Medidas de Posição Introdução Vimos anteriormente que, através de uma distribuição de freqüências se estabelece um sistema de classificação que descreve o padrão de variação de um determinado fenômeno estatístico. Ocorre, todavia, que poderia ser muito difícil trabalhar com a distribuição de freqüências completa, razão pela qual costuma-se lançar mão de determinadas medidas. Essas medidas sumarizam certas características importantes da distribuição de freqüências. Temos diversas medidas que possibilitam condensar as informações dentro da fase analítica da Estatística Descritiva. Concentraremos nossa atenção, de forma mais enfática, em dois tipos mais importantes: 1. Medidas de posição (especialmente as de tendência central) 2. Medidas de dispersão ou de heterogeneidade. Medidas de Posição As medidas de posição podem ser apresentar de várias formas, dependendo daquilo que se pretende conhecer a respeito dos dados estatísticos. As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central ou promédias. Nossa pretensão aqui é a determinação e o cálculo de medidas que ofereçam o posicionamento da distribuição dos valores de uma variável que desejamos analisar. Estas medidas são assim denominadas em virtude da tendência dos dados observados se agruparem em torno desses valores centrais. As três medidas de tendência central ou promédias mais utilizadas para resumir o conjunto de valores representativos do fenômeno que se deseja estudar são a moda, a média aritmética e a mediana. E Nemer 1 / 18
Média ou média aritmética ou média amostral: x É a medida de tendência central mais comumente usada para descrever resumidamente uma distribuição de freqüências. A média aritmética de um conjunto de números pode ser de dois tipos: simples ou ponderada. Média aritmética simples É obtida calculando-se o quociente entre a soma dos valores de um conjunto de dados e o número total de elementos desse conjunto. Para uma amostra com n observações x 1, x 2,...,x n -, a média aritmética simples é calculada por: x soma _ dos _ valores _ de _ x número _ de _ observações n xi i 1 n Valor genérico da observação Número de observações Exemplo 1: Encontrar a média aritmética para o conjunto de observações 5, 1, 6, 2, 4. x 5 xi i 1 5 5 + 1+ 6 + 2 + 4 18 3,6 5 5 Exemplo 2: Suponha que cinco funcionários em um escritório recebam os seguintes salários: R$ 800,00; R$ 780,00; R$ 820,00; R$ 810,00; R$ 790,00. Calcule a média aritmética dos salários. x 5 xi i 1 5 800,00 + 780,00 + 820,00 + 810,00 + 790,00 800,00 5 E Nemer 2 / 18
Obs: A média aritmética simples será calculada sempre que os valores não estiverem tabulados, ou seja, quando aparecerem representados individualmente, como é o caso, por exemplo, dos dados brutos. Média aritmética ponderada A média aritmética é considerada ponderada quando os valores do conjunto tiverem pesos diferentes. No caso da média aritmética simples, todos os valores apresentam peso igual. O cálculo da média aritmética ponderada é executado através do quociente entre o produto dos valores da variável pelos respectivos pesos e a soma dos pesos. Exemplo 3: Um professor realiza quatro provas por ano em sua matéria, atribuindo a cada uma delas os seguintes pesos: 1, 2, 3, 4. Se um aluno tiver recebido as notas 8, 7, 9 e 9, nessa ordem, sua nota final será a média aritmética ponderada obtida da seguinte maneira: (8 1) + (7 2) + (9 3) + (9 4) x 8,5 1+ 2 + 3 + 4 Obs: No exemplo apresentado, os pesos dos valores da variável são fixados previamente, para efeito de cálculo. Contudo, tratando-se de distribuições de freqüências, os pesos dos valores da variável não são atribuídos arbitrariamente, mas correspondem ao número de vezes que cada valor ocorre. Exemplo 4: Imagine que tenhamos o quadro abaixo com a nota de 20 alunos. 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 8 8 8 i. Calculando a média aritmética dos dados brutos: Para este cálculo vamos usar a fórmula da média aritmética simples. Logo, temos: x 20 20 4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 6 + 6 + 20 + 7 + 8 + 8 + 8 xi i 1 K E Nemer 3 / 18 6,2
ii. Calculando a média aritmética a partir dos dados com suas freqüências absolutas: Para este cálculo, vamos montar uma tabela com as observações e suas freqüências absolutas. Nota F i 4 1 5 5 6 6 7 5 8 3 Usando o cálculo da média aritmética ponderada, temos que: (4 1) + (5 5) + (6 6) + (7 5) + (8 3) x 6,2 1+ 5 + 6 + 5 + 3 Observe no exemplo anterior os dois cálculos para a média aritmética. Verifique que é indiferente somar o número 7 cinco vezes ou multiplicar o número 7 por cinco. Genericamente, se os valores x 1, x 2,..., x k ocorrerem f 1, f 2,..., f k vezes, respectivamente, ou seja, se os valores de x i estão agrupados com suas respectivas freqüências absolutas F i, a média aritmética ou média amostral será expressa por: x n x i i i 1 i 1 n F i 1 F i n x n i F i Obs: Quando os valores estão agrupados em classes, a tabela requer mais uma coluna, necessária para dispor os pontos médios de classes. Exemplo 5: Determinar a idade média para o conjunto dos 50 funcionários considerados no exemplo da tabela de distribuição de freqüências. Da tabela de distribuição de freqüências, temos: E Nemer 4 / 18
Classes Intervalos das classes Bloco Fi fi fi% Fac fac fac% Xi 1 18 ----- 25 17 6 0,12 12 6 0,12 12 21,0 2 25 ----- 32 24 10 0,20 20 16 0,32 32 28 3 32 ----- 39 31 13 0,26 26 29 0,58 58 35 4 39 ----- 46 38 8 0,16 16 37 0,74 74 42,5 5 46 ----- 53 45 6 0,12 12 43 0,86 86 48,5 6 53 ----- 60 51 5 0,10 10 48 0,96 96 55,5 7 60 ----- 66 58 2 0,04 4 50 1,00 100 63,5 Somas 50 100 Logo, temos que: x n xif i i 1 n 1922 50 38,44 Obs: O resultado de 38,44 anos é aproximado, uma vez que utilizamos os pontos médios x i com representantes das classes em que foram agrupadas as 50 idades. Se voltássemos à tabela original e desconsiderássemos o agrupamento em classes, o valor da média aritmética seria: soma _ das _ idades x número _ de _ observações 18 + 20 + 20 + K+ 65 1916 38,32 50 50 A diferença entre os resultados foi de 38,22 38,44-0,12. Assim, quando o analista dispuser da tabela de distribuição de freqüências, e admitir que uma aproximação do cálculo da média não vai comprometer suas conclusões, poderá usar a fórmula para os dados agrupados. Caso contrário, deverá utilizar a fórmula comum para o cálculo da média aritmética. E Nemer 5 / 18
Moda Dentre as principais medidas de posição, destaca-se a Moda. Considerando um conjunto ordenado de valores, a moda será o valor predominante, o valor mais freqüente desse conjunto. Um conjunto de valores pode não apresentar moda, sendo, então, denominado conjunto amodal, caso em que todos os valores da variável em estudo ocorreram com a mesma intensidade (freqüência). Por outro lado, podemos ter conjuntos plurimodais, quando houver mais de um valor predominante. Exemplo 6: Calcular a moda dos seguintes conjuntos de valores: x { 4,5,5,6,6,6,7,7,8, 8} Mo6 x { 4,4,5,5,6, 6} Conjunto amodal x { 1,2,2,2,3,3,4,5,5,5,6, 6} Conjunto bimodal com M o1 2 e M o2 5 x { 1,2,3,4, 5} Conjunto amodal Os valores da variável dispostos em uma tabela de freqüências podem apresentar-se individualmente ou agrupados em classes. No primeiro caso, a determinação da moda é imediata, bastando, para isso, consultar a tabela, localizando o valor que apresenta a maior freqüência. Assim, para a distribuição, temos que: x i 243 245 248 251 307 F i 7 17 23 20 8 Classe modal (classe com maior freqüência) A moda será 248 e indica-se : M o 248 E Nemer 6 / 18
No caso de uma tabela de freqüências com valores tabulados e agrupados em classes, o procedimento não é imediato, sendo disponíveis alguns métodos de cálculos distintos. Qualquer que seja o método adotado, o primeiro passo para determinar a moda é localizar a classe que apresenta a maior freqüência, comumente chamada de classe modal. Dentre os métodos existentes, destacaremos o cálculo da moda por meio da fórmula de Czuber. Onde: M o l mo + Δ1 Δ + 1 Δ 2 h l mo limite inferior da classe modal. 1 diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente anterior. 2 diferença entre a freqüência da classe modal e a freqüência da classe imediatamente posterior. h amplitude da classe modal. Exemplo 7: Calcular a moda para a distribuição abaixo: Classes 0 ----- 1 1 ----- 2 2 ----- 3 3 ----- 4 4 ----- 5 Σ F i 3 10 17 8 5 43 Classe modal 1 o passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3 a classe. 2 o passo: Calcula-se cada elemento da fórmula, da seguinte maneira: l mo 2 1 17 10 7 2 17 8 9 h 1 3 o passo: Aplica-se a fórmula: M o 7 2 + 1 M 2,44 7 + 9 o E Nemer 7 / 18
Exemplo 8: Calcular a moda para a distribuição abaixo: Classes 10 ----- 20 20 ----- 30 30 ----- 40 40 ----- 50 50 ----- 60 Σ F i 2 3 10 9 4 28 Classe modal 1 o passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3 a classe. 2 o passo: Calcula-se cada elemento da fórmula, da seguinte maneira: l mo 30 1 10 3 7 2 10 9 1 h 10 3 o passo: Aplica-se a fórmula: M o 7 30 + 10 M 38,75 7 + 1 o Exemplo 9: Calcular a moda para a distribuição abaixo: Salários (US$) 80 ----- 180 180 ----- 250 250 ----- 300 300 ----- 500 No de empregados 70 140 140 60 Observe que as amplitudes das classes não são iguais. Nesse caso, é preciso calcular as densidades das classes através da fórmula Fi / h, para identificar qual é a classe modal (aquela com maior densidade). Logo, temos que: Salários (US$) h F i F i / h 80 ----- 180 100 70 0,7 180 ----- 250 70 140 2 250 ----- 300 50 140 2,8 300 ----- 500 200 60 0,3 Classe modal 1o passo: A classe modal é a terceira classe, pois é a que apresenta maior densidade. 2o passo: Calcula-se cada elemento da fórmula, da seguinte maneira: lmo 250 1 2,8 2,0 0,8 2 2,8 0,3 2,5 h 50 E Nemer 8 / 18
3o passo: Aplica-se a fórmula: M o 0,8 250 + 50 M 262,12 0,8 + 2,5 o Portanto, o salário mais freqüente para esse grupo de 410 empregados é US$ 262,12. ~ Mediana : Md ou x É a terceira medida de tendência central e pode ser definida como o valor que divide uma série ordenada (uma amostra ou uma população) em duas partes iguais, de tal forma que pelo menos a metade ou 50% dos itens sejam iguais ou maiores do que ele, e que haja pelo menos outra metade ou 50 % dos itens menores do que ele. Por ser uma separatriz, ou seja, por separar um conjunto de dados em partes iguais de tal sorte que uma fração (0,5 ou ½) de valores lhe seja inferior e os restantes superiores, podemos concluir que essa medida apresenta um número de ordem. Assim é que, ordenando os valores da série, a mediana é um valor que ocupa uma determinada ordem ou posição na série ordenada. O número que indica a ordem em que se encontra o valor correspondente à mediana é denominado elemento mediano, cujo símbolo é E Md. Mediana a partir de dados não tabulados É calculada a partir de um rol ou lista ordenada dos dados. Podem ocorrer duas hipóteses com relação ao número de observações n: que ele seja ímpar ou par. 1. Número de observações é ímpar Este cálculo requer primeiro que se determine a ordem em que se encontra a mediana na série. Deve-se, então, encontrar o valor do elemento mediano, o que é feito da seguinte forma: E Md n +1 2 E Nemer 9 / 18
O passo seguinte será localizar a mediana na lista de valores, de acordo com o resultado obtido no cálculo do elemento mediano. Exemplo 10: Calcular a mediana do seguinte conjunto de números: x { 2,3,6,12,15,23,30} A primeira providência a ser adotada seria a de ordenar os valores. Neste exemplo, os valores da série já se encontram ordenados. Em seguida, determinaremos o valor do elemento mediano para um conjunto ímpar de observações (observe que n7). E Md 1 7 + 1 n + 4 2 2 Observe que o valor 4 é um número ordinal. Assim, E Md 4 indica que a mediana é o valor que se encontra na quarta posição da lista ordenada de valores, é o quarto número da série. Finalmente, procuraremos no conjunto qual o valor que se encontra no quarto lugar da lista. Esse número corresponderá à mediana do conjunto. No nosso exemplo, temos: Md 12 2. Número de observações é par O procedimento para calcular a mediana de um número par de observações é ligeiramente diferente do adotado para o caso em que n é ímpar. Primeiro calculamos o elemento mediano, conforme a fórmula abaixo: E Md n 2 Não podemos usar o mesmo procedimento usado para um número ímpar de observações pois, neste caso, temos dois valores centrais. Se usássemos o valor de E md acima para obter a mediana estaríamos contrariando a definição de mediana que determina que deva existir uma mesma proporção de valores menores e maiores do que ela. Portanto, toda vez que houver um número par de observações, a lista apresentará dois valores centrais e a mediana será determinada calculando E Nemer 10 / 18
a média aritmética entre os elementos da ordem n/2 e (n+1)/2, conforme o exemplo abaixo: Exemplo 11: Calcular a mediana do seguinte conjunto de números: x { 3,6,9,12,14,15,17,20} Observe que n8. O elemento mediano será: E Md 8 n 4 2 2 Logo, o elemento de ordem n/2 é 12 e o elemento de ordem (n+1)/2 é 14. Logo, a mediana será dada por: Md 12 + 14 13 2 Observe que agora temos a ocorrência de igual número de valores maiores (14, 15, 17, 20) e menores (3, 6, 9, 12) do que a mediana. Mediana a partir de dados tabulados mas não agrupados em classes Quando os valores já estiverem agrupados, o procedimento será praticamente o mesmo do item anterior. 1. Número de observações é ímpar Exemplo 12: Calcular mediana para a distribuição abaixo: x i F i F ac 1 1 1 2 3 4 3 5 9 4 2 11 Σ 11 O conjunto de observações neste caso é ímpar: n 11. E Nemer 11 / 18
O elemento mediano será: E Md 1 11+ 1 n + 6 2 2 A mediana deverá ser o sexto elemento do conjunto. Para identificá-lo, fica mais fácil se abrirmos uma coluna com as freqüências acumuladas, conforme mostrado na tabela. Por meio da F ac encontra-se o valor (x i ) correspondente à mediana. Neste exemplo, será o 3 ( Md 3 ). Observe: é o x i correspondente à classe que contiver a ordem calculada, no caso o sexto elemento. 2. Número de observações é par Exemplo 13: Calcular mediana para a distribuição abaixo: x i F i F ac 82 5 5 85 10 15 87 15 30 89 8 38 90 4 42 Σ 42 O conjunto de observações neste caso é par: n 42. O elemento mediano será: E Md 42 n 21 2 2 Logo, o elemento de ordem n/2 é 21 e o elemento de ordem (n+1)/2 é 22. Como no exemplo anterior, identificamos os elementos de ordem 21 e 22 pela F ac. Assim, temos que o elemento 21 corresponde a 87 e o elemento 22 também corresponde a 87. Logo, a mediana será dada por: Md 87 + 87 87 2 E Nemer 12 / 18
Mediana a partir de dados tabulados agrupados em classes Quando os valores da variável estiverem agrupados em classes, o cálculo da mediana será realizado por interpolação. Tratando-se de dados agrupados, admite-se que os valores da variável na distribuição de freqüências distribuam-se continuamente. O procedimento para o cálculo da mediana apresenta os seguintes passos: o Passo 1: Calcula-se a ordem n/2. A variável é contínua, independentemente se n é par ou ímpar. o Passo 2: Pela F ac, identifica-se a classe que contém a mediana (classe Md). o Passo 3: Utiliza-se a fórmula: Onde: Md l Md n f 2 + h F Md l Md limite inferior da classe Md. n tamanho da amostra ou número de elementos. f soma das freqüências anteriores à classe Md. h amplitude da classe Md. F Md freqüência da classe Md. Exemplo 14: Dada a distribuição amostral, calcular a mediana: Intervalos das classes Fi Fac 35 ----- 45 5 5 45 ----- 55 12 17 55 ----- 65 18 35 65 ----- 75 14 49 75 ----- 85 6 55 85 ----- 95 3 58 Soma 58 Classe Md 1 o passo: Calcula-se a ordem n/2. A variável é contínua, independentemente se n é par ou ímpar. Como n58, temos que o elemento n/229. E Nemer 13 / 18
2 o passo: Identifica-se a classe Md pela F ac. Nesse caso, a classe Md é a 3 a classe. 3 o passo: Calcula-se cada elemento da fórmula e aplica-se a fórmula: l Md 55 n 58 f 17 h 10 F Md 18 Logo, temos que: 58 17 2 Md 55 + 10 61,57 18 Então, 50% das observações têm medidas abaixo de 61,57 e 50% acima desse valor Quartis Há uma outra medida de posição semelhante à mediana, embora não seja uma medida de tendência central. Como vimos anteriormente, a mediana divide a distribuição em duas partes iguais quanto ao número de elementos de cada parte. Temos agora o quartil, que permite dividir a distribuição em quatro partes iguais quanto ao número de elementos de cada uma. 0% 25% 50% 75% 100% Q 1 Q 2 Md Q 3 Com relação à figura acima, temos que: o Q 1 1 o quartil, apanha 25% dos elementos o Q 2 2 o quartil, coincide com a mediana, apanha 25% dos elementos o Q 3 3 o quartil, apanha 75% dos elementos E Nemer 14 / 18
Determinação do 1 o quartil: Passo 1: Calcula-se a ordem n/4. Passo 2: Identifica-se a classe Q 1 pela Fac. Passo 3: Aplica-se a fórmula: Q 1 n f 4 + h Q l Q 1 F 1 Determinação do 3 o quartil: Passo 1: Calcula-se a ordem 3n/4. Passo 2: Identifica-se a classe Q 3 pela Fac. Passo 3: Aplica-se a fórmula: Q 3 3n f + 4 Q l Q 3 F 3 h Exemplo 15: Dada a distribuição amostral, determinar os quartis (Q1 e Q3) e mediana: Intervalos das classes Fi Fac 7 ----- 17 6 6 17 ----- 27 15 21 27 ----- 37 20 41 37 ----- 47 10 51 47 ----- 57 5 56 Soma 56 Classe Q 1 (contém o 28 o elemento) Classe Md (contém o 28 o elemento) Classe Q 3 (contém o 28 o elemento) 1 o passo: n 56 n 56 14 4 4 n 56 28 2 2 3n 3 (56) 42 4 4 E Nemer 15 / 18
2 o passo: Pela F ac identificam-se a classe Q 1 (2 a ), a classe Md (3 a ) e a classe Q 3 (4 a ). 3 o passo: Aplica-se, então, a fórmula: Logo: Para Q 1, temos: l Q1 17; n56; f 6; h10; F Q1 15 Para Md, temos: l Q1 27; n56; f 21; h10; F Md 20 Para Q 3, temos: l Q3 37; n56; f 41; h10; F Q1 10 Q 1 56 6 4 17 + 10 22,33 15 56 21 2 Md 27 + 10 30,5 20 Q 3 3(56) 41 4 37 + 10 38 10 Diante desses resultados, pode-se afirmar que, nessa distribuição, tem-se: 25% 25% 25% 25% 7 22,33 30,5 38 57 Logo, observamos que: - 25% das observações estão entre 7 e 22,33-25% das observações estão entre 22,33 e 30,5-25% das observações estão entre 30,5 e 38-25% das observações estão entre 38 e 57 E Nemer 16 / 18
Decis Continuando o estudo das medidas separatrizes: mediana e quartis, tem-se os decis. São os valores que dividem a série em 10 partes iguais. O cálculo para um decil (D i ) é dado por: Passo 1: Calcula-se a ordem in/10, em que: i1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Passo 2: Identifica-se a classe D i pela Fac. Passo 3: Aplica-se a fórmula: Di in f 10 + h Di l D i F Em que: L Di limite inferior da classe D i i1,2,3,..., 9 n tamanho da amostra f soma das freqüências anteriores à classe D i. h amplitude da classe D i. F Di freqüência da classe D i. Percentis São as medidas que dividem a série em 100 partes iguais. O cálculo de um percentil (P i ) é dado por: Passo 1: Calcula-se a ordem in/100, em que: i1,2,3,...,98 e 99. Passo 2: Identifica-se a classe P i pela Fac. Passo 3: Aplica-se a fórmula: Pi in f 100 + Pi l P i F h E Nemer 17 / 18
Em que: L Di limite inferior da classe D i i1,2,3,..., 9 n tamanho da amostra f soma das freqüências anteriores à classe D i. h amplitude da classe D i. F Di freqüência da classe D i. Exemplo 16: Determinar o 4 o decil e o 72 o percentil da seguinte distribuição: Intervalos das classes Fi Fac 4 ----- 9 8 8 9 ----- 14 12 20 14 ----- 19 17 37 19 ----- 24 3 40 Soma 40 Classe D 4 Classe P 72 Cálculo de D 4 : Cálculo de P 72 : 1 o passo: n 56 in 4 (40) 16 10 10 in 72 (40) 28,8 100 100 2 o passo: Pela F ac identificam-se a classe D 4 e P 72. 3 o passo: Aplica-se, então, a fórmula: Logo: Para D 4, temos: l D4 9; n40; f 8; h5; F D4 12 Para P 72, temos: l P72 14; n40; f 20; h5; F P72 17 D 4 (40) 8 10 9 + 5 12,33 4 12 P 72 (40) 20 100 14 + 5 16,89 72 17 Portanto, nessa distribuição, o valor 12,33 divide a distribuição em duas partes: uma (à esquerda) com 40% dos elementos e a outra com 60%. O valor 16,89 indica que 72% dos elementos da distribuição estão abaixo de 16,89 e 28% acima. E Nemer 18 / 18