UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LISTA DE EXERCÍCIOS DE MAT243-CÁLCULO III

Capítulo 1 Vetores no Rn 1. Sejam u e v vetores tais que e u v = 2 e v = 1. Calcule v u v. 2. Sejam u e v vetores unitários e ortogonais. Determine que u v e u v. 3. Seja u um vetor ortogonal a v e w. Sabendo-se que v e w formam um ângulo de 30 e que u = 6, v = 3 e w = 3, calcule u.( v w ). 4. De um vértice de um cubo traçam-se uma diagonal do cubo e uma diagonal de uma face. (a) Calcular o ângulo entre as duas diagonais. (b) Calcular a área do triângulo definido por estas diagonais e uma aresta do cubo. 5. Encontre: v u, v, u, o cosseno do ângulo entre v e u, a componente escalar de u na direção de v e o vetor proj v u. (a) v = (2, 4, 5), u = ( 2, 4, 5). (b) v = (0, 5, 3), u = (1, 1, 1). 6. Os ângulos diretores α, β e γ de um vetor v = a i + b j + c k são definidos da seguinte maneira: (a) Mostre que α é o ângulo entre v e o eixo x positivo (0 α π) β é o ângulo entre v e o eixo y positivo (0 β π) γ é o ângulo entre v e o eixo z positivo (0 γ π) cos α = a v, cos β = b v, cos γ = c v e cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. Esses cossenos são chamados cossenos diretores de v. (b) Mostre que, se v = a i + b j + c k é um vetor unitário, então a, b e c são cossenos diretores de v. 1

CAPÍTULO 1. VETORES NO RN 2 7. Suponha que AB seja o diâmetro de um círculo com centro O e que C seja um ponto sobre um dos arcos que ligam A e B. Mostre que CA e CB são ortogonais. 8. Desigualdade de Cauchy-Schwartz. (a) Use o fato de que u v = u v cos θ para mostrar que a desigualdade u v u v. (b) Sob quais circunstâncias, se existirem, u v é igual a u v? Justifique sua resposta. 9. Na multiplicação de números reais, se uv 1 = uv 2 e u 0, podemos cancelar u e concluir que v 1 = v 2. A mesma regra se aplica ao produto escalar? Ou seja, se u v 1 = u v 2 e u 0, pode-se concluir que v 1 = v 2? Justifique sua resposta. 10. Encontre o comprimento e a direção (quando definida) de u v e v u. (a) u = 2 i 2 j k, v = i k. (b) u = 2 i 2 j + 4 k, v = i + j 2 k. 11. Dados os pontos P (2, 2, 1), Q(3, 1, 2) e R(3, 1, 1). (a) Encontre a área do triângulo determinado pelos pontos P, Q e R. (b) Encontre um vetor unitário perpendicular ao plano PQR. 12. Sejam u = 5 i j + k, v = j 5 k, w = 15 i + 3 j 3 k. Quais vetores, se é que existem, são: (a) perpendiculares? (b) paralelos? Justifique suas respostas. 13. Quais das desigualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique sua resposta. (a) u 0 = 0 u = 0. (b) u u = 0. (c) u v = v u. (d) ( u v ) v = 0. 14. Se u v = u w e u 0, então v = w? Justifique sua resposta. 15. Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando (V) para verdadeiro ou (F) para falso. Justifique sua resposta. (a) ( ) Se os vetores u = (x, 1, 3) e v = (x, 1, 1) são ortogonais, então x = 2 ou x = 2. (b) ( ) Se u e v têm a mesma norma, então u v e u + v são ortogonais. (c) ( ) O triângulo determinado pelos pontos A(1, 0, 1), B(2, 1, 1) e C(7, 0, 2) é um triângulo retângulo. (d) ( ) Se u. v = u. w com u 0, então v = w.

CAPÍTULO 1. VETORES NO RN 3 (e) ( ) A área do triângulo determinado pelos vetores u = i + j + k e v = 2 i +3 j k é 4. 16. Sabendo que u = 5, v = 2, u. v = 2, u. w = 1 e v. w = 7, calcule: (a) 4 u.(2 v + 3 w ). (b) (5 u 4 v )( u + w ). 17. Sejam u e v vetores, com ângulo entre si medindo θ = π 6, e tais que u. v = 2. Determine a área do triângulo que tem os vetores u e v como lados adjacentes. 18. Se u e v são vetores tais que u + v = 10 e u v = 8, determine u. v. 19. Sejam u e v vetores unitários tais que u. v = 1 2. Determine ( u + v ).( u v ), u + v. 20. Seja v = (1, 5, 3). Determine o vetor w, tal que w = 10, e que tem a mesma direção e o sentido contrário de v. 21. Obtenha v tal que v j = k e v = 5. 22. Sejam u = a i + 2 j + k e v = i + j 2 k. Sabendo-se que o ângulo entre u e i é obtuso, determine a de modo que a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v seja 50.

Capítulo 2 Retas e Planos 1. Escrever uma equação do plano tangente à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 6 no ponto P (1, 2, 1). 2. Dados A(2, 3, 6) e (B(4, 1, 2), escrever uma equação do plano mediador do segmento AB. 3. Determinar os valores de a e b para que as retas r : sejam: a) paralelas; b) concorrentes; c) reversas. x = 1 + at y = 2 + bt z = 1 + 2t e s : x = 2 + t y = 1 + bt z = 1 + 2t x = 2 + 4t 4. Determinar a posição relativas das retas r : y = 1 + t z = 3 2t x = 5 + t e s : y = 2 2t z = 1 + 2t 5. Distância de um ponto à reta: (a) Mostre que a distância entre um ponto S e uma reta passando por P paralela a v é d = P S v. v (b) Encontre a distância do ponto S(1, 1, 5) até a reta L : x = 1 + t y = 3 t z = 2t. 6. Distância de ponto à plano. Se P é um ponto no plano com normal η, então a distância de qualquer ponto S até o plano é o comprimento da projeção ortogonal de P S em η. Mostre que a distância de S até o plano é d = η P S η = P S η. η 4

CAPÍTULO 2. RETAS E PLANOS 5 7. Dados os planos paralelos: (a) Mostre que a distância entre os planos é Ax + By + Cz = D 1 e Ax + By + Cz = D 2 d = D 1 D 2 A i + B j + C k. (b) Encontre a distância entre os planos 2x + 3y z = 6 e 2x + 3y z = 12. 8. Encontre equações paramétricas para a reta: (a) que passa pela origem e é pararlela ao vetor v = 2 j + k. (b) que passa por (0, 7, 0) e é perpendicular ao plano x + 2y + 5z = 13. 9. Encontre a equação do plano: (a) que passa por (1, 1, 1), (2, 0, 2) e (0, 2, 1). (b) que passa por P o (2, 4, 5) e é perpendicular à reta x = 5 + t, y = 1 + 3t, z = 4t. 10. Encontre o ponto de interseção das retas x = 2t + 1, y = 3t + 2, z = 4t + 3 e x = s + 2, y = 2s + 4, z = 4s 1 e depois encontre o plano determinado por estas retas. 11. Encontre um plano que passa por P o (2, 1, 1) e é perpendicular à reta dada pela interseção dos planos 2x + y z = 3 e x + 2y + z = 2. 12. Encontre a distância do ponto (2, 1, 3) à reta x = 2 + 2t, y = 1 + 6t, z = 3. 13. Encontre a distância do ponto (0, 1, 0) ao plano 2x + y + 2z = 4. 14. Encontre a distância do plano x + 2y + 6z = 1 ao plano x + 2y + 6z = 10. 15. Encontre parametrizações para as retas dadas pela interseção dos planos: (a) x + y + z = 1 e x + y = 2. (b) x 2y + 4z = 2 e x + y 2z = 5. 16. Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando (V) para verdadeiro ou (F) para falso. Justifique sua resposta. (a) ( ) Existe um plano que contém os pontos A(1, 0, 1), B(0, 2, 3), C( 2, 1, 1) e D(4, 2, 3). (b) ( ) O ponto A(7, 6, 5) pertence ao segmento de reta r : x = 1 + 3t, y = 2 + 2t e z = 3 + t, onde 0 t 1. 17. Verifique se os pontos P 1 (1, 1, 1, ), P 2 (0, 1, 1), P 3 (1, 0, 1) e P 4 (0, 1, 0) são coplanares. 18. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(1, 5, 4) e:

CAPÍTULO 2. RETAS E PLANOS 6 (a) é paralela à reta de equações paramétricas x = 1 t, y = 20 + 2t e z = t, t R. (b) é paralela à reta determinada pelos B(1, 1, 1) e C(0, 1, 1). 19. Determine a equação do plano α que contém os pontos A(2, 0, 5) e B(0, 2, 1) e é perpendicular ao plano β : x + 3y 7 = 0. 20. Escreva a equação paramétrica da interseção dos planos abaixo. (a) 2x + y z = 0 e x + y + z = 1. (b) x + 2y = 1 e z = 2. 21. Determine a interseção da reta com cada um dos planos; (a) x 2y + 3z = 8; (b) 2x + z = 5; (c) x = 2. 22. Verifique que a reta está contida no plano 2x + y z = 0. 23. Verifique que a reta não intercepta o plano x + y z = 3. x = 1 + t, y = 2 e z = 4 + 2t; t R x = 1 + t, y = 2 + 3t e z = 5t; t R x = 2 + 2t, y = 1 + t e z = 2 + 3t; t R 24. Determine os valores a, b e d para que o plano ax + by + 3z = d seja: (a) paralelo ao plano 2x + y 5z = 4; (b) represente o mesmo plano que 2x + y 5z = 4. x = 1 + t x = 2 + 2t 25. Verifique que as retas r : y = 2 t e s : y = 5 + 3t z = 5 + t z = 2 + 2t são concorrentes e determine uma equação do plano por elas definido. 26. Determine a distância do ponto A(2, 1, 3) a cada um dos planos: (a) x 2y + z = 1; (b) x + y z = 0; (c) x 5z = 8.

CAPÍTULO 2. RETAS E PLANOS 7 27. Determine (a) a distância do ponto (5, 4, 7) à reta x = 1 + 5t, y = 2 t e z = t, t R; (b) a distância do ponto (1, 2, 1) à reta x = 1 + 2t, y = 5 t e z = 2 + 3t, t R; (c) a distância do ponto (2, 3, 5) a cada um dos eixos do sistema de coordenadas. 28. Escreva uma equação do plano que contém o ponto A(1, 2, 3) e é perpendicular a cada um dos planos 2x + y z = 2 e x y z = 3. 29. Escreva uma equação da reta r que passa pelo ponto A(3, 2, 1) e que é paralela aos planos α e β de equações: α = x 2y + z = 3 e β = 5x 4y + z = 1. 30. Escreva uma equação do plano paralelo a 2x y+6z = 4 e tangente à esfera x 2 +y 2 +z 2 4x+2y = 4. 31. Seja α o plano 2x + y z + 1 = 0 e r a reta que contém os pontos A(0, 0, 2) e B(2, 3, 6). Determine as equações da reta m que contém o ponto C(1, 2, 3), é perpendicular à reta r e paralela ao plano α. 32. Determine se as retas r e s são paralelas, concorrentes ou reversas e calcule a distância entre elas. x = 1 + t x = 1 + 2t r : y = 2 + 3t e s : y = 2 + 3t z = t z = 3t 33. Sejam u = a i + 2 j + k e v = i + j 2 k. Determine equações paramétricas para a reta r que passa pelo ponto A(1, 2, 1) e é ortogonal aos vetores u e v.

Capítulo 3 Superfícies Quádricas 1. Dados a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 9 e os pontos P (1, 1, 1) e Q(2, 2, 3) (a) verifique que P está no interior e Q está no exterior da esfera. (b) determine as interseções da esfera com a reta definida pelos pontos P e Q. 2. Encontre o centro e o raio das esferas. (a) x 2 + y 2 + z 2 + 4x 4z = 0. (b) 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 + x + y + z = 9. 3. Identifique cada superfície. (a) x 2 + y 2 + 4z 2 = 10. (b) 9y 2 + z 2 = 16. (c) x = y 2 z 2. (d) x 2 + 2z 2 = 8. (e) x = z 2 y 2. (f) x 2 + 4z 2 = y 2. 4. Julgue a veracidade das afirmações abaixo assinalando (V) para verdadeiro e (F) para falso. Justifique sua resposta. (a) A equação da esfera de centro C( 2, 4, 1) e tangente ao plano-yz é x 2 + y 2 + z 2 + 4x 8y + 2z + 17 = 0 (b) O raio da esfera que contém os pontos A(3, 1, 4), B(0, 5, 3) e C(4, 4, 0) e tem seu centro no plano xy é igual 3. 5. Determine o centro e o raio da circunferência da interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 25 com o plano 2x + y + z = 4. 6. Desenhe as superfícies. (a) x 2 + y 2 = 4. (b) z = y 2 1. (c) x 2 + 4z 2 = 16. 8

CAPÍTULO 3. SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 9 (d) z 2 y 2 = 1. (e) 4x 2 + 9y 2 + 4z 2 = 36. (f) z = 8 x 2 y 2. (g) 4x 2 + 9z 2 = 9y 2. (h) z 2 x 2 y 2 = 1.

Capítulo 4 Lugar Geométrico 1. Determinar o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de A(2, 1, 3), B(2, 0, 3) e C(0, 3, 1). 2. Forneça uma descrição geométrica do conjunto dos pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem os pares de equações dadas. (a) x = 2, y = 3 (b) y = 0, z = 0 (c) x 2 + y 2 = 4, z = 0 (d) x 2 + z 2 = 4, y = 0 (e) x 2 + y 2 + z 2 = 1, x = 0 (f) x 2 + y 2 + (z + 3) 2 = 25, z = 0 3. Descreva os conjuntos de pontos no espaço cujas coordenadas satisfazem as desigualdades ou as combinações de equações e desigualdades dadas. (a) x 2 + y 2 + z 2 1 (b) x 2 + y 2 + z 2 > 1 (c) x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0 (d) x 2 + y 2 + z 2 1, z 0 4. Descreva o conjunto dado com uma única equação ou com um par de equações. (a) O plano pelo ponto (3, 1, 1) paralelo ao plano xy. (b) O plano pelo ponto (3, 1, 1) paralelo ao plano yz. (c) O plano pelo ponto (3, 1, 1) paralelo ao plano xz. (d) O círculo de raio 2 centrado em (0, 2, 0) e posicionado sobre o plano xy. (e) O círculo de raio 2 centrado em (0, 2, 0) e posicionado sobre o plano yz. 10

CAPÍTULO 4. LUGAR GEOMÉTRICO 11 (f) O círculo de raio 2 centrado em (0, 2, 0) e posicionado sobre o plano xz. (g) A reta que passa pelo ponto (1, 3, 1) paralela ao eixo x. (h) A reta que passa pelo ponto (1, 3, 1) paralela ao eixo y. (i) A reta que passa pelo ponto (1, 3, 1) paralela ao eixo z. (j) O círculo no qual o plano que passa pelo ponto (1, 1, 3) perpendicular ao eixo z encontra a esfera de raio 5 centrada na origem.

Capítulo 5 Gabarito Vetores no Rn 1. 5. 2. u v = 0 e u v = 1. 3. ±27. 4. (a) arccos 6 3, (b) 2a 2 2. 5. (a) 25; 5; 5; 1; 5; 2i + 4j 5k. (b) 2; 34; 3; 6. Demonstração. 7. Demonstração. 2 3 34 ; 2 34 ; 1 (5j 3k). 17 8. (a) Como cos θ 1, temos que u v = u v cos θ u v (1) = u v. (b) Temos igualdade precisamente quando cos θ = 1 ou quando u ou v ou ambos são iguais a 0. 9. Não. 10. (a) u v = 3, a direção é 2 1 2 i j k ; v 2 u = 3, a direção é 3 3 3 3 (b) u v = 0, sem direção ; v u = 0, sem direção. 2 2 11. (a) 2. (b) ± (i j). 2 12. (a) Nenhum. (b) u e w. 13. Verdadeiro: (a), (b) e (d). Nem sempre verdadeiro: (c). 14. Não. 15. Verdadeiro: (a), (c) e (c). Falso: (d) e (e). 16. (a) -4 (b) -156. i + 1 3 2 j + k ; 3 17. 3 3. 12

CAPÍTULO 5. GABARITO 13 18. 9. 19. 0 e 3 20. 2 35 ( 1, 5, 3) 7 21. v = (1, ±2, 0) 22. a = 2. Retas e Planos 1. x + 2y z = 6. 2. x y 4z + 7 = 0 3. (a) a = 1, b qualquer; (b) impossível; (c) a 1, b qualquer. 4. Retas concorrentes. Ponto interseção P (1, 1, 1). 5. (a) Demonstração. (b) 5. 6. Demonstração. 7. (a) Demonstração. (b) 3 14. 7 8. (a) x = 0, y = 2t, z = t. (b) x = t, y = 7 + 2t, z = 2t. 9. (a)7x 5y 4z = 6. (b)x + 3y + 4z = 34. 10. (1, 2, 3), 20x + 12y + z = 7. 11. x y + z = 0. 12. 0. 13. 14. 5 3. 9 41. 15. (a) x = 1 t, y = 1 + t, z = 1. (b) x = 4, y = 3 + 6t, z = 1 + 3t. 16. (a) Verdadeiro. (b) Falso. 17. Não. 18. (a) x = 1 t, y = 5 + 2t e z = 4 + t, t R. (b) x = 1 t, y = 5 e z = 4 2t, t R. 19. α : 2x y z + 1 = 0.

CAPÍTULO 5. GABARITO 14 20. (a) x = 1 3 + 2t, y = 3t e z = 2 + t, t R. 3 (b) x = 1 + 2t, y = t e z = 2, t R. ( 21. (a) 2 ) ( 10 3, 2,. (b) 7 7 4, 2, 7 ). (c) (2, 2, 6). 2 22. Sim. 23. Demonstração. 24. (a) a = 6 5, b = 3 5 e d qualquer. (b) a = 6 5, b = 3 5 e d = 112 5. 25. x z + 4 = 0. 6 21 26 26. (a). (b) 0. (c). 3 26 5226 27. (a). (b) 10. (c) eixo x 34, eixo y 2 10 e eixo z 13. 9 28. 2x y + 3z = 13. 29. x = 3 + t, y = 2 + 2t e z = 1 + 3t, t R. 30. α 1 : 2x y + 6z = 3 41 ou α 2 : 2x y + 6z = 3 41. 31. m: {x = 1 + 7t, y = 2 10t e z = 3 + 4t, t R}. 32. 6 46. 23 33. r : x = 1 + 5t, y = 2 + 3t, z = 1 + 4t. Superfícies Quádricas 1. ( 2 + 52 6, 2 + 52, 2 + 52 6 6 2. (a) C( 2, 0, 2), r = 8. (b) C ) e ( 2 52 6 ( 1 ) 4, 1 4, 1, r = 5 3 4 4., 2 52, 2 ) 52. 6 6 3. (a) Elipsóide. (b) Cilindro. (c) Parabolóide Hiperbólico. (d) Cilindro. (e) Parabolóide Hiperbólico. (f) Cone. 4. a) Verdadeiro. b) Falso. ( 4 5. Centro 3, 2 3, 2 ). Raio 3 201. 3 6.

CAPÍTULO 5. GABARITO 15 Lugar Geométrico 1. x = 3 2 2t, y = 1 2, z = t. 2. (a) A reta que passa pelo ponto (2, 3, 0) paralela ao eixo z. (b) O eixo x. (c) O círculo x 2 +y 2 = 4 no plano xy. (d) O círculo x 2 + z 2 = 4 no plano xz. (e) O círculo y 2 + z 2 = 1 no plano yz. (f) O círculo x 2 + y 2 = 1 no plano xy. 3. (a) A bola de raio 1 centrada na origem. (b) Todos os pontos maiores do que 1 centrados na origem. (c) O hemisfério superior de raio 1 centrado na origem. (d) O hemisfério superior sólido de raio 1 centrado na origem. 4. (a) z = 1. b) x = 3. (c) y = 1. (d) x 2 + y 2 4y = 0. (e) y 2 4y + z 2 = 0. (f) x 2 + z 2 = 0. (g) x = 1 + t, y = 3, z = 1. (h)x = 1, y = 3 + t, z = 1. (i)x = 1, y = 3, z = 1 + t. (j)x 2 + y 2 = 16.