4.4 Limite e continuidade

4.4 Limite e continuidade Noções Topológicas em R : Dados dois pontos quaisquer (x 1, y 1 ) e (x, y ) de R indicaremos a distância entre eles por då(x 1, y 1 ), (x, y )è=(x 1 x ) + (y 1 y ). Definição 4.4.1. Uma vizinhança do ponto (x 0, y 0 ) R de raio r > 0 é o conjunto V = {(x, y) R ; d[(x, y), (x 0, y 0 )] < r} Exemplo 4.4.1. A vizinhança de (1, ) de raio y é o conjunto {(x, y) R ; d[(x, y), (1, )] < } (1, ) cuja representação gráfica é o disco dado ao lado. O x Definição 4.4.. Sejam S um subconjunto do R e (x 0, y 0 ) R. Dizemos que (x 0, y 0 ) é um ponto de acumulação de S, se toda vizinhança V de (x 0, y 0 ) é tal que V S {(x 0, y 0 )}. Exemplo 4.4.. a) Se S = {(x, y) R ; y > x}, então (, ) é um ponto de acumulação de S. (1, ) é ponto de acumulação de S. (3, 1) não é ponto de acumulação de S. O conjunto dos pontos de acumulação de S é {(x, y) R ; y x}. S y Pontos de acumulação de S y 1 1 3 x 1 x Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 53

b) Se S = {(x, y) R ; y > x }Ë{(, )} então (, ) S mas não é ponto de acumulação de S. O conjunto dos pontos de acumulação de S é {(x, y) R ; y x }. S y Pontos de acumulação de S y (, ) x x Definição 4.4.3. Sejam L R, uma função f(x, y) cujo domínio indicaremos por D e (x 0, y 0 ) R um ponto de acumulação de D. Dizemos que L é o ite de f(x, y) em (x 0, y 0 ) se para todo ǫ > 0, existe δ > 0 tal que (x, y) D e 0 < d [(x, y), (x 0, y 0 )] < δ f(x, y) L < ǫ Exemplo 4.4.3. Mostre que (x + y) = 5. (x,y) (1,) Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 54

De fato: (x + y) 5 = (x 1) + (y ) x 1 + y (x 1) + (y ) + (x 1) + (y ) 3då(x, y), (1, )è Dado ǫ > 0, seja δ = ǫ 3 ; då(x, y), (1, )è<δ implica que (x + y) 5 < 3δ = ǫ. Logo (x + y) = 5. (x,y) (1,) Observação 4.4.4. Do Exemplo 4.5.3, podemos concluir que se f(x, y) é um polinômio de duas variáveis então f(x, y) = f(x 0, y 0 ). Proposição 4.4.5. (Conservação do sinal) Se f(x, y) = L > 0, então existe uma vizinhança V de (x 0, y 0 ) tal que para todo (x, y) V {(x 0, y 0 )}, f(x, y) > 0. Vale o análogo, para L < 0. Propriedades Operatórias dos ites Sejam as funções f(x, y) e g(x, y) com domínio D e seja (x 0, y 0 ) R um ponto de acumulação de D. Se temos a) k f(x, y) = k L f(x, y) = L 1, b) Se m e n são inteiros, então [f(x, y)]m/n = L m/n, desde que L m/n seja um número real. b) f(x, y) ± g(x, y)=l 1 ± L c) f(x, y) g(x, y)=l 1 L f(x, y) d) Se L 0 então g(x, y) = L 1 L g(x, y) = L, e k constante, Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 55

3x 3 y Exemplo 4.4.4. a) (x,y) (1,) x = 3 13 1 = 1 = (3) (x,y) (1,) x3 y (x,y) (1,) (x,y) (1,) x (x,y) (1,) = (x,y) (1,) b) Como conseqüência das propriedades operatórias, dada qualquer função racional P(x, y) f(x, y) = Q(x, y) e qualquer (x 0, y 0 ) R pertencente a seu domínio (isto é, Q(x, y) 0) temos que P(x, y) Q(x, y) = P(x 0, y 0 ) Q(x 0, y 0 ) (Análogo ao que foi visto no Cálculo A, isto quer dizer que a função é contínua em (x 0, y 0 ).) x y y c) (x,y) (, 1) xy 4 = ( 1) ( 1) ( 1) 4 = 9. d) Em alguns casos, mesmo quando o ponto não pertence a seu domínio, podemos calcular ites de funções racionais cancelando fatores do numerador e denominador 3x (y 1) (x,y) (1, 1) xy (y + 1) = 3x (y 1)(y + 1) 3x (y 1) = = 6 (x,y) (1, 1) xy (y + 1) (x,y) (1, 1) xy Definição 4.4.6. Uma função f : D R R é dito itada se existe um número real M > 0 tal que f(x, y) < M para todo (x, y) D. Proposição 4.4.7. Se f(x, y) = 0 e g(x, y) M para todo (x, y) V, V uma vizinhança de (x 0, y 0 ), então f(x, y) g(x, y) = 0. Exemplo 4.4.5. Mostre que x sen1 y=0. Como sen ( 1 y ) 1=M e x sen1 y=0. x = 0, conclui-se pelo proposição 4.5.7 que Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 56

Proposição 4.4.8. (Teorema do Confronto) Sejam f, g e h funções de D R R, e seja (x 0, y 0 ) um ponto de acumulação de D. Se g(x, y) f(x, y) h(x, y) para todo (x, y) (x 0, y 0 ) em um disco com centro em (x 0, y 0 ) e h(x, y) = L, então Exemplo 4.4.6. Mostre que sendo que 0 = f(x, y) = L. x y x + y = 0. 0 x y x + y = x y x + y x y = y, x g(x, y) = L, y = 0, conclui-se pelo teorema do confronto, que também x y x + y =0 e, conseqüentemente x y x + y = 0. Teorema 4.4.9. Seja f : D R R uma função. Se o ite de f quando (x, y) aproxima-se de (x 0, y 0 ) existe, então ele é único. Observação 4.4.10. Do teorema, podemos concluir que se duas curvas passam pelo ponto (x 0, y 0 ) e originam valores diferentes para o ite de uma função, então o ite da função quando (x, y) se aproxima de (x 0, y 0 ) não existe. Quando (x, y) se aproxima de (x 0, y 0 ) ao longo de uma determinada direção C, ao ite direcional. Exemplo 4.4.7. Calcule x y x + y f(x, y) dá-se o nome (x,y) C Seja a curva C 1 de equação y = 0 Seja a curva C de equação x = 0 x 0 f(x, y) = x 0 x + 0 = x x 0 x = 1 (x,y) C 1 0 y f(x, y) = y 0 0 + y = y y 0 y (x,y) C = 1 Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 57

Logo, x y não existe. x + y Exemplo 4.4.8. Calcule (x,y) (1,0) (x 1)y (x 1) + y Seja a curva C 1 de equação y = 0 (x 1) 0 f(x, y) = (x,y) (1,0) x 1 (x 1) + 0 = 0 x 1 (x 1) = 0 (x,y) C 1 Seja a curva C de equação x = 1 f(x, y) = (x,y) (1,0) y 0 (x,y) C Seja a curva C 3 de equação y = x 1 (1 1) y (1 1) + y = y 0 0 y = 0 (x 1) (x 1) f(x, y) = (x,y) (1,0) x 1 (x 1) + (x 1) = (x 1) x 1 (x 1) = 1 (x,y) C 3 Logo, x y não existe. x + y Exemplo 4.4.9. Calcule x y x 4 + y Seja a curva C 1 de equação y = mx (m constante) f(x, y) = x 0 (x,y) C 1 Seja a curva C de equação y = x x mx x 4 + (mx) = x 0 mx x + m = 0 x x f(x, y) = x 0 x 4 + (x ) = x 4 x 0 x = 1 4 (x,y) C Logo, x y não existe. x 4 + y Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 58

Observação 4.4.11. O cálculo de ites direcionais para o ponto (x 0, y 0 ) (0, 0), pode eixosx = X x 0 ser facilitado ao se efetuar uma translação dos que coloque a nova y = Y y 0 origem em (x 0, y 0 ), ficando assim o estudo de um ite em (0, 0). Exemplo 4.4.10. Calcule (x,y) (1,1) x y (x 1) + (y 1) Fazemos a mudançax = X + 1 y = Y + 1 então temos, (x,y) (1,1) x y (x 1) + (y 1) = (X,Y ) (0,0) X Y X + Y Seja a curva C 1 de equação Y = mx (m constante) f(x, y) = (X,Y ) (0,0) X 0 (X,Y ) C 1 Como o ite direcional depende de m X mx X + (mx) = X 0 X(1 m) X 1 + m = ± 1 m 1 + m Logo, (x,y) (1,1) x y não existe. (x 1) + (y 1) Calculando Limites por Meio das Coordenadas Polares Existem algumas classes de funções, para as quais o cálculo de ites pode ser feito por = r cos θ meio de mudança de variáveis por coordenadas polaresx. y = r sen θ Proposição 4.4.1. Seja f : D R R então f(x, y) = L f(x + 0 + r cos θ, y 0 + r sen θ) = L, uniformemente em θ. Ou seja, o ite f(x, y) existe se, e só se o ite radial de f escrito em coordenadas polares centrado em (x 0, y 0 ) não depende de θ. Exemplo 4.4.11. Calcule x + y x y. Usando coordenadas polares vamos verificar se existe r cos θ + r sen θ f(r cos θ, r sen θ) = r cos θ r sen θ = r 1 cos θ sen θ Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 59

1 Como a função, não é itada (se θ = π/4, o denominador é nulo ) a cos θ sen θ convergência não é uniforme em θ e o ite não existe. Exemplo 4.4.1. Calcule sen (xy) x + y Usando coordenadas polares vamos verificar se existe f(r, θ) = sen (r cos θ sen θ) r = r cos θ sen θ cos (r cos θ sen θ) r = cos θ sen θ Como o ite depende θ, a convergência não é uniforme em θ e o ite não existe. Exemplo 4.4.13. Calcule xy x + y. Usando coordenadas polares vamos verificar se existe (r cos θ)(r sen θ) f(r, θ) = r = r cos θ sen θ r porque cos θ sen θ é uma função de θ itada, portanto xy x + y = 0 = r cos θ sen θ = 0 Exemplo 4.4.14. Calcule sen (x + y ) 1 cos x + y. Usando coordenadas polares vamos verificar se existe sen (r ) F(r, θ) = 1 cos (r) = r cos (r ) sen (r) = cos (r ) 4r sen (r ) cos (r) =. Portanto sen (x + y ) 1 cos x + y = Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 60

Observação 4.4.13. Em cada um desses exemplos acima, a existência ou inexistência do ite quando r 0 é razoavelmente clara. Contudo a mudança para coordenadas polares nem sempre ajuda e pode até nos levar a conclusões falsas. Por exemplo, o ite pode existir ao longo de toda reta (ou raio) θ =constante e mesmo assim não existir em um sentido mais amplo. Exemplo 4.4.15. Calcule x y x 4 + y. Observe que mostramos em exemplo 4.5.9 que o ite não existe. Vamos usar coordenadas polares para analisar a existência do ite no ponto (0, 0) f(r cos θ, r sen θ) = (r cos θ)(r sen θ) r 4 cos 4 θ + r sen θ = r cos θ sen θ r cos 4 θ + sen θ Seja s 1 uma reta que passa pelo pólo, não coincidente com o eixo polar, de equação θ nπ, n Z. (r,θ) s 1 r cos θ sen θ r cos 4 θ + sen θ = (r,θ) s 1 0 cos θ sen θ 0 cos 4 θ + sen θ = (r,θ) s 1 0 sen θ = 0. Seja s a reta que contém o eixo polar, de equação θ = nπ, n Z. Nesse caso, (r,θ) s r cos θ sen θ r cos 4 θ + sen θ = r(±1) 0 r (±1) 4 + 0 = 0 r = 0. Observamos portanto que, para qualquer reta s que passa pelo pólo, esse ite calculado sobre s é igual a zero. Continuidade Definição 5: Sejam f(x, y) uma função, D R seu domínio e (x 0, y 0 ) D. Dizemos que f(x, y) é contínua em (x 0, y 0 ) se Exemplo 15: f(x, y) = f(x 0, y 0 ). 1) Se f(x, y) é uma função polinomial, então f(x, y) é contínua em qualquer ponto do R. Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 61

) A seguinte função não contínua na origem: De fato: f(x, y) = 3x y + x 3 se (x, y) (0, 0) x + y 1 se (x, y) = (0, 0) 3x y + x 3 f(x, y) = x + y (x,y) (0,0) por meio das coordenadas polares. Temos 3(r cos θ)(r sen θ) + r 3 cos 3 θ = r cos θ + r sen θ 3r 4 cos θ sen θ + r 3 cos 3 θ = r = ( 3r cos θ sen θ + r cos 3 θ) = 0 Como este valor é diferente de f(0, 0), f é descontínua em (0, 0). 3) A seguinte função é contínua no ponto (3, 1): 3(x 3)(y 1) (x 5 se (x, y) (3, 1) 3) + (y 1) se (x, y) = (3, 1) De fato: 3(x 3)(y 1) 5 f(x, y) = + (x,y) (3,1) (x,y) (3,1) (x 3) + (y 1) (x,y) (3,1) por meio das coordenadas polares. Temos 3(r cos θ)(r sen θ) 5 = + (r cos θ) + (r sen θ) 3 r6 cos θ sen = + 5 θ r = + f(x, y) = + r 3 cos θ sen 5 θ= Como este valor é igual a f(0, 0), f é contínua em (0, 0). Observação: As propriedades das funções contínuas são análogas às das funções contínuas de uma variável. Proposição 4: Sejam f, g : D R R funções contínuas no ponto (x 0, y 0 ). Então: Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 6

i) f + g e f g são contínuas em (x 0, y 0 ). ii) Se f(x 0, y 0 ) 0 então 1 f é contínua em (x 0, y 0 ). Exemplo 15: 1) As funções racionais nos pontos onde os polinômios do denominador não se anulam, são contínuas. ) A função f(x, y) = x3 + y x + 1 é contínua em R. Proposição 5: Se f(x, y) é continua em (x 0, y 0 ), L 1 = f(x 0, y 0 ), e g(z) é uma função de uma variável real tal que existe g(z) = L então g(f(x, y)) = L z L1. Exemplo 16: 1) ) Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 63