CONJUNTOS É um agrupamento de elementos, e são representados por letras maiúsculas do alfabeto latino e seus elementos são dispostos entre chaves. Ex: A = {vogais} = {a,e,i,o,u} Existem duas outras formas de representação: Ao juntarmos os números racionais (Q) com os irracionais (I), obtemos o conjunto dos números reais (R). Por diagramas: Compreensão A = {x / x Diagramas é vogal} OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS CONJUNTOS NUMÉRICOS NÚMEROS NATURAIS (N) São aqueles que a natureza nos ensina: N = {0,, 2, 3, 4, 5,...} UNIÃO (U) Como o próprio nome diz: vamos unir os conjuntos, ou seja, juntar os elementos dos dois conjuntos. Obs: Quando houver elementos repetidos, apenas um deles aparecerá no conjunto. Por diagramas: NÚMEROS INTEIROS (Z) São os Naturais e seus opostos: Z = {..., 3, 2,, 0,, 2, 3,...} Obs: Z* = números inteiros menos o zero Z + = inteiros não negativos (Z + = {, 2, 3,...}) Z = inteiros não positivos (Z = {..., 3, 2,,0}) NÚMEROS RACIONAIS (Q) Um número racional Q pode ser definido como: Q = Z * Z Portanto, nos números racionais, além dos inteiros, estão as frações e os decimais obtidos INTERSECÇÃO ( ) Consideramos apenas os elementos em comum. Por diagramas: A B como resultado das mesmas (exatos e não exatos periódicos). NÚMEROS IRRACIONAIS (I) São os decimais não exatos e não periódicos. Ex: π ( 3,4 ),e ( 2,7 ), 2(,4 ), 3(,7 ) NÚMEROS REAIS (R) DIFERENÇA ( ) 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
São os elementos que aparecem no primeiro conjunto e que não aparecem no segundo conjunto. Por diagramas: A B Campestre; e 4% o Silvestre e o Campestre. Somente 2% freqüentam os três clubes. O número de habitantes que não freqüentam nenhum destes três clubes é: 05) Um instituto de pesquisas entrevistou.000 indivíduos, perguntando sobre sua rejeição aos partidos A e B. Verificou-se que 00 pessoas rejeitavam o partido A; que 500 pessoas rejeitavam o partido B e que 200 pessoas não tem rejeição alguma. O número de indivíduos que rejeitam os dois partidos é: 0) Sejam os conjuntos: A = { x N / 3 < x 8} { } B = x R / 3 < x 8 Assinale o que for correto. e SUCESSÕES E NOÇÕES DE PROGRESSÃO ARITMÉTICA E PROGRESSÃO GEOMÉTRICA SEQÜÊNCIAS NUMÉRICAS (2, 0, 2,, 7, 8, 9,...) (,, 2, 3, 5, 8, 3, 2,...) a) A b) A c) A d) A e) A B = = B B B = B B = A 02) Em uma turma de 0 alunos, 2 praticam natação e futebol, 39 praticam natação e 33 praticam futebol. a)qual a porcentagem de alunos que praticam um, e somente um, desses esportes? b)qual a porcentagem de alunos que não praticam nenhum desses esportes? 03) Na escola do professor Golias, são praticadas duas modalidades de esportes: o futebol e a natação. Exatamente 80% dos alunos praticam futebol e 0%, natação. Se a escola tem 300 alunos e todo aluno pratica pelo menos um esporte, então o número de alunos que praticam os dois esportes é: PEDRÃO PA PG (2, 4,, 8, 0,...) (2, 4, 8,, 32,...) RAZÃO PA r = a 2 a = a 3 a 2 =... a a PG a a 2 3 = 2 2 =... q = =... 0) No livro O Código da Vinci, de Dan Brown, no local onde o corpo de Jacques Saunière é encontrado, alguns números estão escritos no chão. Estes números fazem parte da Seqüência de Fibonacci, que é uma seqüência infinita de números em que cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos que imediatamente o antecedem. Assim, o décimo primeiro termo da Seqüência de Fibonacci,, 2, 3, 5, 8, 3,... é o número 79. 02) João tem três filhas. A filha mais velha tem oito anos a mais que a do meio que por sua vez tem sete anos mais que a caçula. João observou que as idades delas formam uma progressão geométrica. Quais são as idades delas? 04) Em uma cidade com 40.000 habitantes há três clubes recreativos: Colina, Silvestre e Campestre. Feita uma pesquisa, foram obtidos os seguintes resultados: 20% da população freqüenta o Colina; % o Silvestre; 4% o Campestre; 8% o Colina e o Silvestre; 5% o Colina e o 2 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
PA TERMO GERAL PG número de chocolates distribuídos durante a brincadeira foi: a n = a + (n ).r a n = a.q n PEDRÃO TRÊS TERMOS DESCONHECIDOS PA x r, x, x + r x, q PG x, x.q 03) Suponha que, em 5/0/200, Bonifácio tinha R$27,00 guardados em seu cofre, enquanto que Valfredo tinha R$45,00 guardados no seu e, a partir de então, no décimo quinto dia de cada mês subseqüente, as quantias contidas em cada cofre aumentaram segundo os termos de progressões aritméticas de razões R$8,00 e R$5,00, respectivamente. Considerando que nenhum deles fez qualquer retirada, a quantia do cofre de Bonifácio superou a do Valfredo no mês de: 04) Os brasileiros estão cada vez mais comprando um computador pessoal, e o objetivo maior dessa compra é a conexão à internet. O acesso à rede mundial de computadores é, hoje, um recurso básico de qualquer equipamento. Os valores que expressam o número de brasileiros conectados em janeiro de 2005, setembro de 2005 e maio de 200, estão em progressão aritmética de razão,3 milhão e totalizam 35,7 milhões. Com base no texto e em seus conhecimentos, é correto afirmar que, se os usuários da internet aumentassem na mesma progressão, o número de brasileiros conectados em setembro de 2007 seria de: 05) A fim de comemorar o dia da criança, uma escola promoveu uma brincadeira, visando premiar algumas delas. Para isso, reuniu 00 crianças, formando uma grande roda. Todas foram numeradas sucessivamente, de até 00, no sentido horário. A professora de Matemática chamava cada uma pelo número correspondente na seqüência,, 3, 4, e assim por diante e lhe dava um chocolate. A brincadeira encerrouse quando uma das crianças, já premiada, foi chamada novamente para receber seu segundo chocolate. O 0) As quantias, em reais, de cinco pessoas estão em progressão aritmética. Se a segunda e a quinta possuem, respectivamente, R$250,00 e R$400,00, a primeira possui 07) Para testar o efeito da ingestão de uma fruta rica em determinada vitamina, foram dados pedaços desta fruta a macacos. As doses da fruta são arranjadas em uma seqüência geométrica, sendo 2g e 5g as duas primeiras doses. Qual a correta continuação dessa seqüência? 08) A comunicação eletrônica tornou-se fundamental no nosso cotidiano, mas infelizmente, todo dia recebemos muitas mensagens indesejadas: propagandas, promessas de emagrecimento imediato, propostas de fortuna fácil, correntes, etc. Isso está se tornando um problema para os usuários da Internet pois o acúmulo de lixo nos computadores compromete o desempenho da rede! Pedro iniciou uma corrente enviando uma mensagem pela Internet a dez pessoas, que, por sua vez, enviaram, cada uma, a mesma mensagem a outras dez pessoas. E estas, finalizando a corrente, enviaram, cada uma, a mesma mensagem a outras dez pessoas. O número máximo de pessoas que receberam a mensagem enviada por Pedro é igual a: 09) Uma empresa, que teve no mês de novembro de 2007 uma receita de 300 mil reais e uma despesa de 350 mil reais, tem perspectiva de aumentar mensalmente sua receita segundo uma P.G. de razão e prevê que a despesa mensal crescerá segundo uma P.A. de razão igual a 55 mil. Neste caso, o primeiro mês em que a receita será maior do que a despesa é: 0) A soma de três números em progressão aritmética crescente é 2. Se somarmos 2 ao terceiro termo, a nova seqüência constitui uma progressão geométrica. Calcule o produto dos três termos da progressão geométrica. 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 3
PEDRÃO PA ( a a ) n + S = 2 SOMA DOS TERMOS.n PG FINITA an.q a S = q n ( q ) a S = q INFINITA a S = q ) Conta a história da Matemática que, ainda criança, Gauss solucionou o seguinte problema em alguns minutos. O problema consistia em dar o resultado da soma: + 2 + 3 + 4 +... + 98 + 99 + 00 = X Podemos afirmar que o valor de X é igual a: 2) A paixão do brasileiro por automóvel é conhecida e explorada pelos fabricantes, que investem muito em publicidade. Os anúncios destacam o design, a qualidade, a potência, a valorização do veículo, além de uma infinidade de outros itens. Um fabricante afirma que um de seus modelos, que custava em 200 R$ 25000,00, sofreu uma desvalorização de R$ 500,00 ao ano. Se calcularmos a cotação desse carro, ano a ano, até 2005, podemos dizer que esses valores são uma: a)pg, em que o termo médio é 22000. b)pg decrescente de razão 500. c)pa, em que a soma é 9000. d)pa, em que a soma é 0000. e)pa, em que o termo médio é igual a 23500. capacidade para 25 000 litros, contém, em um determinado dia, 9 00 litros. Contrata-se uma empresa para fornecer 400 litros de água nesse dia, 00 litros no dia seguinte, 800 litros no próximo e assim por diante, aumentando em 200 litros o fornecimento de cada dia. O número de dias necessários para que a caixa atinja a sua capacidade total é: 5) O dono de uma loja precisa com urgência de vendedores para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecedem o Natal. Aparecem três candidatos. Ele oferece R$,00 pelo primeiro dia de trabalho e, para os dias seguintes, o dobro do que eles recebem no dia anterior. Dois candidatos consideram humilhante a proposta e recusam-na. O candidato que conhece matemática aceita a proposta. Então, ele receberá, pelos doze dias de trabalho, a importância de: ) Segundo a história da Matemática, o rei ofereceu uma recompensa ao sábio que desenvolveu o jogo de xadrez no seu reino. A recompensa pedida foi que cada casa do tabuleiro fosse preenchida com sementes de trigo, mas dobrando a cada casa. No caso, seria uma PG de primeiro termo e razão igual a 2. Logo o rei desistiu da recompensa e nomeou o sábio como seu conselheiro repleto de honrarias. Isto porque, se a recompensa fosse realmente cumprida, ao final das 4 casas do tabuleiro, a quantidade de grãos de trigo seria da ordem de: 7) Em um processo de desintegração atômica em cadeia, a primeira desintegração é de 3 átomos em um segundo. A cada segundo que passa a desintegração é sempre o quádruplo da anterior; logo, o tempo em segundos que leva para desintegrar 2288 átomos é: 3) Numa cidade, a cada ano, o número de novos profissionais de uma certa área é de 0 a mais do que o número de novos profissionais do ano anterior. Se, durante 9 anos, o número de profissionais dessa área teve um aumento de 39 profissionais, pode-se afirmar que, no 3 o ano, o número de novos profissionais foi igual a: 8) João marcou um encontro com Maria às 20h. Como Maria não chegou às 20h, João decidiu esperar por um intervalo t de trinta minutos; em seguida, por um período adicional de t 2 = t /3 minutos, depois por um período de t 3 = t 2 /3 minutos, e assim por diante, com cada período adicional igual a um terço do período anterior. Se Maria não foi ao encontro, quanto tempo João esperou? (Indique o valor mais próximo.) 4) A caixa d água reserva de um edifício, que tem 4 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
9) Suponha que um jovem ao completar anos pesava 0kg e ao completar 7 anos pesava 4kg. Se o aumento anual de sua massa, a partir dos anos, se der segundo uma progressão geométrica de razão /2, então ele nunca atingirá 8kg. Importa a ordem dos elementos (PFC) A p n n! = ( n p)! ( n p) ANÁLISE COMBINATÓRIA PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) n.n 2.n 3...= total de possibilidades Ex: Oito atletas disputarão a final dos 00m rasos na Olimpíada. Desconsiderada a possibilidade de empate, então o número de maneiras diferentes de compor o podium, é de: 8 7 = 33 Ex: Supondo que 5 colegas vão sair de carro, sentados nos 5 lugares disponíveis. De quantos modos podemos fazer isso, se: a) Todos souberem dirigir? 5 4 3 2 = 20 b) Apenas três souberem dirigir? 3 4 3 2 = 72 FATORIAL(!) Ou então: 8! 8! 8.7..5! A 3 8 = = = = 8.7. = 33 5! 5! ( 8 3 )! PERMUTAÇÃO SIMPLES (anagramas) Importa a ordem dos elementos (PFC) P n = n! n! = n.(n ).(n 2)... n N e n 2 Obs: 0! = e! = Ex: 2! = 2. = 2 3! = 3.2. = 4! = 4.3.2. = 24 5! = 5.4.3.2. = 20 Simplificação Ex:!.5.4! = = 4! 4! a) 30 8! 8.7..5! b) = = 5 3!.5! 3.2..5! 0! + 9! 0.9! + 9! 0.+ c) = = = 9! 9! Ex: 0) Serão distribuídos 5 prêmios entre 5 pessoas, mas elas deverão se organizar em fila para recebê-los. De quantas maneiras distintas isto pode ser feito? 5 4 3 2 = 20 Ou então: P 5 = 5! = 5.4.3.2. = 20 02) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra PEDRÃO? 5 4 3 2 = 720 Ou então: P =! =.5.4.3.2. = 720 PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO (anagramas) Importa a ordem dos elementos ARRANJO SIMPLES (FÓRMULA) n! α! β!... 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados α pelos melhores Professores 5 P n, β... =
Ex: 0) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra AMAR? 4! 4.3.2! P4 2 = = = 2 2! 2! 02) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra APROVAÇÃO? P, 2 9! 9.8.7..5.4.3! = = 3! 2! 2. 3! 3 9 = 30240 COMBINAÇÃO SIMPLES Não importa a ordem dos elementos (FÓRMULA) Ex: Considerando 20 times disputam o Campeonato Brasileiro da série A, calcule: a) Quantos jogos de ida são disputados em uma única rodada? 20! 20! 20.9.8! C 2 20 = = = = 90 2! 2! 8! 2. 8! ( 20 2 )! b) Quantos jogos são disputados, considerando as partidas de ida e de volta? 2.C 2 20 = 2.90 = 380 Ou então: 20! 20! 20.9.8! A 2 20 = = = = 20.9 = 380 8! 8! Ou então: ( 20 2 )! 20 9 = 380 C p n n! = p! ( n p)! ( n p) PEDRÃO ANÁLISE COMBINATÓRIA Macetão do Pedrão Não importa a ordem COMBINAÇÃO C p n n! = p! ( n p)! PFC, ARRANJO,PERMUTAÇÃO SIMPLES (não precisa fórmula) Importa a ordem PERMUTAÇÃO COM REPETIÇÃO α P n, β... n! = α! β!... 0) Três amigos irão ao teatro e seus ingressos permitem que escolham três poltronas, entre cinco prédeterminadas de uma mesma fila, para sentar-se. Nessas condições, de quantas maneiras distintas eles poderão se acomodar para assistir ao espetáculo? 02) Um cientista recebeu 5 cobaias para usar em seu estudo sobre uma nova vacina. Seus cálculos indicaram que o número de maneiras possíveis de escolher pelo menos 3 cobaias é: 03) Com o objetivo de manter a democracia, realizou-se uma eleição para compor a equipe diretiva de um clube. Essa equipe deve ser composta por um diretor, um vicediretor e um coordenador. Considerando que um grupo composto por 0 pessoas resolveu participar desse processo e que qualquer uma delas pode ocupar qualquer cargo, é correto afirmar que o número de equipes que se pode formar com esse grupo é: 04) Considere todos os números inteiros positivos que podem ser escritos permutando-se os algarismos do número 234. Quantos dos números considerados são menores que 234? 05) Uma prova de matemática consta 8 questões das quais o aluno deve escolher. De quantas formas ele poderá escolher as questões? 0) Com os algarismos 2, 3, 4,, 7 e 8, quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar? 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
07) Utilizando os algarismos 0,, 2, 3, 4 e 5, quantos números ímpares de 3 algarismos distintos podem ser formados? 08) A Copa do Mundo de Futebol, que foi realizada na Alemanha a partir de junho de 200, contou com a participação de 32 seleções divididas em 8 grupos com 4 equipes cada, na primeira fase. Dado que, em cada grupo, as seleções jogaram entre si uma única vez, qual o total de jogos realizados na primeira fase? 09) A senha de acesso a um jogo de computador consiste em quatro caracteres alfabéticos ou numéricos, sendo o primeiro necessariamente alfabético. O número de senhas possíveis será: 0) De quantas formas podemos permutar as letras da palavra ELOGIAR de modo que as letras A e R fiquem juntas em qualquer ordem? ) Calcule o número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem juntas e nesta ordem. 2) O número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam nem terminam com a letra O é 3) Considere um grupo formado por 7 homens e 5 mulheres do qual se quer extrair uma comissão constituída por 4 pessoas. Quantas são as comissões formadas por 2 homens e 2 mulheres? 4) Três ingleses, quatro americanos e cinco franceses serão dispostos em fila (dispostos em linha reta) de modo que as pessoas de mesma nacionalidade estejam sempre juntas. De quantas maneiras distintas a fila poderá ser formada de modo que o primeiro da fila seja um francês? 5) A prova de um concurso é composta somente de 0 questões de múltipla escolha, com as alternativas A, B, C e D por questão. Sabendo-se que, no gabarito da prova, não aparece a letra A e que a letra D aparece apenas uma vez, quantos são os gabaritos possíveis de ocorrer? ) Para colocar preço em seus produtos, uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de código de barras formado por cinco linhas separadas por quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras possíveis e espaços de duas larguras possíveis. O número total de preços que podem ser representados por esse código é: 7) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de vitaminas e 3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3 desses nutrientes para obter um composto químico. O número de compostos que poderão ser preparados usando-se, no máximo, 2 tipos de sais minerais é: 8) O corpo clínico da pediatria de um certo hospital é composto por 2 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões distintas podem ser formadas nestas condições? 9) A boa e velha Loteria Federal é a que dá ao apostador as maiores chances de ganhar, mas por não pagar grandes fortunas não está entre as loterias que mais recebe apostas. As mais populares são Mega-Sena, Quina, Loto-fácil e Lotomania. Na Loto-fácil, o apostador marca 5 dos 25 números que constam na cartela e tem uma em 3.28.70 chances, de acertar. Se fosse criada uma nova loteria, em que o apostador marcasse 0 dos números disponíveis numa cartela, a chance de acertar uma aposta passaria a ser de uma em: 20) Aconteceu um acidente: a chuva molhou o papel onde Pafúncio marcou o telefone de Emingarda e apagou os três últimos algarismos. Restaram apenas os dígitos 58347. Observador, Pafúncio lembrou que o número do telefone da linda garota era um número par, não divisível por 5 e que não havia algarismos repetidos. Apaixonado, resolveu testar todas as combinações numéricas possíveis. Azarado! Restava apenas uma possibilidade, quando se esgotaram os créditos do seu telefone celular. Até então, Pafúncio havia feito quantas ligações? 2) Antônio e Bruno são membros atuantes do Grêmio 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 7
Estudantil e estão se formando numa turma de 28 alunos. Uma comissão de formatura, com 5 membros, deve ser formada para a organização dos festejos. Quantas comissões podem ser formadas de modo que Antônio e Bruno sejam membros? 22) Um professor entrega 08 questões aos alunos para que, em uma prova, escolham 05 questões para resolver, sendo que duas destas questões são obrigatórias. Ao analisar as provas, o professor percebeu que não havia provas com as mesmas 05 questões. Assim, é correto afirmar que o número máximo de alunos que entregou a prova é: 23) De um grupo de 0 pessoas, entre as quais, Maria, Marta e Mércia, deseja-se escolher uma comissão com 4 componentes. Quantas comissões podem ser formadas, das quais participem Maria e Marta, mas Mércia não participe? Evento impossível 0 p = = 0 = 0% n Evento certo n p = = = 00% n Conseqüência: 0 p ou 0% p 00% Eventos complementares p = = 00% Importantíssimo: e = multiplica 24) De quantas maneiras podemos classificar os 4 empregados de uma micro-empresa nas categorias A ou B, se um mesmo empregado pode pertencer às duas categorias? Ex: 0) Arremessa-se um dado comum e observa-se a face voltada para cima. Qual a probabilidade do valor obtido ser: 25) Um jornalista foi designado para cobrir uma reunião de ministros de estado. Ao chegar ao local da reunião, descobriu que havia terminado. Ao perguntar ao porteiro o número de ministros presentes, ele disse: "Ao saírem, todos os ministros se cumprimentaram mutuamente, num total de 5 apertos de mão". Com base nessa informação, qual foi o número de ministros presentes ao encontro? PROBABILIDADES Espaço amostral = tudo que pode ocorrer Evento = o que quer p = o que quer tudo que pode ocorrer a) Um número maior que? 0 p = = 0 = 0% b) Um número menor ou igual a? p = = = 00% c) Um número par? 3 p = = = 0,5 = 50% 2 d) Um número ímpar? 3 p = = = 0,5 = 50% 2 e) Um número primo? 3 p = = = 0,5 = 50% 2 8 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
f) Um número par ou um número ímpar? 3 3 p = + = = = 00% sendo que a probabilidade de ser menino ou de ser menina tem o mesmo valor. g) Um número par ou um número primo? 3 3 5 p = + = 02) No arremesso de dois dados comuns, qual a probabilidade de obtermos nas duas faces voltadas para cima valores múltiplos de 3? 2 2 p = = 9 03) No arremesso de dois dados comuns, qual a probabilidade de obtermos nas duas faces voltadas para cima valores cuja soma seja igual a 0? 4 e ou 5 e 5 ou + + = 3 = + + = = 3 3 3 3 e 2 04) No arremesso de uma moeda viciada, a probabilidade de se obter cara é igual ao dobro da probabilidade de se obter coroa. Qual a probabilidade de se obter cada um dos casos? p(ca) = 2p(co) p(ca) + p(co) = 2p(co) + p(co) = 3p(co) = p(co) = 3 2 p(ca) = 3 4 Observa-se que o total de possibilidades é igual a 8 (tudo que pode ocorrer), e que no mínimo dois homens (dois ou três homens) são 4 possibilidades (o que quer), então: 4 p = = = 0,5 = 50% 8 2 Como calcular a mesma questão anterior, sem o uso da árvore das possibilidades? H H M H M H M H H H H H e e ou e e ou e e ou e e 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 + + + = = = 0,5 = 50% 8 8 8 8 8 2 Ou então: HHM ou HMH ou MHH ou HHH são 4 possibilidades, sendo cada uma com probabilidade igual a /8, então: 4 = = 0,5 = 50% 8 2 EXERCÍCIOS 0) Num sorteio com os números de a 25, a probabilidade de ser sorteado um número múltiplo de 3 é: Árvore das possibilidades 02) Em uma pesquisa de marketing foram entrevistadas duas mil pessoas, que opinaram sobre duas embalagens Considere a seguinte situação: de um produto que seria lançado no mercado Um casal deseja ter três filhos e pretende saber qual a consumidor. O resultado foi o seguinte:.200 pessoas probabilidade de nascerem no mínimo dois meninos, preferiram a primeira embalagem, 500 preferiram a 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 9
segunda e 300 não gostaram de nenhuma delas. Escolhida uma pessoa ao acaso, qual é a probabilidade estimada de ela gostar da primeira embalagem? 03) Um baralho comum de 52 cartas tem três figuras (valete, dama e rei) de cada um dos quatro naipes (paus, ouros, espadas e copas). Ao se retirar uma carta do baralho, a probabilidade de ser uma carta que apresente figura de paus é: 200 estudam Cálculo Diferencial e 80 estudam Álgebra Linear. Esses dados incluem 30 estudantes que estudam ambas as disciplinas. Qual é a probabilidade de que um estudante escolhido aleatoriamente esteja estudando Cálculo Diferencial ou Álgebra Linear? 07) Um casal pretende ter três filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos e uma menina, independentemente da ordem, é de: 04) Um dado defeituoso apresenta duas faces com 4 pontos. No lançamento deste dado, a probabilidade de sair uma face com 4 pontos é: 05) Uma escola fez uma pesquisa de opinião entre os seus alunos para decidir sobre as modalidades esportivas distintas de futebol que seriam priorizadas para treinamento. Todos os alunos da escola responderam à pesquisa, optando por apenas uma modalidade. O gráfico a seguir resume o resultado da pesquisa. 08) Em uma mesa, estão espalhados 50 pares de cartas. As duas cartas de cada par são iguais e cartas de pares distintos são diferentes. Suponha que duas dessas cartas são retiradas da mesa ao acaso. Então, a probabilidade de essas duas cartas serem iguais é: 09) No sorteio de um número natural de a 0, qual a probabilidade de sair um número par ou um múltiplo de três ou um número menor que 7? 0) A probabilidade de se obter pelo menos duas caras no lançamento simultâneo de 3 moedas honestas, é igual a: ) Num sorteio, concorrem todos os números inteiros de a 00. Escolhendo-se um desses números ao acaso, qual é a probabilidade de que o número sorteado tenha 2 algarismos distintos? 2) Há apenas dois modos de Cláudia ir para o trabalho: Sobre o exposto, assinale as alternativas com C (certa) de ônibus ou de moto. A probabilidade de ela ir de ônibus ou E (errada). é 30% e, de moto, 70%. Se Cláudia for de ônibus, a a) O número de alunos da escola é 000. probabilidade de chegar atrasada ao trabalho é 0% e, b) Na escola, existem mais alunos do sexo feminino. se for de moto, a probabilidade de se atrasar é 20%. A c) Escolhendo aleatoriamente um aluno X da escola, a probabilidade de Cláudia não se atrasar para chegar ao probabilidade de X ter optado por ginástica é 5%. trabalho é igual a: d) Escolhendo aleatoriamente um aluno X da escola, a 3) Tem-se dois dados, sendo um perfeito e outro com probabilidade de X ser mulher ou ter optado por vôlei é todas as faces marcadas com pontos. Um deles é 75%. escolhido ao acaso e lançado. A probabilidade de se e) Escolhendo aleatoriamente um aluno homem X da obter é: escola, a probabilidade de X ter optado por basquete é 5%. 0) De um total de 500 estudantes da área de exatas, 0 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
4) Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda. 5) Uma urna contém 3 bolas: uma verde, uma azul e uma branca. Tira-se uma bola ao acaso, registra-se a cor e coloca-se a bola de volta na urna. Repete-se essa experiência mais duas vezes. Qual a probabilidade de serem registradas três cores distintas? SISTEMAS LINEARES Duas equações e duas variáveis: Método da substituição x + y = 3 y = 3 x 2x y = 0 2x (3 x) = 0 2x 3 + x = 0 3x = 3 x = y = 3 y = 2 variáveis, o qual resolvemos, e depois então substituímos as soluções em uma das equações originais para obter o valor da variável que faltava. 3x y + 2z = 7 2x 3y + z = x + 2y z = 2 isolando x na terceira equação: x = 2 2y + z substituin do nas outras 3(2 2y + z) y + 2z = 7 2(2 2y + z) 3y + z = y + 3z y + 2z = 7 4 4y + 2z 3y + z = 7y + 5z = 7y + 3z = 5 ( ) z = 3 duas equações : 7y + 5z = somando as equações 7y 3z = 5 2z = 7y 3.3 = 5 7y 9 = 5 7y = 4 y = 2 x = 2 2.2 + 3 x = Método da adição x + y = 3 somando as equações 2x y = 0 3x = 3 x = + y = 3 y = 2 Três equações e três variáveis Método da substituição Isolamos uma das variáveis em uma das equações e a substituímos nas outras duas equações, reduzindo o sistema de três equações e três variáveis a um sistema de duas equações e duas EXERCÍCIOS 0) Um atirador deveria receber 4 reais por tiro acertado no alvo e pagar a metade cada vez que errasse. Depois de 32 tiros, recebeu 8 reais. Quantos tiros acertou? 02) Um taxista trocou uma nota de 50 reais por notas de 2 reais e 5 reais num total de 9 notas. Quantas notas de cada valor o taxista recebeu? 03) Em um estacionamento para veículos apreendidos há 30 veículos entre motos e carros. Sendo o total de rodas igual a 82, quantos são os veículos de cada tipo? 04) O Sr. Pedrão é dono de uma pequena fazenda, a qual é administrada pelo filho dele, Pedro. Pedro gosta de fazer algumas brincadeiras com o pai. No fim do mês, 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
Pedro sempre deve dar um relatório do andamento da fazenda. O relatório deste mês foi o seguinte: Entre porcos e galinhas consegui contar 000 patas e 300 cabeças. Quantos porcos e quantas galinhas há exatamente na fazenda do Sr. Pedrão? 05) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, uma pessoa percorre 550 km por mês. Para isso, em alguns dias, ele utiliza um automóvel e, em outros, uma motocicleta. Considerando que o custo do quilômetro rodado é de 2 centavos para o automóvel e de 7 centavos para a motocicleta, calcule quantos quilômetros a pessoa deve andar em cada um dos veículos, para que o custo total mensal seja de R$ 70,00. 0) Um policial rodoviário aplicou durante uma blitz apenas dois tipos de multa, num total de 80, sendo que o valor arrecadado será de R$ 4300,00. Cada multa do tipo A custa R$ 50,00 e cada multa do tipo B custa R$ 0,00. Quantas multas de cada tipo ele aplicou? 07) Um pacote tem 2 balas, algumas de uva e as demais de laranja. Se a terça parte do dobro do número de balas de uva excede a metade do número de balas de laranja em 4 unidades, então, nesse pacote há quantas balas de cada tipo? 08) Deseja-se pintar duas fileiras de cinco quadrados num muro retangular de 5 metros de comprimento por 2,2 metros de altura, conforme a figura a seguir. morango é de 0 centavos por unidade, enquanto o dos bombons de caramelo é de 20 centavos por unidade. Os demais custos de produção são desprezíveis. Sabe-se que cada caixa é vendida por R$ 7,20 e que o valor de venda fornece um lucro de 20% sobre o custo de produção de cada bombom. O número de bombons de cada sabor contidos em uma caixa é igual a: 0) Pafúncio, Estrupício e Emingarda foram a uma lanchonete. Pafúncio comeu 3 pastéis e tomou dois sucos, pagando R$9,00 pelo lanche; Estrupício comeu 2 pastéis e tomou um refrigerante, pagando R$,00 pelo lanche; Emingarda comeu um pastel e tomou dois sucos, pagando R$5,00 pelo lanche. Sabendo que todos pagaram os valores certos de cada item, então podemos afirmar que um pastel e um suco custam o mesmo que dois refrigerantes. ) Emingarda será madrinha de casamento de sua irmã e pretende presenteá-la com artigos de cozinha. Na primeira loja por ela visitada, o preço de um conjunto que tem 3 panelas, 2 frigideiras e leiteira é de R$ 9,00; na segunda loja visitada, o preço de um conjunto composto por 4 panelas, frigideira e leiteira é de R$ 79,00; na terceira loja visitada o preço de um conjunto com 3 panelas, frigideira e leiteira é de R$ 44,00. Se o preço de cada panela, da frigideira e da leiteira é o mesmo em todas as lojas por ela visitada, então pode-se afirmar que o preço de um conjunto composto por 4 panelas, 2 frigideiras e leiteira é igual a: Os lados dos quadrados serão paralelos às laterais do muro e as distâncias entre os quadrados e entre cada quadrado e a borda do muro serão todas iguais. Nessas condições, a medida do lado de cada quadrado, em metros, será: 09) Uma fábrica de doces vende caixas com 50 unidades de bombons recheados com dois sabores, morango e caramelo. O custo de produção dos bombons de 2) Pedrão entrou numa lanchonete e pediu 3 hambúrgueres, suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$ 2,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 0,00, calcule o preço de cada um desses itens. 3) Uma herança de R$ 270.000,00 foi distribuída entre 3 irmãs, de modo que a filha do meio recebeu metade do que recebeu a filha mais nova e a mais velha recebeu o 2 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores
equivalente à metade do que receberam juntas a mais nova e a do meio. Em reais, a filha mais velha recebeu: 4) Uma conta no valor de R$ 95,00 foi paga com cédulas de dois, cinco, dez e de vinte reais, totalizando 30 cédulas. Juntando-se as cédulas de cinco com as de dez reais usadas no pagamento, obteve-se um total de dez cédulas, e a quantidade das cédulas de vinte reais usadas foi de um terço do número de cédulas de dois reais. A quantidade de cédulas de cinco reais usadas para o pagamento da conta foi de: NOÇÕES DE ESTATÍSTICA 0) O gráfico abaixo mostra a prevalência de obesidade da população dos EUA, na faixa etária de 20 a 74 anos, para mulheres e homens, e de 2 a 9 anos, para meninas e meninos. 02) 02) Receita bate novo recorde e acumula alta de quase 0%. Esta foi a manchete dos jornalistas Fabio Graner e Gustavo Freire para O Estado de S.Paulo de 9 de outubro de 2007. O corpo da matéria, ilustrada pelo gráfico abaixo, informava que a arrecadação da Receita Federal em setembro totalizou R$48,48 bilhões, um recorde para o mês. De janeiro a setembro ficou em R$429,97 bilhões que, corrigidos pela inflação, somam R$435,0 bilhões, com crescimento de 9,94% ante o mesmo período de 200. O secretário adjunto da Receita Federal destacou que, de janeiro a setembro, a expansão das receitas, na comparação com igual período de 200, foi de,4%. Evolução mensal da arrecadação federal (valores em bilhões de reais, corrigidos pelo IPCA) De acordo com os dados apresentados neste gráfico, a) de 90 a 2002, em média, 30% dos homens estavam obesos. b) a porcentagem de meninas obesas, no período 999-2002, era o dobro da porcentagem de meninas obesas no período 988-994. c) no período 999-2002, mais de 20% dos meninos estavam obesos. d) no período 999-2002, mais de 50% da população pesquisada estava obesa. e) a porcentagem de mulheres obesas no período 988-994 era superior à porcentagem de mulheres obesas no período 97-980. Pode-se concluir, então, que: a) a arrecadação da Receita Federal, de janeiro a setembro de 2007, foi crescente. b) em setembro de 2007, a Receita Federal arrecadou 0% a mais do que foi arrecadado em setembro de 200. c) a arrecadação de setembro de 2007 foi,4% maior que a de janeiro de 2007. d) em 2007, a arrecadação foi crescente nos períodos de fevereiro a abril, e de maio a agosto. e) no período de julho a setembro de 2007, a arrecadação da Receita Federal foi decrescente. 03) Os gráficos abaixo mostram que o número de brasileiros com acesso à internet em casa evoluiu bastante e que esses usuários estão deixando de se conectar pela linha telefônica para usar a banda larga 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores 3
RACIOCÍNIO LÓGICO como plano de acesso mais rápido. 4 2009 Neste curso os melhores alunos estão sendo preparados pelos melhores Professores