Universidade Federal de Mato Grosso Instituto de Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física

Universidade Federal de Mato Grosso Instituto de Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Densidade Total de Energia-Momento e de Momento Angular Gravitacional do Universo de Gödel-Obukhov Sob a Perspectiva do Teleparalelismo Equivalente à Relatividade Geral por Aglezio Cardoso Silva Orientadora: Prof a. Dra. Rosângela Borges Pereira Co-orientador: Prof Dr. Adellane Araújo Sousa Dissertação apresentada ao Departamento de Física do ICET da Universidade Federal de Mato Grosso como parte para obtenção do título de mestre em física. Cuiabá, Fevereiro de 2007.

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Aglezio Cardoso Silva Densidade Total de Energia-Momento e de Momento Angular Gravitacional do Universo de Gödel-Obukhov Sob a Perspectiva do Teleparalelismo Equivalente à Relatividade Geral Orientadora: Prof a. Dra. Rosângela Borges Pereira Co-orientador: Prof Dr. Adellane Araújo Sousa Dissertação apresentada ao Departamento de Física do ICET da Universidade Federal de Mato Grosso como parte para obtenção do título de mestre em física. Cuiabá, Fevereiro de 2007. Departamento de Física - ICET - Universidade Federal de Mato Grosso

A coisa importante é não parar de questionar. A curiosidade tem suas próprias razões para existir. (... Nunca perca a sagrada curiosidade. (Albert Einstein i

ii Dedicatória Aos meus pais. E ao meu amigo Anatalino Neto que, ao nos abandonar neste mundo, deixou a mensagem de que nunca devemos ignorar as palavras de um amigo.

iii Agradecimentos Ao meu amigo Josiel, que enfrentou comigo todos os árduos caminhos que nos trouxeram até aqui. À Prof a. Rosângela e ao Prof. Adellane, por nos incentivar a ingressar no mestrado e pela orientação deste trabalho. Ao Prof. Alberto Arruda, por acreditar em minha capacidade e pelo apoio proporcionado. Aos novos amigos que estes anos de estudo me proporcionaram: Jannaíra e filhos, Alesandro e esposa, Ademilson e Reginaldo, Devair e Rosely, Robson e família, Celso Fanaía e família, Alessandro e família, Rogério e família. Enfim todos da turma do mestrado. À CAPES e a todos os Brasileiros que, pagando seus impostos, deram-me suporte financeiro. A todos os colegas, professores e funcionários do Mestrado e do ICLMA, cujos nomes não apareceram, pela amizade e apoio. A minha família, pelo apoio e compreensão nestes anos de estudos e afastamento.

iv Resumo Neste trabalho, mostramos a equivalência entre as equações de campo do Teleparalelismo Equivalente à Relatividade Geral (TERG as equações de Einstein da Relatividade Geral (RG considerando um fluido perfeito e a métrica de Gödel-Obukov. Essa métrica, que descreve um Universo em expansão e rotação, é uma generalização não-estacionária e sem curvas do tipo-tempo fechadas (CTC s, características da métrica original de Gödel. Também calculamos a densidade total de energia-momento e o momento angular gravitacional desse Universo em rotação. Para tanto utilizamos o formalismo do TERG, que se justifica por apresentar expressões covariantes para as grandezas consideradas. Em limites apropriados encontramos as conhecidas equações de campo de Friedmann, que descreve um Universo plano em expansão (sem rotação. Nossos resultados para a densidade de energia-momento e momento angular gravitacional estão em acordo com os resultados obtidos pela relatividade geral. Palavras Chaves: Rotação do Universo; Densidade de Energia-Momento; Momento Angular. Áreas do conhecimento: Gravitação e Cosmologia.

v Abstract In this research, we show equivalence between the field equations the Teleparallel Equivalent to General Relativity (TEGR and Einstein s equation of General Relativity (GR, considering a perfect fluid and the metric of Gödel-Obukov. Such metric, which describes a universe in expansion and rotation, is a non-stationary generalization and without closed time-like curves (CTC s, characteristics of the original metric of Gödel. Also we calculate the total density of energy-momentum and the gravitational angular momentum of this universe in rotation. For that, we use the formalism of the TERG, justified for presenting covariant expressions for the considered quantity. In appropriate limits, we develop the known field equations of Friedmann, for a flat universe in expansion (without rotation. Our results for the energy-moment density and gravitational angular moment are in agreement with the results gotten for general relativity. Keywords: Rotation of Universe; Densities de Energy-Momentum; Angular Momentum Areas of the knowledge: Gravitation and Cosmology.

vi Sumário Introdução p. 1 1 O Teleparalelismo Equivalente à Relatividade Geral (TERG p. 6 1.1 O campo de tétradas............................. p. 8 1.2 O Equivalente Teleparalelo da Relatividade Geral............. p. 10 1.3 O Tensor de Energia-Momento Total.................... p. 14 1.4 Momento Angular do Campo Gravitacional................ p. 16 2 O Modelo Cosmológico p. 19 2.1 O Modelo Padrão: Modelo de Friedmann-Lemaítre-Robertson-Walker............. p. 20 2.2 Modelo Estacionário de Gödel........................ p. 22 2.3 O Modelo Gödel-Obukhov.......................... p. 23 3 O Universo Gödel-Obukhov Sob a Perspectiva da TERG p. 25 3.1 Cálculo das Tétradas............................. p. 25 3.2 As Equações de Campo............................ p. 28

Sumário vii 3.3 A Energia-Momento do Universo Gödel-Obukhov............. p. 34 3.4 O Momento Angular Gravitacional do Universo Gödel-Obukhov..... p. 38 Conclusão p. 41 Referências Bibliográficas p. 43 Apêndice A -- O Formalismo Tensorial p. 47 Apêndice B -- Cálculos dos campos de tétradas p. 56 Apêndice C -- Cálculo do Tensor Sigma p. 63

1 Introdução Com a apresentação da Teoria da Relatividade Geral, por Albert Einstein em 1916, iniciou-se, logo após, sua aplicação à soluções cosmológicas, ou seja, soluções que representassem o Universo como um todo. No entanto, ao contrário do que se poderia pensar, as equações relativísticas da gravitação não conduziam a uma única solução cosmológica. Havia, em princípio, várias descrições matemáticas possíveis. Surge, então, a necessidade de se analisar quais soluções matemáticas poderiam representar a realidade física do Universo, os chamados modelos cosmológicos. O primeiro modelo cosmológico moderno foi criado pelo próprio Einstein, que estabeleceu um modelo de Universo que, em grande escala, era homogêneo, isotrópico e estático (e infinito. Vale ressaltar que as soluções matemáticas encontradas por ele levavam a um Universo em expansão. Essa hipótese era absurda na época e, para adequar sua solução à realidade física do momento, ele introduziu a chamada constante cosmológica. O papel dessa constante, positiva para Einstein, seria a de uma força de repulsão opondo-se à gravidade e, desse modo, mantia o Universo estático. Assim que observações concluíram que o Universo estava se expandindo, a constante cosmológica de Einstein aparentemente perdeu sua função. No entanto, essa constante parece ser de extrema importância para a física contemporânea. Friedmann, poucos anos depois, apresenta um novo modelo cosmológico, oriundo de

Introdução 2 uma nova solução das equações de Einstein, que tem características bem diferentes do Universo de Einstein: um Universo dinâmico, finito e em expansão uniforme, além de não possuir constante cosmológica. A idéia de Friedmann, de um modelo de Universo em expansão, passa a dominar quando em 1929, o astrônomo americano Edwin Hubble observou que a luz proveniente das galáxias apresentava um desvio para o vermelho. Um indicativo de que elas estão se afastando, conseqüência de um Universo em expansão. O modelo mais utilizado atualmente é do Big Bang, que utiliza a métrica de Friedmann- Lemaître 1 -Robertson-Walker (FLRW e conhecido como modelo padrão. Apesar desse modelo fazer inúmeras predições que estão em acordo com observações experimentais, como a expansão do Universo, a existência da radiação cósmica de fundo, a abundância de vários elementos leves, há problemas que o modelo padrão não explica. Entre estes podemos citar a existência da singularidade inicial, na qual nenhuma física faz sentido; a própria homogeneidade e isotropia do Universo primordial; e a existência da matéria escura e da energia escura que estariam, neste momento, acelerando a expansão do Universo. Não poderia o Universo estar em rotação? Se a Terra gira sobre seu próprio eixo, a Lua gira em torno da Terra, a Terra gira em torno do Sol, o Sol em torno do centro da galáxia, a galáxia em torno de um cluster de galáxias e, até mesmo, o elétron em torno do núcleo, não poderia o Universo, como um todo, estar em rotação? Acreditando nisso passou-se à busca de modelos de Universos que também considerava rotação (além de expansão. Além disso, não poderia um Universo em rotação permitir a solução dos problemas apresentados acima, ou parte deles, e que um modelo sem rotação não explica? 1 Lemaître dá inúmeras contribuições na construção do modelo padrão.

Introdução 3 A idéia de um Universo em rotação deve-se à G. Gamow (GAMOW, 1946. No entanto, a solução exata da equação de Einstein para o modelo de um Universo homogêneo, estático e com rotação foi proposta por Gödel (GÖDEL, 1949. As equações encontradas por Gödel apresentavam sérios problemas, entre os quais a violação da causalidade do espaço-tempo. Vários novos modelos, baseado na idéia original de Gödel, foram criadas na tentativa de sanar os problemas por seu modelo (STEIN, 1970; PFARR, 1981; PI- MENTEL; CAMACHO; MACíAS, 1994; OBUKHOV, 2000. Entre estes ressaltaremos a generalização não-estacionária proposto por Obukhov (OBUKHOV, 2000, que apresenta expansão, além de rotação. Essa generalização é conhecida como modelo de Gödel- Obukhov ou modelo do tipo Gödel e não estaria em conflito com qualquer observação cosmológica. Apesar dos avanços nas predições teóricas, a rotação global ainda não foi detectada. No entanto, devemos ressaltar que, se por um lado há apenas fracas evidências observacionais que teriam como causa a rotação global, por outro não há dados que a proíbam (LI, 1998; GODLOWSKI et al., 2003; GODLOWSKI; SZYDLOWSKI, 2006. O que foi dito acima levou à motivação para este trabalho: o estudo de grandezas física fundamentais (energia, momento e momento angular de um Universo em rotação. No entanto, apesar do sucesso inquestionável da teoria da relatividade geral, não a utilizaremos na formalização de nosso problema. Nesse ponto mais uma vez citaremos Einstein. Ele próprio propõe uma teoria alternativa à teoria da relatividade geral, denominada paralelismo absoluto ou teleparalelismo. Essa teoria é uma descrição geométrica na qual a gravitação é atribuída à torção do espaçotempo e não mais à curvatura. Seu objetivo era conseguir a unificação entre a gravitação

Introdução 4 e o eletromagnetismo. Como não consegue a unificação essa teoria cai no esquecimento. No entanto, sempre houve fortes motivos para se buscar teorias alternativas à relatividade geral. Um desses motivos é a questão da localizabilidade da energia 2. Supostamente, a energia não poderia ser localizada. Matematicamente a impossibilidade de localização se manifestaria nas expressões não tensoriais (na verdade, pseudo-tensoriais para a energia. Movidos por essas questões várias propostas foram sendo construídas desde o paralelismo absoluto de Einstein, conforme evidenciaremos. Uma dessas construções - a que utilizaremos neste trabalho - é o formalismo conhecido como Teleparalelismo Equivalente à Relatividade Geral (TERG. O uso desse formalismo se justifica por apresentar expressões covariantes para a energia, momento e momento angular. O desenvolvimento deste trabalho se dará do seguinte modo: No primeiro capítulo, apresentamos o Teleparalelismo Equivalente à Relatividade Geral apresentando seus principais resultados, como as equações tensoriais para a energiamomento e momento angular do campo gravitacional. No segundo capítulo, apresentamos os modelos cosmológicos de Friedmann-Lemaître- Robertson-Walker, de Gödel e o de Gödel-Obukhov. No terceiro capítulo, aplicamos os resultados do TERG, descritos no capítulo 1, ao modelo de Gödel-Obukhov. No primeiro momento encontramos as equações de campo e, em seguida, calculamos a densidade total de energia-momento e do momento angular do campo gravitacional. Os resultados apresentados são então discutidos e comparados com os da literatura que são encontrados com o uso de pseudo-tensores. Dois apêndices são apresentados. Em um deles o objetivo é proporcionar uma breve 2 O outro motivo é já citada questão da unificação com outras interações fundamentais da natureza.

Introdução 5 revisão sobre o formalismo tensorial. No outro os cálculos apresentados no capítulo 3 são mostrados em detalhes. Na última parte apresentamos nossas conclusões.

6 1 O Teleparalelismo Equivalente à Relatividade Geral (TERG Einstein em 1928 (EINSTEIN, 1928, na tentativa de unificação da gravitação com o eletromagnetismo, propôs uma descrição geométrica do campo gravitacional através de tétradas definidas como uma base do espaço-tempo, formada por um conjunto de quatro vetores linearmente independentes em substituição ao tensor métrico, introduzindo, assim, a noção de paralelismo absoluto (ou teleparalelismo no espaço-tempo de Weizenböck, caracterizado por possuir o tensor de Riemann nulo (R µνρσ = 0, e o tensor de torção não nulo (T µνρ 0. No entanto, sua tentativa de unificação fracassou, uma vez que não havia solução de Schwarzschild nesta equação de campo. O teleparalelismo foi esquecido até a década de 60, quando foi retomado principalmente através dos trabalhos de Møller (MØLLER, 1961. A formulação de Møller, que apresenta invariância por transformações de Lorentz globais SO(3,1, foi estabelecida com o intuito de abordar o problema da localização da energia do campo gravitacional. Na relatividade geral afirma-se, de acordo com o princípio da equivalência, que a energia do campo gravitacional não pode ser localizada. Møller, entretanto, conseguiu obter uma expressão local, covariante, para a energia e o momento do campo gravitacional. Pellegrini e Plebansky (PELLEGRINI; PLEBANSKI, 1962 mostraram que os campos espinoriais poderiam ser introduzidos naturalmente na teoria e apresentaram um formalismo Lagran-

1 O Teleparalelismo Equivalente à Relatividade Geral (TERG 7 geano para o teleparalelismo. Em 1963, Schwinger (SCHWINGER, 1963, utilizando o formalismo das tétradas, obteve uma expressão para a energia total do campo gravitacional. Em 1967, Hayashi e Nakano (HAYASHI; NAKANO, 1967 formularam uma teoria de gauge para o grupo de translações do espaço-tempo, que se mostrou estar intrinsecamente relacionada com o teleparalelismo. Hayashi e Shirafuji (HAYASHI; SHIRAFUJI, 1979, em 1979, uniram esta teoria com a estrutura do teleparalelismo e desenvolveram uma teoria denominada por eles de nova relatividade geral. Entre 1979 e 1980, Schweizer e Straumann (SCHWEIZER; STRAUMANN, 1979, Nitsch e Hehl (NITSCH; HEHL, 1980, e Schweizer et. al (SCHWEIZER; STRAUMANN; WIPF, 1980 demonstraram a equivalência, do ponto de vista observacional, entre a teoria da relatividade geral e o teleparalelismo. A partir daí, vários trabalhos foram publicados mostrando a equivalência entre estas duas abordagens. Maluf (MALUF, 1994 apresenta uma formulação Hamiltonina do teleparalelismo, obtendo equações de campo equivalentes àquelas da relatividade geral. Em seguida (MA- LUF, 1995, demonstra que no contexto do teleparalelismo equivalente à relatividade geral (TERG 1, a densidade de energia do campo gravitacional, para espaço-tempo assintoticamente plano, possui expressão simples e natural. A partir daí o TERG vai sendo construído em uma série de trabalhos posteriores(maluf et al., 2002; MALUF, 2005; MALUF et al., 2006 nos quais novas expressões covariantes são apresentadas para a densidade total de energia-momento e momento angular gravitacional. Esses trabalhos demonstram que o TERG é uma descrição geométrica alternativa viá- 1 A expressão teleparalelismo equivalente à relatividade geral, TERG, aparece pela primeira vez no trabalho de Maluf de 1995.

1.1 O campo de tétradas 8 vel da relatividade geral de Einstein em termos do campo de tétradas (HEHL, 1980. Também tem sido objeto de várias investigações atuais (ITIN, 2002; OBUKHOV; PEREIRA, 2003; OBUKHOV; RUBILAR, 2006, entre vários outros. Uma das principais constribuições do TERG está na maneira como a energia do campo gravitacional é definida através de uma equação tensorial. Essas conquistas do TERG sugerem que o campo de tétradas seja o campo apropriado para discutir esse problema (MALUF; VEIGA; ROCHA-NETO, 2006. No desenvolvimento deste capítulo detalharemos o teleparalelismo equivalente à relatividade geral que o utilizaremos, de acordo com os trabalhos de Maluf {(MALUF, 1994-(MALUF; VEIGA; ROCHA-NETO, 2006}. A notação a ser utilizada neste e nos próximos capítulos é a seguinte: os índices µ,ν,... do espaço-tempo e os índices a,b,... do grupo SO(3,1 variam de 0 a 3. Na decomposição (3 + 1, os índices latinos do meio do alfabeto em diante indicam índices espaciais, de acordo com µ = 0, i, a = (0,(i. O campo de tétradas é denotado por e a µ. O tensor métrico do espaço-tempo plano de Minkowski eleva e abaixa os índices das tétradas e é fixado por η ab = e aµ e bν g µν = ( + ++. As quantidades e µ a são as inversa de e a µ e o determinante do campo de tétradas é representado por e = det ( e a µ. 1.1 O campo de tétradas Iniciaremos esta seção introduzindo o conceito de campos de tétradas como uma base do espaço-tempo, formada por um conjunto de quatro vetores linearmente independentes e a µ(x, onde a = (0,(1,(2,(3 identifica cada um dos vetores, que satisfazem a relação e a µe bµ = η ab, (1.1

1.1 O campo de tétradas 9 onde η ab é a métrica de Minkowski. Assim, temos que e (0 µ é um vetor do tipo tempo e e (k µ, com k = 1,2,3, são vetores do tipo espaço. Os índices do grupo SO(3,1 dos campos de tétradas são abaixadas e levantados com η ab e η ab, de acordo com as relações e e aµ = η ab e b µ, (1.2 e aν = η ab e ν b, (1.3 η ab η ab = δ c a, (1.4 onde δ a b é o delta de Kronecker. Temos as tétrada inversas, construídas a partir das relações Multiplicando a relação (1.6 por e ν a ee b σ, encontramos e µ a e bµ = η ab, (1.5 e a µe µ b = δ a b. (1.6 e ν a e a µ = δ ν µ. (1.7 A métrica g µν abaixa os índices de espaço-tempo das tétradas e a µ = g µλ e aλ. (1.8 Multiplicando a relação acima por e aν, teremos finalmente com a ajuda de (1.7, que g µλ e aλ e aν = e a µe aν, (1.9

1.2 O Equivalente Teleparalelo da Relatividade Geral 10 de modo que g µν = e a µe aν. (1.10 Convém observar que temos um conjunto infinito de tétradas para uma mesma métrica. 1.2 O Equivalente Teleparalelo da Relatividade Geral Assim como as equações de campo da relatividade geral podem ser obtidas de uma formulação Lagrangeana, isso também ocorre no TERG. Dada uma variedade dotada com um conjunto de campos de tétradas e a µ e uma conexão de spin ω µab que garante a simetria SO(3,1 local é possível definir: o tensor métrico g µν = e a µe aν, (1.11 o tensor de torção T a µν(e,ω = µ e a ν ν e a µ + ω a µ be b ν ω a ν be b µ, (1.12 o tensor de curvatura, R a bµν (ω = µω a ν b νω a µ b + ω a µ cω c ν b ω a ν cω c µ b, (1.13 e o escalar de curvatura, R(e,ω = e aµ e bν R abµν (ω. (1.14 A equação (1.12 que define o tensor de torção pode ser resolvida para ω µab, se conside-

1.2 O Equivalente Teleparalelo da Relatividade Geral 11 rarmos a conexão métrica de Levi-Civita, dada por 0 ω µab = 1 2 ec µ (Ω abc Ω bac Ω cab, (1.15 onde Ω abc = e aν ( e µ b µe ν c e µ e o tensor de contorção definido usualmente por c µ e ν, (1.16 b K µab = 1 e a λ e ν ( b Tλ 2 µν + T νλ µ + T µλν. (1.17 Após algumas manipulações algébricas obtemos a identidade ω µab = 0 ω µab (e + K µab, (1.18 A substituição da eq.(1.18 na eq.(1.14 produz uma identidade que relaciona o escalar de curvatura dado por (1.14 com o escalar de curvatura R( 0 ω R(e construído a partir do campo de tétradas e a µ, er(e,ω = er(e +e ( 1 4 T abc T abc + 1 2 T abc T bac T a T a 2 µ (et µ, (1.19 onde T a = T b ba = T µ µa (1.20 e T abc = e µ b e ν c T aµν. (1.21 Como usual, os campos de tétradas convertem índices do espaço-tempo em índices de Lorentz e vice-versa.

1.2 O Equivalente Teleparalelo da Relatividade Geral 12 A partir dos tensores T abc podemos construir o tensor Σ abc dado por Σ abc = 1 4 ( T abc + T bac T cab + 1 ( η ac T b η ab T c, (1.22 2 tal que Σ abc T abc = 1 4 T abc T abc + 1 2 T abc T bac T a T a, (1.23 e, deste modo, podemos reescrever eq.(1.19 como er(e,ω = er(e +eσ abc T abc e µ (et µ. (1.24 Portanto, fazendo o tensor de curvatura R a bµν (ω igual a zero, e conseqüentemente o escalar de curvatura (1.14, isso implica na equivalência da densidade escalar de curvatura er(e, que define a densidade Lagrangeana para a relatividade geral de Einstein, com a combinação quadrática do tensor de torção. por A densidade Lagrangeana L (e,ω,λ para a TERG com simetria local SO(3,1 é dada L (e,ω,λ = k e ( 1 4 T abc T abc + 1 2 T abc T bac T a T a + λ abµν R abµν (ω L M L (e,ω,λ k eσ abc T abc + λ abµν R abµν (ω L M, (1.25 onde k = 1/(16πG, e L M é a densidade Lagrangeana do campo de matéria. { λ abµν} são multiplicadores de Lagrange garantindo que o tensor de curvatura R abµν (ω seja igual a zero. Para espaço-tempo assintoticamente plano a variação do escalar Σ abc T abc em relação a e aµ é bem definida. Todos os termos superficiais que surgem na integração por parte são iguais a zero no infinito espacial devido às condições assintóticas em e aµ e, portanto, não existe necessidade de adição de termos de superfície. Variações arbitrárias de L em

1.2 O Equivalente Teleparalelo da Relatividade Geral 13 relação a e aµ, ω µab e λ abµν produzem, respectivamente, e aλ e bµ D ν ( eσ bλν e ( Σ bν at bνµ + 1 4 e aµt bcd Σ bcd = e 4k T aµ, (1.26 Σ aµb Σ bµa 1 e D µ ( eλ abµν = 1 2 Sµab, (1.27 R abµν (ω = 0 (1.28 Nas equações (1.26, (1.27 e (1.28 temos as seguintes definições D ν ( eσ bλν = ν ( eσ bλν +eω b ν cσ cλν, D ν ( eλ abµν = ν ( eλ abµν +e ( ω b ν cλ acµν + ω a ν cλ cbµν, δl M δe aµ = et aµ, (1.29 δl M δω µab = es µab. (1.30 A densidade Lagrangeana L bem como as equações de campo (1.26, (1.27 e (1.28 são invariantes sobre transformações de Lorentz locais SO(3, 1 e transformações gerais de coordenadas. No intuito de verificar a equivalência das equações (1.26 com as equações de Einstein, substituímos ω µab dado pela eq.(1.18 2 em 0 = R aµ (e,ω 1 2e aµ R(e,ω (relembrando que R abµν (ω = 0. Obtemos ( e aλ e bµ D ν eσ bλν e ( Σ bν at bνµ + 1 e aµt bcd Σ bcd = e [ R aµ (e 1 e ] aµr(e 4 2 (1.31 A expressão que aparece no lado esquerdo da equação acima é precisamente a mesma do lado esquerdo da eq.(1.26. Já o termo no lado direito da equação acima são as equações de Einstein escritas na forma de tétradas. Portanto, esse fato estabelece a equivalência da TERG com a relatividade geral de Einstein. 2 É importante observar que a equação (1.18 é escalar e a equação (1.31 não.

1.3 O Tensor de Energia-Momento Total 14 Uma vez que o formalismo não apresenta dinâmica para as conexões de spin, é possível fixar o gauge ω µab = 0 (CASTELLO-BRANCO; MALUF, 2000 sem prejuízo para o TERG. Sendo assim, o tensor de torção pode ser simplificado para T a µν(e = µ e a ν ν e a µ, (1.32 e a identidade (1.19 é reescrita na forma ( 1 er(e = 4 T abc T abc + 1 2 T abc T bac T a T a + 2 µ (et µ. (1.33 Considerando a eq.(1.23 é possível definir a densidade Lagrangeana L(e, L(e = k eσ abc T abc L M 2k eλ, (1.34 construída a partir dos campos de tétradas e aµ e de matéria, onde Λ é a constante cosmológica. As equações de campo obtidas a partir das variações arbitrárias de L(e em relação a e aµ são dadas por e aλ e bµ ν ( eσ bλν e ( Σ bν at bνµ + 1 4 e aµt bcd Σ bcd + 1 2 ee aµλ = e 4k T aµ, (1.35 onde T aµ é dado pela Equação (1.29 e T aµν pela Equação (1.32. 1.3 O Tensor de Energia-Momento Total A busca por uma expressão consistente para a energia gravitacional é, indubitavelmente, um problema remanescente na Relatividade geral e tem sido perseguida desde seus primórdios (LANDAU; LIFSHITZ, 1939. Møller (MØLLER, 1961 foi provavelmente o primeiro a noticiar a descrição do campo gravitacional por meio de um campo de tétradas. Tal descrição, permite um tratamento mais satisfatório para energia-momento

1.3 O Tensor de Energia-Momento Total 15 gravitacional. Na formulação Hamiltoniana do TERG, implementada por Maluf e Rocha-Neto (MA- LUF; ROCHA-NETO, 2001, em um espaço-tempo vazio o vínculo Hamiltoniano H 0 e o vínculo vetorial H i, podem ser arranjados de modo a determinar os vínculos C a = e a0 H 0 + e ai F i que podem ser escritos como C a = i Π ai e ai F i, onde Π ai é o momento canônico conjugado a e ai, e F i é definida como a parte remanescente de C a. A forma integral das equações de vínculo C a = 0 é interpretada como uma equação que define a energia-momento gravitacional do vácuo P a, sendo V um volume arbitrário do espaço e, P a = d 3 x j Π a j (1.36 V Π a j = 4k eσ a0 j. (1.37 A eq(1.36 é invariante sob transformações de coordenadas ou variedade do tipo-espaço, e transforma-se como um vetor sobre o grupo SO(3,1 global. As equações de campo (1.35, podem ser reescritas sem constante cosmológica em função do tensor energia-momento gravitacional t λ µ e do tensor energia-momento da matéria T λ µ, como ( ν eσ aλν = 1 ( 4k eea µ t λ µ + T λ µ, (1.38 onde t λ µ = k ( 4Σ bcλ T µ bc g λ µ Σ bcd T bcd, (1.39 da qual resulta na lei de conservação de energia-momento λ [ ee a µ (t λ µ + T λ µ] = 0. A

1.4 Momento Angular do Campo Gravitacional 16 equação (1.36 com a ajuda da equação (1.38 pode ser escrita alternativamente como P a = V d 3 xee a µ ( t 0µ + T 0µ. (1.40 Porém, para finalidades práticas, a expressão (1.36 é mais adequada. 1.4 Momento Angular do Campo Gravitacional Fenômenos rotacionais, no contexto da Relatividade Geral, ainda não são completamente compreendidos. Isso faz com que o momento angular do campo gravitacional seja tratado na literatura por meio de diferentes técnicas. As primeiras técnicas são baseadas em pseudo-tensores, Landau e Lifshitz (LANDAU; LIFSHITZ, 1939 e Bergmann e Thomson (BERGMANN; THOMSON, 1953. Dirac (DIRAC, 1964, pág.3 afirmou que sempre alguma informação é perdida na formulação Lagrangeana e que pode ser recuperada na abordagem Hamiltoniana. No contexto do TERG é possível uma formulação hamiltoniana SO(3,1 global sem a fixação do time gauge de Schwinger. A partir dessa formulação, as densidades de energia, momentum e momentum angular, oriundas das estruturas dos vínculos, decorrem naturalmente. Ela é obtida reescrevendo a densidade Lagrangeana na forma L = p q H, em termos de e ai, Π ai e multiplicadores de Lagrange. A transformada de Legendre pode ser realizada com sucesso, e a forma final da densidade Hamiltoniana é dada como H = e a0 C a + α ik Γ ik + β k Γ k, (1.41 mais um termo de superfície, que é desprezado. As quantidades C a, Γ ik e Γ k são vínculos de primeira classe, e as quantidades α ik e β k são multiplicadores de Lagrange que são identificados como α ik = 1 2 (T i0k + T k0i e β k = T 00k.

1.4 Momento Angular do Campo Gravitacional 17 Os parênteses de Poisson entre duas quantidades de campo F e G são dados por {F,G} = ( δf d 3 x δe ai (x δg δπ ai (x δf δg δπ ai (x δe ai (x. (1.42 Os parênteses de Poisson { Γ i j (x,γ kl (y } reproduzem a álgebra de momento angular. Podemos reescrever os vinculos Γ ik e Γ k em uma forma mais apropriada através das relações, onde Γ ik = e i a e k b Γab, Γ k Γ 0k = e 0 a e k b Γab, Γ ab = M ab + 4k e ( Σ a0b Σ b0a. (1.43 com M ab = e a µe b νm µν, M ab = M ba, sendo M µν definido por M ik = 2Π [ik] = e i a Π ak e k a Π ai, (1.44 M 0k = Π 0k = e 0 a Π ak. (1.45 Dessa forma a densidade Hamiltoniana H pode ser reescrita como H = e a0 C a + 1 2 λ abγ ab, (1.46 sendo que λ ab = λ ba são multiplicadores de Lagrange que são identificados como λ ik = α ik e λ 0k = λ k0 = β k. A forma integral da equação de vínculo Γ ab = 0 possibilita definir uma possível expressão para o momento angular do campo gravitacional. Fazendo Γ ab = 0 na equação

1.4 Momento Angular do Campo Gravitacional 18 (1.43, resulta em M ab = 4k e ( Σ a0b Σ b0a. (1.47 De onde segue a integral L ab = V d 3 xe a µe b νm µν, (1.48 que é definida como o tensor momento angular do campo gravitacional 3. Sendo portanto, anti-simétrico L ab = L ba. Essa expressão é invariante sob transformação de coordenadas do espaço tridimensional. As expressões P a e L ab são separadamente invariantes sob transformações gerais de coordenadas do espaço tridimensional e sob reparametrizações temporais, como esperado na formulação Hamiltoniana da teoria. Além disso, essas quantidades se transformam covariantemente sob transformações de coordenadas SO(3, 1 global. 3 Diferente da definição apresentada anteriormente, na equação (6.3 em (MALUF et al., 2002.

19 2 O Modelo Cosmológico Um modelo cosmológico pode ser definido pelo princípio cosmológico - O Universo é isotrópico e homogêneo em grande escala - e por uma métrica que descreve o Universo em termos de sua configuração do espaço-tempo. O primeiro modelo cosmológico, conhecido como modelo estático de Einstein, foi apresentado por Einstein em 1916. Uma predição teórica imediata desse modelo era o fato do universo estar em expansão. Essa predição estava em total desacordo com o que se acreditava na época; o universo era estático. Para adequar seus resultados teóricos às observações da época ele acrescentou em seu modelo uma constante, a chamada constante cosmológica, que conservava o universo estático. Logo após, em 1917, Willem de Sitter encontrou a primeira solução geral para as equações de Einstein no vácuo, tendo como resultado um modelo de um Universo plano e com densidade zero. Esse modelo é tão simples que foi considerado como uma diminuição no status da teoria cosmológica de Einstein. O modelo, apesar de não ser real, uma vez que as galáxias indicam a existência de matéria em todo o Universo, é muito interessante por facilitar o estudo de como se comportaria o Universo em situações extremas. O Universo de Einstein, que contém matéria, mas não tem movimento, e o Universo de de Sitter, que tem movimento, mas não tem matéria, foram os primeiros modelos

2.1 O Modelo Padrão:Modelo de Friedmann-Lemaítre-Robertson-Walker 20 cosmológicos propostos.vários outros modelos surgiram a partir de soluções das equações de Einstein com incremento de condições sobre o Universo. Veremos então, com um pouco mais de detalhes, dois desses modelos: O primeiro é o modelo de Friedmann-Lemaítre-Robertson-Walker, que considera as possíveis curvaturas do espaço-tempo e a expansão do Universo representando o que atualmente se observa e por isso é considerado o modelo padrão. O segundo é uma expansão do modelo original de Gödel, o modelo de Gödel-Obukhov, que apresenta um Universo em expansão e rotação. O Universo de Gödel-Obukhov apresenta resultados muito interessantes, além de estar de acordo com a percepção de que tudo está em movimento de rotação, a Terra sobre si mesma, a Lua em torno da Terra, a Terra em torno do Sol, o Sol em torno do centro da Galáxia, a Galáxia em torno de um cluster de Galáxias... E possivelmente, o Universo em torno de si mesmo. 2.1 O Modelo Padrão: Modelo de Friedmann-Lemaítre-Robertson-Walker Alexander Friedmann foi o primeiro a perceber que havia um erro - a possibilidade de um Universo em expansão - no artigo sobre cosmológia publicado por Einstein em 1916 1. Em 1922, Friedmann publicou um artigo sobre curvatura do espaço, e em 1924, publicou outro artigo sobre a possibilidade de um Universo com curvatura constante e negativa, preenchido com matéria que se comporta como um fluído perfeito. Esses dois artigos foram essenciais para o desenvolvimento da cosmologia moderna, gerando duas equações de campo independentes. Posteriormente, de forma independente, George Lemaître (1927 1 Foi esse suposto erro que levou Einstein a conclusão que o Universo comportava-se necessariamente de modo estático, quando uma constante Λ era introduzida nas equações relativísticas da gravitação, e assim estar de acordo com o que se acreditava na época.

2.1 O Modelo Padrão:Modelo de Friedmann-Lemaítre-Robertson-Walker 21 publicou um trabalho sobre a expansão do Universo redescobrindo as equações encontradas por Friedmann, ficando esse modelo cosmológico conhecido como modelo de Friedmann ou de Friedmann-Lemaître. por A métrica de Friedmann-Lemaítre-Robertson-Walker,FLRW, (HARTLE, 2003 é dada [ dr ds 2 = dt 2 + a 2 2 (t 1 kr + ( 2 r2 dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ], (2.1 onde a(t é o fator de escala e o fator k é o parâmetro de curvatura que pode assumir os valores: +1 se for um Universo fechado, 1 se for um Universo aberto, 0 se for um Universo plano. (2.2 Essa métrica descreve a evolução temporal de um espaço-tempo homogêneo e isotrópico, que é diretamente proporcional ao fator de escala a(t. Ao ser aplicada às equações de Einstein resulta nas duas equações encontradas por Friedmann. Ao se solucionar as equações de Einstein, R µν 1 2 Rg µν Λg µν = 8πGT µν, (2.3 considerando a métrica de FLRW, eq.(2.1, e o tensor energia-momento para o fluido perfeito, dado por T µν = (ρ + pu µ u ν + pg µν, (2.4

2.2 Modelo Estacionário de Gödel 22 obtem-se as duas equações independentes de Friedmann, 3ȧ 2 (t + 3 k a 2 (t 2a(tä(t + ȧ 2 (t + k a 2 (t Λ = 8πρ, (2.5 Λ = 8π p. (2.6 Onde usamos unidades relativísticas 2, e o ponto, nas eq(2.5 e eq(2.6, indica a derivada temporal. Nas equações (2.4-(2.6, ρ é a densidade de materia, p é a pressão e u α = (1,0,0,0 são as componentes da velocidade. 2.2 Modelo Estacionário de Gödel Em 1946, Gamow em seu artigo intitulado Expanding Universe and the Origin of Elements (Universo Expandindo e a Origem dos Elementos(GAMOW, 1946 lançou a idéia inicial da possibilidade de um Universo em rotação. No entanto, foi Kurt Gödel, em 1949, que encontrou a solução exata das equações de Einstein para um modelo de um Universo homogêneo, sem expansão e com rotação, que foi apresentado em seu artigo intitulado An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein s Field Equations of Gravitation (Um Exemplo de um Novo Tipo de Solução Cosmológica das Equações de Campo de Einstein para a Gravitação (GÖDEL, 1949. O espaço-tempo é apresentado por Gödel por meio da métrica (coordenadas {t, x, y, z}, a = const: ds 2 = a 2 ( dt 2 + 2e x dtdy + 1 2 e2x dy 2 dx 2 dz 2. (2.7 Exibindo as seguintes propriedades: Apresenta homogeneidade e é estacionário, porém não estático 3. 2 Nas unidades relativística as constantes universais c e G são igualadas a um. 3 Uma esfera pode ser estacionaria e ainda girar sobre si mesma.

2.3 O Modelo Gödel-Obukhov 23 Apresenta simetria rotacional. A fonte do campo gravitacional é um fluido perfeito, ou seja, matéria com baixa pressão conjuntamente com uma constante cosmológica negativa (sinal contrário ao introduzido por Einstein. Não apresenta singularidade e é geodesicamente completo (completamente regular. Nesta solução, a velocidade angular ω da rotação cósmica é dada por ω 2 = 1 2a 2 = 4πGε = Λ, onde G é a constante gravitacional de Newton. Apesar de ser um boa solução das equações de Einstein, este modelo foi muito criticado por não considerar a expansão do Universo e apresentar curvas tipo-tempo fechadas (CTCs - que permitia a violação da causalidade no espaço-tempo. Apesar da importância deste modelo que é uma solução sólida das equações de Einstein, este se tornou apenas uma base para muito outros pesquisadores que, acreditando na rotação, buscavam descrições mais físicas para um Universo em rotação. 2.3 O Modelo Gödel-Obukhov Algum tempo depois, o próprio Gödel (GÖDEL, 1952 esboçou algumas generalizações mais físicas tomando como base a métrica original (2.7, embora sem dar soluções explícitas. Mais tarde um número considerável de modelos exatos e aproximados com rotação e com ou sem expansão foram desenvolvidos. Obukhov (OBUKHOV, 2000 propôs uma nova métrica do tipo Gödel descrita pelo elemento de linha 4 ds 2 = dt 2 + 2 σa(te mx dtdy + a 2 (t ( dx 2 + ke 2mx dy 2 + dz 2, (2.8 4 Assinatura diferente da introduzida por Obukhov

2.3 O Modelo Gödel-Obukhov 24 onde m,σ,k são parâmetros constantes e a(t é o fator de escala dependente do tempo. Uma análise geral das propriedades cinemáticas do espaço-tempo, apresentadas por Maitra (MAITRA, 1966 e depois por Obukhov (OBUKHOV, 2000, mostra que as CTCs não existem quando k > 0 ( por definição σ > 0 e escolhemos m > 0. A métrica (2.8 é chamada usualmente de métrica Gödel-Obukhov ou métrica do tipo Gödel. A métrica usual de Gödel é obtida fazendo a(t = cte = a, σ = 1, m = 1 e k = 1/2. Fazendo uso da relação do tensor métrico (1.11 ds 2 = g µν dx µ dx ν, (2.9 podemos encontrar as componentes g µν do tensor métrico na forma matricial g µν = 1 0 a(t σ e mx 0 0 a(t 2 0 0 a(t σ e mx 0 a(t 2 k e 2mx 0 0 0 0 a(t 2, (2.10 A matriz inversa de g µν, é dada por g µν = k k+σ 0 σe mx a(t(k+σ 0 0 1 a(t 2 0 0 σe mx a(t(k+σ 0 e 2mx a(t 2 (k+σ 0 0 0 1 a(t 2 0. (2.11

25 3 O Universo Gödel-Obukhov Sob a Perspectiva da TERG Apresentaremos a seguir a aplicação do formalismo do TERG a um espaço-tempo em rotação e em expansão, definido pela métrica de Gödel-Obukhov (OBUKHOV, 2000. No desenvolvimento de nossos cálculos faremos uso de todo formalismo conceitual e formal apresentados no capítulo 2. 3.1 Cálculo das Tétradas Seja a métrica de Gödel-Obukhov (OBUKHOV, 2000 ds 2 = dt 2 + 2a(t σe mx dtdy + a(t 2 ( dx 2 + ke 2mx dy 2 + dz 2, (3.1 com as componentes g µν dadas por (2.10. Ao usarmos a relação e a µe b νη ab = g µν, (3.2 e a simetria do tensor metrico g µν, obtemos um sistema com 10 equações: e (0 0e (0 0 +e(1 0e (1 0 +e(2 0e (2 0 +e(3 0e (3 0 = 1 ; e (0 0e (0 1 +e(1 0e (1 1 +e(2 0e (2 1 +e(3 0e (3 1 = 0 ; e (0 0e (0 2 +e(1 0e (1 2 +e(2 0e (2 2 +e(3 0e (3 0 = a(t σe mx ;

3.1 Cálculo das Tétradas 26 e (0 0e (0 3 +e(1 0e (1 3 +e(2 0e (2 3 +e(3 0e (3 0 = 0 ; e (0 1e (0 1 +e(1 1e (1 1 +e(2 1e (2 1 +e(3 1e (3 1 = a(t 2 ; e (0 1e (0 2 +e(1 1e (1 2 +e(2 1e (2 2 +e(3 1e (3 2 = 0 ; e (0 1e (0 3 +e(1 1e (1 3 +e(2 1e (2 3 +e(3 1e (3 3 = 0 ; e (0 2e (0 2 +e(1 2e (1 2 +e(2 2e (2 2 +e(3 2e (3 2 = a(t 2 ke 2mx ; e (0 2e (0 3 +e(1 2e (1 3 +e(2 2e (2 3 +e(3 2e (3 3 = 0 ; e (0 3e (0 3 +e(1 3e (1 3 +e(2 3e (2 3 +e(3 3e (3 3 = a(t 2. Este sistema ainda não poderá ser resolvido, pois possui 16 variáveis. No entanto, se usarmos a simetria espacial e (i j = e ( ji, as 16 variáveis se reduzem para 13. Utilizando o gauge temporal de Schwinger e (0 i = e (0i = 0, passaremos a ter apenas 10 variáveis, tornando possível a sua resolução. Existem várias possibilidades de solução para o sistema, o que leva a diferentes possibilidades de tétradas. Escolhemos a solução que satisfaz as condições acima (ver detalhes no apêndice B e leva à seguinte tétrada: e a µ = k+σ k 0 0 0 0 a(t 0 0 σk 0 a(t ke mx 0 0 0 0 a(t, (3.3

3.1 Cálculo das Tétradas 27 cujo determinante é dado por ( e = det e a µ = a(t 3 k + σe mx. (3.4 Usando o tensor métrico de Minkowski η ab, para abaixar o índice da tétrada (η ab e b µ = e aµ, obtemos e aµ = k+σ k 0 0 0 0 a(t 0 0 σk 0 a(t ke mx 0 0 0 0 a(t. (3.5 Sendo e a µ a matriz inversa de e a µ, definida pela relação ( e a µ = g µν e aν, temos k k+σ 0 σ e mx k(k+σ a(t 0 e a µ 0 1/a(t 0 0 =. (3.6 e 0 0 mx a(t 0 k 0 0 0 1/a(t Usando tensor métrico de Minkowski η ab, para elevar o índice da tétrada ( η ab e µ b = eaµ, obtemos e aµ = k k+σ 0 σ k(k+σ e mx a(t 0 0 1/a(t 0 0 0 0 e mx a(t k 0 0 0 1/a(t 0. (3.7 Esses são os campos de tétradas definidos pelo TERG.

3.2 As Equações de Campo 28 3.2 As Equações de Campo Seja o tensor de torção definido pela Equação (1.32. Usando o tensor métrico de Minkowski η ba para baixar o índice a, temos T bµν = µ e bν ν e bµ. (3.8 Usando o campo de tétradas (3.5 obtemos as seguintes componentes (diferentes de zero: T (101 = T (110 = T (303 = T (330 = ȧ, (3.9 T (202 = T (220 = ȧ ke mx, (3.10 T (212 = T (221 = ma ke mx. (3.11 Todos os demais termos são iguais a zero. Considerando as definições (1.20 e (1.21, ou seja T a = T b a b = T µ a µ e T abc = η ad e bµ e cν T dµν, o tensor Σ abc = 1 4 ( T abc + T bac T cab + 1 ( η ac T b η ab T c, 2 definido por (1.23, pode ser reescrito como Σ abc = 1 4 + 1 2 (η da e bµ e cν T dµν + η db e aµ e cν T dµν η dc e aµ e bν T dµν (η ac e dµ e bν T dµν η ab e dµ e cν T dµν. (3.12 Com isso, podemos encontrar as componentes do tensor Σ abc, utilizando o campo de tétradas (3.7 e as componentes (3.9, (3.10 e (3.11 do tensor de torção. As componentes

3.2 As Equações de Campo 29 que são diferentes de zero (veja detalhes no apêndice C são dadas por: Σ (0(1(0 = Σ (0(0(1 = m 2a, (3.13 Σ (3(3(1 = Σ (3(1(3 = m 2a, (3.14 Σ (0(1(2 = Σ (0(2(1 = m σ 4a k + σ, (3.15 Σ (1(2(0 = Σ (1(0(2 = m σ 4a k + σ, (3.16 Σ (2(1(0 = Σ (2(0(1 = m σ 4a k + σ, (3.17 Σ (1(0(1 = Σ (1(1(0 = ȧ k a k + σ, (3.18 Σ (2(0(2 = Σ (2(2(0 = ȧ k a k + σ, (3.19 Σ (3(0(3 = Σ (3(3(0 = ȧ k a k + σ. (3.20 A equação de campo do TERG, com a constante cosmológica Λ, é dada por (1.35 e aλ e bµ ν ( eσ bλν e ( Σ bν at bνµ + 1 4 e aµt bcd Σ bcd + 1 2 ee aµλ = e 4k T aµ, (3.21 sendo que os tensores Σ bλν e Σ bν a, podem ser definidos em termos de Σ abc através das relações: e λ c e ν d Σbcd = Σ bλν, (3.22 e ν c η ad Σ bcd = Σ bν a. (3.23 O tensor T aµ é tal que T aµ = e ν a T νµ, (3.24 onde T νµ é o tensor energia-momento de matéria.

3.2 As Equações de Campo 30 Com essas modificações podemos reescrever a equação (3.21 como e aλ e bµ ν ( ee λ c e ν d Σbcd e ( e ν c η ad Σ bcd T bνµ + 1 4 e aµe ν c e λ d T bνλ Σ bcd + 1 2 ee aµλ = 1 4k ee ν a T νµ. (3.25 Considerando a matéria como um fluido perfeito o tensor de momento-energia da matéria é dado por (OBUKHOV; PEREIRA, 2003: T νµ = (ρ + pu ν u µ + pg νµ, (3.26 onde u µ e u ν são componentes da velocidade. Considerando a matéria comovente com o espaço, as componentes da velocidade são dadas por u α = δ α 0, (3.27 que em notação covariante é escrita como u µ = g µα δ α 0. Ao efetuarmos os cálculos encontramos que as componentes do tensor de momentoenergia de matéria 1 diferentes de zero, são: T 00 = (ε + pu 0 u 0 + pg 00 = ε, (3.28 T 02 = (ε + pu 0 u 2 + pg 02 = T 20 = a σe mx ε, (3.29 T 11 = (ε + pu 1 u 1 + pg 11 = pa 2, (3.30 T 22 = (ε + pu 2 u 2 + pg 22 = a 2 e 2mx [εσ + p(σ + k], (3.31 T 33 = (ε + pu 3 u 3 + pg 33 = pa 2, (3.32 e as componentes das velocidades são u 0 = 1, u 1 = u 3 = 0 e u 2 = a σe mx. (3.33 1 Todas as demais componentes iguais a zero.

3.2 As Equações de Campo 31 Agora podemos encontrar as equações de campo do TERG para o modelo de Universo em rotação de Gödel-Obukhov. No que se segue mostraremos em detalhes os passos utilizados quando fazemos a = (0 e µ = 0. O que chamamos de 1 a parte, 2 a parte,..., são cada um dos cinco termos que aparecem na equação (3.25. 1 a parte = e (0λ e b0 ν ( ee λ c e ν d Σbcd. = e (00 e (00 1 ( ee 0 (0 e 1 (1 Σ(0(0(1 +e (00 e (2(0 1 ( ee 0 (0 e 1 (1 Σ(2(0(1 = m2 ae mx (k + σ 2 k + m2 ae mx σ 4 k 2 a parte = ee ν c η (0d Σ bcd T bν0. = e ( e 1 (1 Σ(1(1(0 T (110 +e 2 (2 Σ(2(2(0 T (220 +e 3 (3 Σ(3(3(0 T (330 = 3ȧ 2 a k 3 a parte = 1 4 ee (00e λ c e ν d T bλνσ bcd = 1 4 ee (00 ( 2e 0 (0 e 1 (1 T (101Σ (1(0(1 + 2e 0 (0 e 2 (2 T (202Σ (2(0(2. + 2e 2 (0 e 1 (1 T (221Σ (2(0(1 + 2e 3 (3 e 0 ( = e 3ȧ 2 ake mx (00 2 k + σ m2 aσe mx 8 k + σ (0 T (330Σ (3(3(0 = 3ȧ2 a ke mx 2 + m2 aσe mx 8 k 4 a parte = 1 ee 2 (00Λ = a3 (k + σe mx 2 Λ k. 5 a parte = 1 4k ee ν (0 T ν0 = 1 4k e( e 0 (0 T 00 +e 2 (0 T 20 = a3 e mx ε(k + σ 4k k

3.2 As Equações de Campo 32 Somando os resultados de todas as cinco partes, encontramos 3ȧ 2 a 2 ( ( k 4k ω 2 k + σ σ + 1 Λ = 8πGε, (3.34 onde o ponto indica derivada temporal 2 e ω é a grandeza da rotação global (OBUKHOV, 2000, com o valor ω = m2 σ 4a (k + σ. (3.35 Repetindo o procedimento para as outras componentes de a e µ obtemos as equações abaixo. São elas: Para a = (0 e µ = 2: ( 4k ω 2 = 8πG(ε + p; (3.36 σ Para a = (1 e µ = 0: ȧ mσ a 2 = 0; (3.37 (k + σ Para a = (1 e µ = 1: 2aä + ȧ 2 a 2 ( k ω 2 Λ = 8πGp; (3.38 k + σ Para a = (1 e µ = 2: ȧ mk σe mx = 0; (3.39 a (k + σ 2 Lembrando que o fator de expansão a é função do tempo [a = a(t].

3.2 As Equações de Campo 33 Para a = (2 e µ = 0: 2aä + ȧ 2 a 2 ( ( k 4k ω 2 k + σ σ + 1 Λ = 8πGε; (3.40 Para a = (2 e µ = 1: ȧ m kσ = 0; (3.41 a (k + σ Para a = (2 e µ = 2: 2aä + ȧ 2 ( k 2 a 2 k + σ + 3kω 2 kλ = 8πG[σε + p(k + σ]; (3.42 Para a = (3 e µ = 3: 2aä + ȧ 2 a 2 ( ( k 4k ω 2 k + σ σ + 3 Λ = 8πGp. (3.43 As outras possibilidades de a e µ, levam à equações identicamente nulas. As equações (3.37, (3.39 e (3.41 revelam a impossibilidade de haver rotação e expansão simultaneamente para o fluido perfeito. As equações de campo (3.34-(3.43 representam o Universo Gödel-Obukhov no contexto do TERG. Nos limites m = 0, σ = 0 e k = 1 as equações (3.34-(3.43, reduzem-se às equações de Friedmann para o Universo plano com curvatura nula: 3ȧ 2 a 2 Λ = 8πGε, 2aä + ȧ 2 Λ = 8πGp. a 2 Também, estão de acordo com os trabalhos de Krechet e Panov (Krechet; Panov,

3.3 A Energia-Momento do Universo Gödel-Obukhov 34 1988, e de Korothii e Obukhov (KOROTKII; OBUKHOV, 1992, quando se considera um fluido perfeito, mostrando mais uma vez resultados em acordo com aqueles que usam a relatividade geral. 3.3 A Energia-Momento do Universo Gödel-Obukhov O quadri-vetor de energia-momento total é dada pela equação (1.36, a saber P a = d 3 x i Π ai. V Substituindo na equação acima a expressão para Π ai dada por (1.37 podemos reescrevêla como onde P a = d 3 ( x i 4k eσ a0i, (3.44 V Σ a0i = e 0 b e i c Σ abc. (3.45 A expresão para Σ abc é dada pela equação (3.12. Seu componentes diferentes de zero já foram apresentados nas equações (3.13 - (3.20. No que segue vamos fixar o índice a e apresentar o resultado para cada componente. Para a = (0, temos que P (0 = 4k = 4k V V d 3 x i ( ee 0 b e i c Σ (0bc d 3 x i ( ee 0 (0 e i c Σ (0(0c

3.3 A Energia-Momento do Universo Gödel-Obukhov 35 = 4k V = 2k am 2 k que é a expressão para a energia total. d 3 x 1 ( ee 0 (0 e 1 V (1 Σ(0(0(1 d 3 xe mx, (3.46 Assim, a densidade de energia é dada por p (0 = ε (0 = am2 k 8πG emx. (3.47 Para a = (1 temos que P (1 = 4k = 4k = 4k V V V = 4k ȧamk k + σ d 3 x i ( ee 0 b e i c Σ (1bc d 3 x i ( ee 0 (0 e i c Σ (1(0c d 3 x 1 ( ee 0 (0 e 1 (1 Σ(1(0(1 V d 3 xe mx. (3.48 Assim, a densidade para a componente a = (1 de momento é dada por p (1 = aȧmk 4πG k + σ emx. (3.49 Para a = (2 temos que P (2 = 4k = 4k = 4k V V V = k am 2 kσ k + σ d 3 x i ( ee 0 b e i c Σ (2bc d 3 x i ( ee 0 (0 e i c Σ (2(0c d 3 x 1 ( ee 0 (0 e 1 (1 Σ(2(0(1 V d 3 x e mx (3.50

3.3 A Energia-Momento do Universo Gödel-Obukhov 36 Assim, a densidade para a componente a = (2 de momento é dada por p (2 = am2 kσ 16πG k + σ emx. (3.51 Para a = (3, temos que P (3 = 4k = 4k = 4k V V V d 3 x i ( ee 0 b e i c Σ (3bc d 3 x i ( ee 0 (0 e i c Σ (3(0c d 3 x 3 ( ee 0 (0 e 3 (3 Σ(3(0(3 = 0. (3.52 Assim, a densidade para a componente a = (3 de momento é dada por p (3 = 0. (3.53 Podemos observar nas equações obtida acima que para x, ou seja, a integração realizada em todo o espaço a energia tende para o infinito. Esse resultado está de acordo com o trabalho de Carneiro (CARNEIRO, 2002 que mostra que, para tempos a métrica de Gödel-Obukov se comporta como o Universo aberto de Friedmann. Nesse caso, como mostra Vargas (VARGAS, 2004 a energia seria infinita. Podemos agora confrontar nossos resultados com aqueles obtidos nos trabalhos de Rybní cková (RYBNíCKOVá, 2001, Aydogdu et al.(aydogdu; SALTI; KORUNUR, 2005 e Dabrowski e Garecki (DABROWSKI; GARECKI, 2004. Aydogdu et al. considerando os pseudo-tensores de Bergmann-Thomson obtiveram

3.3 A Energia-Momento do Universo Gödel-Obukhov 37 que e ε (0 = Λ 00 = kmaemx 8π k + σ, ε (0 = eb 00 = kmaemx 8π k + σ, na relatividade geral e na gravidade teleparalela, respectivamente. Por sua vez, Rybnickova obteve a densidade de energia total, ω 0, utilizando o superpotencial de Komca (G = 1 como sendo ε (0 = ω 0 = aσm2 e mx 16π k + σ. Dabrowski e Garecki utilizaram o pseudo-tensor de Einstein e a métrica de Gödel estacionária e chegaram a um resultado nulo para a densidade de energia total. Os resultados de Aydogdu e Rybnickova estão de acordo com o nosso, conforme demonstra a equação (3.47, diferindo por um fator constante. Em particular, apenas no limite m = 0 e k = 0 todos os resultados são idênticos a zero: ε (0 = Λ 00 = B 00 = ω 0 = 0 que é o resultado para o Universo plano de Friedmann-Lemaítre-Robertson-Walker (FLRW. Esses resultados para o Universo plano também foram encontrados por Rosen (RO- SEN, 1994, Cooperstock (COOPERSTOCK, 1994 e Garecki (GARECKI, 1995.

3.4 O Momento Angular Gravitacional do Universo Gödel-Obukhov 38 3.4 O Momento Angular Gravitacional do Universo Gödel-Obukhov Maluf et al. (MALUF et al., 2006 definem o tensor momento angular do campo gravitacional pela expressão L ab = V d 3 xe a µe b νm µν, (3.54 onde M ab = e a µe b νm µν = 4k e ( Σ a0b Σ b0a, (3.55 com Σ a0b = e 0 c Σ acb. Utilizando o campo de tétradas (3.6, o determinante do campo de tétradas (3.4 e as componentes conhecidadas do tensor Σ abc (3.13 - (3.20 podemos encontrar o momento-angular do Universo Gödel-Obukhov. Reescrevendo (3.54 em termo de quantidades conhecidas obtemos L ab = 4k V d 3 xe ( e 0 c Σ acb e 0 c Σ bca. (3.56 Lembrando que L ab é anti-simétrico, ou seja, L ab = L ba, temo que L aa = 0. Assim L (0(0 = L (1(1 = L (2(2 = L (3(3 = 0. Agora fixando os índices a = (0 e b = (1, obtemos: L (0(1 = 4k L (0(1 = 4k L (0(1 = 2k ma 2 k V V d 3 xe ( e 0 c Σ (0c(1 e 0 c Σ (1c(0 d 3 xee 0 (0 Σ(0(0(1 V d 3 xe mx. (3.57 Portanto, a densidade de momento angular para as componentes a = (0 e b = (1, será L (0(1 = ma2 k 8πG emx. (3.58

3.4 O Momento Angular Gravitacional do Universo Gödel-Obukhov 39 Fixando os índices a = (0 e b = (2, nos quais as componentes das tétradas e/ou sigmas são reconhecidamente iguais zero, obtemos: L (0(2 = 4k V d 3 xe ( e 0 c Σ (0c(2 e 0 c Σ (2c(0 L (0(2 = 0. (3.59 Fixando os índices a = (0 e b = (3, nos quais as componentes das tétradas e/ou sigmas são reconhecidamente iguais zero, obtemos: L (0(3 = 4k V d 3 xe ( e 0 c Σ (0c(3 e 0 c Σ (3c(0 L (0(3 = 0. (3.60 Fixando os índices a = (1 e b = (2, nos quais as componentes das tétradas e/ou sigmas são reconhecidamente iguais zero, obtemos: L (1(2 = 4k L (1(2 = 4k L (1(2 = 4k V V V d 3 xe ( e 0 c Σ (1c(2 e 0 c Σ (2c(1 d 3 xe ( e 0 (0 Σ(1(0(2 e 0 (0 Σ(2(0(1 d 3 xe ( e 0 (0 Σ(1(0(2 e 0 (0 Σ(1(0(2 L (1(2 = 0. (3.61 Fixando os índices a = (1 e b = (3, nos quais as componentes das tétradas e/ou sigmas são reconhecidamente iguais zero, obtemos: L (1(3 = 4k V d 3 xe ( e 0 c Σ (1c(3 e 0 c Σ (3c(1 L (1(3 = 0. (3.62 Fixando os índices a = (2 e b = (3, nos quais as componentes das tétradas e/ou