E. E. E. M MATEMÁTICA PRIMEIRO ANO - PARTE UM CONTEÚDOS: CONJUNTOS INTERVALOS NOÇÃO DE FUNÇÕES FUNÇÃO DO 1 GRAU e CONSTANTE FUNÇÃO DO 2 GRAU NOME COMPLETO: Nº TURMA: TURNO: ANO: PROFESSORA: 1
1. Noção básica de conjuntos numéricos 1.1 Conceito de Conjunto Segundo Medeiros (2009) não existe uma definição especifica para conjunto, podendo ser considerado uma coleção de objetos. Os objetos que fazem parte de uma coleção são os elementos do conjunto. Ex.: um ponto é um elemento de um conjunto de pontos. Um planeta é um elemento do conjunto de astros. Relação de Pertinência Para dizer que x é um elemento de um conjunto A, escreve-se: x є A (leitura: x pertence ao A) Para dizer que x não é um elemento do conjunto A, escreve-se: x A (leitura x não pertence ao A) (MEDEIROS, 2009) Relação de inclusão Medeiros (2009) menciona que se todo elemento de um conjunto A também for um elemento de um conjunto B, então podemos dizer que A é um subconjunto de B. Para indicar que A é um subconjunto de B, escreve-se: A B (A está contido em B) A B (A contém B) Se o conjunto de A não for subconjunto de B, escreve-se A B (A não está contido em B) 1.2 Tipos de Números a) Números naturais (N) Para Medeiros (2009), o conjunto dos números naturais é importante pelo seu uso na contagem, ou seja, é uma classe de números usados no processo de contagem de objetos (concretos ou abstratos). Notação é N = {0, 1, 2, 3, 4...} A sucessão dos números naturais começa pelo zero e cada número seguinte é obtido acrescentando- uma unidade (+1) ao número anterior. (Giovanni e Giovanni Jr, 2010). Não existe o maior número natural, a sucessão é infinita. Existindo uma sucessão de números (14, 15 e 16) são chamados números consecutivos. Sucessão dos números naturais pares = 0, 2, 4, 6, 8... Sucessão dos números naturais ímpares = 1, 3, 5, 7... b) Números inteiros (Z) Conforme Medeiros (2009) o conjunto dos números inteiros é formado pelos elementos do conjunto dos números naturais acrescidos de seus simétricos. Notação Z = {...- 2, -1, 0, 1, 2,...} Conjunto de números inteiros positivos (equivalente ao conjunto dos números naturais). Ex.: + 14, + 22, + 13 Conjunto de números inteiros negativos Ex.:- 8, - 6, - 1 2
c) Números Racionais ou fracionários (Q) Números racionais são os que podem ser escritos na forma de fração de números inteiros. Tem representação decimal finita ou periódica. Para Giovanni e Giovanni Jr (2010) todo numero racional é o resultado de uma divisão de números inteiros, sendo o segundo número diferente de zero. Todo número racional relativo pode ser escrito da seguinte forma:, com a e b inteiros e b 0. Ex.: a) + 4 e 4 são números racionais inteiros. 4 = 4 1 = 4 (número racional escrito na forma fracionária) 1 b) 5 5 e (números racionais na forma de fração) 7 7 c) + 2,8 e 2,8 (números racionais na forma decimal) d) Números Irracionais (I) São números cuja representação decimal é sempre infinita (não é exata), nem periódica, consequentemente, não podem ser escritos sob a forma de fração. Um número irracional nunca pode ser escrito da seguinte forma:, sendo a e b números inteiros e b 0 ex.: = 1,4142135 = 3,1622776 e) Números Reais (R) É a reunião ou união de todos os números acima apresentados. Logo podemos pensar em: N U Z U Q U I = R ou ainda Q U I= R pois Q = N U Z Atenção: U significa união Lembre-se: Para relacionar elemento com um conjunto ou subconjunto usa-se pertence ou não pertence ( ou ), e para relacionar conjuntos e subconjuntos utilizamos está contido ou contem (, e ) 3
Representação de um conjunto 1) Extensão Quando está entre chaves, e separados por vírgulas representam os elementos formadores de um conjunto. Ex.: A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4, 5} 2) Compreensão Medeiros (2009) diz Quando escrevemos entre chaves, uma característica comum a todos os elementos formadores do conjunto. Ex.: A resposta está escrito por extensão A = {x x é vogal} = {a, e, i, o, u} {a,e,i,o,u}, agora quando olhamos para B={x N*-1 < x < 4} = {1,2,3} C={x N/0 x 4}={0,1,2,3,4} {x R/0<x<4}, dizemos que está escrito por compreensão 3) Diagrama Através de linhas simples fechadas conhecidas como diagramas de Venn. Exemplos: C.5. 7.3.4 Conjunto unitário É o conjunto que possui apenas um elemento. Ex.: A = {x x é par compreendido entre 9 e 11} = {10} Conjunto vazio É aquele que não possui elementos, sendo representado da seguinte forma: { } ou A = {x x = x² = 9 e x é par} = { } Obs: O conjunto vazio está contido dentro de qualquer conjunto. 4
Exercícios para fazer: 1. Marque V ou F, caso seja falsa justifique: a) ( ) O conjunto dos números inteiros contem o conjunto dos números racionais. b) ( ) O subconjunto de números que podem ser expressos através de uma fração está contido no conjunto dos números racionais que contem também o conjunto de todas às raízes. c) ( ) Um decimal periódico pertence ao conjunto dos números irracionais. d) ( ) O zero pertence somente ao conjunto dos números naturais. e) ( ) O conjunto dos números reais é dado pela união do conjunto dos números racionais e irracionais. f) ( ) O conjunto dos naturais contem o conjunto dos inteiros. g) ( ) O conjunto dos números inteiros está contido no conjunto dos números reais. 2. Analise as afirmações abaixo: I) { 4, 2 } N. II) { 7, 0,333..., 1,2398248..., 2 } I. III) { 4 8, - 9} Z. 1 7 IV) {,, 9 2 0,333..., 1,2398248... } Q. 1 7 V) {, 7, 4,, 9 2 8, - 9, 0,333..., 1,2398248..., 2 } R. Posso afirmar que: a) ( ) a I e a V estão corretas. c) ( )somente a V está correta. e) ( )todas estão incorretas. b) ( ) todas estão corretas. d) ( ) a III e V estão corretas. 3. A partir do diagrama abaixo marque V ou F a) ( ) N Z I Q b) ( ) R Q I c) ( ) I N d) ( ) Q R Q N R Z I 5
4. Dados os conjuntos A={0,1,2,3} B= {2,4,6} C= {1,3,6,9} e D={1}. Assinale com V ou F: a) ( ) A B b) ( ) D C c) ( ) A d) ( ) 2 B e) ( ) 1 A f) ( ) 2 B g) ( ) D A h) ( ) 3 C i) ( ) D B 5. Sendo os conjuntos numéricos N= naturais, Z= inteiros, Q= racionais, I= irracionais e R= reias. Assinale com V ou F: a) ( ) I Q b) ( ) N I c) ( ) R d) ( )N Z e) ( ) Q R f) ( ) Z Q g) ( )Z Q h) ( ) N Q i) ( ) Z R OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS União ( U ) Dados os conjuntos A = {0,10,20,30}, B = {0,20,40,50}, o conjunto união é formado pela junção de todos os elementos num único conjunto, sem repetir elementos. Assim A B = {0, 10, 20, 30, 40, 50} B A 0 40 10 30 20 50 Intersecção ( ) Dados os conjuntos A = {0,10,20,30}, B = {0,20,40,50}, o conjunto intersecção é formado pelos elementos comuns aos conjuntos dados. Assim A B = {0, 20} B A 10 0 40 30 20 50 Diferença (- ) Dados dois conjuntos A={0,10,20,30} e B={0,20,40,50}, o conjunto A - B é formado pelos elementos que pertencem a A mas não pertencem a B. Assim, A - B = {10,30}. A 10 30 0 40 20 50 B 6
Alguns exemplos resolvidos vamos pensar juntos : Cuidado com os sinais: > maior menor ou igual 2 x 4 a resposta são números maiores ou iguais a 2 e menores ou iguais a 4 2 < x < 4 a resposta são números maiores que 2 e menores que 4 I) Escreva por extensão os elementos abaixo: a) K= { x N / x > 0} = b) R= { x N / x 3}= c) T={x Z*/-1 x 2 } = d) W={x Z/ 0 x 2 }= II) Pinte a resposta correspondente nos diagramas abaixo: a) (A B) (A C) (C B) b) (A B) C A B A B C C Exercícios para fazer no caderno: 1. Determine os elementos dos conjuntos, represente por extensão: a) A = { x N / x 0} b) C= { x N /1< x< 4} c) D={ x Z* / -1 < x < 4} d) H={x Z/-5 x 8} e) W={x Z/-3 x 4 } f) I={x Z/-3 x 2 } g) T={x Z/-3 x 0 } h) T= { x N / x 0} 2. Dados os conjuntos A={0,1,2,3} B= {2,4,6} e C= {1,3,6,9}. Determine: a) (A B) C= b) A B C = c) (C B) A = d) A B= e) B C= f) C- (A = 7
3. Pinte a resposta: a) (A B) (C B) b) (B C) A A B A B C C c) (A B C) d) (A B C) A A B A B C C 4. O conjunto A tem 20 elementos, A B tem 12 elementos e A B tem 60 elementos. O número de elementos do conjunto B é: a) 28 b) 36 c) 40 d) 48 e) 52 III) Resolução de problemas: Antes de resolver monte sempre o diagrama isso vai lhe ajudar. 1) Numa pesquisa sobre a preferência em relação a três marcas de salgadinhos. O resultado foi o seguinte: 250 delas gostam do salgadinho A, 150 gostam do salgadinho B e 50 gostam somente do salgadinho C, e ainda 10 gostam do A e B, 15 do B e C, 5 do A e C e 2 dizem gostar do A, B e C. Vamos preencher os dados no diagrama: a) Quantos gostam apenas do salgadinho A? A B b) Quantos gostam do salgadinho A ou B e não gostam de C? c) Quantos gostam dos três? d) Quantos gostam do C? e) Quantas pessoas foram entrevistadas? C 8
2) Em uma prova discursiva de álgebra com apenas duas questões, 470 alunos acertaram somente uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 90 alunos acertaram as duas e 210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova? Nenhuma Q1 Q2 3)Numa comunidade constituída de 1800 pessoas há três programas de TV favoritos: Esporte (E), novela (N) e Humanismo (H). A tabela abaixo indica quantas pessoas assistem a esses programas. Programas E N H E e N E e H N e H E, N e H Nenhum Número de telespectadores 400 1220 1080 220 180 800 100 x Através desses dados verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três programas é: (A)200 E N nenhum (B)300 (C)600 (D)900 (E) 1000 H 4) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis e 11 jogam as três modalidades. O numero de pessoas que jogam xadrez é igual ao numero de pessoas que jogam tênis. V X a)quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei? b)quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei? c)quantos jogam vôlei e não jogam xadrez? T 5) Numa cidade de 20 000 habitantes, destes 80% possuem internet em suas residências, 70% possuem TV por assinatura em suas residências. Se todos foram entrevistados, qual o percentual de habitantes que possuem TV por assinatura e internet? 9
Exercícios para resolver: 1. Das pessoas pesquisadas todas assinavam pelo menos um dos dois jornais A ou B: 50 assinavam A; 80 o jornal B e 30 assinavam A e B. Qual o total de assinantes? 2. Numa escola 150 alunos estudavam Matemática, 20 estudavam Português e Matemática e os 30 restantes estudavam outra disciplina. Pergunta-se: Qual o total de alunos dessa escola? 3. Num clube de 1000 sócios exatamente 80% dos sócios praticam futebol, 60% vôlei. Se todos os sócios praticam pelo menos um dos dois esportes. a) Qual é o percentual de praticantes dos dois esportes? b) Qual o número de sócios que praticam futebol? 4. Os dados abaixo é o resultado de uma pesquisa feita em uma cidade sobre o consumo de três produtos: A=30 B=50 C=70 AeB=10 AeC=5 BeC=6 A,BeC=1 NENHUM= 10 000 Com base nos dados responda: a) quantas pessoas foram pesquisadas? b) quantas consomem apenas um dos produtos? c) quantos não consomem o produto C? d) quantas pessoas consomem só dois produtos? 5. Em um condomínio de 600 famílias, 315 possuem carro, 240 famílias possuem TV e 182 não possuem carro nem TV. Perguntas-se: a)quantas possuem carro ou TV? b)quantas possuem carro e TV? c)quantas possuem carro e não possuem TV? 6. Numa pesquisa sobre a preferência em relação a dois jornais, foram consultadas 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 delas lêem o jornal A, 180 o jornal B e 60, os jornais A e B. a) quantas pessoas lêem apenas o jornal A? b) quantas lêem o jornal B? c) quantas lêem jornais? d) quantas não lêem jornais? 7. Numa pesquisa verificou-se que das pessoas consultadas 110 liam o jornal A 150 liam o jornal B, 20 liam os dois (A e B) e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas forma consultadas? 8. Uma prova está constituída de dois problemas. 330 alunos acertaram somente um dos problemas, 260 acertaram o segundo 100 acertaram os dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos fizeram a prova? 9. Um levantamento socioeconômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente: 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel? 10
10. Dez mil aparelhos de TV foram examinados depois de um ano de uso e constatou-se que 4.000 deles apresentavam problemas de imagem, 2.800 tinham problemas de som e 3.500 não apresentavam nenhum dos tipos de problema citados. Então o número de aparelhos que apresentavam somente problemas de imagem é: (A) 4 000 (B) 3 700 (C) 3 500 (D) 2 800 (E) 2 500 11. Uma editora estuda a possibilidade de lançar novamente as publicações Helena, Senhora e A Moreninha. Para isto, efetuou uma pesquisa de mercado e concluiu que em cada 1000 pessoas consultadas: 600 leram A Moreninha; 400 leram Helena; 300 leram Senhora; 200 leram A Moreninha e Helena; 150 leram A Moreninha e Senhora; 100 leram Senhora e Helena; 20 leram as três obras; Calcule: O número de pessoas que leu apenas uma das obras. b) O número de pessoas que não leu nenhuma das três obras. c) O número de pessoas que leu duas ou mais obras. 12. Numa cidade, constatou-se que todas as pessoas que gostam de música clássica, não gostam de música sertaneja. Verificou se ainda, que 5% da população gostam de música clássica e de rock, que 10% gostam de rock e de música sertaneja, que 35% gostam de rock, que 40% gostam de música sertaneja e que 30% gostam de música clássica. Determine o percentual de habitantes da cidade que não curtem nenhum dos gêneros musicais citados. 13. Na comunidade universitária de 10 000 alunos são lidos dois jornais A e B. Verificou-se que exatamente 75% dos alunos leem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo-se que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine quantos alunos leem ambos os jornais. 14. Uma população consome 3 marcas de sabão em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado, colheramse os resultados tabelados abaixo: Marca A B C A e B B e C A e C A, B e C Nenhum Número de consumidores somente 100 200 160 25 40 25 5 120 Determine o número de pessoas consultadas. EXERCÍCIOS DE RETOMADA REVISÃO DE CONJUNTOS: 1) Em uma escola, 100 alunos praticam vôlei, 150 futebol, 20 os dois esportes e 110 alunos, nenhum esporte. O número total de alunos é: a) 230 b) 300 c) 340 d) 380 2) No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de candidatos que falam as línguas inglesa e francesa é: a) 778 b) 120 c) 658 d) 131 11
3) Uma pesquisa de mercado sobre a preferência de 200 consumidores por três produtos P1, P2 e P3 mostrou que, dos entrevistados, 20 consumiam os três produtos; 30 os produtos P1 e P2; 50 os produtos P2 e P3; 60 os produtos P1 e P3; 120 o produto P1; 75 o produto P2 Se todas as 200 pessoas entrevistadas deram preferência a pelo menos um dos produtos, pergunta-se: a) Quantas consumiam somente o produto P3? b) Quantas consumiam pelo menos dois dos produtos? c)quantas consumiam os produtos P1 e P2, e não P3? 4) Em uma prova de aptidão 80 candidatos acertaram pelo menos um entre dois testes. Sabe-se que 70 candidatos acertaram o primeiro teste e 50 acertaram o segundo teste. Qual o número de candidatos que acertaram os dois testes? 5) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. O produto B é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A? 6) Analisando-se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68 receberam a vacina Sabin, 50 receberam a vacina contra o sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas? a) 11 b) 18 c) 22 d) 23 e) 46 7) Dados os conjuntos A = {0;1}, B = {0;2;3}, C = {0;1;2;3} e D={0;1;2;3;4;5}, classifique em verdadeiro (V) ou falso (F) cada afirmação abaixo: a) ( ) A B b) ( ) 1 A c) ( ) A C d) ( ) B 0 e) ( ) B C f) ( ) {0;2} B g) ( ) B D h) ( ) C A i) ( ) 2 A 8) Sendo A = {3, 4, 5, 6, 7} e B = {5, 6, 7, 8, 9...}, determine: a) A B b) A B c) A B d) B A 9) Observe o diagrama ao lado e responda: Quais os elementos dos conjuntos abaixo: a) A = b) B = c) C = d) (A B) (B C) = e) (A C) B= 12
10) Use V ou F conforme o caso: a) 3,1 Q ( ) b) 2 Q ( ) c) 3 8 Z ( ) d) 25 N ( ) e) - 9 N ( ) f) 3 7 27 Z ( ) g) 3,555 = 3,555... ( ) h) 0,777... = 100 ( ) 2 12 i) 0,222... = I ( ) j) 0,85 R ( ) k) 7 I ( ) l) I ( ) 9 5 11) Pinte a resposta final conforme o solicitado: a) (A B) (B C) b) (B A) - C c) (A B) C d) C B A 12) Sendo A B = 20 elementos, B = 50 elementos e A B= 100, complete o diagrama e responda o que é solicitado abaixo: a) Quantos elementos tem o conjunto A? b) Quantos elementos tem somente no conjunto B? c) Quantos elementos tem no conjunto A que não estão no conjunto B?... Atenção... Alguns conjuntos podem ser representador por extensão outros não, pois sua resposta contempla uma grande quantidade de números que não conseguimos escrever. Veja os dois exemplos abaixo: A= { x Z / 2 x < 5 } = {2,3,4} B= { x R / 2 x < 5 } = há infinitos números reais maiores e iguais a 2 e menores que 5, logo não é possível escrevê-los todos entre chaves separados por vírgula. Então foi necessário criar uma maneira de representar estes conjuntos. Nasce a notação de intervalos. 13
Então como podemos representar o exemplo dado acima através desta nova notação? { x R / 2 x < 5 } Na reta real: Por notação de intervalos: [2,5[ ou [2,5) 2. Noção de Intervalos A notação de intervalos surgiu para que pesquisadores pudessem expressar uma grande quantidade de números que não podem ser escritas por extensão. Para tal se faz uso da reta real para representar estes números. Denominamos intervalo a qualquer subconjunto dos números reais (um intervalo infinitos elementos). Assim, dados dois números reais a e b, com a < b, temos: a) intervalo aberto Representação algébrica: x R a x b ou (a, b) ou ]a, b[ A bolinha vazia indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, exclusive. b) intervalo fechado Representação algébrica: x R a x b ou [a, b] A bolinha cheia indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos os números reais compreendidos entre a e b, inclusive. c) intervalo semi-aberto à direita Representação algébrica: x R a x b ou [a, b) ou [a, b[ d) intervalo semi-aberto à esquerda Representação algébrica: x R a x b ou (a, b] ou ]a, b] 14
Podemos ter ainda intervalos com as seguintes características: x R x a ou (a, + ) x R x a ou [a, + ) x R x a ou (-, a) x R x a ou (-, a] Exercícios para fazer no caderno: 1. Escreva através de notação de intervalos e por compreensão os intervalos representados na reta real (representação gráfica). a) 2 b) c) -3 8 1 d) e) f) -2-3 2. Represente na reta real: a) (-6,8] b) (-1,3) c) [2,6] d) (-,5] e) (-,3) f) { x R / x 0} g) {x R/1<x<4} h) { x R / -1 < x < 4} i) { x R / 2 x 0} j) { x R / x 5} k) { x R / x 4} 15
3. Analise as afirmações abaixo e marque a resposta correta: I ){ x N / 3 x 5} ] 3,5[ II ){ x R / 2 x 4} {3} III ){ x R / x 2} (2, ) IV ){ x Z / x 2} (,2] a) ( ) a I e II estão corretas b) ( )a II e III estão corretas c) ( )a III e IV estão corretas d) ( )todas são falsas exceto a II e) ( )todas são falsas exceto a III 4. Sejam as retas, analise e marque a resposta correta é: I) = (-2,5) {x II) = Z/x 2} III) -2 5-2 = {-1,0,1,2, 3,...} a) ( ) somente a I é falsa b) ( ) somente a II é falsa c) ( ) somente a III é falsa d) ( )nenhuma é falsa e) ( ) todas são falsas 1. Complete a tabela abaixo: EXERCÍCIOS DE RETOMADA DE INTERVALOS: 2. Escreva por compreensão e na forma de intervalos as representações gráficas abaixo: 16
3. Analise a reta e marque a sentença correta que melhor representa a resposta. a) ( ){x R / 10 x 14} b) ( ){x R / 10 x 14} c) ( ){x R / x 10} {x R/12 x 14} d) ( ){x R / x 10} {x R/12 x 14} e) ( ){x R / 12 x 14} {10} 3. Função Função é uma relação entre duas grandezas (A e B) que variam a partir de uma relação de dependência, onde cada elemento de (A) possui um único correspondente em (B), sendo x A e y B. Nesta relação de dependência as grandezas são denominadas: (x) independentes e (y) ou f(x) dependente e esta relação de dependência que torna as funções importantes para administradores, contadores, gestores ambientais etc. Ex; de situações do dia a dia: a) O que se paga por mês de água depende do consumo da mesma. Variáveis: consumo de água e valor a pagar Quem depende de quem: valor a pagar depende do consumo de água b) O que você gasta por mês depende do que você compra. Variáveis: compras e gasto total Quem depende de quem: o gasto de mês depende das compra realizadas Outra forma de representar a dependência entre as variáveis é através das sentenças matemáticas, observe: y = 2.x+1 variável dependente é y a independente é x (cada valor de y será igual a duas vezes o valor de x mais um) v = t-2 variável dependente é v e a variável independente é t (cada valor de v será igual a t menos dois) f(x) = x +4 variável dependente f(x) e a variável independente é x (cada valor de f(x) será igual a x mais quatro) 17
Representação gráfica de uma função Graficamente é importante lembrar que representamos no eixo x a variável independente e no eixo y a dependente. Relembrando: Função é uma relação entre duas grandezas (A e B) que variam a partir de uma relação de dependência, onde cada elemento de (A) ossui um único correspondente em (B), sendo x A e y B. Exemplos: Noção de função no gráfico descontextualizado: Gráficos descontínuos Sendo: A={1,2,3} e B={1,2,3}, onde: x A e y B Observações: 18
Gráficos contínuos Quais gráficos são funções, sendo A e B R, onde: x A e y B Dica: Traçar retas paralelas ao eixo y em cima do gráfico se alguma destas retas tiver passando pelo gráfico em mais de um ponto significa que este gráfico não representa uma função. Observações: 19
Exercícios: ( cuidado com o enunciados) 1. Sendo a f(x)= R em R, analise os gráficos abaixo e identifique os que são funções e os que não justifique de maneira breve: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 2. Os gráficos abaixo representam uma relação R de A={1,2,3,4} em B={5,6,7,8}, quais deles não são funções, justifique: a) b) 20
c) d) e) f) 3. Sendo os gráficos abaixo de A=[3,6] em Reais? Marque a alternativa correta: a) b) c) d) 21
e) f) ( )todos são funções ( )somente a e d são funções ( )somente c e e são funções ( )todas são funções exceto a e c ( )todas são funções exceto a, c e f 4. Dados os gráficos I, II e III analise e marque a resposta correta: ( ) somente a I é relação ( ) I e II são relações ( ) I e III são relações ( )II e III são relações 5. Assinale quais representam funções de R em R, onde x e y são reais. 22
Outras análises: domínio, imagem crescente, decrescente e constante Num gráfico podem ser analisadas muitas coisas como: domínio e imagem: Primeiro alguns conceito iniciais: O domínio de uma função é obtido pela projeção do gráfico sobre o eixo das abscissas (eixo x) Imagem é obtida pela projeção do gráfico sobre o eixo das ordenadas (eixo y). Imagem Domínio D(f) ={x R / 0 x 3} Ou D(f) = [ 0, 3 ] Im(f) ={y R / -2 y 4} Ou Im(f) = [ -2, 4 ] 23
y Imagem x Domínio D(f) ={x R / -2 < x <2} Ou D(f) = ( -2, 2) Im(f) ={y R / -3 y <3} Ou Im(f) = [ -3, 3)... Cuidados especiais... I) Quando a função não é contínua. D={-1,1,2} Im={-2,3} 24
II) Quando a função vai para o infinito D=R ou D= (-, +) Im=R ou Im=(-, +) III) Quando a imagem é somente um número D=R ou Im={1} D= (-, +) Analise do intervalo de x onde a função é: crescente, decrescente ou constante. Uma função é dita crescente se para x1 > x2 f(x1) > f(x2), isto é, se à medida que x aumentar o y também aumentar. Se x1 > x2 f(x1) < f(x2), a função é dita decrescente e constante quando para todo x tem-se o mesmo y, isto é uma única imagem. Função crescente Função decrescente Função é constante y y y x x x 25
Aplicando os conceitos num exemplo físico: O exemplo abaixo mostra um gráfico (f ) de velocidade em função do tempo, analise e responda: a) Qual o intervalo de tempo em que a velocidade diminuiu? (decrescente) b) Qual o intervalo de tempo em que a velocidade aumentou? (crescente) c) Qual o intervalo de tempo em que a velocidade não se alterou? (constante) d) Qual a velocidade que o carro está 1 hora e 30 minutos? Matematicamente pode ser perguntado: f(1,5) Isto significa: qual o valor de y para x=1,5 e) Há que horas o carro estava com uma velocidade de 130km/h? Matematicamente pode ser perguntado: f(x)=130 Isto significa qual o valor de x para y=130 26
Exemplo: Responda o que se pede abaixo: Qual o valor de x para y = -1 Intervalo de x: Cre: F( )= De D= Con Im= F(0) = Intervalo de x: Cre D = Im = De Con Exercícios para fazer: 1. Analise os gráficos abaixo. Determine domínio e imagem e a seguir indique para quais valores de x a função é crescente, decrescente ou constante e se houver alguma pergunta responda: D = Intervalo de x: Cre Im = De Con 27
D = Intervalo de x: Cre Im = De Con D = Im = Intervalo de x: Cre F(0)= De Con D= x para f(x) = -2 Im= x para f(x) = 5 Intervalo de x: Cre De Con 28
D= Im= Intervalo de x: x para f(x) = 6 Cre De F(-3)= Con D= Im = Intervalo de x: x para f(x)= 1 Cre De F(-4)= Con D= Im= Intervalo de x: x para f(x)= -3 Cre De F(0)= Con 29
j) D= Im= Intervalo de x: x para f(x)= -2 Cre De F(-3)= Con 2. Analise o gráfico e responda: a) O que está acontecendo com a velocidade do carro após 12 km? b) Qual a velocidade do carro em 10 km do percurso? c)qual a velocidade máxima que o carro atingiu? d) Qual o intervalo do percurso que a velocidade aumentou? 3. O gráfico mostra a trajetória de uma bala de canhão, no gráfico: altura (H) e tempo (t). Qual altura da bala em 4segundos? 30
4. O gráfico mostra variação da velocidade, em metros por segundo, de um objeto em função do tempo. v 40 30 20 10 2 6 t a) O que podemos dizer sobre a velocidade, durante o intervalo de tempo de 2 à 6s? b)qual a velocidade do carro em 2 segundos? c)o que pode-se dizer sobre a velocidade do carro após 6segundos? 5. O gráfico mostra a trajetória de uma bola de tênis jogada de certa altura. a) Em que instante de tempo a bola atinge o solo? b) Após atingir o solo qual a altura máxima da bola? 6. O gráfico abaixo mostra o deslocamento de duas bicicletas, sabe-se que ambos estão numa velocidade constante. a) Quem estava na frente nos 5 primeiros segundo de prova? b) Em que momento os dois estão lado a lado? 31
7. Dados os gráficos analise: I) o domínio e a imagem: II) o intervalo de x que a função é crescente, decrescente e constante: 8. Analise o gráfico e classifique em V ou F. ( ) f(0) 0 ( )f(3)=0 ( ) f(0).f(4)=28 ( )f(2)<0 ( )f(7/2) 0 ( ) f(0)=7 ( )Para 0 x 3, tem-se y>0 ( )Para 3<x<4, tem-se y<0 32
9) Analise o gráfico e responda: a) Domínio: Imagem: b) Intervalo de x que é: Crescente; Decescente: Constante: c) Encontre os valores correnpondentes a: f(-7)= f(-4)= f(4)= x para f(x)= -5 x para f(x)= 4 x para f(x)=0 10. O gráfico traz o preço em reais por quilograma de um determinado produto em função das quantidades vendidas. Analise e responda: a) Qual o custo máximo do quilograma do produto? b) Qual o preço por quilograma na compra de 20 kg? 33
11. Dado o gráfico, analise e marque a opção correta: a) O intervalo que x que a função é crescente:( ) [ -4, -1) ( ) {-4, -1} ( ) [-4,0) ( ) [-4,0] b) O intervalo de x que a função é decrescente:( ) [ 2, 3] ( ) {2, 3} ( ) [2,4] ( ) [2,3) c) O intervalo de x que a função é constante:( ) [ 0, 2] ( ) {2, 2} ( ) (2,4) ( ) [2,2] d) A imagem da função:( ) [-3,1) [2,3 ] ( ){-3,3}( ) [ -3, 3] ( ) [-3,1) [1,3] e) Domínio da função é: ( ) [ -4, 4] ( ) (-4,4) ( ) {-4,4} ( ) [-4,0) (0,4] 12. Qual os gráficos abaixo é uma função onde o D={-3,0,3}. 13. O gráfico abaixo mostra o desempenho de um ciclista num intervalo de tempo de 14 segundos. Durante o percurso quanto tempo o ciclista permaneceu com a velocidade constante? 34
6. Função linear ou função polinomial do primeiro grau e função constante Algumas considerações sobre função do primeiro grau: I. Toda a função do tipo: f(x)= a.x+b é linear sendo a 0 onde a é chamado coeficiente de inclinação ou angular e b chamado coeficiente linear. Não esqueça: Por exemplo: y= +1-5x a = -5 b=1 f(x)= 3x a =3 b=0 II. Calculando valores: Exemplo: Dada a função f(x)= -2x+4 e g(x)= x-1 Determine: a) O valor de f(3) b)qual o valor de x para f(x)= -4 c) Resolva: f(2) g (3) 35
III. Identificando uma função: Crescente Exemplos: y= -5x+1 a= -5 função decrescente f(x)= 3x a=3 função crescente Decrescente IV. Informações relevantes: O coeficiente angular (a) é responsável pela inclinação da reta em relação ao eixo x. O coeficiente linear (b) é responsável pelo deslocamento no eixo y. Raiz de uma função ou zero da função é o valor fica marcado em cima do eixo x, isto é o valor de x quando y=0. 36
V. Para traçar o gráfico Para traçar o gráfico de uma função do 1 grau, basta calcular a raiz da função e marcar no eixo y o valor de b. Exemplo: f(x)= - - 5 a)encontre a raiz da função e faça a representação gráfica utilizando os pontos de interseção. b)faça agora a representação gráfica utilizando os pontos de intercecção. c) A função que temos é: ( )crescente ou ( )decrescente: justifique; 37
Algumas considerações sobre função constante: I. Toda a função do tipo: f(x) = b é constante pois a = 0 II. Toda função constante é uma reta, paralela ao eixo x, pois sua imagem é sempre um mesmo valor. III. Não existe raiz função ou zero da função, pois a reta não cruza o eixo x. IV. Para traçar o gráfico de uma função constante basta conhecer o coeficiente linear e assim traçar uma reta paralela ao eixo x passando por este ponto. Exemplo: Represente graficamente a função f(x) = -5 38
Quando se desconhece o valor de a e b, mas se conhece as características é possível simular o gráfico. Simular o gráfico das funções de primeiro grau de acordo com as características dadas: Exemplos: a) a > 0 e b > 0 b > 0 ( onde a reta corta o eixo y - marca acima do eixo x, pois é maior que zero) a > 0 significa que reta deve ser crescente b) a < 0 e b = 0 RESUMO função linear e constante : a) Como sabemos se uma função é crescente, decrescente ou constante? b) Quem é o valor que sempre corta o eixo y no gráfico? c) Como se encontra a raiz ou zeros da função? d) Sempre haverá raiz da função? 39
Exercícios para fazer no caderno: 1. Dada as funções abaixo as classifique em crescente, decrescente ou constante, encontre sua raiz (se existir), e faça a representação gráfica, utilizando os pontos de intersecção dos eixos. a)f(x)= 2x+1 b)f(x)= -x+2 c) f(x)=4 d)f(x)= - 6 +4x e)f(x)= 4 x +2 f) f(x)=1-2 x g)f(x)= -7 h) f(x)= 2x 3x +1 i) (x)= - +2 3 4 2. Dada f: tal que f(x) = 5x 9. Verifique se os pares ordenados (0, 9) e (1, 4) pertencem ao gráfico da função e justifique tua resposta. Atenção: lembre par ordenado (x, y) 3. Represente graficamente a função linear e/ou constante a partir das características dadas: a) a<0 e b<0 b) a<0 e b>0 c) a=0 e b<0 d) a>0 e b<0 e) a=0 e b>0 f) a>0 e b=0 4. Dada a função f(x)= -3x-9, determine o que se pede: a) Calcule f(3)-f(-1) b) Calcule f(-1)+f(4) c) Calcule x para f(x)=5 d) Calcule x para f(x)=10 40
5. Dada a função f(x)=6+2x e g(x)= -x-1; determine o que se pede: a) Calcule g(x)=5 b) Calcule f(0)-f(3). g(-1) c) Calcule x para f(x)= -10 d) d) Calcule f(2) : g(1) + f(0) 6. Dada a função f(x)= 3x- 2, analise afirmações e marque a resposta incorreta. I) a função é crescente II) a raiz da função é um número positivo III) é interceptada no eixo y no menos dois IV) intercepta o x no mais três a) A I está errada b) A II está errada c) A III está errada d) A IV está errada e) A III e IV estão erradas 7. Dados os gráficos analise se a > 0, a < 0 ou a = 0 e b > 0, b < 0 ou b = 0 41
Encontrando leis de função do primeiro grau a partir de tabelas ou gráficos: Exemplo: Espaço para o desenvolvimento: Escolha dois valores e vamos analisar o que acontece com eles (cuidado!!!) Se preferir monte uma tabela para organizar os dados. Exercícios para fazer no caderno: y a x y x 2 2 y x 1 1 42
Fazer os exercícios no caderno: 1. Retire dois pares ordenados do gráfico e encontre a lei de formação: a) b) c) 43
d) e) 2) A partir das tabelas abaixo, retire dois pares ordenados e determine a lei da função; a) x y b) x y c) x y d) x y -2 1-1 -1/3-1 -2/3-1 -5/3-1 3/2 0 0 0 0 0-1 0 2 1 1/3 1 2/3 1-1/3 1 5/2 2 2/3 2 4/3 2 1/3 2 3 3 1 3 2 3 1 3 7/2 4 4/3 4 8/3 4 5/3 44
Traçando gráficos num mesmo plano: Represente num mesmo plano as funções y = x+1 (1) e y = -x+3 (2). Para tal faremos os passos abaixo: 1) Encontre o ponto de encontro das duas retas: Para isso devemos igualar as duas funções vejamos: y (1) = y (2) 2) Marcando no gráfico: Primeiro momento: vamos marcar o ponto onde as duas retas se encontram: que é: isto é por onde elas passam ao mesmo tempo. Segundo momento: vamos marcar no eixo y os valores de lineares de cada uma das funções Terceiro momento: traçar o gráfico a partir do ponto que está marcado no eixo y passando pelo ponto de encontro. 45
Exercícios para fazer no caderno: 1. Encontre o ponto de nivelamento e represente graficamente: Lembre-se ponto de nivelamento é o ponto de encontro das retas no gráfico a) y=2x+4 e y= -3x -14 b) y=3x+2 e y=-x+6 c) y=4x+2 e y= 2x+4 d) y=40-x e y=20+x e) y=2x+3 e y= -4x +15 f) y=3x+1 e y=-2x+15 Exercícios de revisão: 1) Sendo f(x) = -x+2; g(x)= 4-2x e h(x)= 2x-5. Determine: a) f(2) g(3). h(0)= d) x para h(x)= -3 b) g(0) - h(5) : f(7) = e) x para f(x)=5 c) f) x para g(x)= -1 2) A partir dos gráficos determine se: a > 0; a < 0 ; a = 0; b = 0; b > 0 e b < 0. 46
3) Dada as funções abaixo encontre a raiz se existir, classifique a função em crescente, decrescente ou constante e faça a representação gráfica utilizando os pontos de interseção de x e y. a)f(x)= 15 b) f(x)= c) f(x)= - 5 +2x d) f(x)= e)f(x)= f)f(x)= 4) Dada as funções abaixo encontre o ponto de nivelamento e trace o gráfico: a) f(x)= -2x+10 e f(x) 3x+8 b) f(x)= x+5 e f(x)= -x+10 c) f(x)= 3x+2 e f(x)= 6x+8 d) f(x)= -2x+3 e f(x)= -x+6 5) Encontre a lei das funções abaixo: 47
Aplicações de funções do primeiro grau ( parte um) I) O salário mensal (sem os descontos legais) de um operário é composto por $ 1500,00 fixo mais $15,00 por hora extra, sabe-se que o salário dele varia de acordo com as horas extras que faz. Responda: a) Quais as variáveis do problema e quem depende de quem? b) Represente matematicamente a situação através de uma equação que expresse essa dependência, isto é escreva matematicamente como é calculado o salário. c) Qual será seu salário, se o operário trabalha 5 horas extras no mês? d) Se o operário recebeu bruto no final do mês $ 1800,00, quantas horas extras ele fez no mês? e) Represente graficamente como fica o salário bruto do funcionário em função do número de horas extras trabalhados Para organizar o raciocínio montei uma tabela, vamos usar para o número de horas extras (0,2,4) Horas extra 0 Calculo do salário bruto 2 4 48
II) Márcia foi viajar e precisou contratar um plano de internet. Para fazer uso dessa rede, ela paga uma mensalidade fixa de R$ 30,00, que lhe dá direito a 1000 min mensais e mais 5 centavos de real (R$0,05) a cada minuto de uso excedente ao plano. O valor a ser pago por Márcia ao final do mês depende, então do tempo que ela gasta acessando a INTERNET. a) Quais as variáveis do problema: b) Faça uma lei que explique a situação acima: c) Complete a tabela representando a situação acima, registrando o tempo de uso e o valor a pagar: Tempo de acesso 500 1000 1500 2000 Valor pago d) Se Márcia pagou R$100, quanto tempo excedente ficou na internet. e) Agora se a pergunta fosse, quanto tempo Márcia ficou conectada ao pagar 100 reais no mês? Justifique sua resposta: 49
f) Se Márcia pagou R$ 90,00 quanto tempo ela ficou conectada g) Represente graficamente essa situação incluindo os minutos de direito. Vamos usar os dados calculado na tabela do item c. III) Cada vendedor de certa loja de ferramentas recebe um salário mensal que consiste de duas partes: salário fixo de R$ 1400,00 e 3% de comissão, calculada sobre o valor total dos itens que ele vende no mês. a) Encontre uma lei que represente o salário mensal (S) do vendedor em função do valor total (v) dos itens vendidos. b) Quanto ganhou de comissão um funcionário que vendeu R$ 5000,00 no mês? Qual foi seu salário mensal? c) Um funcionário recebeu um salário mensal de R$ 1 850,00. Quantos reais em ferramentas ele vendeu? 50
Exercícios (FAZER NO CADERNO) 1) Um funcionário recebeu um salário mensal de R$ 1 850,00. Quantos reais em ferramentas ele vendeu? 2) O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma parte variável de 12% sobre o valor de suas vendas no mês. Caso ele consiga vender R$ 450 000,00, calcule o valor de seu salário. 3) Em certa cidade, ao entrar num táxi, você já deve o valor da bandeirada (1): R$ 15,50. Partindo daí, você pagará 50 centavos por quilômetro rodado. a) Complete a tabela abaixo, baseando-se no enunciado: x (Km) 1 2,5 3 4,5 R (reais) b) Represente a situação acima através de uma lei: c) Quanto percorreu um passageiro que pagou R$ 20,50 d) Quanto pagou um passageiro que andou 20 quilômetros 4) Cada vendedor de certa loja de ferramentas recebe um salário mensal que consiste de duas partes: salário fixo de R$ 1500,00 e 5% de comissão, calculada sobre o valor total dos itens que ele vende no mês. a) Encontre uma lei que represente o salário mensal (S) do vendedor em função do valor total (v) dos itens vendidos. b) Quanto ganhou de comissão um funcionário que vendeu R$ 1000,00 no mês? c) Qual foi seu salário mensal, de acordo com o que você fez na letra b? d) Um funcionário recebeu um salário mensal de R$ 2000,00. Quantos reais em ferramentas ele vendeu? 5) Um estacionamento cobra R$ 9,00 até duas horas no local e cada 1 hora decorrida após cobra R$ 0,50 de cada carro que permanece no local. a) Complete abaixo, a tabela que representa esse fato. Tempo em horas (t) 1 2 3 4 5 Valor em reais (p) b) Determine a lei que expressa o fato do preço ser dado em função do número de horas que um carro fica nesse estacionamento. c) Pedro deixou seu carro durante todo o período em que o estacionamento fica aberto, ou seja, das 8h às 18h. Quanto ele pagou? d) Faça um gráfico desta situação (conforme dados da tabela): 51
6) A quantia que uma pessoa desembolsa para abastecer seu carro depende quantos litros de combustível são colocados. O preço por litro é 4,45. a) Represente através de uma sentença matemática como se calcula o preço a pagar em função da quantidade de litros b) Quantos litros foram colocados no tanque se a pessoa que pagou R$ 89? c) Quanto pagou a pessoa que encheu o tanque, sabe-se que a capacidade do mesmo é de 40 litros? d) Construa o gráfico relacionando o preço a pagar e a quantidade de comprada de acordo com a tabela: Q(L) 0 5 10 15 R$ 7) Cláudia trabalha com vendas, seu salário bruto mensal é composto por duas partes: fixo de R$ 2000 e 7% em comissão a partir do montante em reais que vende na loja. Sabe-se então que o salário bruto de Cláudia depende do quanto à mesma vende num mês. a) Descreva uma equação que representa como se calcula o salário da vendedora. b) Qual o salário bruto se a mesma vendeu neste mês R$ 20 000 reais? c) Qual a comissão dela se seu salário bruto foi de R$ 5000? d) Quantos reais a vendedora vendeu se seu salário bruto foi de R$ 5500reais? 8) O preço de venda de um livro é de R$ 25,00 a unidade. Sabendo que o custo de cada livro corresponde a um valor fixo de R$ 4,00 mais R$ 6,00 por unidade, construa uma função capaz de determinar o lucro líquido (valor descontado das despesas) na venda de x livros, e o lucro obtido na venda de 500 livros. Sabe-se que o lucro líquido é preço de venda menos preço de custo. a) Escreva a sentença matemática que calcula o lucro líquido em função da quantidade de livros vendidos. b) Qual o lucro líquido obtido na venda de 500 livros. c) Se o lucro líquido foi de 1896 reais, quantas unidades foram vendidas. 52
Exemplos de aplicação (parte dois) I) Uma operadora de celular oferece dois planos, sendo que ambas as ligações para a mesma operada são gratuitas. A= vinte reais fixo mais três centavos de real por minuto de uso para outros celulares e fixos. B= dez reais fixo mais quatro centavos de real por minuto de uso para outros celulares e fixo. Sabe-se que o valor da conta depende do tempo que usuário fica ao telefone, assim responda: a) Represente os dois planos matematicamente. Operadora A Operadora B b) Qual o ponto de nivelamento? c) Represente os dois gráficos num mesmo plano e analise os resultados. 53
II) A pontuação média dos estudantes aprovados em uma faculdade de ciências humanas no exame de matemática tem decaído a uma taxa constante nos últimos anos. Em 2000, a pontuação média foi de 575, enquanto em 2005 foi de 545. Obs: usar os anos 2000 como ano zero, 2001 como ano 1, 2002 como ano 2 e assim por diante a) Expresse a pontuação média em função do tempo e trace seu gráfico. b) Se a tendência continuou, qual a pontuação em 2001? c) Quando a pontuação média atingirá 527? 54
Exercícios (FAZER NO CADERNO) 1) Uma locadora (A) de automóveis aluga um carro popular ao preço de 30 reais a diária, mais 4 reais por quilometro rodado. Outra locadora (B) aluga o mesmo modelo de carro ao preço 80 a diária, mais 2 reais por quilometro rodado. a) Escreva as funções que descrevem, para cada locadora, o valor a ser pago de aluguel em função do quilômetro rodado. b) Se o percurso percorrido por uma pessoa é 200 quilômetros rodados. Quanto esta pessoa irá pagar na locadora A e B? c) Encontre o ponto de encontro entre os dois planos d) Represente num mesmo gráfico os dois planos, mostrando o ponto de nivelamento. e) A partir de quantos quilômetros é preferível optar pela operadora B. 2) Na tabela temos a evolução do preço de uma conta de telefone em função do tempo de ligação. Determine o preço por minuto? E escreva a expressão que relaciona valor em função dos minutos. a) Tempo (min) 200 220 240 280 Valor (V) 50 55 60 70 b) c) Tempo (min) 100 200 300 400 Valor (V) 20 25 30 35 Tempo (min) 200 250 300 350 Valor (V) 60 75 90 105 3) Procurei duas empresas para obter um orçamento para realizar uma festa. A primeira cobra uma taxa de 300 reais que corresponde o aluguel e equipamento de som, mais 20 reais por pessoa. Já a outra cobra pelo equipamento de som e aluguel 500 reais, mais 10 reais por pessoa. a) Escreva as funções que descrevem o valor cobrado para realizar a festa em função do número de convidados. b) Sabendo que pretendo convidar 100 pessoas, qual a empresa que devo contratar? c) Encontre o ponto de nivelamento e represente num mesmo gráfico os dois planos, mostrando o ponto de nivelamento. d) Analise o gráfico e responda até quantos convidados é preferível continuar com a primeira empresa? 4) Procurei duas firmas para obter um emprego como vendedor de livros. A firma A promete um salário fixo mensal de $400,00, mais a comissão de $8,00 para cada coleção vendida. A firma B promete um salário fixo mensal de $600,00, mais a comissão de $3,00 para cada coleção de livros vendida. e) Escreva as funções que descrevem, para cada firma, o salário mensal (S) em função das coleções vendidas (x) f) Encontre o ponto de encontro: 55
g) Represente num mesmo plano os dois gráficos, mostrando o ponto de nivelamento. h) A partir do gráfico responda: Qual das duas firmas paga o melhor salário se forem vendidas 50 coleções de livros? 5) Prestadora de serviço tem duas propostas. Na proposta A cobra R$ 200,00 de fixo pelo serviço e R$ 50,00 por serviço em certo período. Na proposta B cobra R$ 320,00 de fixo pelo serviço e R$ 40,00 por serviço no mesmo período. O gasto de cada plano é dado em função do número de solicitações. Determine: a) A equação de cada plano b) Quanto se paga em cada plano se forem solicitados seis serviços c) Encontre o ponto de encontro entre os dois planos d) Represente num mesmo gráfico os dois planos, mostrando o ponto de nivelamento. 6) Um operário ganha um salário variável de acordo com as horas extras que trabalha no mês. No gráfico abaixo está descrito como fica seu salário (bruto) em função das horas extras que trabalha, sabe-se ainda, que o salário inicial é de 800 reais. A partir dos dados do gráfico abaixo descubra quanto ele ganha por uma hora extra trabalhada. 7) Os quadros abaixo representam o valor final para produzir a mesma camiseta em duas confecções diferentes. Este valor varia de acordo com a quantidade produzida. A Quantidade 0 100 1000 Custo total 10 210 2010 B Quantidade 0 100 1000 Custo total 22 102 822 a) Encontre como se calcula o preço em relação a quantidade em cada uma das confecções. b) Encontre o ponto de equilíbrio (nivelamento) entre as duas confecções c) Represente graficamente a situação num mesmo gráfico, destacando o ponto de nivelamento. d) Após gráfico pronto analise e responda a partir de quantas camisetas o valor passa a ser menor na confecção B? 56
7.Função Quadrática Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax 2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0. Vejamos alguns exemplos de funções quadráticas: 1. f(x) = 3x 2-4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 (completa) 2. f(x) = x 2-1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 (incompleta) 3. f(x) = - x 2 + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0 (incompleta) Gráfico O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax 2 + bx + c, com a observe o desenho e seus termos: 0, é uma curva chamada parábola, O que está localizado no eixo x é chamado raízes ou zeros da função (x e x ), valores de x para y=0 O valor c (termo independente), valor que intercepta o eixo y, valor de y para x=0 V (Vértice) está localizado no eixo de simetria da parábola, ou pode perceber que o vértice está localizado no ponto onde a parábola muda de sentido. 57
Observações relevantes: I) Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax 2 + bx + c, notaremos sempre que: Atenção: quando a>0 dizemos que temos ponto de mínimo e quando a<0 dizemos que temos ponto de máximo. A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o : 58
Analisando o b: Analisando c Analisando gráficos de função quadrática, de um modo geral: Podemos perceber que o a é responsável pela abertura da parábola Quanto menor o valor de a maior é a abertura da parábola O valor de c é o valor que intercepta o eixo y Quando b muda observa-se que o gráfico se desloca no eixo x 59
Exemplos: 1) Vejamos: Observe o gráfico e responda as questões abaixo: a) a 0 complete com o sinal de: > ou < Justifique: b) b 0 complete com o sinal de >,< ou = Justifique: c) 0 complete com o sinal de >,< ou = Justifique: d) quem é o valor de c? e onde ele está marcado no gráfico? e) quem são as raízes da função? e onde elas estão marcadas no gráfico? e como se encontra as raízes da função? f) quem é o vértice? ele está localizado no ponto de máximo ou de mínimo? 60
Fazendo o esboço gráfico de uma função quadrática a partir da análise de a, b,c e : Exemplo 2 Faça a representação gráfica a partir das características: a>0, >0 b>0 e c<0 1) Vamos relembrar: c<0 significa que toca o eixo y num ponto negativo, isto é abaixo de x >0 significa que o eixo x é tocado em dois pontos diferentes b>0 significa que corta o eixo no ramo que está crescendo a>0 significa que a concavidade é voltada para cima Dica: 1º Comece marcando o c, pois este ponto é fixo no eixo y 2º Pense onde a partir das características deve cortar no eixo x 3º Faça o desenho da parábola ou para baixo ou para cima a partir do que você precisa. Exemplo 3: Dado o gráfico analise os sinais: a 0 b 0 c 0 0 Exemplo 4: Calculando: Dada a função f(x)= -x² -2.x +1, determine: f(3)- f(2) 61
Exercícios para fazer, quando não tiver espaço faça no caderno: 1. Analise os gráficos, diga se tem ponto de máximo ou de mínimo, qual o vértice, as raízes se existirem o valor de c e o que você pode afirmar sobre os sinais de a e b. a) Máximo ( ) Mínimo ( ) Vértice x= y= O valor de c é: Raízes são (se existir): a>0 ( ) a<0 ( ) b>0 ( ) b,<0 ( ) b=0 ( ) b) Máximo ( ) Mínimo ( ) Vértice x= y= O valor de c é: Raízes são (se existir): a>0 ( ) a<0 ( ) b>0 ( ) b,<0 ( ) b=0 ( ) 62
2. Sendo: y= 2x -1 - x², marque a afirmação correta: ( )a= -1 b= -1 c= 2, tem ponto de máximo e corta o y no vértice da parábola. ( )a= 2 b= -1 c= -1, tem ponto de mínimo e corta o y no ramo decrescente da parábola. ( )a= 2 b= -1 c= -1,tem ponto de mínimo e corta o y no ramo crescente da parábola. ( )a= -1 b= 2 c= -1, tem ponto de máximo e corta o y no ramo decrescente da parábola. ( ) a= -1 b= 2 c= -1, tem ponto de máximo e corta o y no ramo crescente da parábola. 3. Dada a função y= - x²-1 marque a alternativa incorreta: ( ) corta o eixo y no ramo decrescente ( ) a concavidade é voltada para baixo. ( )intercepta o eixo y no -1 ( )possui ponto de máximo ( )n.d.a 4. Dada a função y= - x²-x+8, calcule: Repostas: 4 ; 12 ; 5,5 e 64 a) f(-1) : f(2)= b) f(0) - (-4)= c) f(-2)+f(1) : f(4)= d) f(-1). f(0)= 5. Faça o esboço gráfico de uma função quadrática para as situações abaixo: a) a < 0, > 0,b < 0 e c > 0 b) a > 0 e < 0, b = 0 e c > 0 c)a < 0, b < 0, > 0 e c < 0 d)a > 0, = 0, b = 0 e c = 0 e) a < 0, > 0,b > 0 e c = 0 f)b > 0, tem vértice (-2,-1) e c > 0 g) tem vértice (0,-3),b=0 e c<0 h)tem ponto de máximo e vértice (3,0) 63
6. A partir dos gráficos identifique para cada um dos casos se: a>0 ou a<0, >0, <0 =0 e c<0, c>0 ou c=0, b>0, b<0 ou b=0 II) Zero ou raízes da função Equação do 2º Grau Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax 2 + bx + c, onde a 0, os números reais x tais que f(x) = 0. Então as raízes da função f(x) = ax 2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau, para tal substituir f(x) por zero, e resolver utilizando a fórmula de Bháskara: Temos: b x 2a, onde 2 2 - b b b 4. a. c ou x 2a 4. a. c 64
Exemplo: Isto é, graficamente os valores que contam o eixo x são 4 e 5 III) Coordenadas do vértice da parábola Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo V. Em qualquer caso, as coordenadas de vértice são: x b e y v v 2. a 4.. a 65
Considerando o mesmo exemplo: y= x² -9x+20 x v b 2. a - (-9) 2.1 9 2 4,5 Ou x do vértice é ponto médio entre as raízes, sendo assim 4+5= 9/2=4,5 1) Calculando y v 4. a 1 4.1 1 0,25 4 Ou como x o vértice é 4,5, pode-se substituir na função e encontrar o y do vértice. y= x² -9x+20 (4,5)²-9.(4,5)+20 = 20,25-40,5 +20= 40,25-40,5 = -0,25 logo o vértice é (4,5; -0,25) Traçando o gráfico: 1) Vamos marcar o vértice 2) Marque no x o valor das raízes (resultados da bháskara ) 3) No y marque o valor de c 4) Trace o gráfico a partir do vértice, passando pelas raízes. 66
Outros exemplos: (Faça no caderno) a) f(x)= x²-1 b) f(x)=-x²+2x-3 c) f(x)=x²+4x+4 Exercícios para fazer no caderno: 1.Das funções quadráticas encontre: As raízes se existirem e o vértice faça o esboço gráfico. a )f(x)= x²-6x+8 b) y= x²-5x+6 c) f(x)= -x²-4x+12 d) y= -x²+6x e) f(x)= x²-6x+9 f) y= -x²+6x-9 g) f(x)= -x²-4x-4 h) f(x)= x²+4 i) y= -x²+3x-4 Repostas para conferir: Raizes Vértice (x,y) a) 2 e 4 (3,-1) b) 2 e 3 (2,5 ;-,025) c) -6 e 2 (-2,16) d) 0 e 6 (3,9) e) 3 e 3 (3,0) f) 3 e 3 (3,0) g) -2 e -2 (-2,0) h) não existe (0,4) i) não existe (1,5;-1,75) 67
Exercícios extras: 68
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Aplicações de função quadrática Exemplos: 1) O custo de um edifício de 62 apartamentos foi de 600 mil dólares. O construtor espera que a receita R, em milhares de dólares, apurada pelas vendas dos apartamentos cresça de acordo com a função R= -x²+62x, em que x é o número de apartamentos vendidos. a) Quais as receitas se foram vendidos 15 apartamentos? x= quantidade de apartamentos logo x=15 substituindo na função temos: R= -x²+62.x R= - (15)² + 62.15= -225+930=705 mil dólares b) Qual o lucro na venda destes 15 apartamentos? Receita= 705 mil dólares e o Custo é 600 mil dólares Lucro é o que sobra logo: 105 mil dólares 2) O lucro L é obtido na venda de um determinado produto é dado por L(x) = x² -14x+40 onde x representa a quantidade de produtos vendidos. Construa o gráfico, analise e responda: a) Em que dias o lucro é zero? b) Em que dias o lucro é mínimo? c) Em que período o lucro é negativo? 3) Suponha que o consumo de um carro, para percorrer 100 km com velocidade de x km/h, seja dado por C(x)= 0,06x²-6x+50. Para qual velocidade esse consumo é mínimo? Resp: 50 4) Os cangurus vivem na Austrália, sabe-se que eles conseguem saltar muito mais do que nós humanos. Considere que um canguru possa ser descrito na função: y= salto, em metros. a) Qual a altura máxima que o canguru obteve?, em que x é a distância e y a altura do b) Determine a distância alcançada pelo canguru nesse salto. 70
Exercícios para fazer no caderno: 1. Um comerciante de roupas compra ternos e camisetas para revenda e tem um orçamento limitado para compra. A quantidade de ternos é representada por x, a de camisetas por y, e a equação que dá a restrição orçamentária é 10 x² + 10y = 1000. a) Se forem comprados 8 ternos, quantas camisetas é possível comprar? b) Se forem compradas 19 camisetas, quantos ternos é possível comprar? c) Se não forem comprados ternos, qual a quantidade de camisetas compradas? d) Se forem comprados 7 ternos e 40 camisetas, tal compra ultrapassará o orçamento? 2. Um avião lança medicamentos para desabrigados vítimas de enchentes. A distância d do avião em relação ao solo é dada pela expressão d = 40t 2 + 160, onde t representa o tempo, em segundos, após o lançamento. Determine quantos segundos os medicamentos levam para atingir o solo. 3. Uma bola colocada no chão é chutada para o alto, percorrendo uma trajetória descrita por y = 2x 2 + 12x, em que y é a altura, dada em metros. A altura máxima atingida pela bola é de? 4. Uma bola de canhão é atirada por um tanque de guerra como mostra o gráfico onde o lançamento está no ponto (0,0) e descreve uma trajetória em forma de parábola de equação y= -3x²+60x sendo x e y em metros. a)qual a altura máxima atingida pela bala? b)qual o alcance do disparo? 5. Uma bola é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, tem uma altura h(metros) expressa pela função do tempo t (em segundos), decorrido após o lançamento, pela lei: h(t)= 40.t-5t². A altura que a bola se encontra 1 segundo após o lançamento é? 6. Sabe-se que o custo de produção de um produto depende de muitos fatores entre eles a quantidade que irá ser produzida. Considere uma função custo dada por C(x)= x²+10x-1000 onde x é expressa a quantidade do produto. Qual o custo para produzir 100 unidades? 7. Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h= -t² +4t +6. Determine: a) o instante em que a bola atinge a sua altura máxima; b) a altura máxima atingida peal bola; c) quantos segundos depois do lançamento ela toca o solo 8. O movimento de um projétil, lançado para cima verticalmente, é descrito pela equação y = 40x² + 200x. Onde y é a altura, em metros, atingida pelo projétil x segundos após o lançamento. Use os conhecimentos adquiridos até aqui para encontrar: a) A altura máxima atingida pelo projétil b) Em que instante de tempo ele atingir a altura máxima 71
9. Sabendo que este custo de é calculado por: C(x)= x²+50x-100 onde x é expressa a quantidade do produto. Qual o custo para produzir: a) 50 unidades de um produto b) 10 unidades do produto 10. Suponha que a receita de uma fábrica é dada pela função R(x)= -x²+300.x. e x é quantidade vendida. Responda: a) Qual a receita máxima. b) Se forem vendidas 10 unidades a receita é: Respostas: 1 36, 9, 100 e não 2 2 3 18 4 300 e 20 5 35 6 10 000 7 2 e 10 8 250 e 2,5 9 4 900 e 400 10 22 500 e 2 900 11) O gráfico abaixo descreve a receita obtida a partir do preço de venda do produto: Analise e responda: a) Qual o preço de venda do produto para que a receita obtida seja máxima? b) O que acontece com a receita quando o preço do produto está entre 5 e 10 reais? c) Qual o percentual de aumento em relação a receita quando o preço do produto vai de 3,50 para 5,00? 12) (UFS Car SP) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = 2t² + 8t (t 0), onde t é o tempo medido em segundo e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute: a) o instante em que a bola retornará ao solo. b) a altura máxima atingida pela bola. 72
13) (VUNESP-SP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em função o tempo (em segundos) pela expressão h(t) = 3t 3t², onde h é a altura atingida em metros. a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo? 14) O saldo de uma conta bancária é dado por S = t 2 11t + 24, onde S é o saldo em reais e t é o tempo em dias. Determine: a) em que dias o saldo é zero; b) em que dia o saldo é mínimo; c) o saldo mínimo, em reais. 15) O lucro de uma empresa que vende peças raras é dado pela função: L(x) = x 2 10x + 16, onde x representa a quantidade de peças vendidas em um mês. Através dos relatórios financeiros desta empresa, observa-se que dependendo da quantidade de peças vendidas a empresa tem prejuízo devido ao que foi gasto na compra de material para a manufatura das peças. Sendo assim, o intervalo que compreende a quantidade de peças vendida pela empresa quando esta tem prejuízo é: (A) (0, 2) (B) (2, 8) (C) (0, 10) (D) (0, 16) 16) Uma doença se espalha de acordo com a função: P(x)=-2t 2 +100t, onde P representa o número de pessoas infectadas e t é expresso em dias e t=0 é o dia anterior a primeira infecção. A respeito disso responda: a) Qual o dia em que mais pessoas estão infectadas pela doença? b) Quantas pessoas estão infectadas no 20º dia? c) Em qual dia não há mais pessoas doentes? 17) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por. Nessas condições, calcule: a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo; b) o valor mínimo de custo. 18) (PUC Campinas SP) Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h= -25t² +625. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo? (A) 2,5 (B) 5 (C) 7 (D) 10 (E)25 19) (UFRGS- RS) Uma bola é colocado no chão e chutada para o alto, percorrendo uma trajetória descrita por y= -2x²+12x, em que y é a altura, dada em metros. A altura máxima atingida pela bola é de: (A) 36 (B) 18 (C) 12 (D) 6 (E) 3 20) (Estácio RJ) Devido ao déficit de moedas circulantes no marcado, um comerciante vende cada uma de suas mercadorias por um número inteiro de reais. O lucro L obtido com a venda de um determinado produto é dado por L= - (p - 5). (p + 2). Qual o lucro máximo, em reais, que o comerciante pode obter na venda desse produto? (A) 10 (B) 12 (C) 10,50 (D) 12,25 (E) 11,40 73
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