XXXII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA Primeira Fase Nível 1 6 o ou 7 o ano Esta prova também corresponde à prova da Primeira Fase da Olimpíada Regional nos Estados de: AL BA ES GO MG PA RS RN SC A duração da prova é de 3 horas. Cada problema vale 1 ponto. Não é permitido o uso de calculadoras nem consultas a notas ou livros ou ainda o uso do telefone celular. Você pode solicitar papel para rascunho. Entregue apenas a folha de respostas. Ao participar o aluno se compromete a não divulgar o conteúdo das questões até a publicação do gabarito no site da OBM. 12 de junho de 2010 1. Qual dos números a seguir não é múltiplo de 15? A) 135 B) 315 C) 555 D) 785 E) 915 2. Ana, Esmeralda e Lúcia têm, juntas, 33 reais. Ana e Esmeralda, juntas, têm 19 reais e Esmeralda e Lúcia, juntas, têm 21 reais. Quantos reais tem Esmeralda? A) 6 B) 7 C) 10 D) 12 E) 1 3. Aumentando 2% o valor um número inteiro positivo, obtemos o seu sucessor. Qual é a soma desses dois números? A) 3 B) 53 C) 97 D) 101 E) 115. Qual é o maior número de fichas que podemos colocar em um tabuleiro 5 5, no máximo uma em cada casa, de modo que o número de fichas em cada linha e cada coluna seja múltiplo de 3? A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 2 5. Carlos tem 2010 blocos iguais de 10 cm de largura por 20 cm de comprimento e 1,5 cm de espessura e resolveu empilhá-los formando uma coluna de 20 cm de largura por 0 cm de comprimento, como na figura. Qual dos valores a seguir, em metros, é o mais próximo da altura dessa coluna? A) 7 B) 7,5 C) 8 D) 8,5 E) 9 6. Qual das alternativas apresenta um divisor de 5 3 3 5? A) 2 B) 5 C) 52 D) 85 E) 105 7. Dividindo-se o número 2 ( ) por obtemos o número: A) 2 B) 3 C) D) 8 E) 12 1
8. As quatro faces de um dado são triângulos equiláteros, numerados de 1 a, como no desenho. Colando-se dois dados iguais, fazemos coincidir duas faces, com o mesmo número ou não. Qual dos números a seguir não pode ser a soma dos números das faces visíveis? A) 12 B) 1 C) 17 D) 18 E) 19 9. Quantos divisores positivos de 120 são múltiplos de 6? A) B) 5 C) 6 D) 8 E) 12 10. O desenho mostra dois quadrados de papel sobrepostos, um de lado 5 cm e outro de lado 6 cm. Qual é o perímetro da figura formada (linha grossa no contorno do desenho), em centímetros? A) 31 B) 3 C) 36 D) 38 E) 1 11. O horário indicado pelo relógio ao lado está correto. A partir desse momento, porém, o relógio começa a atrasar exatamente 5 minutos a cada hora real. Depois de quantos dias o relógio voltará a apresentar um horário correto? A) 1 B) 2 C) D) 6 E) 12 12. No reticulado a seguir, pontos vizinhos na vertical ou na horizontal estão a 1 cm de distância. 1cm 1cm Qual é a área da região sombreada? A) 7 B) 8 C) 8,5 D) 9 E) 9,5 2
13. Um jornal publicou a tabela de um campeonato de futebol formado por quatro times, apresentando os gols marcados e os gols sofridos por cada time. Por uma falha de impressão, a tabela saiu com dois números borrados, conforme reprodução a seguir. Gols marcados Gols sofridos Craques do Momento 8 Independentes 1 6 EC Boleiros *** Esmeralda FC 5 *** Sabe-se que o time Esmeralda FC sofreu dois gols a mais que o time EC Boleiros. Quantos gols sofreu o time Esmeralda FC? A) 2 B) 3 C) D) 5 E) 6 1. Ana começou a descer uma escada no mesmo instante em que Beatriz começou a subi-la. Ana tinha descido 3 da escada quando cruzou com Beatriz. No momento em que Ana terminar de descer, que fração da escada Beatriz ainda terá que subir? A) 1 B) 1 3 C) 1 12 D) 5 12 E) 2 3 15. Alguns números inteiros positivos, não necessariamente distintos, estão escritos na lousa. A soma deles é 83 e o produto é 102. O menor número é igual a: A) 1 B) 2 C) D) 8 E) 16 16. Numa sala do 6º ano, todos gostam de pelo menos uma das duas matérias: Matemática ou Português. Sabese que 3 dos alunos gostam de Matemática e 5 7 dos alunos gostam de Português. A sala tem 56 alunos. Quantos alunos gostam dessas duas matérias ao mesmo tempo? A) B) 8 C) 13 D) 2 E) 26 17. O desenho representa um canto de um tabuleiro retangular convencional, formado por quadradinhos de lado 1 cm. Nesse tabuleiro, 17 quadradinhos são brancos. Qual é a área do tabuleiro, em centímetros quadrados? A) 29 B) 3 C) 35 D) 0 E) 150 3
18. A figura representa uma barra de chocolate que tem um amendoim apenas num pedaço. Elias e Fábio querem repartir o chocolate, mas nenhum deles gosta de amendoim. Então combinam dividir o chocolate quebrando-o ao longo das linhas verticais ou horizontais da barra, um depois do outro e retirando o pedaço escolhido, até que alguém tenha que ficar com o pedaço do amendoim. Por sorteio, coube a Elias começar a divisão, sendo proibido ficar com mais da metade do chocolate logo no começo. Qual deve ser a primeira divisão de Elias para garantir que Fábio fique com o amendoim ao final? A) Escolher a primeira coluna à esquerda. B) Escolher as duas primeiras colunas à esquerda. C) Escolher a terceira linha, de cima para baixo. D) Escolher as duas últimas linhas, de cima para baixo. E) Qualquer uma, já que Fábio forçosamente ficará com o amendoim. 19. Quatro amigos, Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo e Dernaldo estão jogando cartas. São 20 cartas diferentes, cada carta tem uma entre cores (azul, amarelo, verde, vermelho) e um número de 1 a 5. Cada amigo recebe cinco cartas, de modo que todas as cartas são distribuídas. Eles fazem as seguintes afirmações: Arnaldo: Eu tenho quatro cartas com o mesmo número. Bernaldo: Eu tenho as cinco cartas vermelhas. Cernaldo: As minhas cinco cartas são de cores que começam com a letra V. Dernaldo: Eu tenho três cartas de um número e duas cartas de outro número. Sabe-se que somente uma das afirmações é falsa. Quem fez essa afirmação? A) Arnaldo B) Bernaldo C) Cernaldo D) Dernaldo E) Não é possível definir. 20. A figura a seguir foi recortada em cartolina e depois dobrada para formar um icosaedro. As faces em branco foram numeradas de modo que ao redor de cada vértice (pontas do sólido) apareçam os números de 1 a 5. Qual número está na face com a interrogação? ICOSAEDRO A) 1 B) 2 C) 3 D) E) 5
XXXII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 1 (6º. ou 7º. anos) GABARITO 5
XXXII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 1 (6º. ou 7º. anos) GABARITO GABARITO NÍVEL 1 1) D 6) B 11) D 16) E 2) B 7) E 12) B 17) C 3) D 8) E 13) D 18) A ) D 9) C 1) E 19) B 5) B 10) D 15) A 20) D Cada questão da Primeira Fase vale 1 ponto. (Total de pontos no Nível 1 = 20 pontos). Aguarde a publicação da Nota de Corte de promoção à Segunda Fase no site: 1. Resposta: Todo múltiplo de 15 é múltiplo de 3 e de 5, mas 785 não é múltiplo de 3 porque a soma de seus algarismos é 7 + 8 + 5 = 20, que não é múltiplo de 3. Assim, 785 não é múltiplo de 15. 2. Resposta: Sejam A, E e L, respectivamente, as quantidades de dinheiro, em reais, que Ana, Esmeralda e Lúcia possuem. Sabemos que A + E + L = 33, A + E = 19 e E + L = 21. Portanto, podemos calcular E da seguinte forma: E = (A + E) + (E + L) (A + E + L) = 19 + 21 33 = 7. 3. Resposta: Se 2% de um número é igual a 1, então esse número é 50. Seu sucessor é 51, portanto a soma de ambos é 101.. Resposta: Cada linha ou coluna pode conter no máximo 3 fichas, então o máximo de fichas possíveis é 15. O exemplo a seguir mostra que esse máximo é atingido. 6
5. Resposta: Cada andar de blocos possui blocos. Com 502+ 2= 2010 blocos, podemos formar 502 andares de blocos completos e mais um andar incompleto, totalizando 503 1,5cm = 75,5cm de altura. Esse valor corresponde a 7,55m e está mais próximo de 7,5m. 6. Resposta: Qualquer divisor positivo de 3 5 3 8 5 3 5 = 2 3 5 deve ter a forma 0 a 8, 0 b 5 e 0 c 3. Apenas 5 um fator primo diferente de 2, 3 e 5. a b 2 3 5 c, com a, b e c inteiros, 0 2 1 = 2 3 5 é dessa forma. Cada um dos outros números possui 7. Resposta: 2 ( ) 2 = 16 = 12 = 8. Resposta: Somar os números de todas as faces visíveis é o mesmo que somar todos os números dos dois dados exceto os dois que estão em faces coladas, então a soma será 2 ( 1+ 2+ 3+ ) a b, onde a e b são os números nas faces coladas. Essa soma é igual a portanto nunca será 19. 20 a b, que pode assumir qualquer valor entre 12 (a = b = ) e 18 (a = b = 1), 9. Resposta: 3 a b c Um divisor positivo de 120= 2 3 5 é da forma 2 3 5, com 0 a 3, 0 b 1 e 0 c 1 inteiros. Além disso, para que esse divisor seja múltiplo de 6, é preciso que 1 a 3, b = 1 e 0 c 1. Temos 3 possibilidades para o expoente a, 1 possibilidade para o expoente b e 2 possibilidades para o expoente c, que podem ser combinadas de todas as formas. Assim, temos 3 1 2= 6 números. 7
10. Resposta: Para calcular o perímetro da figura, conte o perímetro dos dois quadrados, que é igual a 5+ 6= cm e desconte o perímetro do retângulo formado pela sobreposição das áreas, que é 2 1+ 2 2= 6cm Essa diferença é 38cm. 11. Resposta: Ao passar 1 hora real, o relógio fica 5 minutos atrasado, que é 1/12 do tempo real que se passou. Depois de se atrasar 12 horas, o relógio vai novamente apresentar a hora correta, pois todos os ponteiros se atrasam uma quantidade inteira de voltas. Assim, é preciso de 12 vezes o período de 12 horas até que o relógio volte a apresentar um horário correto, que é igual a 6 dias. 12. Resposta: Dividindo a área sombreada em 5 triângulos e 1 retângulo, podemos calcular cada área de forma rápida, conforme indicado na figura, pois as bases e as alturas são paralelas às retas determinadas por pontos vizinhos. Somando todos os valores, obtemos 8cm 2. 13. Resposta: Todo gol marcado por um time conta também como gol sofrido por outro time, assim a quantidade total de gols marcados é igual à quantidade total de gols sofridos. Sendo x a quantidade de gols sofridos pelo Esmeralda FC, o EC Boleiros sofreu x 2 gols. Assim: 8
8 + 1 + + 5 = + 6 + x + x 2 18 = 8 + 2x x = 5 1. Resposta: Quando Ana andar 3/ da escada, Beatriz terá andado 1/ da mesma. Isso significa que Ana é três vezes mais rápida para descer do que Beatriz para subir. Quando Ana andar mais 1/ da escada e terminar, Beatriz terá andado mais um terço disso, que é 1/12. Assim, Beatriz andou /12 da escada, então ainda terá que subir 8/12 = 2/3 dela. 15. Resposta: Como a soma dos números é 83, que é ímpar, um deles é ímpar. Sendo a única potência de 2 ímpar igual a 1, o menor número é 1. 16. Resposta: 3 5 Da sala, 56= 2 alunos gostam de Matemática e 56= 0 alunos gostam de Português. Como são, no 7 total, 56 alunos, cada um gostando de pelo menos uma das matérias, 2 + 0 56 = 26 gostam de ambas matérias. 17. Resposta: Do desenho dado, cada lado do tabuleiro mede pelo menos 3 e, sendo o quadradinho do canto preto, a quantidade de quadradinhos pretos é igual a 17, se a área do tabuleiro é par, e 18, se a área é ímpar. No primeiro caso, a área é 17+ 17= 3= 2 17, o que não é possível; no segundo caso, a área é 17+ 18= 35= 5 7, e o tabuleiro tem dimensões 5 e 7. 18. Resposta: Quem deixar a barra de chocolate no formato a seguir obriga o outro a comer o amendoim: Se Elias pegar a coluna mais à esquerda, o chocolate vira um quadrado de lado 3: 9
A partir de agora, se Fábio pegar a coluna à esquerda, Elias pega a linha de baixo e não come o amendoim. Se Fábio pegar as duas colunas da esquerda, Elias pega as duas linhas de baixo e não come o amendoim. Um raciocínio análogo demonstra que Fábio também fica com o amendoim se pegar as colunas de baixo. Qualquer outra repartição inicial de Elias permite que Fábio deixe apenas o amendoim ou o chocolate quadrado de lado 2, o que também obriga Elias a ficar com o amendoim. Assim, Elias precisa começar da coluna mais à esquerda. 19. Resposta: Se a afirmação falsa fosse de Cernaldo ou de Dernaldo, significaria que Arnaldo e Bernaldo fizeram afirmações verdadeiras. Mas se Bernaldo tivesse todas as cartas vermelhas, só haveria 3 números disponíveis para Arnaldo pegar. Então, a afirmação falsa só pode ser de Arnaldo ou de Bernaldo. Se a afirmação falsa foi de Arnaldo, Bernaldo deve ter as 5 cartas vermelhas, então sobram as 5 cartas verdes para Cernaldo. Mas assim não há como Dernaldo possuir 3 cartas de um mesmo número. A afirmação falsa não pode ser de Arnaldo. Se a afirmação falsa foi de Bernaldo, então podemos montar a seguinte tabela de cartas e assinalar a inicial de quem possui cada uma: 1 2 3 5 Azul A B B D D Amarelo A B B D D Verde A C C B D Vermelho A C C C A Assim, só Bernaldo pode ter feito a afirmação falsa. 10
20. Resposta: As faces destacadas, partilham um vértice com a face marcada com 1, portanto não podem ser iguais a 1. Assim, observando o vértice P, Y = 1. Logo as casas marcadas com * são 2 e 5, em alguma ordem, e, observando o vértice Q, X = 1. Por fim, no vértice R, W, de modo que Z =. 11