Probabilidades e Estatística / Itrod. às Probabilidades e Estatística TODOS OS CURSOS Exame Época Especial 7/8 3/7/7 9: Duração: 3 horas Justifique coveietemete todas as respostas Grupo I 5 valores. Uma fábrica recebe compoetes eletróicas dos forecedores A e B. De acordo com os registos desta fábrica, 8% das compoetes são forecidas pelo forecedor A e % pelo forecedor B. Sabe-se que, das compoetes forecidas por A respetivamete por B, 5% são defeituosas respetivamete % são defeituosas. Admitido que se selecioou ao acaso uma compoete eletróica: a Obteha a probabilidade de ela ser defeituosa..5 Quadro de acotecimetos e probabilidades Acotecimeto Probabilidade A {compoete eletróica do forececedora} PA.8 B {compoete eletróica do forececedor B} PB. D {compoete eletróica selecioada é defeituosa} PD? Probabilidade pedida Tirado partido da lei da probabilidade total, segue-se PD PD A PA + PD B PB.5.8 +...8. PD A.5 PD B. b Determie a probabilidade de ela ter sido forecida por B, sabedo que ão é defeituosa.. Probabilidade pedida Ivocado o teorema de Bayes, tem-se PB D PD B PB PD...8.7393.. A ocorrêcia de falhas de determiado trasmissor rege-se de acordo com um processo de Poisso com taxa igual a falhas por hora. a Calcule a probabilidade de se verificarem mais de 9 falhas, deste trasmissor, em.5 horas.. X t úmero de falhas do trasmissor em t horas de fucioameto t > Distribuição da variável aleatória X t Dado que lidamos com um processo de Poisso com taxa igual a falhas por hora, temos X t Poisso t. F.p. de X.5 P X.5 x e.5.5 x x! e 5 5 x x!, x,,,... Págia de
Probabilidade pedida PX.5 > 9 PX.5 9 F Poi sso5 9 tabel a/calc..879.8. b Qual é a probabilidade de o tempo etre os istates de ocorrêcia de duas falhas cosecutivas.5 deste trasmissor ser superior a miutos? Variável aleatória de iteresse T tempo em horas etre duas falhas cosecutivas do trasmissor Distribuição de T Lidamos com um processo de Poisso com taxa de falhas do trasmissor por hora, logo T Expoecialλ com λ. F.d.p. de{ T, t < f T t e t, t Probabilidade pedida PT > /3 + /3 e t + /3 e /3.534. e t dt [Em alterativa, PT > /3 PX /3 e /3 /3! e /3.534 com X /3 é a v.a. que descreve o úmero de falhas do trasmissor um período de /3 hora e X /3 Poisso /3.] Grupo II 5 valores. O tempo de execução de um algoritmo, em miutos, é represetado pela variável aleatória X com fução desidade de probabilidade x, x f X x, < x 4/3, caso cotrário. a Qual é a probabilidade de X ão exceder miuto?.5 X tempo de execução de um algoritmo F.d.p. de X x, x f X x, < x 4/3, caso cotrário. Prob. pedida PX f X xdx x dx Págia de
PX x3 3 3. b Obteha a mediaa de X.. Mediaa de X A mediaa de X será represetada por mex me e verifica a codição F X me. Na alíea aterior, costatou-se que PX F X 3. Mais aida, como F X me / < /3 F X, coclui-se que me <. Logo, me mex, : F X me me me f X xdx x dx 3 me3 3 3 me 4 me.9856. c Sabedo que EX 8 9 e V X 5, determie um valor aproximado para a probabilidade de o.5 tempo médio de execuções do algoritmo exceder.9 miuto. Supoha que os tempos de execução são variáveis aleatórias idepedetes e ideticamete distribuídas a X. V.a. X i tempo da i-ésima execução do algoritmo, ode i,..., Distribuição, valor esperado e variâcia comus i.i.d. X i X, i,..., EX i EX µ 8 9, i,..., V X i V X σ 5, i,..., X i X i tempo médio de execuções do algoritmo Valor esperado e variâcia de X E X E i X i i EX i X i X EX EX µ V X V i X i Xi idep. i V X i X i X V X V X σ Distribuição aproximada de X Pelo teorema do limite cetral TLC pode escrever-se X E X V X X µ σ a Normal,. Valor aproximado da probabilidade pedida P X >.9 P X.9 X µ P σ.9 µ σ Págia 3 de
P X >.9 T LC Φ.9 8 9 Φ.43 tabel a/calc.6664.3336. 5. Seja X,Y um par aleatório, em que X e Y represetam o diâmetro iterior e o comprimeto de um pio-guia, respetivamete. Admita que a fução de desidade de probabilidade cojuta de X, Y é dada por f X,Y x, y { 6 7 x + x y, < x <, < y <, caso cotrário. a Determie PX > Y.. Par aleatório X, Y X diâmetro iterior de um pio-guia Y comprimeto de um pio-guia F.d.p. do par aleatório X, Y { 6 7 x + x y, < x <, < y < f X,Y x, y, caso cotrário. Prob. pedida PX > Y x x f X,Y x, yd y dx 6 x + x y d y dx 7 6x 7 y + 6x 4 y x dx 6x 7 x + 6x 4 x dx 5x 3 4 dx 5 4 x4 4 5 56. b Comprove que as variáveis aleatórias X e Y são depedetes.. F.d.p. margial de X Para < x <, tem-se f X x f X,Y x, yd y R 6 7 6x x + x y d y 7 y + 6x 4 y x + 6 x. 7 Págia 4 de
F.d.p. margial de Y Para < y <, tem-se f Y y f X,Y x, ydx R 6 7 x3 3 7 + 3 y 4. 6 x + x y dx 7 + 6y 4 x Idepedêcia etre as variáveis X e Y X e Y são v.a. DEPENDENTES sse f X,Y x, y f X x f Y y, para algum x, y R. Ora, por um lado f X,Y, e por outro f X f Y Assim, coclui-se que 6 7 + 9 8 [.349]. + 6 7 6 7 8 33 [.336735]. 98 f X,Y.5,.5 f X.5 f Y.5. 7 + 3 4 pelo que X e Y são efectivamete v.a. DEPENDENTES. Grupo III 5 valores. Admita que a leitura do redimeto de um processo químico em ppm é represetado pela variável aleatória X com fução de desidade de probabilidade igual a f X x { x 9 e, x 9, caso cotrário, ode é um parâmetro positivo descohecido. a Deduza o estimador de máxima verosimilhaça de, com base uma amostra aleatória X,..., X.5 associada à leitura do redimeto deste processo químico, em dias cosecutivos. X leitura do redimeto de um processo químico F.d.p. de X { exp 9 x f X x, x 9, caso cotrário Parâmetro descohecido, > Págia 5 de
Amostra x x,..., x é uma amostra de dimesão proveiete da população X [para a qual se tem x i > 9, i,..., i x i > 9 x > 9]. Obteção do estimador de MV de Passo Fução de verosimilhaça L x f X x X i idep f Xi x i X i X i f X x i i [ exp x ] i 9 i [ ] xi 9 exp i i exp x i 9 x 9 exp Passo Fução de log-verosimilhaça x 9 ll x l, > Passo 3 Maximização A estimativa de MV de é doravate represetada por ˆ e d ll x d poto de estacioaridade ˆ ˆ : d ll x < poto de máximo d ˆ ṋ + x 9 ˆ+9 x ˆ ˆ x 9 < ˆ ˆ 3 ˆ x 9 x 9 x 9 x 9 3 x 9 < proposição verdadeira já que x > 9. Passo 4 Estimador de MV de i E MV X i 9 X 9 b Obteha a estimativa de máxima verosimilhaça de PX > exp, tedo em cota uma.5 amostra x,..., x para a qual i x i 9. Estimativa de MV de ˆ x 9 9 9 Outro parâmetro descohecido h PX > exp Págia 6 de
Estimativa de MV de h Ivocado a propriedade de ivariâcia dos estimadores de máxima verosimilhaça, pode cocluir-se que a estimativa de MV de h é dada por h h ˆ exp ˆ exp.45.. Uma clíica pretede comparar dois tipos de dieta. Com esse objetivo, escolheram-se casualmete 5 pacietes que foram sujeitos à dieta e outros 5 que foram sujeitos à dieta. Após semaas, aotouse o total de peso perdido em kg por cada paciete sujeito à dieta i, X i, para i,. As amostras coduziram a: x 9.3 kg e s 5.76 kg para a dieta ; x 8. kg e s 6.76 kg para a dieta. Admitido que X e X possuem distribuições ormais: a Obteha um itervalo de cofiaça a 95% para a variâcia do total de peso perdido por um paciete.5 sujeito à dieta durate semaas. X total de peso perdido em kg por paciete sujeito à dieta Situação X ormalµ,σ µ EX descohecido σ V X DESCONHECIDO [X, X,..., X são v.a. i.i.d. a X, com 5.] Obteção do IC para σ Passo Selecção da v.a. fulcral para σ Z S σ χ [uma vez que é suposto determiar um IC para a variâcia de uma população ormal, com valor esperado descohecido.] Passo Obteção dos quatis de probabilidade Ao ter-se em cosideração que 5 e α % 95%, far-se-á uso dos quatis { Pa α Z b α α a α,b α : PZ < a α PZ > b α α/. a α F α/ F t abel a/calc..5 5.68 χ χ 4 b α F α/ F t abel a/calc..975 6.. χ χ 4 Passo 3 Iversão da desigualdade a α Z b α Pa α Z b α α [ ] P a α S b σ α α [ ] P b α σ S a α α P [ S b α σ S a α ] α Passo 4 Cocretização Atededo ao par de quatis acima e ao facto de Págia 7 de
s 5.76 IC α % σ s, F α/ F χ χ segue-se: [ ] 5 5.76 IC 95% σ 5 5.76, 6. 5.68 [3.8789, 4.3583]. b Admitido que X e X possuem variâcias iguais, teste a hipótese de igualdade dos valores.5 esperados dos totais de peso perdido para as duas dietas durate semaas, ao ível de sigificâcia de %. X i total de peso perdido em kg por paciete sujeito à dieta i, i, Situação X Normalµ,σ X Normalµ,σ µ µ DESCONHECIDO σ e σ descohecidos, o etato, assume-se que são IGUAIS: σ σ σ [X i, X i,..., X i i são v.a. i.i.d. a X i, para i,, com] 5 3 Hipóteses H : µ µ µ H : µ µ µ Nível de sigificâcia α % Estatística de teste T X X µ t S + S H + + + [dado que se pretede efectuar um teste sobre a difereça de valores esperados de duas populações ormais idepedetes, com variâcias descohecidas mas que se assume serem iguais.] Região de rejeição de H para valores da estatística de teste Estamos a lidar com um teste bilateral H : µ µ µ, logo a região de rejeição de H para valores da estatística de teste é W, c c,+, ode c : PRejeitar H H α, i.e., c : PT W H α ] [ F c t+ α c F t + α / c F t 8.95 c Decisão Uma vez que t abel a/calc..7. 5 x 9.3 s 5.76 5 x 8. s 6.76 o valor observado da estatística de teste é igual a Págia 8 de
t x x µ s + s + + 9.3 8. 4 5.76+4 6.76 5+5. 5.76+6.76 5.47 5 + 5 Como t.47 W,.7.7,+, ão devemos rejeitar H ao.s. α % [ou a qualquer.s. iferior a α %]. Grupo IV 5 valores. Cojetura-se que o úmero de defeitos de um circuito eletróico, X, segue uma distribuição de Poisso com valor esperado.8. Ao ispecioarem-se 6 circuitos selecioados ao acaso, obteve-se a seguite tabela de frequêcias: N o defeitos por circuito Frequêcia absoluta observada 33 4 3 Frequêcia absoluta esperada sob H 6.96 E E 3 a Calcule as frequêcias absolutas esperadas sob H : X Poisso.8 que se represetam a tabela.5 por E e E 3 aproximado-as às cetésimas. X úmero de defeitos de um circuito eletróico Distribuição e f.p. cojecturadas X Poisso.8 PX x e.8.8 x x!, x,,,... Frequêcias absolutas esperadas omissas Tedo em cota a dimesão da amostra 6 e a f.p. cojecturada, temos: E PX 6 e.8.8.57; E 3 E i i! 6 6.96 +.57.47. b Teste H, ao ível de sigificâcia de 5%..5 Hipóteses H : X Poisso.8 H : X Poisso.8 Nível de sigificâcia α 5% Págia 9 de
Estatística de Teste k O i E i T E i a H χ k β, ode: i k No. de classes 3 O i Frequêcia absoluta observável da classe i E i Frequêcia absoluta esperada, sob H, da classe i β No. de parâmetros a estimar [dado que em H se cojectura uma distribuição em particular.] Frequêcias absolutas esperadas sob H De acordo com a tabela facultada e a alíea a, os valores das frequêcias absolutas esperadas sob H aproximados às cetésimas são: E 6.96; E.57; E 3.47. [Não é ecessário fazer qualquer agrupameto de classes uma vez que em pelo meos 8% das classes se verifica E i 5 e que E i para todo o i. Caso fosse preciso efectuar agrupameto de classes, os valores de k e c F α χ teriam que ser recalculados...] k β Região de rejeição de H para valores de T Tratado-se de um teste de ajustameto, a região de rejeição de H escrita para valores de T é o itervalo à direita W c,+, ode c F α χ k β F.5 χ 3 F.95 χ tabel a/calc. 5.99. Decisão No cálculo do valor observado da estatística de teste covém recorrer à seguite tabela auxiliar: Classe i Freq. abs. obs. Freq. abs. esp. sob H Parcelas valor obs. estat. teste i o i E i o i E i E i 33 6.96 {} 33 6.96 6.96.353 {} 4.57.657 3 {,3,...} 3.47.4 k i o i k i E i t k o i E i i E i 6 6 4.4 Uma vez que t 4.4 W 5.99,+, ão devemos rejeitar H ao.s. de α 5% [em a qualquer outro.s. iferior a 5%].. Um cojuto de dados relativos a cico idivíduos foreceu os seguites valores relativos ao logaritmo de base e da cotagem bacteriaa Y x dias após a ioculação de uma vacia: 5 i x i 33, 5 i x i 39, 5 i y i 6.4, 5 i y i 73.3, 5 i x i y i 4.9, ode [ mii,...,5 x i, max i,...,5 x i ] [3., 9.]. Admitido que os erros aleatórios associados ao modelo de regressão liear simples de Y em x i.i.d. satisfazem ɛ i Normal,σ, i,...,5: a Obteha a estimativa de máxima verosimilhaça do valor esperado do logaritmo de base e da. cotagem bacteriaa 5 dias após a ioculação da vacia. Págia de
Estimativas de MV de β, β e EY x 5 Dado que 5 i x i 33 x i x i 33 5 6.6 i x i 39 i x i x 39 5 6.6. i y i 6.4 ȳ i y i 6.4 5.8 i y i 73.3 i y i ȳ 73.3 5.8.688 i x i y i 4.9 i x i y i x ȳ 4.9 5 6.6.8 3.6, as estimativas de MV de β, β e EY x 5 são, para este modelo de RLS, iguais a: i ˆβ x i y i xȳ i x i x 3.6..53774 ˆβ ȳ ˆβ x.8.53774 6.6.659 ÊY x 5 ˆβ + ˆβ 5.659 +.53774 5.83396. b Teste a sigificâcia do modelo de regressão. Decida com base o valor-p..5 Hipóteses H : β β, H : β Estatística de teste T ˆβ β, ˆσ i x x i H t Região de rejeição de H para valores da estatística de teste Estamos a lidar com um teste bilateral H : β, pelo que a região de rejeição de H é uma reuião de itervalos do tipo W, c c, +. Decisão com base o valor-p Tedo em cota os valores [ obtidos em a, bem como o valor de ˆσ y i ȳ ] ˆβ x i x i i.688.53774. 5.63, Págia de
cocluímos que o valor observado da estatística de teste é igual a t ˆβ β, ˆσ i x x i.53774.63..8386. Uma vez que a região de rejeição deste teste é uma reuião de itervalos simétricos [e a distribuição da estatística e teste sob H é simétrica em relação à origem], temos: valor p PT > t H Deste modo é suposto: [ F t t ] [ F t3.8386] calc.9678.657436. ão rejeitar H a qualquer.s. α 6.57436%, pelo que H ão é cotrariada pelos dados aos.u.s. de % e 5%; rejeitar H a qualquer.s. α > 6.57436%, por exemplo, ao.u.s. de %. [Alterativamete, poderíamos recorrer às tabelas de quatis da distribuição t-studet com 3 graus de liberdade e adiatar um itervalo para o valor-p: F t 3.95.353 < t.8386 < 3.8 F t 3.975 Assim, é suposto:.95 < F t3.8386 <.975.975 < [ F t3.8386] <.95.5 < valor p <.. ão rejeitar H a qualquer.s. α 5%, pelo que H ão é cotrariada pelos dados aos.u.s. de % e 5%; rejeitar H a qualquer.s. α %, omeadamete, ao.u.s. de %. c Calcule e comete o valor do coeficiete de determiação do modelo ajustado..5 Cálculo do coeficiete de determiação r i x i y i x ȳ i x i x i y i ȳ 3.6..688.78636. Iterpretação coeficiete de determiação Cerca de 73% da variação total do logaritmo de base e da cotagem bacteriaa é explicada pelo úmero de dias decorridos após a ioculação da vacia, através do modelo de regressão liear simples cosiderado. Cosequetemete, podemos afirmar que a recta estimada parece ajustar-se bem ao cojuto de dados. Págia de