com números inteiros. A seguir, dois exemplos: 16,7 6,2-12,4 2,693 4,3 43,0 37,2 5,8 58,0 55,8 2,2 e assim vai... Se o dividendo foi menor que o divisor, colocamos o zero seguido de vírgula no quociente e a vírgula anda uma casa para a direita no dividendo. 17,6 5,3-15,9 3,32075 01,7 17,0-15,9 1,1 11,0-10,6 0,4 4,0* 40,0* e assim vai... VAMOS PRATICAR? a) 17,8 23,7 b) 118 0,1 c)155,2 76,4 d) 1024 2,2 e) 2,045 0,022 f) 4,75 0,73 * Afeta o quociente, é o mesmo que por dois zeros.
Vamos às frações agora. Por favor, preste atenção, pois esta é a melhor maneira de se fazer contas, utilizando as divisões ou os números decimais na forma de fração. A fração é a divisão entre o numerador e o denominador na forma. Ex:. Como lemos frações: Se for maior que 10, no denominador, lemos: Se for maior que 10, no denominador, lemos: Três treze avos. Como multiplicamos frações?. Simples! Multiplicamos em linha reta: Denominador Lê-se 2 Meio 3 Terço 4 Quarto 5 Quinto 6 Sexto 7 Sétimo 8 Oitavo 9 Nono 10 Décimo 100 Centésimo E como dividimos frações?. Basta multiplicar em forma de x. Isto se chama simplificar e vamos utilizar sempre quando fizermos operações com frações. A notação em fração facilita a multiplicação e divisão de números racionais! Mas a adição e subtração mudam um pouco, temos que fazer o famoso M.M.C (Mínimo Múltiplo Comum). Para fazê-lo precisamos saber os fatores de dois ou mais números e, para isso, só é preciso dividi-los pelos seus múltiplos. Ex: os múltiplos de 6 são 1, 2 e 3, pois 6 é divisível por eles. Na verdade, todo número é divisível por 1 e ele mesmo; e os números que são divisíveis somente por 1 e eles mesmo são chamados números primos, todos os números são formados por um produto de números primos ou são primos. Para achar os múltiplos de um número fazendo o processo chamado de fatoração. Exemplo: FATORANDO 8 E 15. que é o M.M.C de 8 e 15. 8, 15, 2 Há alguns passos para a fatoração dos números: 4, 15, 2 1) Na coluna da direita (onde estão os fatores), você só pode 2, 15, 2 usar os números primos e sempre seguir a ordem crescente deles, 1, 5, 3 ou seja, não é possível fatorar um número por 5 para então fatorá-lo por 3; 2) A fatoração termina após os números terem chegado a 1; 1 1 5 2x2x2x3x5 = 120 3) E se um número não foi divisível pelo fator, você repete na linha abaixo até poder dividi-lo (Neste caso, observe o 15: por não ser divisível por 2, ele foi repetido até chegar ao 3, um de seus múltiplos).
4, 12, 21 2* Vamos praticar para entender melhor o M.M.C: a) O M.M.C de 4, 12 e 21; 1 Colocamos na forma 2 Achamos o menor múltiplo entre os fatores e os dividimos até encontrarmos o 1. 2, 6, 21 2 1, 3, 21 3** 1, 1, 7 7*** 1 1 1 2x2x2x3x7 = o mmc é 84 * É o menor múltiplo de 4 e 12, mas não de 21; ** É o menor múltiplo de 3 e 21; *** É o menor múltiplo de 7. Observe como saber multiplicar e dividir, ou seja, saber a tabuada muito bem, nos ajuda a fazer a fatoração facilmente! 5, 5, 16, 8, 30, 15, 100 50 2* 2 b) M.M.C de 5, 16, 30 e 100 1 Colocamos na forma 5, 5, 5, 4, 2, 1, 15, 15, 15, 25 25 25 2 2 3** 5, 1, 5, 25 5*** 2 Fazemos a divisão dos 1, 1, 1, 5 5 fatorandos sempre com o menor 1, 1, 1, 1 2x2x2x2x3x5x5 = O múltiplo dentre eles. mmc é 1200 * É o menor múltiplo de 16, 30 e 100, mas não de 5; ** É o menor de 15; *** É o menor de 5 e 25. Agora, faça você sozinho: a) 16, 46, 49 b) 17, 13 c) 18, 100, 102 d) 121, 74, 12 e)20, 40, 100 f) 75, 25, 21 g) 45, 23, 24 h) 15, 28, 36 i) 405, 1002 Você percebeu alguns números primos nestes exercícios? Diga quais e ache mais alguns que não estão aí.
- Além do Mínimo Múltiplo Comum, temos o Máximo Divisor Comum (M.D.C), que é a multiplicação dos diferentes múltiplos dos fatorandos. Veja: M.D.C entre 36 e 90. Para calcular o mdc, deve-se fatorar os 36 2 90 2 dois valores e então ver quais os múltiplos 18 2 45 3 em comum aos dois. No caso: 9 3 15 3 36 = 2 x 2 x 3 x 3 e 90 = 2 x 3 x 3 x 5 3 3 5 5 Os múltiplos em comum são: 2 x 3 x 3. Assim, basta multiplicá-los e terá o mdc. ( 2 x 1 2x2x3x3 1 2x3x3x5 3 x 3 = 18, portanto o mdc entre 36 e 90 é 18). Já que aprendemos à fatorar e achar o M.M.C, vamos agora somar e subtrair frações. Para começar, nas contas de + e -, os denominadores das frações tem que ser iguais. Veja: Quando os denominadores são diferentes, deve-se calcular o mmc (neste caso, 4) e colocá-lo como o denominador nas duas frações.. Depois, fazemos o conhecido dividir pelo número de baixo, multiplicar pelo número de cima. Só assim podemos somar (ou subtrair) frações. Em decimal temos que: 0,5 + 0,25 = 0,75. VEJA QUE INTERESSANTE! A soma e subtração são mais simples quando na forma decimal, já a multiplicação e divisão são mais fáceis na forma de frações! Veja mais alguns exemplos: 21, 6 2 21, 3 3 7, 1 7 1, 1 7x3x2=42
Observe que você não precisa pensar na divisão do mmc com o denominador, você já fez isso ao fatorá-lo. Consegue explicar e exemplificar isto? O cálculo de subtração fica igual. Aprendemos a fazer as 4 operações com frações, vamos entender agora como simplificá-las: Por exemplo: O que fizemos aqui nada mais foi do que encontrar os múltiplos comuns do numerador e denominador fatorando-os: 16, 24 2 Esse múltiplo afetou os dois fatorandos 8, 12 2 4, 6 2 2, 3 2 Esse múltiplo afetou só o 16. 1, 3 3 Esse múltiplo afetou somente o 24. 1, 1 Ao fatorarmos um número, descobrimos como ele é composto através da multiplicação de seus múltiplos. Assim, 16 = 2 x 2 x 2 x 2 e 24 = 2 x 2 x 2 x 3. SE O NÚMERO NÃO FOR PRIMO, ELE SERÁ UM COMPOSTO DE MÚLTIPLOS PRIMOS. Isso nos ajuda a fazer uma divisão. Observe com atenção: Como podemos fazer a divisão antes da multiplicação, nós podemos cortar os fatores iguais. Você vai observar que, se o número não for primo, ele sempre será composto por números primos. E os principais números primos são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,79, 83, 89, 97, 101, 103... Então podemos compor todos os outros números através da multiplicação de primos. Exemplos: 4 = 2 x 2; 6 = 2 x 3; 12 = 2 x 3 x 3; 15 = 3 x 5; 21 = 3 x 7; 33 = 3 x 11, e por aí vai. Observe como fica a divisão de números decimais (com vírgula) utilizando a forma de fração: Todo número decimal (racional) pode ser escrito em termos de frações na base 10 (ou seja: 10, 100, 100 e assim por diante). Exemplo: 7,4 0,1 = 0,01 = 0,745 =. - Isto é uma consequência da nossa notação que depende da posição dos números. Logo podemos fazer:
A multiplicação fica fácil também: 0,01 x 4,2 = 7,2 x 1,02 = 72 = 2x2x2x3x3; 102 = 2x3x17; 10 = 2x5; 100 = 2x2x5x5 72, 102, 10, 100 2 36, 51, 5, 50 2 18, 51, 5, 25 2 9, 51, 5, 25 3 3, 17, 5, 25 3 1, 17, 5, 25 5 1, 17, 1, 5 5 1, 17, 1, 1 17 1, 1, 1, 1 7,2 x 1,02 = VAMOS EXERCITAR? a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) 0,25 0,04 l) m) s) Fatore 137, 178, 1049, 1090 t) 14,2x1041,2 151,5/18,09 u) 10,91x181,1/21,8 192,78/90,01*2,2 v) 19,21+5/3-8/19+15,4.1,6 x) MMC e MDC de 98,144,248,921
SE VOCÊ AINDA ESTIVER COM DÚVIDA EM FATORAÇÃO, MMC E MDS LEIA ESTE MATERIAL QUE COMPLEMENTA O APRESENTADO ANTERIORMENTE! Observe um pouco mais as regras práticas para a fatoração, M.M.C. e o M.D.C: Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhem, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo: 1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1. A figura ao lado mostra a fatoração do número 630. Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 32 x 5 x 7. Determinação dos divisores de um número: Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90: 1º) decompomos o número em fatores primos; 2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número; 3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo; 4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos. Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90. Máximo Divisor Comum: Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6. O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.
CÁLCULO DO M.D.C.: Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos: 1) decompomos os números em fatores primos; 2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns. Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 3 x 5 O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Portanto m.d.c.(36,90) = 18. Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 36 = 22 x 32 90 = 2 x 32 x5 Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18. O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente. Mínimo Múltiplo Comum: Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3. 24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24. Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro. Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais. Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0, 7x1, 7x2, 7x3, 7x4,... = 0, 7, 14, 21, 28,... Observações importantes: 1) Um número tem infinitos múltiplos 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,... Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6. O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c. CÁLCULO DO M.M.C.: Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:
1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não comuns: 12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5 Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5 O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente. PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA: Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60) Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120 PROPRIEDADE DO M.M.C. Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe: m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30 Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados. Considerando os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe: m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60 Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números. Este material foi retirado do site: Só Matemática => somatematica.com!
Vamos agora a uma nova operação, chamada POTENCIAÇÃO, que nada mais é uma multiplicação de vários fatores iguais. Exemplo: 2x2x2x2 = 2 4 (lê-se: 2 elevado à quarta (potência)). Na potenciação a b, chamamos o número a de base e o número 4b de expoente. Nada de mais, não é? Essa operação irá nos ajudar a trabalhar com a próxima operação: a radiciação (a nossa tão conhecida raiz). Mas, antes, algumas propriedades da potenciação: (2 3 ) 2 = 2 3x2 = 2 6 2 2 x2 3 = 2 2+3 = 2 5 Temos, ainda, que:, e, por fim: Usaremos muito as potências na base 10, como 10 1, 10 2, 10-3. Observe que 10 1 = 10 e 10 2 = 100, 10-1 = = 0,1 e assim vai. Importante: 8 = 2x2x2 = 2 3, ou seja, 8 = 2 3 (o número 8 pode ser expresso com um múltiplo ao cubo). Você conhece mais algum? - RADICIAÇÃO: A operação de radiciação nos leva ao termo raiz quadrada ( ). Ela nos informa se o número pode ser expresso em um múltiplo ou um produto ou potência de múltiplos. Exemplos: Mas como fazemos as contas? É só pensar que a raiz é um expoente! A raiz quadrada possui expoente, a raiz cúbica,, e assim vai. Com isso em mente, utilizamos a fatoração e as regras da potenciação: O interessante da operação de radiciação é que ela nos resulta em alguns grupos de números que não são naturais ou inteiros ou racionais. Um dos novos grupos desses números forma o conjunto dos números irracionais que são os números que não podem ser expressos por uma razão, um exemplo é a : Esses números são dízimas não periódicas. A definição do conjunto dos números irracionais é: Pergunta: Como nós lemos isto? *} O outro grupo de números que a radiciação nos leva a encontrar é ao pensarmos que: Mas e : quanto é? É 2? É -2? pois (2) 2 = 4 e (-2) 2 = 4 (por isso acrescentamos ± à raiz).
Não há um número natural ou inteiro ou racional ou irracional que resolva esta negativos). Para acharmos a raiz de números negativos define-se que (raízes de números, de modo que : Observe que i 2 = -1. Este grupo de números gera um novo conjunto, o conjunto dos números imaginários. Cria-se, então, um conjunto que engloba todos os grupos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais chamando-o de conjunto dos números reais (IR). (Na verdade, como o conjunto dos números racionais engloba os naturais e inteiros, temos que: IR = Q U I (lê-se: o conjunto dos reais é igual a união (U) dos conjuntos numéricos racionais e irracionais) Iremos estudar depois certos números que são reais e imaginários (ex: 2 + 2j -> parte imaginária), com isso fazemos um conjunto que engloba todos os números: o conjunto dos números complexos (C), que contempla os reais e os imaginários. - Conjuntos Numéricos: os números como conhecemos hoje são divididos em 5 (cinco) grupos conjuntos. São eles: Conjunto dos números NATURAIS N = {0;1;2;3;4;5;6;...} Conjunto dos números INTEIROS Z = {...; -3; -2;-1;0;1;2;3;...} Conjunto dos números RACIONAIS Q = { a Z e b Є Z*}* Conjunto dos números IRRACIONAIS i = {x a Z e b Z*} *Lê-se: um número qualquer, a, dividido por outro número qualquer, b, tal que ( ) que a pertença ( ) aos inteiros (Z) e b pertença aos inteiros sem o zero (Z*). Vimos neste material básico uma introdução à teoria dos números e os procedimentos de cálculos para operações com os números reais. Vamos exercitar nossos conhecimentos adquiridos. a) 412 + 7201 b) 74765 88932 c) 74 x 23 d) 101 7 e) 102 x 144 f) 404023 22 g) 0,045 : 4,7 h) 0,3 x 81,6 i) j) k) l) m) n) o) p) q)mmc e mdc de 27, 48, 333,100 r) s) t) u) v) x) w) y) z)
Até agora, nós aprendemos a fazer soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação com o conjunto dos Reais (que engloba os naturais, os inteiros, os racionais e irracionais). Saber fazer estas operações sobre esse conjunto de números é à base de nossa matemática, com isso, não se preocupe se ficou com muitas dúvidas, trabalharemos nas primeiras aulas fazendo muitas contas para você aprender bem todas. Você vai passar a notar que precisaremos de todos os conhecimentos que adquirimos até agora e ainda entender o que o problema matemático está pedindo. Mas, agora, vamos seguindo com os próximos assuntos de nossa revisão de matemática básica. Primeiro, definiremos certos aspectos que nos ajudarão na notação e cálculo mais para frente. Números proporcionais: Nós já sabemos que (onde *) é uma razão entre dois números quaisquer que estão no conjunto dos reais (Ex: 0, 1, 2,,, - 2, - 4; 0,25; - 0, 4). Então, definimos: proporção, a igualdade entre duas ou mais razões para d. é uma proporção e podemos ler que a está para b assim (ou na mesma proporção) como c está Lembre-se que * (que é o conjunto dos reais sem o número zero, pois, como falamos antes, divisão por zero não existe, dizemos que é indeterminada). Propriedades da Proporção: 1) 2) 3) Preste atenção agora: dizemos que duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais quando ao aumentarmos ou diminuirmos alguma das grandezas, as outras aumentam ou diminuem na mesma proporção. Mas o que são grandezas? Uma grandeza está associada às coisas do nosso mundo que podemos medir mensurar, contar, enfim, expressar em termos de números. Exemplos: área, velocidade, tempo, dinheiro, etc. Se você corre 10 metros em 5 segundos, quando tiver 10 segundos, correrá 20 metros (o dobro). Dizemos que as grandezas de tempo e quantidade de espaço que você corre são diretamente proporcionais, pois se você aumentar alguma, a outra também aumenta. Se você diminuir, a outra também diminui. Agora considere este exemplo: Você está em casa em seu computador, vendo o seu Facebook, e seu amigo lhe manda três links de vídeos. Você abre os três ao mesmo tempo e logo vê que sua internet fica lenta, ou seja, quanto mais links você acessa simultaneamente, mais a internet ficará lenta. Assim, a quantidade de links e a velocidade de sua internet são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. Podemos tirar os seguintes raciocínios: Considere Se (lê-se: a grandeza a aumenta) e, as grandezas a e b são DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. Mas se e, as grandezas são INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. Olhe que interessante: do exemplo anterior, em que você corria 10 metros em 5 segundos, temos que se você tiver 10 segundos, atravessará 20 metros. Considere agora que o tempo que você tem é representado pela letra b e a quantidade de metros percorridos, a. Matematicamente, temos: Mas se você tiver b = 10, o a = 20; logo, sempre, teremos a RAZÃO DE DUAS GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. Ou seja, se você triplicar o tempo, você percorrerá o triplo da distância. E assim por diante. E com as grandezas inversamente proporcionais, o que acontece?
Voltemos ao exemplo da internet. Supomos que sua internet seja de 24MB e cada link que você acessa irá ter custar 2MB. Seja, então, a = 24MB e b = 2MB, temos que, mas se você acessar mais um link terá que. Acessam-se três:, e assim por diante até que você acesse 12 links e O resultado da razão é a sua nova velocidade de internet disponível. Perceba que a razão não é constante, mas sim o produto entre a sua nova velocidade pela quantidade de links acessados, neste caso, no resultado constante de 24MB, a velocidade total da internet. Entendido as grandezas direta e inversamente proporcionais, passamos para a famosa regra de três, que nada mais é do que uma ferramenta que nos permite obter uma grandeza desconhecida em uma proporção. Para isso, fazemos o seguinte procedimento: 1) Reunimos em uma mesma coluna as grandezas de igual espécie e de mesma unidade de medida; 2) Verificamos se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais; 3) Escrevemos a proporção correspondente e resolvemos. Exemplo: João participou de uma promoção onde ganharia R$ 0,10 a cada cinco amigos que curtissem seu link no Facebook. Se João ganhou, no total, R$ 12,00 quantos amigos curtiram o link? Passo 1 Unidades de medida iguais numa mesma coluna: Reais Amigos 0,10 5 12,00 x Neste problema temos as grandezas que envolvem dinheiro e quantidade de amigos. O que queremos saber fica com a letra x, a quantidade final de amigos que curtiram o link da promoção. Passo 2 Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais: Reais Amigos 0,10 5 12,00 x Se a quantidade de amigos aumenta a quantidade de dinheiro ganho por João, logo as grandezas são diretamente proporcionais (representado, graficamente, pelas flechas no mesmo sentido, da grandeza menor para a maior). Passo 3 Montar a expressão e resolver: Montamos a proporção e multiplicamos em forma de x, assim como a propriedade 1 das proporções. Isolamos o x e calculamos. Vamos agora a outro exemplo: Imagine um trem que se desloca a 200 km/h e faz um percurso de uma cidade à outra em 3 horas. Se a velocidade do trem fosse de 250 km/h, em quanto tempo se faria o mesmo percurso? 1º passo: arranjamos as grandezas na forma de tabela: Velocidade (km/h) Tempo (s) 200 3 250 x
Velocidade (km/h) 2º passo: verificamos se as grandezas são inversa ou diretamente proporcionais: Tempo (s) 200 3 250 x Se a velocidade aumenta, o tempo em que o trem percorre o caminho diminui: logo grandezas inversas, flechas contrárias. 3º passo: montamos a equação e resolvemos: Velocidade Tempo (km/h) (s) 200 3 250 x LEMBRE-SE: QUANDO SÃO GRANDEZAS INVERSAS, MULTIPLICA-SE EM LINHA RETA (NUMERADOR COM NUMERADOR, DENOMINADOR COM DENOMINADOR); JÁ COM AS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS, MULTIPLICA- SE EM FORMA DE X. Vamos exercitar: 1) Se trabalhando 8 horas por dia, uma equipe termina um trabalho em 10 dias, em quantos dia dias este trabalho seria feito se a equipe trabalhasse apenas 6 horas por dia? 2) Você comprou 3 chocolates de R$ 3, quanto você gastaria se comprasse 7 chocolates? 3) O trem bala no Japão anda a 400 km/h e faz um percurso em 4 horas. Se a velocidade fosse de 360 km/h quanto tempo este trem levará para fazer o mesmo percurso? 4) Um avião faz, em uma hora, 700 km, em quantas horas ele faria um percurso de 1200 km? Regra de três composta: é como a regra de três normal, só que com uma grandeza a mais. Agora analisamos 3 grandezas. O segredo aqui é organizar em forma de tabela, depois analisarmos separadamente cada grupo de grandezas com o grupo que tem a incógnita (o x ). Vemos se elas são inversas ou diretamente proporcionais e fazemos as contas. Exemplo: 12 homens fazem 4 produtos em 6 dias. Em quantos dias, 10 homens fariam 6 produtos? 1 tabela: Homens Dias Produtos 12 6 4 10 x 6 DICA: Deixe a grandeza com a incógnita no meio. 2 analise separada das grandezas: Homens Dias 12 6 10 x Se 12 homens fazem tantos produtos em 6 dias, 10 homens irão fazer tantos produtos em mais dias, pois estão em menor número de trabalhadores, logo, as grandezas são INVERSAS (=)
Dias Produtos 6 4 x 6 Se tantos homens em 6 dias fazem 4 produtos, para fazer 6 produtos, tantos homens precisarão de mais dias, portanto: grandezas diretamente proporcionais (x). 3 Fazemos os cálculos: Outro exemplo: Se 4 pedreiros levam 3 dias para construir um muro com 2 metros de altura, quantos dias serão necessários para 6 pedreiros fazerem um muro com 5 metros? 1º passo: tabela. Pedreiros Dias Metros 4 3 2 6 x 5 2º passo: análise das grandezas. Se 4 pedreiros fazem um muro em 3 dias, 6 pedreiros irão fazer um muro em menos dias, logo, grandezas inversas (=). para Pedreiros Dias 4 3 6 x Dias Metros 3 2 x 5 3º passo: contas. Se em 3 dias alguns pedreiros fazem um muro de 2 metros, fazer um muro de 5 metros, demorariam mais dias, portanto, grandezas diretamente proporcionais (x). Vamos praticar: 1) Se 5 torneiras enchem uma banheira em 30 minutos, quantas torneiras serão necessárias para encher 3 banheiras em 45 minutos? 2) 7 homens descarregam 1020 telhas em 2 horas. Quantas telhas 9 homens em 5 horas conseguem descarregar? 3) Se são necessários 30 homens trabalhando durante 7 dias para construir 15 km de estrada asfaltada, quantos homens são necessários para fazer 35 km durante 9 dias? Usualmente, quando vamos às compras, ouvimos expressões do tipo: Toda loja com 25% (vinte e cinco por cento ) de desconto. Chamamos o símbolo % de por cento, pois ele indica uma divisão por cem, ou seja: 25% = 25 /100. Esta linguagem é usada pelos lojistas e contadores, ela informa geralmente o quanto se desconta ou ganha de um todo que neste caso é o 100%, Veja que 100% = 100/100 = 1, ou seja, o todo vale 1 o que simplifica as contas. Vejamos um exemplo: Uma camisa da Seleção Brasileira custa R$200,00, mas devido à uma promoção, quem compra lá ganha 12% de desconto. Como fazemos a conta de quanto iremos pagar pela camisa?
RESPOSTA: fazemos uma regra de três simples!dizemos que o preço da camisa, R$200,00, é 100% e o desconto é 12%, nossa incógnita é quanto em reias vale 12%. REAIS % 200 100 200.12=100.x => x=24 X 12 Ou seja, 12% de desconto na camisa equivale à menos R$24,00 do preço total, R$200,00. Logo você pagará pela camisa R$200,00 R$40,00 = R$176,00! VAMOS PRATICAR: 1) Se em uma loja temos 15% de desconto em tudo, quanto você pagará de uma calça que custa R$125,00? 2) Uma empresa ao contratar um empregado deve pagar 17% do salário dele para o governo. Se um engenheiro contratado ganha R$3.500,00 quanto à empresa gasta para ter um engenheiro? 3) Todo ano quem ganha mais de uma quantia por mês deve pagar o imposto de renda que para um salário de R$ 12.000,00 a taxa é de 22% ao ano. Quanto que uma pessoa que ganha que ganha este salário paga de imposto de renda? 4) Uma pessoa vai em média 4 vezes ao banheiro por dia e demora em média 5 minutos. Quanto tempo ela levou indo ao banheiro em uma vida de 78 anos? Quantos por cento? Vamos praticar tudo o que aprendemos: Exercícios de operações básicas: a) 14.723 + 974.310 4/25. { 1.725. 4 3 [25/19 + 14/27]} b) 14.080 172 c). - 24.077 + 22.728. ( - ) d) 7,896 X 23.785 e) - +. (0,47 28,72) f) g).. + h) - { -. [ -. ( - + )] - } Exercícios de fatoração, MDC e MMC, potenciação e raiz: 1) Fatores e encontre o MDC e o MMC de: a) 17, 248, 373 b) 208, 1.024, 375 c) 12.472, 487 d) 625, 256, 1.296 e) 773, 244, 892
2) Calcule a) - + 2 b) c). - + d) + + + + - - + Exercícios de razão, proporção, porcentagem e de regra de 3: Se 20 pessoas desperdiçam 52 kg de comida em 12 dias, em quantos dias 15 pessoas desperdiçariam 12 Kg? Teus pais fizeram uma poupança para você que rende 0,06% ao mês. Se seus pais colocam R$75,00 por mês quanto que você terá no final de 5 anos? Suponha que você irá tirar este dinheiro mais deverá pagar um imposto por isso de 2,4%. Quanto você irá tirar? Quanto de dinheiro você ganhou com os juros da poupança de 0,06% ao mês e quanto você perdeu com o imposto de 2,4%? Se em 4 meses 13 pessoas consomem 320 carteiras de cigarro em quantos meses, 18 pessoas consumiriam 470? Imagine que uma carteira de cigarro custa R$2,75 e que o imposto sobre ele é de 53%, quanto que as 18 pessoas pagariam de imposto? E as outras 13 pessoas? Em média uma família de 4 pessoas gasta por mês em mercadorias R$800,00. Quantos meses, uma família de 8 pessoas gastará em média R$2400,00. Em média os juros com mercadorias são de 16%. Quanto que uma família de 4 pessoas paga para o governo em 1 ano? E a de 8 pessoas? Se (3, x, 14,...) e (6, 8, y,...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y é: a) 20 b) 22 c) 24 d) 28 e) 32 Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x,...) e (12, y, 4,...) são grandezas inversamente proporcionais. Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. Repartir uma herança de R$ 495.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1ª pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2ª pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a 3ª pessoa 48 anos e 6 filhos.. Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é: a) 90 b) 96 c) 180 d) 72 e) -124 Se (2; 3; x;...) e (8; y; 4;...) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então: a) x = 1 e y = 6 b) x = 2 e y = 12 c) x = 1 e y = 12 d) x = 4 e y = 2 e) x = 8 e y = 12 Sabe-se que y é diretamente proporcional a x e que y = 10 quando x = 5. De acordo com estes dados, qual: a) a sentença que relaciona y com x? b) o gráfico da função f: [-2; 3] definida pela sentença anterior? c) o valor de y quando x = 2? São dados três números reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um quarto do maior. Então a, b e c são, respectivamente, proporcionais a:
a) 1, 2 e 3 b) 1, 2 e 5 c) 1, 3 e 4 d) 1, 3 e 6 e) 1, 5 e 12 Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é: a) 35 b) 49 c) 56 d) 42 e) 28 Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente: a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00 b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00 c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00 d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00 e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00. Uma gravura de forma retangular, medindo 20 cm de largura por 35 cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será: a) 0,685m b) 1,35m c) 2,1m d) 6,85 e) 18m Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m² em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11900m²? a) 7 horas b) 5 horas c) 9 horas d) 4 horas e) 6h e 30min Num acampamento avançado, 30 soldados dispõem de víveres para 60 dias. Se mais 90 soldados chegam ao acampamento, então, por quanto tempo o acampamento estará abastecido? Um alfaiate pagou R$ 960,00 por uma peça de fazenda e R$ 768,00 por outra de mesma qualidade. Qual o comprimento de cada uma das peças, sabendo-se que a primeira tem 12m a mais do que a segunda? De duas fontes, a primeira jorra 18l por hora e a segunda 80l. Qual é o tempo necessário para a segunda jorrar a mesma quantidade de água que a primeira jorra em 25 minutos? Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150 000 impressões. Em quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, funcionando 8 horas por dia, produzirão 100 000 impressões? a) 20 b) 15 c) 12 d) 10 e) 5 Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais as primeiras operassem 10 horas por dia, durante 10 dias, o número de peças produzidas seria de: a) 1000 b) 2000 c) 4000 d) 5000 e) 8000 Empregaram-se 27,4kg de lã para fabricar 24m de tecido de 60 cm de largura. Qual será o comprimento do tecido que se poderia fabricar com 3,425 toneladas de lã para se obter uma largura de 0,90m? Uma destilaria abastece 35 bares, dando a cada um deles 12 litros por dia, durante 30 dias. Se os bares fossem 20 e se cada um deles recebesse 15 litros, durante quantos dias a destilaria poderia abastecê-los? Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-los durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas? a) 3 b) 2 c) 4 d) 6 e) 5
Vamos agora a uma área importante da matemática que se chama ÁLGEBRA. Nela iremos usar todo nosso conhecimento com as operações com números usando letras. Se você acha que isto só complica as coias e é inútil está totalmente enganado. O que você DEVE ter em mente é que as letras representam um número em um problema aonde você não sabe qual número é. Nós já fizemos isto colocando x na regra de três, onde tínhamos a incógnita (o número que faltava) do problema, e o x era a solução do problema. Mas agora iremos fazer mais que isto, iremos aprender como as operações se comportam na álgebra fazendo elas com letras que irão representar todos os números do conjunto dos reais. Isto mesmo uma letra será todos os números que até agora trabalhamos e aí é que esta a maravilha: sabendo o resultado de uma operação com letras sabemos o resultado para todos os números. Vamos então para os cálculos algébricos: Vamos primeiro à nomenclatura: exemplo é o 3b que nada mais é do que 3 vezes um número qualquer b. Dizemos que o número 3 é uma constante, pois ele é sempre 3. Já o número b diz que ele é uma variável, pois ele pode ser -2, -10, 0, 4, 5 dependendo do que quisermos. Logo b muda conforme o problema, com isso dizemos que ele é uma variável. Então, para somarmos números em forma de letras fazemos: Ex: a+a = 2a; a+a+d=2a +d; a+b+c =a+b+c. Veja que embora todas as letras possam representar todos os números ao dizermos que a letra a é um número assim como b então não sabemos quais são os números a e b logo não podemos somá-los dizendo que a+b=2a ou a+b=26 ou a+b=a.b, mas a+a = 2a, pois a letra a representa o mesmo número nesta operação e 2+2=2.2=4, mas 4+3=7 e não 4+3=2.4 ou 2+3=2.3 ou 4+3=4.7 é só você conferir a lógica colocando certos números nas letras. a+0 = 0+a=a E a subtração como fica? Ex: a-a = -2a; a-b=a-b e a-a-b=-2a-b; a-a=-a. Observe como o sinal se comporta e jogue números para ver se isto está certo. A multiplicação como fica? Observe com atenção: Ex: a.a=a 2 ; a.b = a.b e a.a.b = a 2 b E a divisão como fica? Observe com atenção: Ex: = 1; = ; = = b = -1 ; = = 0 Note como utilizamos a notação de potência e também várias outras formas de representações aprendidas antes. Apesar dos exemplos serem aqui a forma de explicar as operações com letras lembrem-se que lá no começo quando definimos as propriedades das operações nós as fazíamos com letras, pois elas nos mostram os casos gerais e com isso as propriedades. Esses exemplos são as propriedades das operações assim como para a potenciação e radiciação temos: = a = = 1 = = =
Entendido as propriedades iremos começar a fazer contas algébricas e aqui iremos sempre utilizar um processo chamado simplificação que não tem uma regra geral você terá que aprender através da experiência, ou seja, m fazendo exercícios. Na verdade nós já falamos sobre simplificar equações quando fatoramos, ao invés de usar o número 28 nós escreveríamos ele através da multiplicação dos seus fatores ou divisores 2 e 7, ou seja, usamos a igualdade 28=2.2.7. Como isso facilita (simplifica) uma conta de dividir? Exemplo: = = = 4 Fatoramos aqui dois números e vimos que são expoente com base 2 logo escrevemos em forma de potência e fizemos as contas. Você pode pensar assim mas e como eu vou saber isso? eu te respondo Fazendo exercícios!. É assim que você aprende matemática. Outro exemplo de simplificação é:. =. = 4 Fatorando 256, 49, 112 e 14 e escrevendo em termos dos seus múltiplos podemos simplificar a expressão, pois tanto podemos multiplicar como dividir em qualquer ordem neste caso. Iremos ver que com as letras também podemos simplificar as expressões de modo a chegarmos em um resultado simples. Observe: = = = = = Viu como simplificou? Se falássemos que a=0,1 e b=0,4 e você somente tivesse a expressão do lado esquerdo você teria que fazer mais conta do que se você simplificasse a expressão e obtivesse o lado direito e calculasse através dele. Para definirmos melhor essa álgebra vamos ao conceito de monômios: Os monômios são expressões algébricas representando o produto de constantes e variáveis. Ex: 2ab 2 (2 é constante, a e b variáveis) Dizemos que os monômios são semelhantes quando a parte das variáveis é idêntica. Ex: 2ab 2 e 5ab 2. Verificações de alguns exemplos: a) 3ab = 3ab 2? b) ab 2 c = 2cab 2? c) 4a 2 b 3 = 3ab 3? Somamos e subtraímos monômios mantendo a parte variável e fazendo as operações nas constantes (que são as que conhecemos). Ex: a) 4ab 7ab = -3ab; b) 5bc 2 + 18bc 2 = 23bc 2 Multiplicamos monômios simplesmente fazendo a multiplicação das constantes e somando os expoentes das variáveis idênticas entre os monômios. Ex: 4ab 2 c.6ab 4 c 2 = 24a 2 b 6 c 3. Dividimos monômios fazendo a divisão das constantes e diminuindo os expoentes das variáveis idênticas. Ex: 22b 2 cd 6.2b 2 c 3 d = 11b 4 c 4 d 7. Fazemos a potenciação de monômios utilizando as regras: (a.b) n = a n.b n e (a n ) m = a n.m. Ex: a) (a.b) 3 = a 3.b 3 ; b) (b 2 ) 4 = b 6.
Chamamos de polinômios uma expressão algébrica expressada por soma ou subtração de monômios. Ex: 2b 2 cd 6 + 2b 2 c 3 d (eles não são iguais logo não podemos somá-los). Chamamos de grau do monômio ou polinômio o expoente que ele possui. Ex: 4b 2 d é um monômio de segundo grau (grau 2). 22x 3 +2x é um polinômio de terceiro grau. Chamamos de binômio quando tem dois termos e polinômio quando tem mais de 3 termos. As operações de soma e subtração de polinômios são da mesma forma que de monômios, soma-se ou subtrai-se as constantes dos monômios idênticos. Ex: 5bc 2 + 18bc 2 + 2ab = 23bc 2 + 2ab Já as operações de divisão e multiplicação devem ser feitas termo a termo. Observe: 2ab 2.(2abc+3a 2 b 2 ) = 4a 2 b 3 c+6a 3 b 4 ; (2abc 2 +3a 2 b 2 ).(7ab 2 c-5a 2 b 2 ) = 14a 2 b 3 c 3-10a 3 b 3 c 2 + 21a 3 b 4 c 15a 4 b 4 (2abc 2 +6a 2 b 2 ):2b = ac 2 +3a 2 b ; (7ab 2 cd-5a 2 b 2 c + ab 2 cd):abcd = 7b 5abd -1 +b Através destas operações de polinômios introduzimos relações chamadas de produtos notáveis, pois são muito utilizadas na álgebra. Produtos notáveis Exemplos (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 (x+3) 2 = x 2 +6x+9 (a-b) 2 = a 2-2ab+b 2 (x-3) 2 = x 2-6x+9 (a+b)(a-b) = a 2 -b 2 (x+3)(x-3) = x 2-9 (x+a)(x+b) = x 2 +(a+b)x+ab (x+2)(x+3) = x 2 +5x+6 (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 (x+2) 3 = x 3 +6x 2 +12x+8 (a-b) 3 = a 3-3a 2 b+3ab 2 -b 3 (x-2) 3 = x 3-6x 2 +12x-8 (a+b)(a 2 -ab+b 2 ) = a 3 +b 3 (x+2)(x 2-2x+4) = x 3 +8 (a-b)(a 2 +ab+b 2 ) = a 3 -b 3 (x-2)(x 2 +2x+4) = x 3-8 Vamos praticar: 1) Desenvolva: a) (3x+y) 2 b) ((1/2)+x 2 ) 2 c) ((2x/3)+4y 3 ) 2 d) (2x+3y) 3 e) (x 4 +(1/x 2 )) 3 f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) 2) Efetue as multiplicações: a) (x-2)(x-3) b) (x+5)(x-4) 3) Simplifique as expressões: a) (x+y) 2 x 2 -y 2 b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) c) (2x-y) 2-4x(x-y)
Mas isto não é a maior aplicação do uso de letras na matemática. Ela se dá no uso das funções aonde as variáveis são representadas por letras (a famosa letra x), devido a elas poderem representar qualquer número em que está definida uma função! Mas antes de estudar as funções vamos começar a entender a álgebra por trás das equações com uma e duas variáveis e também introduzir os importantes produtos notáveis! Equações de uma e duas variáveis: Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos: 2x + 8 = 0 5x - 4 = 6x + 8 3a - b - c = 0 Não são equações: 4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) x - 5 < 3 (Não é igualdade) (não é sentença aberta, nem igualdade) A equação geral do primeiro grau (ou afim) com uma variável: ax+b = 0 Equações de primeiro grau com duas variáveis: Considere a equação: 2x - 6 = 5-3y Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, pode ser transformada numa equação equivalente mais simples. Assim: 2x + 3y = 5 + 6 2x + 3y = 11 ==> Equação do 1º grau (com duas variáveis) na forma ax + by = c. Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis Quais os valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira? Observe os pares abaixo: x = 6, y = 1 x = 8, y = 2 x = -2, y = -3 x - 2y = 4 6-2. 1 = 4 6-2 = 4 4 = 4 (V) x - 2y = 4 8-2. 2 = 4 8-4 = 4 4 = 4 (V) x - 2y = 4-2 - 2. (-3) = 4-2 + 6 = 4 4 = 4 (V) Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4. Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação. Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções, infinitos (x, y), sendo, portanto, seu conjunto universo. Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, calculando a seguir o valor da outra.
Exemplo: Determine uma solução para a equação 3x - y = 8. Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim: 3x - y = 8 => 3. (1) - y = 8 => 3 - y = 8 => -y = 5 ==> Multiplicamos por -1 => y = -5 O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação. V = {(1, -5)} Resumindo: Um par ordenado (r, s) é solução de uma equação ax + by = c (a e b não nulos simultaneamente), se para x = r e y = s a sentença é verdadeira. Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções. Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y). Dispondo de dois pares ordenados de uma equação, podemos representá-los graficamente num plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das soluções dessa equação. Exemplo: Construir um gráfico da equação x + y = 4. Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação. 1º par: A (4, 0) 2º par: B (0, 4) A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano. x y 4 0 0 4 Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação. A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação. EQUAÇÕES IRRACIONAIS Considere as seguintes equações: Observe que todas elas apresentam variáveis ou incógnitas no radicando. Essas equações são irracionais. Ou seja: Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando. RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente. Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).
É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas (raiz de números negativos) à equação dada. Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais. Solução: Logo, V= {58}. Solução: Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional. Solução Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional. Solução => Logo, V={9}; note que 9/4 é uma raiz estranha a essa equação irracional.
VAMOS PRATICAR:
Sistemas de Equações Considere o seguinte problema: Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou? Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber: x + y = 25 2x + 3y = 55 (total de arremessos certo) (total de pontos obtidos) Essas equações contém um sistema de equações. Costuma-se indicar o sistema usando chave. O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema. Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução. Resolução de Sistemas A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações. Estudaremos a seguir alguns métodos: Método de substituição Solução: determinamos o valor de x na 1ª equação. x = 4 - y Substituímos esse valor na 2ª equação. 2. (4 - y) -3y = 3 Resolvemos a equação formada. 8-2y -3y = 3 8-2y -3y = 3-5y = -5 => Multiplicamos por -1 => 5y = 5 => y = 5/5 = 1 Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x. x + 1 = 4 => x = 4 1 => x = 3 A solução do sistema é o par ordenado (3, 1). V = {(3, 1)} Método da adição: Sendo U =, observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição.
Resolva o sistema abaixo: Solução: Adicionamos membros a membros as equações: 2x = 16 => x = 16/2 = 8 Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y: 8 + y = 10 => y = 10 8 => y = 2 A solução do sistema é o par ordenado (8, 2). V = {(8, 2)} Inequações de primeiro grau: Denominamos inequação como toda sentença matemática aberta por uma desigualdade. As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:,,,, como a e b reais. Exemplos: Representação gráfica de uma inequação do 1º grau com duas variáveis Método prático: Substituímos a desigualdade por uma igualdade. Traçamos a reta no plano cartesiano. Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz ou não a desigualdade inicial. Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar. Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual pertence o ponto auxiliar. Exemplos: Representamos graficamente a inequação Tabe x y (x, y) 0 4 (0, 4) 2 0 (2, 0) Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação Verificamos:
(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação) A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0). EXERCÍCIOS:
VAMOS APRENDER UM POUCO DE GEOMETRIA: Área das figuras planas (é bom saber de cabeça) Retângulo Quadrado Triângulo Paralelogramo Trapézio Losango EXERCÍCIOS SOBRE ÁREAS: 1) Determine a área das seguintes figuras (em cm): a) b) c) d) e)
VAMOS APRENDER UM POUCO DE TRIGONOMETRIA: Razões trigonométricas: Catetos e Hipotenusa Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos. Observe a figura: Hipotenusa: Catetos: e Seno, Cosseno e Tangente: Considere um triângulo retângulo BAC: Hipotenusa:, m( ) = a. Catetos:, m( ) = b., m( ) = c. Ângulos:, e. Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas: Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Assim: Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Assim:
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. Assim: Exemplo: Observações: 1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno. Assim: 2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo. 3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa. As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º: Considere as figuras: Quadrado de lado l e diagonal Triângulo equilátero de altura lado I e
Seno, cosseno e tangente de 30º: Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos: Seno, cosseno e tangente de 45º: Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 45º, temos: Seno, cosseno e tangente de 60º: Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 60º, temos: Resumindo: x 30º sen x cos x tg x 45º 60º