Universidade Federal de Ouro Preto UFOP Departamento de Computação e Sistemas DECSI Disciplina: Matemática Discreta - CSI 443 Professor: Bruno Hott (brhott@ufop.edu.br) Revisão Lista de Exercícios sobre Conjuntos 1. Responda formalmente as seguintes questões: a) O que são conjuntos e quais são suas características? Resposta: Conjuntos nada mais são que uma coleção de objetos denominados elementos. b) Descreva, de maneira sucinta, os métodos utilizados para descrever conjuntos. Enumeração, definimos um conjunto por enumeração simplesmente listando seus elementos. Este é um método conveniente para conjuntos finitos que possuam poucos elementos. Diagrama de Venn, que é a representação do conjunto atraves de um diagrama, os elementos deste conjunto se encontraram dispersos sobre esse diagrama. Set comprehension, permite-nos especificar um conjunto em termos de uma propriedade que descreve quais são os elementos deste. Recursivamente, conjuntos definidos recursivamente são também conhecidos como conjuntos indutivos e especificam como regrars de criação dos mesmos atraves de 3 passos, são eles, casos base, passos recursivos e regra de fechamento. c) O que é um paradoxo? Paradoxo são expressões numericas ou verbais que apresentam em sua sentença logica uma contradição interna. d) Enumere as operações sobre conjuntos vistas na disciplina. A B = {x x A x B} A B = {x x A x B} A = {x x U x A} A B = {x x A x B} e) O que são famílias de conjuntos e como podemos definir suas operações? Familias de conjuntos é a denominação que damos a familias ou grupo de elementos que possuem como integrantes conjuntos contidos em um universo especifico de discurso. Podemos definir suas operações como a união e a interseção de familias.
Exercícios 2. (Ribeiro 5.3.4) Faça 1, 2. Resposta da questão n 1 (definição recursiva do conjunto de números naturais ímpares) 1 passo: Elemento 1 pertence aos naturais impares 2 passo: Para todo elemento x pertencente aos naturais impares, implica que x + 2 pertence aos naturais impares Resposta da questão n 2 (definição recursiva do conjunto de números inteiros múltiplos de 5) 1 passo: Elemento 0 é um numero natural e multiplo de 5 2 passo: Para todo elemento x pertencente aos multiplos de 5, implica que x + 5 e x -5 pertencem ao conjunto de multiplos de 5 3. (Rosen 2.1) Faça: 1, 7, 21. Resposta da questão n 1 a) {x x é um numero real, tal que x^2=1} = {1, -1} b) {x x é um numero inteiro positivo menor que 12} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} c) {x x éo quadrado de um numero inteiro e x < 100} = {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81} d) {x x é um numero inteiro, tal que x^2=2} = Ø Resposta da questão n 7 a) 0 Ø: Falso b) Ø {0}: Falso c) {0} C Ø: Falso d) Ø C {0}: Verdadeiro e) {0} {0}: Falso f) {0} C {0}: Falso g) { Ø } { Ø }: Verdadeiro Resposta da questão n 21 a) P({ a, b, { a, b } } ) : Uma vez que o conjunto que estamos trabalhando tem 3 elementos, seu conjunto potência tem 2^3 = 8 elementos. b) P ( { Ø, a, { a }, { { a } } }): Uma vez que o conjunto que estamos trabalhando tem 4 elementos, seu conjunto potência tem 2^4 = 16 elementos. c) P ( P ( Ø ) ): O conjunto potência do conjunto vazio tem 2^0 = 1 elemento. O conjunto potênci deste conjunto, por sua vez, tem 2^1 = 2 elementos.
4. (Ribeiro 5.4.4) Faça 2, 4. Resposta n 2 letra a: Liste os elementos de F = {Ai i I} I = {2,3,4,5} i pertence a I Ai = { i, i+1, i+2, 2*i} A2 = { 2, 3, 1, 4} A3 = {3, 4, 2, 6} A4 = {4, 5, 3, 8} A4 = {5, 6, 4, 10} Resposta da questão n 2 letra b: i I Ai = {1,2,3,4,5,6,8,10} i I Ai = {4} Resposta da questão n 4 Seja o conjunto A= { 1, 2, 3 } e o conjunto B= { 4, 5, 6 }. Então A B = A + B =6 já que a união de A e B é a soma da cardinalidade separadamente (uma vez que A e B são disjuntos). Entao P (A B) = 2^6. Por outro lado, o tamanho do P(A) P(B) é P (A) + P (B) = 2^3+ 2^3= 2^4. Logo, os conjuntos são diferentes. Como os dois conjuntos não têm o mesmo tamanho, eles não podem ser iguais. 5. (Rosen 2.2) Faça: 1, 2 Resposta da questão n 1 letra a: A B = O conjunto dos estudantes que moram a um quilomentro de distancia da faculdade e que vão a pé para as aulas. Resposta da questão n 1 letra b: A B = O conjunto de estudantes que moram a um quilometro de distancia da faculdade ou que vão apé para as aulas ( ou ambas as coisas). Resposta da questão n 1 letra c: A B = O conjunto de estudantes que moram a um quilometro de distancia da faculdade, mas que não vão a pé para as aulas. Resposta da questão n 1 letra d: B A = O conjunto de estudantes que vão apé para as aulas, mas moram a mais de um quilometro de distancia da faculdade.
Resposta da questão n 2 letra a: A B Resposta da questão n 2 letra b: A B Resposta da questão n 2 letra c: A B Resposta da questão n 2 letra d: A B 6. (Ribeiro 5.6.1) Faça: 2, 4, 7, 11 Resposta da questão n 2: A B B A Hipotese A B y. y A y B x é arbitrario x B x A x A x A x B x B B A x. x B x A x A Texto da questão 2: Suponha que A B Suponha que x é arbitrario. Suponha x B Suponha x A Como x A, temos que x A Como x A e A B, temos que x B Como x B e x B, temos uma contradição. Logo, x A Como x é arbitrario, temos B A Logo, se A B, então B A
Resposta da questão n 4 P(A) P(B) = P(A B) (->), P(A) P(B) P(A B) x. x P(A) P(B) x P(A B) x (A B) x P(A) P(B) x x X x (A B) x P(A) x (A B) x A a. a X a A x P(B) x B b. b X b B x é arbitrario x X x. x X x A x. x X x B (<-), P(A B) P(A) P(B) x. x P(A B) x P(A) P(B) x P(A B) x P(A) x A a. a X a A x P(B) x P(B) b. b X b B x é arbitrario x X x. x X x A x. x X x B x P(A) P(B) x. x X x P(A) P(B) x P(A) P(B)
Texto da questão n 4 Suponha P(A) P(B) P(A B) e P(A B) P(A) P(B) (->) Suponha x arbitrário e x P(A) P(B) Como e x P(A) P(B) então x P(A) ^ x P(B) Como x P(A), então x A Como x P(B), então x B Como x A^ x B, então x (A B) Como x (A B), então x P(A B) Logo, P(A) P(B) P(A B) (<-) Suponha x arbitrario e x P(A B) Como x P(A B), então x P(A) ^ x P(B) Como x P(A), então x A Como x P(B), então x B Como x A^ x B, então x P(A B) Como x P(A B) então x P(A) P( B) Logo, P(A B) P(A) P(B) Portanto, P(A) P(B) = P(A B) Resposta da questão n 7 A B = A B então B = A B A B A B A B x. x A B x A B y. y A - B y A B x. x A B x A ^ x B B x. x B x B x A B x A B x A x B x A ^ x B x B x A ^ x B x A x B B =
Texto da questão 7: Suponha A B = A B Suponha B Como x B, então x A B Como x A B e A B A B, então x A B e x B Como x A B, então x A e x B Como x B e x B, temos uma contradição Logo, B= Portanto, A B = A B então B =. Resposta da questão n 11: A (B C) A (B C) x. x A (B C) (x A (B C) ) (x A ^ x B C) (x A ^ x B ^ x C) x A x B x C A (B C) = A B C A B C x.x (A B) x C x C Texto da questão 11: Suponha A (B C) = Suponha A (B C) Como x A (B C), então (x A (B C) ) Como (x A (B C) ), então (x A ^ x B C) Como (x A ^ x B C), então (x A ^ x B ^ x C) Como (x A ^ x B ^ x C), então x A x B x C Logo A B C e x C Portanto, A e B C são disjuntos, então A B C