versão: 2019-1 SISTEMA CARTESIANO TRIDIMENSIONAL GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR
Sistema cartesiano tridimensional Três eixos ortogonais (90 ) entre si eixo das cotas P Posicionamento de um ponto P ( P, P, P ) O P eixo das ordenadas P P eixo das abcissas
SISTEMA CARTESIANO 3 planos coordenados xy (laranja) xz (verde) yz (azul) Dividem o espaço em 8 octantes
APLICAÇÕES Plano topográfico (N, E, H) ~ (,, ) PN cota ou altitude PS
APLICAÇÕES MEMS (micro electro mechanical systems) acelerômetros Como aproveitar?
APLICAÇÕES Sistema Cartesiano Tridimensional Geodésico (φ, λ) (,,)
APLICAÇÕES Monitoramento de estruturas Alinhamento do barramento fluxo do rio vertical
APLICAÇÕES Estudos de objetos (deformações, ondulações, etc) M1 M2 M4 M3
APLICAÇÕES Sistema cartesiano instrumental origem: centro ótico do equipamento (ponto cardã)
2 tipos de sistemas O eixo encontra o eixo com um giro anti-horário O eixo encontra o eixo com um giro horário O O DETRÓGIRO LEVÓGIRO
Regra da mão direita Se fechar a mão, é dextrógiro! Se não fechar, é levógiro!
E agora? LEVÓGIRO L ou DETRÓGIRO D? (a) (b) (e) (c) (d)
E agora? LEVÓGIRO L ou DETRÓGIRO D? (a) D (b) D (e) L (c) L (d) D
Transformação de coordenadas polares em cartesianas tridimensionais distância espacial ângulo zenital OP P d OP cota O z P P N Az OP azimute x P abcissa y P ordenada P obs: a partir da origem; sistema dextrógiro.
ΔOPP POLAR (Az, d, ) CARTESIANO (,,) P d OP OP OP z P O dh P dh = d OP sen OP z P = d OP cos OP
ΔOP P (plano ) POLAR (Az, d, ) CARTESIANO (,,) O y P P Az OP x P P x P = dh sen Az OP x P = d OP sen OP sen Az OP y P = dh cos Az OP y P = d OP sen OP cos Az OP
RESUMO POLAR (Az, d, ) CARTESIANO (,,) A partir da origem: x P = d OP sen OP sen Az OP y P = d OP sen OP cos Az OP z P = d OP cos OP
Transformação de coordenadas cartesianas tridimensionais em polares INVERSO Distância espacial d OP = x p 2 + y P 2 + z P 2 Lembre-se de analisar os sinais das funções trigonométricas CARTESIANO POLAR (,,) (Az, d, ) Ângulo zenital OP = arccos z p x p 2 +y P 2 +z P 2 Azimute Az OP = arctan x P y P
EERCÍCIO Modelo de cálculo: x P = d OP sen OP sen Az OP y P = d OP sen OP cos Az OP z P = d OP cos OP Seja uma estação total estacionada num ponto A, com altura do instrumento igual a 1,567 m. Para se determinar a posição do ponto P, adotou-se um sistema de coordenadas cartesianas cuja origem O situa-se no ponto cardã do equipamento, com a seguinte orientação: o eixo y com sentido positivo para o norte geográfico, eixo z coincidente com o fio de prumo com sentido positivo para o zênite e o eixo x tornando o terno dextrogiro. Após a etapa de coleta, as seguintes medidas foram determinadas: azimute, ângulo zenital e distância espacial (~inclinada) da direção O-P, cujos os valores são: Az OP = 357 08 47" OP = 86 58 15" d OP = 125,632 m Calcule as coordenadas cartesianas tridimensionais do ponto P neste sistema.
O sistema de coordenadas adotado: SOLUÇÃO x O = y O = z O = 0,000 m ponto cardã O N E hi = 1,567 m A Informação desnecessária
Modelo de cálculo: x P = d OP sen OP sen Az OP SOLUÇÃO y P = d OP sen OP cos Az OP z P = d OP cos OP Substituindo os valores: x P = 125,632 sen 86 58 15" sen 357 08 47" = 6,245764869 m y P = 125,632 sen 86 58 15" cos 357 08 47" = 125,3008954 m z P = 125,632 cos 86 58 15" = 6,638935872 m Resultado obtido: x P = 6,246 m y P = 125,301 m z P = 6,639 m
EERCÍCIO Calcule as coordenadas polares ( Az,, d ) que correspondem as seguintes coordenadas cartesianas tridimensionais do ponto P: = -305,432 m = +548,601 m = -152,234 m FUNÇÃO 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q sen + + - - cos + - - + tan + - + - d OP = x p 2 + y P 2 + z P 2 OP = arccos Az OP = arctan x P y P z p x p 2 +y P 2 +z P 2
Distância espacial d SOLUÇÃO d = x p 2 + y P 2 + z P 2 = 305,432 2 + 548,601 2 + 152,234 2 d = 646,086 m Ângulo enital = arccos z p x p 2 +y P 2 +z P 2 = arccos 152,234 646,086 cosseno (-), duas opções : 2ºQ [90 a 180 ] ou 3ºQ [180 a 270 ] Como é um ângulo zenital, valores possíveis só no 2 Q, então: = 180 arccos = 103 37 42 152,234 646,086 = 180 76 22 18"
SOLUÇÃO Azimute Az Az = arctan x P = arctan 305,432 y P +548,601 sen cos ~sen ~cos Como (-) e (+) 4º Q Então: Az = 360 arctan 305,432 +548,601 = 360 29 06 24" Az = 330 53 36" FUNÇÃO 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q sen + + - - cos + - - + tan + - + -
Transformação de coordenadas polares em cartesianas tridimensionais entre dois pontos Problema direto do posicionamento A AB d AB B O y A z A A A x A Az AB z B x B B N y B B
1º Δ POLAR (Az, d, ) CARTESIANO (,,) B d AB AB AB z B z A A dh dh = d AB sen AB z B z A = d AB cos AB
2º Δ POLAR (Az, d, ) CARTESIANO (,,) A y B y A B Az AB x B x A B x B x A = dh sen Az AB x B x A = d AB sen AB sen Az AB y B y A = dh cos Az AB y B y A = d AB sen AB cos Az AB
RESUMO POLAR (Az, d, ) CARTESIANO (,,) x B x A = d AB sen AB sen Az AB y B y A = d AB sen AB cos Az AB z B z A = d AB cos AB Então x B = x A + d AB sen AB sen Az AB y B = y A + d AB sen AB cos Az AB z B = z A + d AB cos AB
Transformação de coordenadas cartesianas tridimensionais em polares entre dois pontos Problema inverso do posicionamento Distância espacial d AB = (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 +(z B z A ) 2 Ângulo zenital AB = arccos Azimute Az AB = arctan x B x A y B y A z B z A (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 +(z B z A ) 2 Lembre-se de analisar os sinais das funções trigonométricas
EERCÍCIO Sejam as coordenadas tridimensionais cartesianas de dois vértices P1 e P2: P1 P2 x1 = +3.803,177 m y1 = -6.181,984 m z1 = -2.619,513 m Calcular: x2 = +1.470,799 m y2 = -7.585,088 m z2 = -3.355,208 m (a) a distância espacial entre os vértices; (b) o azimute da direção P2 P1; (c) o ângulo zenital da direção P1 P2; Azimute Az AB = arctan x B x A y B y A FUNÇÃO 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q sen + + - - cos + - - + tan + - + - Distância espacial d AB = (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 +(z B z A ) 2 AB = arccos Ângulo zenital z B z A (x B x A ) 2 +(y B y A ) 2 +(z B z A ) 2
P1 (1) P2 (2) x1 = +3.803,177 m x2 = +1.470,799 m y1 = -6.181,984 m y2 = -7.585,088 m z1 = -2.619,513 m z2 = -3.355,208 m SOLUÇÃO (a) a distância espacial entre os vértices; d 12 = (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 d 12 = ( 2.332,378) 2 +( 1.403,104) 2 +( 735,695) 2 d 12 = 7.949.935,103 d 12 = 2.819,563 m
P1 (1) P2 (2) x1 = +3.803,177 m x2 = +1.470,799 m y1 = -6.181,984 m y2 = -7.585,088 m z1 = -2.619,513 m z2 = -3.355,208 m SOLUÇÃO (b) o azimute da direção P2 P1; Az 21 = arctan x 1 x 2 y 1 y 2 Az 21 = arctan 2.332,378 1.403,104 Δ +, Δ + 1ºQ Az 21 = 58 58 11,53" Az 21 = 58 58 12"
P1 (1) P2 (2) x1 = +3.803,177 m x2 = +1.470,799 m y1 = -6.181,984 m y2 = -7.585,088 m z1 = -2.619,513 m z2 = -3.355,208 m SOLUÇÃO (c) o ângulo zenital da direção P1 P2; 12 = arccos z 2 z 1 (x 2 x 1 ) 2 +(y 2 y 1 ) 2 +(z 2 z 1 ) 2 = arccos z 2 z 1 d 12 cosseno (-), duas opções : 12 = arccos 735,695 2.819,563 2ºQ [90 a 180 ] ou 3ºQ [180 a 270 ] Como é um ângulo zenital, valores possíveis só no 2 Q, então: 735,695 = 180 arccos = 180 74 52 30,12" 2.819,563 = 105 07 30"
GA116 Sistemas de Referência e Tempo A2 ATIVIDADE N 2
A2 ATIVIDADE N 2 SISTEMAS CARTESIANOS
A2 ATIVIDADE N 2 SISTEMAS CARTESIANOS DATA LIMITE DE ENTREGA: 21 DE MARÇO DE 2019 (5ªF), NO HORÁRIO DA AULA.