PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E TEORIA DE FILAS

Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro COE: rograma de Egeharia de rodução Área de esquisa Oeracioal O Escola oliécica: Dearameo de Egeharia Idusrial ROCESSOS ESTOCÁSTICOS E TEORIA DE FILAS rof. Virgílio José Maris Ferreira Filho

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ÍNDICE. ROCESSOS ESTOCÁSTICOS... 4.. DESCRIÇÃO E DEFINIÇÃO DE ROCESSOS ESTOCÁSTICOS... 4... ROCESSO ESTOCÁSTICOS CONTÍNUOS / DISCRETOS... 4... DISTRIBUIÇÕES DE ROBABILIDADE... 5... ALGUNS ROCESSOS ESTOCÁSTICOS IMORTANTES... 6.. CADEIAS DE MARKOV EM TEMO DISCRETO... 7... ROBABILIDADE DE TRANSIÇÃO EM VÁRIOS ESTÁGIOS... 8... ROBABILIDADE DE ª ASSAGEM E RIMEIRO RETORNO...... CLASSIFICAÇÃO DE ESTADO.....4. CADEIAS DE MARKOV ERGÓDICAS (ROBABILIDADES LIMITE).....5. TEMO MÉDIO DE º ASSAGEM / RECORRÊNCIA... 5..6. CADEIAS DE MARKOV ABSORVENTES... 7.. CADEIA DE MARKOV EM TEMO CONTÍNUO... 9... VISUALIZAÇÃO MATRICIAL...... TEMO ATÉ A RÓXIMA TRANSIÇÃO...... ROBABILIDADE DE REGIME ERMANENTE... 4..4. ROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE... 4..5. ROCESSO DE OISSON... 6..6. TEMO ENTRE EVENTOS CONSECUTIVOS... 8..7. SUEROSIÇÃO DE ROCESSOS DE OISSON... 8..8. DECOMOSIÇÃO DE ROCESSOS DE OISSON... 8..9. TEOREMA DE KHINTHINE... 9.4. EXERCICIOS ROOSTOS DE ROCESSOS ESTOCÁSTICOS.... TEORIA DE FILAS... 9.. INTRODUÇÃO E CONCEITOS BÁSICOS... 9... ORQUE FILAS SÃO ESTUDADAS... 4... RINCIAIS CARACTERISTICAS DE UMA FILA... 4... NOTAÇÃO DE KENDALL... 4..4. TERMINOLOGIA E NOTAÇÕES... 4..5. RESULTADO DE LITTLE... 44..6. EXEMLOS DE SISTEMAS DE FILAS REAIS... 45..7. A DISTRIBUIÇÃO EXONENCIAL NA TEORIA DE FILAS... 46..8. ROCESSO DE OISSON... 5.. FILAS MARKOVIANAS (ROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE)... 5... SISTEMAS INFINITOS... 5... SISTEMAS FINITOS... 58.. MODELO DE ERLANG... 6... SISTEMA M E K S... 6... SISTEMA E K M... 6.4. REDES DE FILAS MARKOVIANAS... 6.4.. SISTEMA ABERTO SEM REALIMENTAÇÃO... 64.4.. SISTEMA FECHADO... 66.4.. SISTEMAS MISTOS OU ABERTOS COM REALIMENTAÇÃO... 66.4.4. TEOREMA BURKE... 67.4.5. FORMA RODUTO NA REDE ABERTA... 69.5. A FILA M G... 7.5.. MEDIDAS DE DESEMENHO... 74.6. Aexo... 79.6.. FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS... 79.6.. RORIEDADES DA FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS... 8 rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E).6.. TRANSFORMADA Z... 8 EXERCICIOS ROOSTOS DE TEORIA DAS FILAS... 88. MOVIMENTO BROWNIANO... 94.. ASSEIO ALEATÓRIO DISCRETO - DISCRETE TIME, DISCRETE STATE, RANDOM WALK... 94.. ASSEIO ALEATÓRIO COM DESVIO - DISCRETE RANDOM WALK WITH DEVIATION... 95.. ASSEIO ALEATÓRIO COM TAMANHO DO ASSO VARIÁVEL - DISCRETE TIME CONTINUOS SACE RANDOM WALK... 96.4. ROCESSO DE WIENER... 97.5. GENERALIZAÇÃO - ROCESSO DE WIENER COM DESVIO... 98.6. RERESENTAÇÃO DO MOVIMENTO BROWNIANO OR ASSEIO ALEATÓRIO 99 4. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 5. LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS DE ROCESSOS ESTOCASTICOS... 4 6. LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS DE TEORIA DAS FILAS... 4 7. Lisa de Exercícios Comlemeares... 58 rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E). ROCESSOS ESTOCÁSTICOS.. DESCRIÇÃO E DEFINIÇÃO DE ROCESSOS ESTOCÁSTICOS Segudo Lieberma, um rocesso esocásico é uma coleção de variáveis aleaórias idexadas ( X ), ode é um ídice defiido um cojuo T. Assim, um rocesso esocásico é a descrição de um feômeo aleaório que varia com o emo. O rocesso esocásico X X,..., ode reresear a coleção das quaidades, X de carros que assam or um deermiado oo de uma rodovia, a evolução dos íveis de esoque semaais de uma firma, o comorameo de uma arícula de gás, variações as qualidades dos roduos, variações os reços de ações, vedas uma deermiada loja, evolução do úmero de desemregados um deermiado aís, ec. O rocesso esocásico Y Y,,... reresea a evolução oulacioal brasileira,, Y desde o ao de 998 como mosra a Tabela.: Tabela. Evolução oulacioal brasileira 998 999... Habiaes 6.79. 6.947.554 69.59.69 7.85.86 74.6.96... (Foe: Deara) Os valores assumidos or um rocesso esocásico são deomiados esados e o cojuo de odos os esados ossíveis é dio esaço de esados.... ROCESSO ESTOCÁSTICOS CONTÍNUOS / DISCRETOS Os rocessos esocásicos odem ser classificados como: a) Em relação ao Esado: - Esado Discreo (cadeia): X() é defiido sobre um cojuo eumerável ou fiio. - Esado Coíuo: caso corário. b) Em relação ao Temo: - Temo Discreo: é fiio ou eumerável. - Temo Coíuo: caso corário. Noação: - rocesso em emo coíuo: {X(), } - rocesso em emo discreo: {X(), =,,,...} rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Exemlos: - Esado Discreo e Temo Coíuo: úmero de usuários em uma fila de baco em um deermiado isae, colisões ere duas arículas o iervalo de miuos; - Esado Coíuo e Temo Coíuo: ível de uma reresa observado em um iervalo de emo; - Esado Discreo e Temo Discreo: úmero de máquias avariadas o fim do dia, Quaidade de barris eróleo roduzidas ao fial do dia or uma deermiada muliacioal; - Esado Coíuo e Temo Discreo: coação de uma ação o fim do dia.... DISTRIBUIÇÕES DE ROBABILIDADE ara um dado valor de, o rocesso esocásico X() é uma variável aleaória, e a obeção de sua disribuição de robabilidade é feia como qualquer oura variável aleaória. Ereao, quado varia ao logo do cojuo T, a iformação X() ão é forecida or uma simles disribuição ara um dado. ara uma iformação comlea do rocesso recisamos da disribuição cojua {X(), T}. Com isso odemos rever o comorameo do rocesso o fuuro, cohecedo o comorameo o assado. Quado é coíuo, ober essa disribuição cojua é imossível, já que o cojuo é ão-eumerável. Sob essas circusâcias, é válido assumir que o comorameo do rocesso ode ser obido esudado-o em um cojuo discreo de oos, assim a disribuição cojua defiida esse cojuo de oos é aroriada. Seja (,,...,), com < <...<, um cojuo discreo de oos de T. A disribuição cojua do rocesso X() esses oos ode ser defiida como segue: X x, X x,..., X x [ ] () A robabilidade do rocesso esocásico esar o emo o esado robabilidade de esado ( ) e é defiida or: a é chamada [ X a ] () O veor = [...... ] é chamado veor de robabilidade de esado. A robabilidade do rocesso esocásico (com emo e esado discreos) esar o esado j, dado que esava o esado i, é chamada robabilidade de rasição (, ). m ij m, ij [ X j X m i], m () rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ara o caso coíuo, a robabilidade codicioal de rasição e a robabilidade de esado são defiidas, resecivamee, como segue: F( x, x,, ) [ X ( ) x X ( ) x] F( x, ) [ X ( ) x] (5) (4) A mariz que armazea odas as robabilidades de rasição ( m, ) ij é chamada ( ( m, ) ij m, ) mariz de robabilidade de rasição [ ]. Um rocesso é dio homogêeo (o emo) se a rasição deede de, mas ão deede de. Nesse caso emos: F( x, x,, ) F( x, x,, ) O corresodee ara esado e emo discreos é ( m, ) ( m) ij ij Diagrama de Trasição de Esados Ë o grafo valorado rereseaivo do rocesso esocásico, ode o cojuo de vérices esá associado ao cojuo de esados e seus valores as resecivas robabilidades de esado. O Cojuo de arcos, or sua vez, esá associado as ossíveis rasições e é valorado elas robabilidades de rasição. / / / / / / /... ALGUNS ROCESSOS ESTOCÁSTICOS IMORTANTES rocesso de WEINER (Movimeo Browiao): a disosição de uma arícula susesa em um fluido, sujeia a sucessivas colisões com arículas vizihas é um exemlo clássico do rocesso de Weier. O feômeo físico foi descobero elo boâico Rober Brow em 87. A eoria do comorameo desse rocesso foi desevolvida or Eisei (96) e Weier (9). rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) rocesso de oisso: o rocesso esocásico {X()} al que [ X ( ) e k] ( ) k! k é deomiado rocesso de oisso. Esse rocesso modela, razoavelmee bem, o úmero de chamadas uma cabie elefôica, or exemlo. rocesso de Reovação: um exemlo desse rocesso é a vida úil de um equiameo ode uma eça que falha é subsiuída or uma eça igual. rocesso de Markov: esse rocesso oda hisória assada é resumida o esado aual (memória de curo razo)... CADEIAS DE MARKOV EM TEMO DISCRETO Um rocesso esocásico é dio er a roriedade Markoviaa se: [ X j X i; X k ;...; X k, X k] [ X j X i] (6) ara =,,... e qualquer seqüêcia i, j, k,..., k -. A exressão acima, equivale a dizer que a robabilidade codicioal de qualquer eveo fuuro, dado qualquer eveo assado e o esado resee X =i, é ideedee do eveo assado e deede somee do esado resee do rocesso. Ou seja, um rocesso esocásico é dio ser um rocesso Markoviao, se o esado fuuro deede aeas do esado resee e ão dos esados assados. Esse io de rocesso esocásico é ambém deomiado de rocesso sem memória. Se, ara cada i e j [ X j X i] [ X j X i], ara odos,,... eão, as robabilidades de rasição em um eságio são dias serem esacioárias e são deoadas or ij. Isso imlica que as robabilidades de rasição ão mudam o emo. Um rocesso esocásico X ( =,,...) é dio ser uma cadeia de Markov em emo discreo se iver o seguie: - Saisfizer a roriedade de Markov - ossuir esaço de esados eumerável. No resee curso, focaremos ossas aeções em cadeias de Markov que areseem as seguies roriedades.: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) - Um úmero fiio de esados, - A roriedade markoviaa, - robabilidades de rasição esacioárias, 4- Um cojuo de robabilidades iiciais (X = i) ara odo i.... ROBABILIDADE DE TRANSIÇÃO EM VÁRIOS ESTÁGIOS A exisêcia de robabilidades de rasição esacioárias em um eságio ambém imlica que, ara cada i, j e ( =,,,...), [ X j X i] [ X j X i], ara odos,,... () Esas robabilidades codicioais são usualmee deoadas or ij e são chamadas de robabilidades de rasição em eságios. Os rocessos com essas caracerísicas são ambém chamados de rocessos homogêeos o emo. ( ) ij [ X j X i] ( ( ) ij A mariz que armazea as robabilidades de rasição em eságios é deoada or ) [ ]. () Seja ij a robabilidade de rasição do esado i ara o esado j em eságios, como mosra a Figura. a seguir. esado j z i eságio Figura. robabilidade de Trasição do esado i ara o esado j em eságios odemos escrever: () ij () ij () ii ik k k i, z, j S () ij kj () iz () zj, ara cada i, j. () ij () jj rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Em oação maricial: () () (), ode: () ij Aalogamee: ks ik kj, ara cada i, j. () () () () () De uma maeira geral, odemos esabelecer a equação de Chama-Kolmogorov: ( ) ( k) ( k) (7).: Seja j () a robabilidade de esar o esado j o isae, como mosra a Figura esado z j i eságio Figura. robabilidade de esar o esado j o isae odemos escrever: () j () j () i is () ij () i () ij () j () jj, ara cada i, j. () z () zj Em oação maricial: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) () () () () De uma maeira geral, odemos esabelecer o veor de esado o isae : ( ) ( k) ( k) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E)... ROBABILIDADE DE RIMEIRA ASSAGEM E RIMEIRO RETORNO Seja a igualdade: f ( ) ij [ X j, X j; X j;...; X j; X i] Se j i, () fij é a robabilidade de ª assagem, iso é a robabilidade de que o rocesso eseja o esado j, o emo (e ão aes), dado que ele esava o esado i, o emo. Se j i, () fij é a robabilidade de ª reoro, iso é a robabilidade de que sejam ecessários assos aé aigir o esado j ela º vez dado que o rocesso começa o esado i. () () ij ij f, e ara f (,. ) ij ij f ( ) ij ( ) ij k f k ij ( k ) jj (8) ( ) ( ) F [ f ], ara cada i,j, é a mariz de rimeira assagem / rimeiro reoro. ij... CLASSIFICAÇÃO DE ESTADO rocessos Irreduíveis: cada esado ode ser alcaçado de qualquer ouro (aravés de uma seqüêcia de rasições), caso corário o rocesso é dio reduível. A Figura. mosra um exemlo de rocesso reduível. 5 7 4 6 Figura. Exemlo de rocesso Reduível Esado Recorree: se já acoeceu uma vez é cero que irá ocorrer ovamee, ou seja, exise uma robabilidade ão ula do esado vir a acoecer o fuuro. lim ( ), ara cada i. ij rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Esado Trasiee: irá ocorrer um deermiado úmero de vezes e oseriormee ão ocorrerá mais. lim ) ( ij, ara cada i, j é esado rasiee. Vale ressalar que um rocesso fiio e irreduível em odos os esados recorrees. Esado Nulo: esado recorree, orém com o emo de recorrêcia ifiio. Esado ão-ulo: emo de recorrêcia fiio. Esado eriódico: esados só odem ocorrer em emo fixo. Cosidere a Figura.4, ese caso, os esados e só odem ser alcaçados um emo fixo igual a. Figura.4 Exemlo de Esado eriódico A defiição de esado eriódico ão garae que o esado ocorra, mas se ele acoecer, erá que ser aquele emo. Esado Absorvee: lim ( ), ara cada i, j é esado absorvee ij Cadeia Absorvee: ossui elo meos um esado absorvee, como mosra a Figura.5, ode os esados 4 e 5 são absorvees. 4 5 Figura.5 Exemlo de Cadeia Absorvee..4. CADEIAS DE MARKOV ERGÓDICAS (ROBABILIDADES LIMITE) Uma cadeia é dia Ergódica se for irreduível, recorree, ão-ula e aeriódica. lim ) ( ij j (9), rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ode: j é fração do emo que o rocesso assa o esado j. À medida que o emo do rocesso cresce, o esado iicial erde imorâcia, assim como o rório emo. ] (veor liha) [ j lim (m rélicas do veor ] ) [ j Da equação de Chama-Kolmogorov emos: ( ) ( ) lim = lim {lim } A equação acima reresea um sisema de equações lieares com m sisemas ideedees e iguais com m equações lieares cada um. Iso é, m rélicas do sisema abaixo: j j Uma oura abordagem ara o roblema a ser cosiderada é ela uilização da Lei de Coservação do Fluxo, a qual garae que o esado ermaee, o fluxo que sai do sisema é igual ao fluxo que era. FLUXO QUE SAI = FLUXO QUE ENTRA abaixo: ara aálise aravés da Lei de Coservação de Fluxo, cosideremos a Figura.6, / / / / / / / Figura.6 Exemlo (Lei de Coservação de Fluxo) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4 A mariz de robabilidades de rasição de esados ara ese exemlo ecora-se descria a seguir. =, Resula em =,87 =,9 / / / / / / / combiação liear : : : ó ó ó Coservação do fluxo

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E)..5. TEMO MÉDIO DE º ASSAGEM / RECORRÊNCIA Seja N ij variável aleaória que reresea o úmero de eságios ecessários ara aigir j ela º vez, arido de i: { N } (disribuição do emo de º assagem/º reoro) ( ) ij f ij m ij E( N ij ) f ( ) ij º reoro (i = j) j é fração do emo que o rocesso assa o esado j. m jj = / é o eríodo médio ere a ocorrêcia de j. j Temo médio de º assagem (i j) Codicioado ao esado o eságio j i m ij = com robabilidade ij k j j m ij =(+m kj ) com robabilidade ik m kj m * ( m ) ij ij k j m * * ij ij ij k j k j m m () ik kj ik ik kj k j ik m kj Exemlo: Serviço de Trasore de assageiros or um Helicóero Cosideremos uma cidade com aeas rês helioos (Barra Shoig (), Saos Dumo () e Galeão ()) e um úico helicóero, que recolhe o assageiro de um dos helioos e os leva aé um ouro dos helioos, ode aguardam aé que aareça ouro assageiro. Um úico assageiro (um gruo com o mesmo desio) é aedido de cada vez. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Se o helicóero esá brevemee o Galeão, qual é a robabilidade de que ele vole aós viages? Se o helicóero esá brevemee o Saos Dumo, quaas viages, em média, irão correr aé que ele vole ao Saos Dumo? Em um logo eríodo de emo, qual a fração de viagem se desiam ao Barra Shoig? / / / / / / / Figura.7 Exemlo (Serviço de Trasore de assageiros or um Helicóero) é a mariz de rasição de esados. O grafo mosrado a Figura.7 é um recurso muio usado o esudo dos rocessos esocásicos, deomiado diagrama de rasição de esados. Solução: 9 7 54 4 9 5 7 8 9 54 6 8 7 54 Assim a robabilidade de que o helicóero vole aós viages é. 54 Da equação (9) emos: lim ij j Uilizado, or exemlo, a calculadora H odemos ober: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) lim,,,,87,87,87,9,9,9 Assim, em um logo eríodo de emo, a fração de viages que se desiam ao Barra Shoig é de,. Temos que m jj ; Assim, 58,87 j m, que reresea o úmero médio de viages que irão ocorrer aé que o helicóero vole ao Saos Dumo...6. CADEIAS DE MARKOV ABSORVENTES a) Rereseação Maricial: = Q R I b) robabilidade de Absorção (A) A [ a ij aos esados absorvees. ], ara cada i erecee aos esados rasiees e ara cada j erecee a ( ) ij f ij erecee aos esados absorvees., ara cada i erecee aos esados rasiees e ara cada j A robabilidade de absorção semre deede do esado iicial: j absorvee ij i k a kj rasiee j a ij ij k rasiee ik a kj rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) a ij ij kt erecee aos esados absorvees. A Q* A R ( I Q) * A R A ( I Q) * R () ik a kj, ara cada i erecee aos esados rasiees e ara cada j c) Duração média do regime rasiee Diz-se que e iz é o úmero médio de vezes que o esado rasiee z é ocuado, dado que o esado iicial é i, i erecee aos esados rasiees. Se Se i z, eão e iz ike kt i z, eão eiz ike E [ e iz ] kt kz, i, z erecee aos esados rasiees. E ( I Q) () kz di é a duração média do regime rasiee, dado que o esado iicial é i. d () i e ij jt Duração média do rocesso se ele esá o esado i e ermia o esado j r : a ij r a a r, ara i rasiee e j absorvee. ij ij ik k rasiee kj kj ij (OBS: fazedo b ij aij rij e B b ij k l, eremos B I Q A.) Exemlo: Uma floresa é cosiuída de dois ios de árvores: aquelas com aé meros e as maiores do que meros. A cada ao 4% das árvores com aé m morrem, % são vedidas or $ cada, % ermaecem com aé meros e % crescem ara acima de m. Das árvores maiores do que m a cada ao são vedidas 5% or $5 cada, % or $ cada e % ermaecem a floresa. a) Qual a robabilidade de que uma árvore, com meos de m, morra aes de ser vedida? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) b) Se uma árvore (com meos de m) é laada, qual é o seu valor eserado de veda? V5,4 M,5, -, +,, V, V M, V, V e V5 são esados absorvees. - + M V V V5 -,,,4, +,,,5 = M V V V5,48,48,57,4,8,4 E I Q, A E.R,48,85,74 a) robabilidade de que uma árvore, com meos de m, morra aes de ser vedida: a,m =,57 57% b) Valor eserado de veda, se uma árvore com meos de m é laada: V es = *,4 + *,8 + 5*,4 = $5,5.. CADEIA DE MARKOV EM TEMO CONTÍNUO Uma cadeia de Markov em emo coiuo e, como a desigação idica uma cadeia de Markov em que a variável emo é coiua, rereseado isaes ou momeos de rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) emo (e ão eríodos de emo, como ara as cadeias em emo discreo). Assim, uma cadeia de Markov em emo coiuo é um rocesso esocásico {X(), } com a roriedade de Markov, ou seja, a roriedade de esar o esado j um momeo fuuro deede aeas do esado resee e ão dos esados visiados em qualquer momeo assado. Cosiderado a Gráfico. abaixo, emos: esado T Gráfico. - rocesso de Markov em Temo Coiuo (, ) (, ) ( ) ij ij ij o (rocesso homogêeo): robabilidade que o sisema eseja o esado j, o isae, dado que ele esava o esado i o isae. () = [ ij () ] No exemlo emos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Suosições: de emo () O rocesso saisfaz a roriedade de Markov; O rocesso é esacioário; A robabilidade de ou mais mudaças de esado acoecerem um cero iervalo de emo () equeo é zero; A robabilidade de uma rasição de ara ; ou de ara em um cero iervalo equeo é roorcioal a () : ( ) ( ) (4) e ( ) ( ) (5) Assim emos que: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] ( [ )] ( )[ ( ) ( ) ( )] ( [ )] ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( lim ) ( ) ( ) ( d d d d ) ( ) ( ) ( Iegrado ambos os lados, emos: ) ( )] ( ) ( l[ ce ) ( ) ( ) ( Como (), emos ) ( ce. Logo: e ) ( ) ( (6) Aalogamee, odemos ober: e ) ( ) ( (7) e ) ( ) ( (8) e ) ( ) ( (9)

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E)... VISUALIZAÇÃO MATRICIAL d ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) d d( ) ( ) d ; Seja Assim emos: d( ) ( ) d ()... TEMO ATÉ A RÓXIMA TRANSIÇÃO ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) d ( ) d ( ) ( ) e () Geeralizado Um rocesso esocásico coíuo é um rocesso de Markov se: { X ( ), }, com esaço de esados eumerável E, é um rocesso de Markov se ara odo, s e j E : [ X ( s ) j X ( u), u s] [ X ( s ) j X ( s)] () rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) O rocesso será homogêeo se: X ( s ) j X ( s) i] ij ( ) s [ () Discreizado e uilizado a equação de Chama-Kolmogorov emos: ( ) ( ) ( ) ij ke ( ) ( ) ( ) ik kj Cálculo de ( ) Uilizaremos ara al a exasão em série de Taylor: ( ) ij ij () ij `()( ) ( ) () `()( ) ij ij ij, ode:. ``()( ) ij 6 ```()( ) ij..., i j ij ( ), i j dij ( ) ij`( ) d ij ( ) I ( ) (4) ij Reomado, íhamos aeriormee: ( ) ( ) ( ) Eq. C-K Subsiuido o resulado obido em (4) emos: ( ) ( )[ I ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) d( ) ( ) d (5) rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) é chamado gerador ifiiesimal. roriedades de : ij é a axa de rasição ou axa de saída, iso é a velocidade com que se escaa de um esado i ara um esado j. j ij... ROBABILIDADE DE REGIME ERMANENTE No esudo das cadeias de Markov em emo coiuo ieressa cohecer as robabilidades esacioarias de o rocesso esar em diferees esados. d( ) lim lim ( ) d d d d d lim ( ) lim ( ) As equações de regime ermaee são as que seguem: e (6)..4. ROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE Os rocessos de Nascimeo-More são rocessos esocásicos muio uilizados a descrição de Sisemas de Filas de Esera, dada a sua aricular esruura: as rasições de um qualquer esado só são ossíveis ara esados vizihos (i.e., de um esado i ara os esados i+ ou i-). Adoado-se um esaço de esados X ={,, } e cosiderado que cada esado reresea um cero ível de oulação (exemlo: úmero de cliees uma loja, úmero de mesages um coleor de chamadas, úmero de roduos a rocessar, ec.), ais rasições odem ser facilmee ierreadas. A rasição do esado i ara o esado i+ será um ascimeo (or exemlo, chegada de um cliee), uma vez que sigifica um aumeo do ível da oulação. Equao que a rasição do esado i ara o esado i- será uma more (or exemlo, arida de um cliee), or sigificar um decréscimo do ível da oulação. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Cosidere a Figura.8 abaixo. -... - +... - +...... Figura.8 rocesso de Nascimeo e More....................................................... Sedo assim:... ( ) ( )...,, or quesão de simlicidade de oação usaremos:, u, u,... e, u,... Uma oura abordagem ara o roblema é usado a Lei de Coservação do Fluxo: FLUXO QUE SAI = FLUXO QUE ENTRA e u : : [ ( u)] u rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) [( u u)] : u ) ( u ) u ( ( u u) Resolvedo o sisema emos: : u u uu : uuu :... u uu uuu ara resolvermos o sisema é ecessário que a série a covergêcia da série...5. ROCESSO DE OISSON Cosidere a Figura.9:... - + Figura.9 O rocesso de oisso... Equação de Chama-Kolmogorov (equivalee o caso coíuo): d( ) ( ) d............................................................. ; ( ) ( ) ( )...... ( ) ( )...... ( ) ( ).................. Da liha emos: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) d ( ) d ( ) d ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) d d ( ), ( ) ( ) d Resolvedo o sisema ara a liha emos: d ( ) d ( ) l ( ) c ( ) ce ; como () ( ) e, segue que c. (7) Assim o emo de ermaêcia o esado em disribuição exoecial. d ( ) ( ), ( ) d Mulilicado ambos os lados da equação or e emos: d ( ) e ( ) e, ( ) d de d ( ) e, ara = emos: de d ( ) e de ( ) d e ( ( ) d e ( ) emos: ) ( d) e, como () rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ( ) e ( ) ( ) e (8)! O úmero de eveos em disribuição de oisso, com arâmero úmero eserado de eveos ocorredo o eríodo., que é o..6. TEMO ENTRE EVENTOS CONSECUTIVOS Seja ésimo eveo. T a variável aleaória corresodee ao emo ere o (-)-ésimo e o - Assim T é o emo aé que o rimeiro eveo ocorra. ( ) ehumeveoocorraoemo ( ) [ T T ] e [ T ] e [ ] Geeralizado, emos que: {( T T ) } e (9) orao, o emo ere eveos cosecuivos em um rocesso de oisso em disribuição exoecial...7. SUEROSIÇÃO DE ROCESSOS DE OISSON Se A é um rocesso de oisso com axa A e B é um rocesso de oisso com axa B eão C ambém é um rocesso de oisso com axa. c A B..8. DECOMOSIÇÃO DE ROCESSOS DE OISSON Se A é um rocesso de oisso eão B e C serão rocessos de oisso se a searação for robabilísica e ideedee. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E)..9. TEOREMA DE KHINTHINE A suerosição de um grade úmero de rocessos de reovação (emos ere eveos ideedees e ideicamee disribuídas i.i.d) é aroximadamee um rocesso de oisso. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E).4. EXERCICIOS ROOSTOS DE ROCESSOS ESTOCÁSTICOS ) Uma floresa é cosiuída de dois ios de árvores: aquelas com aé meros e as maiores do que meros. A cada ao 4% das árvores com aé m morrem, % são vedidas or $ cada, % ermaecem com aé meros e % crescem ara acima de m. Das árvores maiores do que m a cada ao são vedidas 5% or $5 cada, % or $ cada e % ermaecem a floresa. a) Qual a robabilidade de que uma árvore, com meos de m, morra aes de ser vedida? b) Se uma árvore (com meos de m) é laada, qual é o seu valor eserado de veda? ) Com a chegada da civilização, os ídios da Aldeia Taia resolveram isiuir um sisema de revidêcia social, ara o que coaram com a ajuda de um cosulor, Mesre em Egeharia de rodução. A rimeira eaa do esudo do cosulor cosisiu em classificar os ídios em rês gruos: criaças, rabalhadores e aoseados. Logo em seguida, uilizado a excelee memória dos ídios, ele iferiu os seguies dados: durae um eríodo de um ao, 959/ de odas as criaças ermaecem criaças, 4/ se oram adulos rabalhadores e / delas morrem; além diso, aida durae um dado ao, 96/ de odos os adulos rabalhadores ermaecem adulos rabalhadores, / se aoseam e / falecem. A axa de moralidade dos aoseados é de 5/ a cada ao. O úmero de ascimeos é de criaças or ao. a) Suodo que a oulação da Aldeia esá em regime ermaee deermie a sua oulação, bem como sua esruura eária (os rês gruos mecioados). b) Cada aoseado recebe uma esão de $ 5. or ao. O fudo de esão é cuseado elos agameos dos adulos rabalhadores. Com quao cada adulo rabalhador deve coribuir, or ao, ara o fudo de esão? ) No jogo de Cras, ós jogamos um ar de dados de seis faces. No rimeiro laçameo, se irarmos 7 ou ós gahamos imediaamee. Se irarmos, ou erdemos imediaamee. Se o resulado do rimeiro laçameo for 4, 5, 6, 8, 9, ós coiuamos a laçar os dados aé obermos um 7, quado erdemos, ou aé obermos o mesmo resulado que o rimeiro laçameo, quado gahamos. Use os seus cohecimeos de Cadeias de Markov ara deermiar ossa robabilidade de viória. 4) A Gazea da rodução em as seguies iformações a reseio de seus assiaes: Durae o rimeiro ao % dos assiaes cacelam suas assiauras. Daqueles que comlearam o o ao, % cacelam sua assiaura o o ao. Daqueles que assiam or mais de aos 4% irão cacelá-los durae algum dos róximos aos. Em média qual a duração de uma assiaura da Gazea da rodução? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 5) O emo em edra Azul ode ser descrio, como deedee do emo os dois úlimos dias, elo seguie mecaismo: (i) se os úlimos dois dias foram esolarados eão exise 95% de chace de amahã ambém ser esolarado; (ii) se oem eseve chuvoso e hoje esolarado eão com 7% de chace amahã será esolarado; (iii) se oem esava esolarado e hoje esá chuvoso eão amahã será um dia chuvoso com 6% de chace; (iv) se os dois úlimos dias foram chuvosos eão amaha será um dia chuvoso com 8% de chace. É ossível modelar o emo em edra Azul como uma cadeia de Markov? Exlique orque e cosrua o diagrama de rasição de esados. 6) Suoha que o mercado exisem aeas duas marcas de cerveja Mharba e Árica. Dado que a úlima comra de uma essoa foi uma de Mharba, exise 9% de chace de que sua róxima comra seja de Mharba. Dado que a úlima comra de uma essoa foi de Árica exise uma robabilidade de 8% de que sua róxima comra seja de Árica. a) Reresee o roblema or uma cadeia de Markov, areseado a mariz de robabilidades de rasição e o diagrama de rasição de esados. b) Dado que uma essoa acabou de comrar Mharba quao emo será ecessário ara que oura comra de Mharba seja realizada? E de Áica? Como você ierrea o emo ese caso? c) Suoha aida que cada cosumidor faça uma comra de cerveja or semaa ( ao = 5 semaas), e que exisam milhões de cosumidores de cerveja. Uma uidade de cerveja é vedida or $ e cusa à cervejaria $. or $5 milhões or ao uma firma de roagada garae dimiuir de % ara 5% a fração dos cliees de Mharba que mudam ara Árica deois de uma comra. Deve a cervejaria Mharba coraar a emresa de roagada? 7) Uma comahia com um vôo às 7h45 da mahã ere Rio e Brasília ão quer que o vôo se arase dois dias seguidos a mesma escala. Se o vôo sai arasado um dia, a comahia faz um esforço esecial o dia seguie ara que o vôo saia o horário, e obém sucesso em 9% das vezes. Se o vôo ão saiu arasado o dia aerior, a comahia ão oma rovidêcias e o vôo sai como escalado em 6% das vezes. Que erceual de vezes o vôo sai arasado? Qual o emo médio ere dois vôos o horário? 8) A Ábaco sisemas de comuação regisra a cada semaa uma demada equirovável de ou de seu modelo A5. Todos os edidos devem ser aedidos do esoque exisee. Duas olíicas de esoque esão sedo cosideradas: olíica I: Se o esoque é de ou meos uidades, coloca-se um edido de forma que o esoque iicial a róxima semaa seja de 4 uidades. olíica II: Se o esoque é de ou meos uidades, coloca-se um edido de forma que o esoque iicial a róxima semaa seja de uidades. Os seguies cusos são observados a Ábaco: Cuso de comrar um comuador: $4. Cuso de maer o comuador em esoque $/semaa.comuador, rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) Cuso de efeuar um edido $5 (além do cuso de $4. or comuador). Qual olíica em o meor cuso semaal eserado? 9) O rograma de reiameo de suervisores de rodução de uma deermiada comahia cosise de duas fases. A fase a qual evolve semaas de aula eórica, é seguida da fase a qual evolve semaas de aredizagem ráica. elas exeriêcias aeriores, a comahia esera que somee 6% dos cadidaos da fase eórica assem ara a fase ráica, com os 4% resaes sedo desligados do rograma de reiameo. Dos que fazem a are ráica, 7% são graduados como suervisores, % eviados ara reei-la e % disesados. a) Desehe o diagrama de rasição de esados. b) Quaos suervisores ode a comahia eserar formar de seu rograma ormal de reiameo, se exisem 45 essoas a fase eórica e a fase ráica? ) No isae, eu eho $. Nos isaes,,,... eu jogo um jogo o qual eu aoso $. A cada lace eho uma robabilidade de gahar $ e robabilidade q= - de erder $ Meu objeivo é aumear meu caial ara $4, e ão logo eu o cosiga eu saio do jogo, assim como se eu ficar sem ehum diheiro. a) Cosrua a mariz de robabilidades de rasição e o diagrama de rasição de esados ara a cadeia de Markov que modela o jogo. b) Aós jogadas qual a robabilidade que eu eha $? E $? c) orque ão é razoável ara ese jogo falar em robabilidades de regime ermaee? ) O livro de didáico "O - A Solução" vede milhão de exemlares a cada ao. Algus dos leiores coservam o livro equao ouros vedem o livro de vola ara a livraria. Suoha que 9% de odos os esudaes que comram um ovo livro o vedam de vola, que 8% dos esudaes que comram o livro com um ao de uso o vedam de vola e que 6% dos esudaes que comram um livro com dois aos de uso o vedam de vola. Os livros com 4 ou mais aos de uso já esão muio usados e ão são mais egociados. a) Em regime ermaee, quaos ovos exemlares do livro ode a ediora eserar veder do livro? b) Suoha que o lucro da livraria com cada io de livro seja de $6 or um livro ovo, $ or um livro com ao de uso, $ or um livro com aos de uso e de $ or livro com aos de uso. Qual o lucro eserado or livro vedido? ) Três bolas são divididas ere caixas. Durae cada eríodo uma bola é escolhida aleaoriamee e rocada ara a oura caixa. a) Calcule a fração do emo que uma caixa irá coer,, ou bolas. b) Se a caixa ão coém bolas, em média quao emo será decorrido aé que ela coeha, e rês bolas? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ) Classifique os diversos esados das cadeias de Markov a seguir, dadas or sua mariz de rasição. Calcule as robabilidades esacioárias. a),7,4,,8,,, b) / 6 / 6 / 6 / / / / / / c) / 4 /8 /8 d) / / 5 / / 5 f) / /8 / 5 / 4 4 / 5 / 4 / 7 /8 4) Dois jogadores jogam uma moeda hoesa. Se der cara o jogador I aga R$ ao jogador II, se der coroa é o jogador II que aga R$ ao jogador I. Cosidere que a quaidade oal de diheiro em jogo (iso é a soma das quaias ossuídas elos dois jogadores) é de R$5. Modele o jogo como uma cadeia de Markov. Dado que o jogador I começou o jogo com R$, calcule o emo eserado do jogo e a robabilidade de que cada um dos jogadores veça o jogo (iso é alcace R$5). 5) Quaro meios (A, B, C e D) bricam de laçar disco. Se o meio A recebe o disco laça-o ara B, C ou D com iguais robabilidades; se C recebe o disco laça-o ara A ou D com iguais robabilidades; se B ou D recebem o disco, ficam com o mesmo. Modele o roblema como uma cadeia de Markov. Desehe ambém o diagrama de rasição de esados. a) Se o disco esá com C qual a robabilidade de D ficar com o disco? b) Se A esá com o disco qual a robabilidade do disco ermiar com B? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) 6) Cosidere um jogador que a cada lace de um jogo em uma robabilidade de gahar uma uidade e robabilidade q= - de erder uma uidade. Assumido que sucessivos laces são ideedees qual é a robabilidade que começado com i uidades a forua do jogador alcace aes de chegar a? 7) Uma loja de máquias foográficas esoca um modelo de máquia foográfica aricular que ode ser ecomedado semaalmee. Sejam D, D,..., D i,... variáveis aleaórias que rereseam a demada elas máquias durae a semaa i. Seja X o o esoque exisee de máquias, e X i o úmero de máquia disoíveis ao fial da semaa i. Sábado à oie a loja faz uma ecomeda que será eregue em emo ara a aberura da loja a a feira. A olíica de ecomedas da loja é (s,s)=(,); ou seja, se o Sábado a oie a quaidade de máquias em esoque for meor que s= (ehuma máquia em esoque), eão a loja ecomedará (aé) S= máquias; caso corário ehuma máquia será ecomedada. É suoso que haja erdas de vedas quado a demada exceder o esoque disoível. As variáveis aleaórias odem ser avaliadas ieraivamee ela exressão: X max max D X D,,,seX,seX Cosiderado que a demada em uma disribuição de oisso com média, a mariz de rasição de uma eaa é dada or:.8.84.68.68.6.68 =.64.68.68.8.84.68.68 a) Descreva como a mariz de rasições ode er sido obida. b) Se o rocesso iiciou com um esoque de máquias qual o emo eserado ara que o esoque se esgoe? c) Qual a robabilidade de ecorar o esoque com,,, e 4 máquias? d) Qual o emo médio ere duas ecomedas? 8) Um auralisa esá observado o comorameo de um sao em um equeo lago, o qual há 4 iféias (laas aquáicas). O sao circula ere esas 4 laas ulado de uma ara oura, as quais são umeradas arbirariamee de a 4. A robabilidade do sao ular de uma laa ara oura é iversamee roorcioal a disâcia ere elas (iso é, o sao refere ular ara uma laa mais ero do que ara uma mais loge). As disâcias ere as laas são: 4 6/5 / 6/7 / /4 rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) a) Defia a mariz de rasição b) Calcule as robabilidades de regime ermaee c) Ierree esas robabilidades em ermos do comorameo do sao. d) Exlique, do oo de visa do sao, o que sigificam as hióeses de Markov e de esacioariedade. 9) Se-segura Comahia de Seguras classifica seus cliees de acordo com seu hisórico de acidees (do cliee). Um cliee que ão eha ido ehum acidee os úlimos dois aos em uma aualidade de $. Cliees que eham ido acidees em ambos os aos em uma aualidade de $4. Cliees que eham ido acidee em somee um dos úlimos dois aos em uma aualidade de $. Um cliee que eha ido um acidee o úlimo ao em % de chace de er um acidee o ao corree. Se o cliee ão iver ido ehum acidee o úlimo ao ele em % de chace de er um acidee o ao corree. ara um dado ao, qual é a aualidade média aga or um cliee da Se-segura? ) DOFOGO é uma comahia roduora de fogões, famosos ela sua qualidade. A comahia em uma olíica de aos de garaia, ode ela garae a subsiuição de qualquer fogão que falhe durae ese eríodo. A comahia esá laejado fazer uma camaha romocioal ode reede eseder a garaia ara rês aos. Como forma de avaliar o imaco desa ova olíica foram coleados os seguies dados: % dos fogões ovos falham durae o rimeiro ao de oeração; 5% dos fogões com mais de um ao de uso falham durae o segudo ao de oeração; 7% dos fogões com mais de dois aos de uso falham durae o erceiro ao de oeração. Observe que um fogão subsiuído ão é cobero ela garaia. a) Use cadeias de Markov ara redizer quaos fogões deverão ser reosos com a ova olíica. b) Suodo que o cuso de reor um fogão seja de $ e que a DOFOGO veda. fogões or ao, qual o imaco moeário da mudaça de olíica de garaia? ) O rorieário de uma barbearia de uma só cadeira esá esado em exadi-la devido ao fao de haver muia gee em esera. As observações idicam que durae o eríodo de emo requerido ara corar o cabelo de uma essoa, odem haver, e ovas chegadas com robabilidade,;,4;,;,; resecivamee. A cada em caacidade fixa de 6 essoas, icluido aquela que esiver corado o cabelo. a) Desehe o diagrama de rasição de esado e deermie a mariz de robabilidade de rasição. b) Deermie a robabilidade que a casa eseja loada. c) Dado que a casa esa loada quao emo demora aé que ela eseja comleamee vazia? rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 5

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) ) Suoha que você coduziu uma série de eses sobre um rocedimeo de reiameo e verificou que a seguie mariz de robabilidades descreve o cojuo de resosas correas e icorreas j-ésimo ese (j+)-ésimo ese Correo Icorreo Correo,95,5 Icorreo,,99 a) Que roorção de resosas correas se ode eserar de um esagiário absoluamee reiado? b) Que roorção de resosas correas se ode eserar de um esagiário aós quaro reeições do rocedimeo, caso a resosa iicial seja igualmee ossível de ser correa ou icorrea? c) Qual a robabilidade de que se obeha, ela rimeira vez, uma resosa correa, exaamee quaro eaivas aós uma resosa icorrea? d) Qual o úmero médio de eaivas ara que se obeha uma resosa correa aós er obido uma resosa icorrea? ) Um jogador joga um jogo limo o qual as chaces são cora. Em ouras alavras ele em / de robabilidade de gahar e / de erder. Se gahar, gahará $. Se erder, erderá $. Suoha que os recursos oais do jogador e do seu ooee sejam $N. Se o caial de qualquer um dos jogadores cair abaixo do oo em que eles udessem agar caso erdessem o jogo seguie o jogo ermia. a) Desehe o diagrama de rasição de esados e deermie a mariz de rasição. b) Suoha que os dois jogadores cocordem em que se o caial de qualquer dos dois cair ara $, eles farão o róximo jogo com chaces iguais gaharão ou erderão $, com igual robabilidade. Desehe o diagrama de rasição de esados e deermie a mariz de rasição ara ese caso. c) No caso descrio a lera (b) suoha que o jogador em $ e o jogador em $, qual a robabilidade do jogador gahar o jogo? d) Quaas jogadas durará o jogo? 4) erfura-se um oço e, à medida que a erfuração avaça, uma série de erfis são realizados. Suoha que o oço ossa ser classificado em quaro esados, roulados como se segue: Em curso; Com desvio ligeiro, Com desvio aceuado, Abadoado (or esar ão fora de curso, que ão se cosegue mais aigir o alvo). Suoha aida que X reresee o esado do sisema aós a -ésima correção de curso e que o comorameo do oço ossa ser modelado or uma cadeia de Markov, com a seguie mariz de robabilidade de rasição: rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 6

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) = / /4 /4 / /4 /4 a) Se o oço começou com um desvio ligeiro, qual a robabilidade de que ele eveualmee ere em curso? b) Se o oço em chaces iguais de começar com desvio ligeiro e aceuado, qual a robabilidade de que ele eveualmee ere em curso? 5) Na eoria de aálise de crédio, deermiados auores verificaram que a esimaiva dos valores cosiderados como devedores duvidosos cosuma seguir dois assos básicos descrios a seguir: Classificam-se as coas or idade, que refleem o esado em que a coa se ecora: um mês de araso, dois meses de araso, ec. Esima-se uma execaiva de erda ara cada esado, geralmee com base a olíica da emresa, siuação ecoômico-fiaceira do cliee e ouros faores relevaes ara a aálise do crédio. O segudo óico merece uma aálise mais dealhada, sedo que aualmee diversos méodos, ricialmee a área de ecoomeria, esão sedo desevolvidos. Ereao, é ossível desevolver um méodo ara esimar a robabilidade de devedores duvidosos, com base as Cadeias de Markov, aravés do araso e da iadimlêcia exisee ara uma deermiada careira de crédio de uma isiuição fiaceira. Se em uma deermiada daa fizermos um levaameo de uma careira de crédio, oderemos facilmee verificar os seguies esados das coas em careira: A = valores a serem recebidos que aida ão veceram, ou seja, esão em dia ou com (zero) meses de araso; A = valores a serem recebidos que esão com mês de araso;... A j = valores a serem recebidos que esão com j meses de araso;... A = valores a serem recebidos que esão com meses de araso; Essa disosição corresode a uma classificação da idade das coas a receber, sedo o esado A a coa que esá em dia, A a coa com um mês de araso, e assim or diae. A é a siuação dos cosiderados icobráveis. Na ráica o úmero de idades das coas ode variar de isiuição ara isiuição ou or caegorias de crédio, ais como crédio imobiliário, leasig, fiaciameos direos ao cosumidor e qualquer ouro io de oeração de crédio. Se cosiderarmos um levaameo de coas a receber roveiees do eríodo i ara o eríodo seguie i +, que deomiaremos de j, a coa oderá ser classificada com relação a esses dois ídices, o eríodo aerior e o eríodo em que se ecora o momeo aual. De forma geral, eremos A jk igual ao levaameo da caegoria k o emo i +, o qual é roveiee da caegoria j o emo i. ara cosiderarmos odas as ossíveis caegorias devemos acrescear mais uma caegoria àquelas descrias aeriormee. Traa-se da caegoria corresodee aos íulos classificados como agos, que serão descrios rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 7

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) como ag. Valores classificados em qualquer caegoria o eríodo i odem mover-se ara a caegoria dos íulos agos ou ara qualquer oura caegoria de a o eríodo i +. Iremos adoar os rocedimeos recomedados elo Baco Ceral do Brasil, aravés da resolução.68, que deermia que os crédios vecidos há mais de 6 (sessea) dias, sem garaias, sejam rasferidos ara as coas de Crédios em Liquidação. Em º de março foi levaada uma amosra de 5 coas, e em de março foi verificado o comorameo dessas coas: De / a / Ieg. g Em dia Araso mês Araso meses erda Toal Emiidas aé 8/ 5 5 4 Emiidas aé / 9 9 5 45 Emiidas aé / 4 4 6 A rimeira liha sigifica que, das fauras emiidas o mês de fevereiro, um oal de 4, 5 foram agas, aida ão veceram e 5 veceram e ão foram agas, coado o araso de um mês. A seguda liha mosra que, de 45 fauras emiidas o mês de jaeiro, foram agas, 9 aida ão veceram, 9 areseam araso de um mês e 5 com araso de dois meses. Fialmee, a úlima liha mosra que, de fauras emiidas o mês de dezembro, além da seqüêcia de agameos e arasos, corresodem à erda, ou seja, araso suerior a meses. Seja uma careira de crédio oal de R$..,, coforme mosramos a seguir: Siuação da Careira Valor (R$) Coas em dia 8. Coas com araso de mês. Coas com araso de meses 8. Valor da careira.. Calcule o valor eserado que será ago. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 8

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E). TEORIA DE FILAS.. INTRODUÇÃO E CONCEITOS BÁSICOS A eoria das filas evolve o esudo maemáico das filas, ou filas de esera. Filas odem exisir a forma de essoas ou objeos eserado algum io de serviço ou odem exisir um seido mais absrao, ou seja, ão ão visível, como uma fila de avios eserado ara aracar em um oro. Um modelo ou sisema de filas ode ser brevemee descrio da seguie forma: usuários (ou fregueses ou cliees) chegam ara receber um cero serviço e, devido à idisoibilidade de aedimeo imediao, formam uma fila de esera. A Figura. ilusra esa idéia. Os ermos usuário e serviço são usados com seido amlo. odemos esar os referido a carros que chegam a um oso de edágio, máquias que eseram ara serem coseradas, eças que seguem uma liha de moagem ou mesages que são rasmiidas elos caais de comuicação. Uma rede de filas é formada or várias filas que se iercoecam ere si de modo que o usuário ao sair de uma fila ode (com uma cera robabilidade) dirigir-se a oura. Nas redes aberas há fluxo de fregueses erado e saido do sisema. or ouro lado, há redes fechadas as quais o úmero de usuários ermaece ialerado, iso é, ão há movimeação de usuários ara dero ou ara fora do sisema. Um serviço de maueção de máquias ode ser viso como uma rede fechada ode M máquias se aleram ere os ceros de maueção e de oeração. Dessas defiições básicas, ramificam-se um sem úmero de ouros modelos de filas adequados às varias áreas, semre a busca de melhor reresear a realidade. Foe de chegadas Cliees Fila Sisema de serviço Cliees vidos servidos aridas Sisema de filas Figura. - O rocesso de Fila Básico Em alicações, o esudo dos modelos de filas em como objeivo a melhoria de desemeho do sisema, eedida, ere ouros asecos, como melhor uilização dos recursos de serviço disoíveis, meor emo de esera e mais raidez o aedimeo. O ioeiro ese esudo foi A. K. Erlag que, o começo do século, como egeheiro da comahia diamarquesa de elefoes, esudou o roblema de cogesioameo das lihas. A Telefoia ermaeceu a ricial alicação de eoria das filas aé or vola de 95. A arir daí, um grade úmero de áreas em uilizado essa ferramea e a vasa lieraura é o melhor idicador dessa exasão. rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 9

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E)... ORQUE FILAS SÃO ESTUDADAS As filas são esudadas orque em oda fila, embora em semre se erceba, exise embuido um roblema ecoômico e ese roblema ecoômico surge orque em qualquer fila exisem dois cusos evolvidos: o cuso da fila e o cuso do serviço. ara exemlificar o que vem a ser eses dois cusos, vamos usar o exemlo ciado acima sobre o rocesso de aracação de avios em um oro. Em qualquer oro, exisem os locais ode os avios odem aracar. Eses locais são chamados berços. Assim o úmero de berços dá o úmero máximo de avios que odem aracar em um oro. or sua vez, a legislação ieracioal que regulamea o ráfego maríimo deermia que se ao chegar a um oro (obviamee a daa cera), ão houver berço ara aracar, a admiisração do oro em que ideizar a comahia, doa do avio, elo emo que ele ficar ao largo eserado berço livre ara aracar. Em resumo quado, or qualquer moivo, odos os berços de um oro esão ocuados, os avios que chegam formam uma fila (lógica) aguardado sua vez. O cuso do serviço é o cuso de cosruir e maer em fucioameo os berços de aracação. Quao mais berços oferecidos, ou seja, quao maior o ível de serviço oferecido, maior ese cuso. O cuso da fila é o cuso que a admiisração do oro em elo agameo das ideizações aos avios que eseram a fila. Ese cuso é iversamee roorcioal ao cuso do serviço (úmero de berços). Se exisem oucos berços o cuso da fila será grade, mas o cuso do serviço será equeo. Já se exisirem muios berços, o cuso do serviço será grade, mas em comesação, como a fila será equea, o cuso da fila será equeo.... RINCIAIS CARACTERISTICAS DE UMA FILA Algumas das caracerísicas básicas de uma fila como: chegadas, serviço de discilia de aedimeo e caacidade de esera serão descrias a seguir. (a) Chegadas O rocesso de chegada (arrival rocess) é a descrição de como os usuários rocuram o serviço. Se eles chegam a iervalos fixos de emo, o rocesso de chegadas é dio cosae ou deermiísico. or ouro lado, se as chegadas são aleaórias o emo, elas formam um rocesso esocásico e é ecessário descrever suas roriedades robabilísicas. A suosição mais comum é de que as chegadas formam um rocesso de reovação, iso é, os iervalos ere chegadas são ideedees e ideicamee disribuídos. Em geral, é ambém assumida a ideedêcia em relação ao serviço, mas é ossível alicar um rocesso de reovação ara as chegadas, codicioado à siuação do serviço. O rocesso de oisso é um rocesso de reovação com disribuição exoecial e é um dos rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4

COE Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro rograma de Egeharia de rodução (E) mais uilizados ara modelar as chegadas. Além de descrever, com boa aroximação, diversas siuações ráicas, os rocessos de oisso icororam facilidades o raameo maemáico roorcioadas ela fala de memória da disribuição exoecial. As disribuições de Erlag e hierexoecial são ambém basae uilizadas. Modelos mais comlicados evolveriam ossíveis deedêcias ere as chegadas como, or exemlo, a siuação ode uma chegada de cero io aumearia ou dimiuiria a chace de ocorrêcia de ouro io de chegada. As chegadas mecioadas acima odem ser uiárias ou em um bloco (baches). Nese caso, além do emo ere chegadas, ambém o amaho dos blocos é aleaório. or exemlo, em aerooros ieracioais, a chegada de assageiros de um cero vôo ao oso alfadegário se dá em bloco, ode o amaho do bloco é a loação do avião. Exisem siuações em que as chegadas deedem do úmero de usuários o sisema, odedo aé ocorrer a siuação em que uma chegada ão se jua à fila. Iso ode ocorrer or decisão do usuário ou or limiação o esaço ara esera. O caso clássico, cohecido como sisema com erda (loss sysem), origiou-se do esudo de ráfego elefôico ode o usuário comlea a chamada ou obém sial de ocuado e é excluído do sisema. Chegadas com usuários imaciees, que abadoam a fila aós algum emo de esera, odem ambém ser modeladas. (b) Serviço Da mesma forma que o rocesso de chegada é ossível cosiderar o emo de serviço como sedo deermiísico ou aleaório. A disribuição do emo de serviço ode deeder do esado do sisema ou, aé mesmo do io de usuário a ser servido. orém a hióese mais simles é a de ideedêcia, iso é, o serviço é um rocesso de reovação. Dere as disribuições mais usadas desacam-se a exoecial, Erlag e hierexoecial. O úmero de servidores disoíveis ara o aedimeo a uma mesma fila ambém deve ser esecificado. Nese caso, é comum mecioar os servidores esão em aralelo uma referêcia a esarem aededo uma mesma fila. (c) Discilia de Aedimeo A discilia de aedimeo se refere a maeira como os usuários serão selecioados ara receber serviço. No osso coidiao os aedimeos, em geral, se dão ela ordem de chegada. A fila o caixa do suermercado, a reirada de carros de um esacioameo e a comra de igressos ara o ciema são exemlos dessa discilia, que será referida como FCFS (do iglês, firs come firs served). Em alicações, ouras discilias odem aarecer. A discilia LCFS (las come firs served) ode ser usada em modelos de arquivo ou de busca em disco rígidos. O serviço em ordem aleaória, ideedee do emo de chegada, ode servir de modelo ara algus sisemas comuacioais. Oura discilia, que em alicação em comuação é a do rocessameo ou emo comarilhado (rocessor or ime sharig) que é defiida ela dedicação, a odos os usuários resees o sisema, de uma equea quaidade de serviço de cada vez. Assim, em rodadas sucessivas, o usuário vai recebedo sua dose de aedimeo aé que sua requisição oal de rocessos Esocásicos e Teoria de Filas 4