1 I-projeto do campus Programa Sobre Mecânica dos Fluidos Módulos Sobre Ondas em Fluidos T. R. Akylas & C. C. Mei CAPÍTULO SEIS ONDAS DISPERSIVAS FORÇADAS AO LONGO DE UM CANAL ESTREITO As ondas de gravidade de superfície linear se propagando ao longo de um canal estreito revelam um fenômeno interessante. Primeiro, avaliamos as ondas livres se propagando ao longo de um canal estreito infinito. Damos a solução para este problema como uma sobreposição de modos de onda e ilustramos os conceitos como a noção de freqüência de corte. Segundo, avaliamos um canal semi-infinito com ondas forçadas excitadas por um gerador de ondas localizado em uma das extremidades do canal. Como no caso anterior, o campo de onda gerado pelo gerador de onda pode ser descrito como uma sobreposição de modos de onda. À medida que o gerador de ondas inicia a excitação do fluido, uma frente de onda se desenvolve e inicia a propagação ao longo do canal, se a freqüência de excitação do primeiro canal de modo de onda estiver acima da freqüência de corte. Se a freqüência de excitação estiver abaixo, a perturbação de onda permanece localizada próximo ao gerador de onda e, no caso em particular, onde a freqüência de excitação se compara à freqüência natural de um determinado canal de modos de onda, existe ressonância entre este modo de onda e o gerador, e a amplitude de onda no gerador aumenta com o tempo. Efeitos de não-linearidade e dissipação não são levados em consideração. Neste capítulo, conseguimos e ilustramos com animações a evolução no tempo do deslocamento de superfície livre ao longo do canal estreito semi-infinito excitado por um gerador de onda em uma de suas extremidades. 1 Propagação de Onda Livre ao Longo de um Guia de Ondas Estreito. Consideramos ondas livres se propagando ao longo de um canal infinito de comprimento h e largura 2b. Adotamos um sistema de coordenadas x, y, z onde x e z estão no plano horizontal e y está na coordenada vertical. O eixo x está ao longo do canal, as paredes laterais estão localizadas em z = ±b e o fundo é o plano y = h. A superfície livre está localizada em y = η(x, z, t), o qual é desconhecido. Presumimos fluxo irrotacional e fluido incompressível tal que o campo de velocidade possa ser determinado como o gradiente de uma função potencial ø(x, y, z, t), onde t é a parametrização do tempo. O problema do valor limite linear para propagação de ondas livres é determinado pelo conjunto de equações (1.1) (1.2) (1.3) (1.4)
2 e condições de radiação apropriadas. Este é um problema do valor limite homogêneo que pode ser resolvido pela técnica de separação de variáveis. Primeiro, supomos que as ondas livres que se propagam ao longo do canal são dadas como uma sobreposição de ondas monocromáticas planas. Devido à linearidade do problema de valor limite, precisamos resolvê-lo apenas para um plano de onda monocromática com freqüência de onda ω. A dependência de tempo é exp( iωt), e agora podemos escrever a função potencial ø(x, y, z, t) e o deslocamento da superfície livre η(x, z, t) na fórmula (1.5) (1.6) O problema do valor limite dado pelas equações (1.1) a (1.4) considera a fórmula (1.7) (1.8) (1.9) (1.10) onde eliminamos o deslocamento da superfície livre η(x, z) e reduzimos o problema do valor limite a um problema do valor limite de uma variável dependente, ø(x, y, z). Em seguida, aplicamos a técnica de separação de variáveis para resolver o problema do valor limite dado pelas equações (1.7) a (1.10). Supomos que a função potencial ø(x, y, z) dada como (1.11) onde os possíveis valores k z sejam determinados pela condição-limite nas paredes do canal localizadas em z = ±b, e os possíveis valores da constante k discutidos abaixo. Se substituirmos a expressão dada pela equação (1.11) pelo problema do valor limite dado pelas equações (1.7) a (1.10), obtemos um problema Sturm-Liouville (problema do valor limite unidimensional em relação a uma equação diferencial de segunda ordem) para a função H(y), a qual é dada pelas equações (1.12) (1.13) (1.14)
3 onde Λ 2 = k z 2 + k 2. A constante Λ representa um conjunto de eigenvalores, que são funções da freqüência de onda ω, da aceleração da gravidade g e da profundidade h. Se aplicarmos as condições-limite dadas pela equação (1.10) à função potencial ø(x, y, z), percebemos que podemos usar tanto cos(k z z) ou sen(k z z) na expressão de ø(x, y, z) dada pela equação (1.11), mas com um conjunto diferente de possíveis valores para a constante k z. O conjunto de valores para k z é determinado pela condição-limite (1.10) e a escolha entre cos(k z z) e sen(k z z). Se considerarmos a dependência de z do potencial ø(x, y, z) dado em função de cos(k z z), a constante k z tem que assumir os valores (1.15) Se considerarmos a dependência z do potencial ø(x, y, z), dado em função de sen(k z z), a constante k z tem que assumir os valores A fórmula geral da solução para a equação (1.12) é (1.16) (1.17) mas a condição-limite sobre o fundo dada pela equação (1.14) indica que B = 0. A condição-limite da superfície livre (y = 0) dá a equação eigenvalor ou relação de dispersão (1.18) para a constante Λ. Esta equação de eigenvalor implícita possui uma solução real Λ 0 e um conjunto contável infinito de eigenvalores puramente imaginários iλ l, l = 1,2... Associado a estes eigenvalores temos as eigenfunções (1.19) (1.20) O termo exp(ikx)(exp( ikx)) na equação (1.11) acima para ø(x, y, z) representa uma onda se propagando para a direita (esquerda), caso a constante k seja real ou uma onda infinitesimal direita (esquerda), caso k seja um número puramente imaginário, ou uma combinação de ambos, caso k seja complexo. Classificamos a constante k como um número de onda. Já que estamos interessados nas ondas de propagação livre, precisamos da constante K para ser um número real. O valor desta constante é dado em função das constantes Λ e k z, de acordo com a equação (1.21)
4 onde os possíveis valores de k z são dados pelas equações (1.15) e (1.16). Os possíveis valores de Λ são soluções da relação de dispersão dadas pela equação (1.18). Já que desejamos k como um número real, isto exclui as soluções imaginárias da equação (1.18), então podemos escrever a equação acima na fórmula (1.22) (1.23) onde anexamos os índices n e m à constante k para deixar claro sua dependência sobre os eigenvalores k zn e k zm. Agora, podemos escrever a função potencial ø(x, y, z) na fórmula e o deslocamento da superfície livre η(x, z) é dado pela equação (1.24) (1.25) onde o valor das constantes A m, A n,b m e B n é especificado pelas condições adequadas de radiação. De acordo com o valor de k zm ou k zn, as constantes k m e k n nas equações (1.24) e (1.25) podem ser reais (modo de propagação de onda) ou números puramente imaginários (modo de onda infinitesimal). Se fixarmos o valor de k zm ou k zn (fixe o valor de m ou n), para uma determinada profundidade h, podemos variar a freqüência de onda ω tal que Λ 0 > k zm (k zn ) ou Λ 0 < k zm (k zn ). Quando Λ 0 > k zm (k zn ), k m (k n ) for um número real e tivermos um modo de propagação de onda, mas quando Λ 0 < k zm (k zn ), necessitamos que k m (k n ) seja um número puramente imaginário e que o modo de onda associado a este valor de k seja infinitesimal. Portanto, o valor de freqüência de onda onde k zm = Λ 0 (k zn = Λ 0 ) é chamado de freqüência de corte para o modo de onda mth (nth). Em seguida, traçamos a relação de dispersão dada pela equação (1.18) como uma função do número de onda k e de profundidade h para os diversos valores de eigenvalores k zm (modos de onda senoidal na coordenada z) nas figuras 1 e 2. À medida que o valor de k zm aumenta (o valor de m aumenta), a freqüência de onda assume valores maiores para a gama do número de onda k considerada. O valor de onda de freqüência em k = 0 para um determinado k zm (determinado m) é a freqüência de corte para o modo de onda associado ao eigenvalor k zm. Para um valor fixo de k zm, as freqüências abaixo das freqüências de corte implicam em números de onda puramente imaginários e o modo de onda associado é exponencialmente decrescente (infinitesimal) ou exponencialmente crescente. Os modos de onda associados aos números de onda puramente imaginários não participam da sobreposição que resulta nas soluções de ondas livres. De acordo com as figuras 1 e 2, quanto maior a freqüência de onda, maior o número de modos de onda que participam da sobreposição que resulta nas soluções de ondas livres.
5 Uma outra forma de ver que os modos de onda associados aos números de onda imaginários (onda abaixo do modo de onda de freqüência de corte) não se propagam é através da velocidade de grupo do modo de onda. Nas figuras 3 e 4, traçamos a velocidade de grupo para os 10 primeiros modos de onda associados aos eigenvalores k zm (m de 0 a 9). Para freqüências de onda acima da freqüência de corte, o modo de onda considerado (valor fixo de k zm ) possui um número de onda real k e velocidade de grupo diferente de zero, conforme podemos observar através das figuras 3 e 4. À medida que a freqüência de onda se aproxima da freqüência de corte, a velocidade de grupo do modo de onda considerado se aproxima de zero, de acordo com as figuras 3 e 4. Na freqüência de corte do modo de onda considerado, sua velocidade de grupo é zero e nenhuma energia é transportada por este modo de onda para freqüências de onda na freqüência de corte do modo de onda ou abaixo dela. Figura 1: Freqüência de onda como uma função do número de onda k para diversos valores do eigenvalor k zm e profundidade de água h = 100 metros.
6 Figura 2: Freqüência de onda como uma função do número de onda k para diversos valores do eigenvalor k zm e profundidade de água h = 0,1 metros. De acordo com as figuras 3 e 4, a velocidade de grupo para cada modo de onda possui um valor máximo, o qual decai à medida que o valor de k zm aumenta (o valor de m aumenta). O primeiro modo de onda (modo de onda senoidal com k z = 0) possui a máxima velocidade de grupo, e já que sua freqüência de corte é zero, podemos ter ondas de propagação livre para qualquer freqüência do canal especificado através de sua profundidade h, sua largura 2b e aceleração de gravidade g. Acima, observamos os modos de onda com dependência senoidal na coordenada z. Para os modos de onda com dependência senoidal na coordenada z, o valor absoluto mínimo do eigenvalor k zn é maior que o valor absoluto mínimo para eigenvalores k zm, o qual é zero. Portanto, para qualquer freqüência de onda temos ondas de propagação livre ao longo do canal. Para os modos de onda de co-seno existe uma freqüência de corte mínimo. A propagação deste tipo de modo de onda é possível apenas por causa das freqüências acima de sua freqüência de corte mínima. 2 Propagação de Onda Forçada ao Longo de um Guia de Ondas Estreito Agora, consideramos as ondas forçadas se propagando ao longo de um canal semi-infinito com a mesma profundidade h e largura 2b, como o canal na seção anterior. O canal semi-inifinito possui
7 um gerador de ondas em uma de suas extremidades, o qual gera perturbações de onda que podem ou não se propagar ao longo do canal. A solução para as ondas forçadas é dada como uma sobreposição de modos de onda. Os mesmos modos de onda que obtivemos na seção anterior. Os modos de onda infinitesimais também fazem parte da solução deste caso. Eles estão localizados próximo ao gerador de onda e descrevem o campo de onda local. Para uma excitação monocromática, os modos de onda com freqüência de corte abaixo da freqüência de excitação constituem o campo de propagação de onda, e os modos de onda com freqüência de corte acima da freqüência de excitação são infinitesimais e permanecem localizados próximo ao gerador de ondas. A sua sobreposição proporciona o campo de onda infinitesimal. Figura 3: Velocidade de grupo como uma função do número de onda k para diversos valores do eigenvalor k zm e profundidade de água h = 100 metros.
Figura 4: Velocidade de grupo como uma função do número de onda k para diversos valores do eigenvalor k zm e profundidade de água h = 0,1 metros. 8
9 3 Problema do Valor Limite Inicial. Levamos em consideração o mesmo sistema de coordenada da seção anterior. O gerador de ondas está localizado em x = 0 e o canal situado em x > 0. O problema do valor limite linear para ondas forçadas é semelhante ao problema do valor limite para os problemas de ondas livres. A diferença é a condição-limite que descreve o efeito do gerador de ondas e o fato de que o canal agora é semiinfinito. O problema do valor limite linear para ondas forçadas é dado pelo conjunto de equações (3.26) (3.27) (3.28) (3.29) (3.30) e o deslocamento da superfície livre η(x, z, t) é relativo à função potencial ø(x, y, z, t), de acordo com a equação (3.31) A função f(t) é uma função de tempo conhecida. Na verdade, escolhemos uma excitação harmônica, então obtemos (3.32) onde ω é a freqüência de excitação. Precisamos também levar em consideração as condições iniciais do problema do valor limite acima. Elas são dadas pelas equações (3.33) (3.34) onde a condição inicial (3.34) é equivalente a ter uma superfície livre em repouso em t = 0 (η(x, z, 0) = 0). Em seguida, resolvemos o problema do valor limite inicial, o qual será discutido na próxima seção.
10 3.1 Solução do Problema do Valor Limite Inicial. O primeiro passo para resolver o problema do valor limite inicial dado pelas equações (3.26) a (3.30) é aplicar a transformação de co-seno na variável x. Isto resulta em uma equação tipo Helmholtz não-homogênea para a função potencial sob condições-limite homogêneas. Já que a equação resultante não é homogênea, a solução é dada como uma sobreposição da solução para a parte homogênea do problema e uma determinada solução que lida com a não-homogeneidade. Para resolver o problema homogêneo associado, usamos o método de separação de variáveis como na seção anterior. A solução do problema homogêneo é dada como uma sobreposição de modos nas variáveis y e z. A solução específica é obtida usando a solução homogênea através do método de variação dos parâmetros. As constantes da solução homogênea são obtidas por meio de aplicação das condições-limite na solução completa (soluções homogênea e específica). Em seguida, detalharemos os passos descritos acima. Levamos em consideração o par de transformações de co-seno (3.35) (3.36) Se aplicarmos a transformação de co-seno (3.36) ao segundo derivado parcial da função potencial ø(x, y, z, t) em relação à variável x, obtemos essa (3.37) já que supomos que ø x 0 e ø 0, enquanto x. O termo ø x (0, y, z, t) é especificado pela condição-limite em x = 0 e dado pela equação (3.30). Em seguida, aplicamos a transformação de coseno ao problema do valor limite inicial dado pelas equações (3.26) a (3.30). Isto resulta no conjunto de equações (3.38) (3.39) (3.40) (3.41)
11 com as condições iniciais dadas pelas equações (3.33) e (3.34) escritas na fórmula (3.42) (3.43) Este é um problema do valor limite inicial não-homogêneo para a função (transformação de co-seno de ø(x, y, z, t)). Nossa estratégia para resolver este problema de valor limite inicial é encontrar a forma geral da solução da parte homogênea do problema do valor limite inicial dada pelas equações (3.38) a (3.41), e uma solução específica para a parte não-homogênea do problema do valor limite inicial. Para encontrar o valor das constantes da parte homogênea da solução, aplicamos as condições iniciais e limítrofes à solução completa (homogênea e específica). Em seguida, levamos em consideração a parte homogênea do problema do valor limite inicial de, a qual é dada como sobreposição dos modos de onda obtidas na seção anterior. Então, a solução do problema homogêneo é semelhante à dada pela equação (1.24). A solução para o problema homogêneo é onde Λ m 2 = k 2 + k zm 2, Λ n 2 = k 2 + k zn 2 e k zn e k zm são dadas respectivamente nas equações (1.16) e (1.15). Conforme mencionado anteriormente, a solução geral é dada como uma sobreposição da solução homogênea esta fórmula e mais uma solução específica. Supomos que a solução específica possua Substituímos o potencial na equação Helmholtz não-homogênea (3.38) nas variáveis y e z. Também submetemos (3.44)
12 O procedimento acima resulta no conjunto de equações para as amplitudes e. (3.45) (3.46) (3.47) (3.48) onde (3.49) (3.50) Se resolvermos o conjunto de equações acima e integrá-las em relação à variável y de h a 0, obteremos as seguintes expressões para as amplitudes e, como segue: (3.51) (3.52) (3.53) (3.54) onde as funções G n (y), H n (y), G m (y) e H m (y) são dadas pelas equações (3.55) (3.56) (3.57) (3.58)
13 Agora, a solução total pode ser escrita na fórmula (3.59) Na expressão acima, ainda precisamos obter as constantes A m, B m, C n e D n da parte homogênea da solução. Para tanto, aplicamos as condições-limite (3.39) em y = 0 e (3.40) em y = h. A condiçãolimite em y = 0 proporciona a equação (3.60) Também obtemos uma equação semelhante para C m. Esta é uma equação diferencial de segunda ordem não-homogênea, no devido tempo, para a amplitude A n. Esta solução é dada como a sobreposição da solução da parte homogênea da equação e mais uma solução específica, a qual satisfaz o termo não-homogêneo na equação (3.60). A solução homogênea é dada como com Ω n 2 = gλ n tanh(λ n h). Supomos a solução específica dada na fórmula (3.61) Submetemos (3.62) (3.63)
14 Se substituirmos a fórmula da solução específica, dada pela equação (3.62) dentro da equação governante (3.61), e levarmos em consideração a fórmula presumida (3.63), obtemos para as amplitudes as expressões dada pela equação ( (3.64) (3.65) onde (3.66) Se substituirmos estas expressões para as amplitudes presumida da solução específica, obtemos na fórmula (3.67) Como resultado, obtemos para A n (t) a seguinte expressão (3.68) Para a amplitude C m, obtemos a mesma expressão acima para A n (t), porém com um índice m em vez do índice n. Agora, a função potencial pode ser escrita na fórmula (3.69)
15 que é uma função das constantes desconhecidas e. Para obter estas constantes, usamos as condições iniciais para dada pelas equações (3.42) e (3.43). Obtemos (3.70) (3.71) (3.72) (3.73) A fórmula final da função potencial é dada pela equação (3.74) Estamos interessados no deslocamento da superfície livre η(k, z, t), a qual é dada em termos da função potencial ø(k, y, z, t), de acordo com a equação (3.31). Em seguida, a transformação de co-seno do deslocamento de superfície livre é dada em termos da transformação de Fourier do potencial, de acordo com a equação (3.75)
16 Se aplicarmos esta equação à expressão para dada pela equação (3.74), obtemos (3.76) 3.2 Solução da Integral de Fourier. Aplicamos aqui a transformação de co-seno inverso à expressão acima para a transformação de coseno do deslocamento de superfície livre. A transformação de co-seno inverso é dada pela equação (3.36) e a aplicamos à equação (3.76) para obter o deslocamento de superfície livre (3.77) As integrantes nas integrais acima possuem aparentemente pólos no plano k complexo para soluções de números de onda de ω 2 Ω n 2 (k) = 0. À medida que Ω n (k) se aproxima de ±ω, temos esse Ω n (k) sen(ωt) que se aproxima de ω sen(ωt) da mesma forma, então não há singularidade na integrante e a integral está bem comportada. Para obter o deslocamento da superfície livre avaliamos numericamente as transformações de co-seno inverso que aparecem na equação (3.77). Os resultados destas simulações foram usados para gerar animações da evolução do deslocamento da superfície livre, devido à ação do gerador de ondas sobre o fluido. Essas animações serão discutidas na próxima seção. 3.3 Resultados Numéricos. Mostramos aqui os resultados da avaliação numérica das transformações de co-seno inverso que aparecem na equação (3.77) para o deslocamento da superfície livre. Exibimos a evolução do deslocamento da superfície livre, no devido tempo, através da avaliação numérica da equação (3.77). Geramos animações desta evolução devido à ação do gerador de ondas em x = 0. Discutimos aqui os exemplos e oferecemos links para os filmes associados a estes exemplos. Consideramos que o deslocamento do gerador de ondas coincide como primeiro modo de onda de co-seno na direção z. A freqüência de excitação está acima da freqüência de corte para o primeiro modo de onda de co-seno. Com este tipo de excitação, o único modo de onda que faz parte da solução é o primeiro modo de onda co-seno. Já que o gerador de ondas funciona a partir do restante do movimento harmônico, ele inicialmente excita todas
17 as freqüências de onda e gera um transiente que se propaga ao longo do canal e é seguido pelo grupo de onda monocromático (o modo de onda de co-seno) com freqüência igual à freqüência de excitação. O transiente possui uma frente de onda que se propaga com o máximo de velocidade de grupo possível para este modo de onda de co-seno. Para a profundidade h = 0,1 metros, a figura 5 ilustra a velocidade de grupo máxima para os modos de onda de co-seno. A velocidade de grupo máxima possível C g,max é a velocidade de grupo máxima do modo de onda de co-seno com. Em seguida, para um determinado instante de tempo t, não há perturbação de onda nas posições x > C g,max t. O transiente para um determinado instante t permanece na região C g,max t > x > C g (ω)t, onde C g (ω) é a velocidade de grupo do modo de onda de co-seno excitado na freqüência de excitação ω. Para visualizar a animação associada a este exemplo, clique aqui. Consideramos que o deslocamento do gerador de ondas coincide com o segundo modo de onda de co-seno na direção z. A freqüência de excitação está abaixo da freqüência de corte para o segundo modo de onda de co-seno, porém abaixo da freqüência de corte para o segundo modo de co-seno. Mais uma vez, o gerador de ondas funciona a partir do restante do movimento harmônico. Todas as freqüências são excitadas inicialmente e desenvolvem um transiente. O transiente se propaga ao longo do canal, e atrás dele restou apenas o segundo modo de onda de co-seno, o qual decai exponencialmente, à medida que avançamos a partir do gerador de ondas, já que nesta freqüência de excitação o modo de onda de co-seno é infinitesimal. Igualmente, o transiente possui uma frente de onda que se propaga com a velocidade de grupo máxima possível para o segundo modo de onda de coseno. Para visualizar a animação associada a este exemplo, clique aqui. Consideramos que o deslocamento do gerador de ondas coincide como primeiro modo de onda de co-seno na direção z. A freqüência de excitação está exatamente na freqüência de corte. Novamente, o gerador de ondas funciona a partir do restante do movimento harmônico e inicialmente todas as freqüências de onda são excitadas, desenvolvendo um transiente que se propaga ao longo do canal. Ele possui uma frente de onda que se propaga com a velocidade de grupo máxima possível C g, max para o restante do modo de onda de coseno. Atrás do transiente, nos resta o primeiro modo de onda de co-seno, já que ele é o único modo de onda excitado pelo gerador de ondas. A velocidade de grupo deste modo de onda em sua freqüência de corte é zero, portanto não há propagação de energia ao longo do canal depois que a parte do transiente da solução já estiver longe do gerador de ondas. Já que a energia não pode ser emitida a partir do gerador de ondas, visualizamos a amplitude da onda crescer com o tempo próximo ao gerador de ondas. Neste caso, o modo de onda de co-seno ressoa com o gerador de ondas. Para visualizar a animação associada a este exemplo, clique aqui. Agora, o gerador de ondas é uma função linear na direção z (F(z) = z). Mostramos a evolução da perturbação devido à ação do gerador de ondas. Consideramos todos os modos que fazem parte da solução. Na verdade, consideramos apenas um número finito de modos de onda de seno e co-seno. À medida que o número de onda k zm ou k zn associado aos modos de onda aumenta, sua amplitude diminui. Portanto, somente um número finito de modos de onda é significativo. Mais uma vez, o gerador de ondas funciona a partir do restante do movimento harmônico. Inicialmente, possuímos um transiente que se propaga ao longo do canal. Ele possui uma frente de onda que se propaga com a velocidade de grupo máxima possível, que é a velocidade de grupo máxima para o primeiro modo de onda de co-seno. Antecedendo a frente de onda (x > C g,max t para um determinado instante t, onde C g,max é a velocidade de grupo máxima para o primeiro modo de onda de co-seno), não temos
18 nenhuma perturbação de ondas. Para um dado instante t, o transiente permanece na região C g,max t > x > C g (ω)t, onde C g (ω) é a velocidade de grupo do primeiro modo de onda de coseno em freqüência de excitação ω. Por trás desta região, temos uma solução de estado estacionário. Para visualizar a animação associada a este exemplo, clique aqui. Figura 5: Velocidade de grupo como uma função do número de onda k para diversos valores do eigenvalor k zn e profundidade de água h = 0,1 metros. A velocidade de grupo máxima para o primeiro modo de onda de co-seno (C g,max ) é indicado na figura. A velocidade de grupo máxima para o segundo modo de onda de co-seno também é indicada.