Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares

Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares 1 Parábolas 1.1 Conceito e Elementos Definição 1.1 Sejam l uma reta e F um ponto não pertencente a l. Chamamos parábola de diretriz l e foco F o conjunto dos pontos P tais que a distância de P a F é igual à distância de P a l, isto é, D P F = D P l. ( Vide figura abaixo ) eixo diretriz F p V p Na figura acima temos os elementos: 1. eixo = reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz 2. vértice ( V ) = ponto do eixo que pertence à parábola, isto é, ponto médio entre o segmento determinado pelo foco e o ponto de interseção entre a diretriz e o eixo 3. parâmetro (p) = distância entre o vértice e o foco. 1 1 Alguns autores denominam parâmetro a distância entre o foco e a diretriz. 1

Exemplo 1.2 Determine a equação da parábola de foco F(2,1) e diretriz d dada pela equação x y = 0. Determine, ainda, a equação do eixo e as coordenadas do vértice. Solução 1.3 Considerando P (x, y) um ponto da parábola, devemos ter, D P d = D P F. Logo, vem x y = (x 1) 2 + (y 1) 2 (x y)2 = (x 1) 2 + (y 1) 2 x2 8y+16y 2 = 1 2 +( ) 2 17 17 x 2 x + + y 2 2y + 1 x 2 8xy + 16y 2 = 17(x 2 x + + y 2 2y + 1) 16x 2 68x + y 2 3y 8xy + 85 = 0. Sabemos que o eixo é perpendicular à diretriz e, sendo a equação da diretriz dada por y = 1 x, teremos seu coeficiente angular dado por m d = 1 e, portanto, o coeficiente angular m e do eixo deve satisfazer m d.m e = 1 1.m e = 1 m e =. Logo, o eixo é a reta de coeficiente angular que passa pelo ponto F (2, 1) e, portanto, sua equação é y 1 = (x 2) x + y 9 = 0. O vértice é o ponto de interseção da diretriz e o eixo, logo devemos resolver o sistema { x + y 9 = 0 x y = 0 { x + y 9 = 0 x + 16y = 0 o que nos leva à solução y = 9/17 e x = 36/17 e, daí, o vértice é o ponto V ( 36 17, 9 17 ). Exemplo 1. Determine a equação da parábola de foco F(3,2) e diretriz x = 0. Determine, ainda, a equação do eixo e as coordenadas do vértice. Solução 1.5 De maneira análoga ao exemplo anterior, sendo P (x, y) um ponto da parábola, devemos ter x 12 + 0 2 = (x 3) 2 + (y 2) 2 e, daí, teremos (x ) 2 = (x 3) 2 +(y 1) 2 x 2 8x+16 = x 2 6x +9+y 2 y + y 2 y +2x 3 = 0. Como a diretriz é uma reta vertical, o eixo será a reta horizontal que passa pelo ponto F (3, 2), isto é, y = 2. É simples ver que o vértice é o ponto V (7/2, 2). 2

1.2 Caracterização das Parábolas de diretriz horizontal ou vertical Neste curso, estaremos particulamente interessados em estudar parábolas cuja diretriz é paralela ao eixo x ou ao eixo y, respectivamente, diretriz horizontal e diretriz vertical pois, nestes casos, a equação da parábola não terá o termmo em xy. Os teoremas abaixo, que não nos preocuparemos em demonstrar, nos serão muito úteis. Teorema 1.6 Uma parábola possui diretriz paralela ao eixo x ( diretriz horizontal ) se, e somente se, sua equação pode ser escrita na forma y = ax 2 + bx + c onde a, b e c são números reais com a 0. Além disso, teremos: a > 0 concavidade para cima o foco está acima da diretriz a < 0 concavidade para baixo o foco está abaixo da diretriz distância entre foco e vértice = p = 1 a As coordenadas do vértice serão dadas por x v = b, y 2a v = (b2 ac) a De maneira análoga teremos = a Teorema 1.7 Uma parábola possui diretriz paralela ao eixo y ( diretriz vertical ), se e somente se, sua equação pode ser escrita na forma x = ay 2 + by + c onde a, b e c são números reais com a 0. Além disso, teremos: a > 0 concavidade para direita o foco está à direita da diretriz a < 0 concavidade para esquerda o foco está à esquerda da diretriz distância entre foco e vértice = p = 1 a As coordenadas do vértice serão dadas por x v = (b2 ac) a Exemplo 1.8 Consideremos a parábola de equação Determine: (a) as coordenadas do vértice (b) as coordenadas do foco (c) a equação da diretriz (d) a equação do eixo x 2 8x 8y + 0 = 0. =, y a v = b 2a 3

Solução 1.9 (a) Isolando y, temos y = 1 x x2 x + 5 e, portanto, a = 1/8, b = 1 e c = 5, o que nos leva a = b 2 ac = ( 1) 2 (1/8)5 = 3/2. Logo, pelo teorema acima, temos isto é, o vértice é o ponto V (, 3). x v = b 2a = ( 1) 2(1/8) = e y v = a = ( 3/2) (1/8) (b) Temos, ainda, o parâmetro dado por p = 1 a = 1 (1/8) = 2 e, como, a > 0 teremos a concavidade da parábola voltada para cima. Portanto, o foco estará acima do vértice, isto é, y F = y v + p = 3 + 2 = 5. Claramente a abscissa do vérice e do foco são as mesmas e, portanto, temos F (, 5). (c) Sendo o parãmetro p = 2, a diretriz deve estar duas unidades abaixo do vèrtice e, daí, sua equação será y = 1 ou y 1 = 0. = 3, (d) O eixo será a reta vertical que passa pelo foco, isto é, x = ou x = 0. Observe a ilustração abaixo. y eixo 5 F 3 V 1 diretriz x Exemplo 1.10 Consideremos a parábola de equação x = 1 8 y2 y + 5. Determine: (a) as coordenadas do vértice (b) as coordenadas do foco (c) a equação da diretriz (d) a equação do eixo

Solução 1.11 (a) Já temos x isolado e, portanto, a = 1/8, b = 1 e c = 5, o que nos leva a Logo, pelo teorema acima, temos, = b 2 ac = ( 1) 2 (1/8)5 = 3/2. y v = b 2a = ( 1) 2(1/8) = e x v = a = ( 3/2) (1/8) isto é, o vértice é o ponto V (3, ). (Compare com o exemplo acima!) (b) Temos, ainda, o parâmetro dado por p = 1 a = 1 (1/8) = 2 e, como, a > 0 teremos a concavidade da parábola está voltada para a direita. Portanto, o foco estará à direita do vértice, isto é, x F = x v + p = 3 + 2 = 5. Claramente, a ordenada do vérice e do foco são as mesmas e, portanto, temos F (5, ). (c) Sendo o parãmetro p = 2 a diretriz deve estar duas unidades à esquerda do vèrice e, daí, sua equação será x = 1 ou x 1 = 0. = 3, (d) O eixo será a reta horizontal que passa pelo foco, isto é, y = ou y = 0. Observe a figura abaixo. y diretriz V F eixo 3 5 x Exemplo 1.12 (Refazendo o exemplo 1.) Determine a equação da parábola de foco F(3,2) e diretriz x = 0. Determine, ainda, a equação do eixo e as coordenadas do vértice. Solução 1.13 Como a diretriz é vertical, pelo teorema acima, a equação da parábola deve ser do tipo x = ax 2 + by + c. Determinemos a, b e c. Como o parâmetro é a metade da distância entre o foco e a diretriz, temos, neste caso, p = 1/2. Vide figura abaixo. 5

y 2 F p 3 x O foco estando à esquerda da diretriz, teremos a < 0 e, daí, p = 1 1/2 = 1 a a a = 1. O vértice possui a ordenada do foco, isto é, y 2 v = 2. Como y v = b, teremos, 2a 2 = b b = 2. Claramente, temos x 2( 1/2) v = 7 e, portanto, teremos, 2 a = 7 2 = a 7 2 22.( 1/2)c = ( 1/2)(7/2) c = 3/2. Logo, a equação será x = 1 2 y2 + 2y + 3 2. [MUITO IMPORTANTE!] Voltando ao primeiro teorema acima, temos a equação da parábola dada por y = ax 2 + bx + c. Mas, observe que y = ax 2 + bx + c y = a(x 2 + b a x + c a ) y = a(x2 + b a x + ( b 2a )2 ( b 2a )2 + c a ) y = a[(x + b 2a )2 b2 + c b ] y = a[(x ( a 2 a 2a ))2 b2 ac] a 2 y = a(x ( b 2a ))2 b2 ac a Observando ainda, o teorema acima, temos y b2 ac a y ( b2 ac) = a(x ( b a 2a ))2. = a(x ( b 2a ))2 y y v = a(x x v ) 2. O que nos leva a y y v = a(x x v ) 2 y y v = 1 p (x x v) 2 (x x v ) 2 = p(y y v ) (Sendo a > 0 ou, ainda, o foco acima da diretriz) ou y y v = a(x x v ) 2 y y v = 1 p (x x v) 2 (x x v ) 2 = p(y y v ) (Sendo a < 0 ou, ainda, o foco abaixo da diretriz) Resumindo, temos os teoremas abaixo análogos aos teoremas anteriores. Teorema 1.1 (a) Uma parábola possui diretriz paralela ao eixo x ( diretriz horizontal ), foco acima da diretriz, parâmetro p e vértice V (x v, y v ) se, e somente se, sua equação pode ser 6

escrita na forma y y v = frac1p(x x v ) 2. (b) Uma parábola possui diretriz paralela ao eixo x ( diretriz horizontal ), foco abaixo da diretriz, parâmetro p e vértice V (x v, y v ) se, e somente se, sua equação pode ser escrita na forma y y v = frac1p(x x v ) 2. De maneira análoga teremos Teorema 1.15 (a) Uma parábola possui diretriz paralela ao eixo y ( diretriz vertical ), foco à direita da diretriz, parâmetro p e vértive V (x v, y v ), se e somente se, sua equação pode ser escrita na forma x x v = 1 p (y y v) 2. (b) Uma parábola possui diretriz paralela ao eixo y ( diretriz vertical ), foco à esquerda da diretriz, parâmetro p e vértice V (x v, y v ), se e somente se, sua equação pode ser escrita na forma x x v = 1 p (y y v) 2. Exemplo 1.16 (Voltando ao exemplo 1.) Determine a equação da parábola de foco F(3,2) e diretriz x = 0. Determine, ainda, a equação do eixo e as coordenadas do vértice. Solução 1.17 Começamos determinando as coordenadas do vértice e o prarâmetro, que são V (7/2, 2) e p = 1/2. Pelo teorema acima, a equação será É claro que a diretriz é a reta y = 2 x 7 2 = 1 (y 2)2. Exemplo 1.18 (Refazendo o exemplo 1.10) Consideremos a parábola de equação x = 1 8 y2 y + 5. Determine: (a) as coordenadas do vértice (b) as coordenadas do foco (c) a equação da diretriz (d) a equação do eixo 7

Solução 1.19 Temos x = 1 8 y2 y + 5 8x = y 2 8y + 0 8x = y 2 8y + 2 2 + 0 8x 2 = (y ) 2 8(x 3) = (y ) 2 (y ) 2 = 8(x 3). Temos uma parábola de diretriz vertical, com foco à direita da diretriz, parãmetro p = 2 vértice V (3, ). Logo, o foco é o ponto F (5, ), a diretriz é a reta x = 1 e eixo y =. Exemplo 1.20 Uma parábola cuja diretriz é horizontal, passa pelos pontos (1,2), (2,3) e (3,6). Determine sua equação. Solução 1.21 Como a diretriz é horizontal, podemos escrever sua equação na forma y = ax 2 + bx + c. Sendo A, B e C pontos da parábola, eles devem satisfazer a equação da parábola, o que nos leva ao sistema a + b + c = 2 a + 2b + c = 3. 9a + 3b + c = 6 Isolando a na primeira equação e substituindo na segunda e na terceira teremos, respectivamente, e [2 (b + c)] + 2b + c = 0 8 b c + 2b + c = 0 2b 3c = 5 2b + 3c = 5. 9[2 (b + c)] + 3b + c = 0 18 9b 9c + 3b + c = 0 6b 8c = 12 6b + 8c = 12. O que nos leva ao sistema { 2b + 3c = 5 6b + 8c = 12. Portanto, teremos, a = 1, b = 2 e c = 3 e a equação da parábola será y = x 2 2x + 3. 1.3 Exercícios 1) Considere a parábola de foco F ( 2, 6) e diretriz de equação 2x 5y + 20 = 0. (a) Determine a equação da parábola (b) Determine a equação do eixo (c) Determine as coordenadas do vértice 2) Dada a parábola de foco F (5, 3) e diretriz de equação y 8 = 0. 8

(a) Determine a equação da parábola (b) Determine a equação do eixo (c) Determine as coordenadas do vértice 3) Uma parábola tem foco F (, 6) e vértice V ( 1, 2). (a) Determine a equação do eixo da parábola (b) Determine a equação da diretriz da parábola ) Uma parábola tem vértice V ( 2, 1) e diretriz de equação 3x y +12 = 0. Determine: (a) a equação do eixo da parábola (b) as coordenadas do foco 5) Determine o foco e a equação da diretriz para cada parábola cuja equação é dada a seguir: (a)2x 2 5y = 0 (c)8x + 9y 2 = 0 (b)3x 2 + y = 0 (d)5x 6y 2 = 0 6) Obtenha os pontos de interseção da circunferência de equação x 2 +y 2 = 0 com a parábola de vértice na origem, cujo foco é F (0, 5/12). 7) Consideremos uma parábola de equação y = 2x 2 8x + 6. Determine: (a) as coordenadas do vértice (b) as coordenadas do foco (c) a equação da diretriz (d) a equação do eixo (e) a interseção com o eixo y (f) a intereseção com o eixo x 8) Uma parábola cuja diretriz é horizontal passa pelos pontos (1, 3), (2, ) e (3, 3).Dê sua equação. 9) Uma parábola tem equação x = 6y 2 9y + 2. Determine: (a) as coordenadas do vèrtice; (b) as coordenadas do foco; (c)a equação da diretriz; (d) a equação do eixo. 10) Seja uma parábola de equação x = 2y 2 + y + 1. Determine: (a) as coordenadas do vértice; (b) as coordenadas do foco. 9

2 Elipses 2.1 Conceito e Elementos Sejam F 1 e F 2 dois pontos distintos, cuja distância indicaremos por 2c. Consideremos, ainda, um número real 2a tal que 2a > 2c. Chamaremos elipse de focos F 1 e F 2 e eixo maior 2a, o conjunto de todos os pontos P tais que a soma das distâncias de P a F 1 e de P a F 2 é igual a 2a, isto é, D P F1 + D P F2 = 2a. (Vide figura abaixo) B2 a b a A1 F2 c C c F1 A2 b a B1 a Na figura acima estão destacados: focos = F 1 e F 2 distância focal = distância entre F 1 e F 2 igual a 2c centro = ponto médio C do segmento F 1 F 2 eixo maior = segmento A 1 A 2 de comprimento 2a eixo menor = segmento B 1 B 2 cujo comprimento é igual a 2b vértices = pontos A 1, A 2, B 1, B 2 excentricidade = número e definido por e = c a Observação 2.1 Note que, como o vértice B 2 é um ponto da elipse, teremos o segmento B 2 F 1 medindo a e, portanto, teremos a relação a 2 = b 2 + c 2. 10

Os focos F 1 e F 2 estão sobre o eixo maior e a uma distância c do centro. Os vértices A 1 e A 2, também estão sobre o eixo maior e a uma distância a do centro. Jà os vértices B 1 e B 2 estão sobre o eixo menor e a uma distância b do centro. Exemplo 2.2 1) Um elipse tem eixo maior medindo 10 e eixo menor medindo 6. Determine: (a) a distância focal (b) a excentricidade Solução 2.3 (a) Temos 2a = 10 e 2b = 6, o que nos leva a a = 5 e b = 3. Como a 2 = b 2 + c 2, teremos, 5 2 = 3 3 + c 2 e sendo c > 0, temos c =. Portanto, a distância focal é 2c = 8. (b) Temos e = c a = 5. Exemplo 2. 2) Determine a equação de uma elipse cujos focos são os pontos F 1 ( 1, 1) e F 2 (1, 2), sabendo que o comprimento do eixo maior é igual a 2a =. Solução 2.5 Sendo P (x, y) um ponto da elipse, devemos ter D P F1 + D P F2 = 2a =. Logo D P F1 + D P F2 = (x + 1) 2 + (y 1) 2 + (x 1) 2 + (y 2) 2 = x 2 + y 2 + 2x 2y + 2 + x 2 + y 2 2x y + 5 = x 2 + y 2 + 2x 2y + 2 = x 2 + y 2 2x y + 5 ( x 2 + y 2 + 2x 2y + 2) 2 = ( x 2 + y 2 2x y + 5) 2 x 2 + y 2 + 2x 2y + 2 = 16 8 x 2 + y 2 2x y + 5 + x 2 + y 2 2x y + 5 8 x 2 + y 2 2x y + 5 = x 2y 19 (8 x 2 + y 2 2x y + 5) 2 = ( x 2y 19) 2 6x 2 + 6y 2 128x 256y + 320 = 16x 2 + y 2 + 16xy 152x 76y + 361 8x 2 + 60y 2 16xy + 2x 180y 1 = 0.(Equação da elipse) 2.2 Elipse de eixo maior horizontal ou vertical Novamente, não nos ocuparemos com as demonstrações, mas utilizaremos com frequência os seguintes teoremas. Teorema 2.6 Uma elipse possui eixo maior horizontal(paralelo ao eixo x) de comprimento 2a e eixo menor vertical de comprimento 2b com centro no ponto C(x C, y C ) se, e somente se, sua equação pode ser escrita na forma (x x C ) 2 a 2 + (y y C) 2 b 2 = 1. 11

De maneira análoga temos: Teorema 2.7 Uma elipse possui eixo maior vertical(paralelo ao eixo y) de comprimento 2a e eixo menor horizontal de comprimento 2b com centro no ponto C(x C, y C ) se, e somente se, sua equação pode ser escrita na forma (y y C ) 2 a 2 + (x x C) 2 b 2 + = 1. Observação 2.8 (MUITO IMPORTANTE) Salientamos que se uma elipse tem eixo maior horizontal, então seu centro, os focos e os vértices que estão sobre o eixo maior possuem todos a mesma ordenada. Se o centro é o ponto C(α, β) com semi eixo maior a e semi distância focal c, então os focos serão os pontos F 2 (α c, β) e F 1 (α + c, β). Já os vértices sobre o eixo maior serão os pontos A 1 (α a, β) e A 2 (α + a, β). Temos, ainda, que o centro e os vértices sobre o eixo menor possuem a mesma abscissa e, portanto, se o semi eixo menor é igual a b, os vértices sobre o eixo menor serão os pontos B 2 (α, β + b) e B 1 (α, β b). Se uma elipse tem eixo maior vertical, então seu centro, os focos e os vértices que estão sobre o eixo maior possuem todos a mesma abscissa. Se o centro é o ponto C(α, β) com semi eixo maior a e semi distância focal c, então os focos serão os pontos F 2 (α, β c) e F 1 (α, β +c). Já os vértices sobre o eixo maior serão os pontos A 1 (α, β a) e A 2 (α, β + a). Temos, ainda, que o centro e os vértices sobre o eixo menor possuem a mesma ordenada e, portanto, se o semi eixo menor é igual a b, os vértices sobre o eixo menor serão os pontos B 2 (α + b, β) e B 1 (α b, β). A figura abaixo retrata o caso da elipse com eixo maior horizontal. y B2 b A1 F2 c β C c F1 A2 α c α α+ c x B1 12

Exemplo 2.9 Determine a equação da elipse de eixo maior horizontal igual a e eixo menor 2 com centro C(3, 2). Solução 2.10 Temos, a = 2, b = 1 e, portanto, pelo teorema 2.6, uma equação da elipse será o que, desenvolvendo, nos leva a (x 3) 2 + (y 2)2 1 = 1 (1) x 2 + y 2 6x 16y + 21 = 0. (2) Observe que não há necessidade de desenvolvermos (1), já que, tanto (1), quanto (2), são equações para a elipse. Exemplo 2.11 Determine a equação da elipse de eixo maior vertical igual a 8 e eixo menor com centro C(5, 6). Solução 2.12 Temos a =, b = 2 e, portanto, uma equação da elipse será (y 6) 2 16 + (x 5)2 = 1. Observação 2.13 As equações apresentadas nos teoremas acima são ditas equações reduzidas da elipse. Exemplo 2.1 Consideremos uma elipse cuja equação é Determine: (a) sua equação reduzida. (b) eixos maior, menor e distância focal (c) centro (d) os focos (e) os vértices x 2 + 9y 2 8x 36y + 3 = 0. Solução 2.15 (a) Neste tipo de exercício usamos o mesmo procedimento usado quando estudamos circunferência, isto é, buscamos completar os quadrados. Inicialmente agrupamos os termos em x e y da equação, obtendo (x 2 8x) + (9y 2 36y) = 3 ou, ainda, (x 2 8x) + 9(y 2 y) = 3. 13

Agora iremos completar os quadrados dentro dos parênteses, obtendo, (x 2 8x + 16) + 9(y 2 y + ) = 3 + 16 + 36. Note que, ao somarmos dentro do segundo parênteses, adicionamos 36 ao primeiro membro. Continuando, temos, (x ) 2 + 9(y 2) 2 = 9 ou (x ) 2 + 9 (y 2)2 1 = 1. (b) É fácil concluir, agora, que e daí a = 3, b = 1, c = 2 2 eixo maior=8, eixo menor=2 e distância focal= 2. (c) Claramente o centro é o ponto C(, 2). (d) Observe que o eixo maior é paralelo ao eixo x, isto é, é horizontal. Logo os focos possuem a mesma ordenada do centro e distam c = 2 2 do centro, resultando nos pontos F 1 ( 2, 2) e F 2 ( + 2, 2).(Vide observação??) (e) Tal como no item anterior, determinamos os vértices sobre o eixo maior, quais sejam, A 1 (1, 2) e A 2 (7, 2). Os vértices sobre o eixo menor possuem a mesma abscissa do centro e distância 1. Logo, temos os pontos B 1 (, 1) e B 2 (, 3).(Vide observação??) (f) Abaixo temos um esboço da elipse 2 y 3 2 A1 F1 c B2 b F2 A2 1 B1 1 -sqrt(2) +sqrt(2) 7 x Exemplo 2.16 Consideremos uma elipse cuja equação é 9x 2 + y 2 36x 8y + = 0. 2 Nas figuras, sqrt(n) estará indicando a raíz quadrada do número n 1

Determine: (a) sua equação reduzida. (b) eixos maior, menor e distância focal (c) centro (d) os focos (e) os vértices (f) faça um esboço da elipse Solução 2.17 (a) Completando quadrados teremos 9x 2 +y 2 36x 8y+ = 0 9(x 2 x)+(y 2 2y) = 9(x 2 x+)+(y 2 2y+1) = + 36 + 9(x 2) 2 + (y 1) 2 = 36 (x 2)2 + (y 1)2 9 = 1 (x 2)2 2 2 + (y 1)2 3 2 = 1. (b) Usando, novamente, o teorema anterior, temos uma elipse de eixo maior vertical, sendo a = 3, b = 2, o que nos leva a c = 5. Portanto, eixo maior =2a = 6, eixo menor = 2b = e distância focal =2c = 2 5. (c) C(2, 1) (d) Pela observação anterior, teremos F 1 (2, 1 + 5) e F 2 (2, 1 5). (e) Novamente, usando a observação, temos vértices sobre o eixo maior A 1 (2, ) e A 2 (2, 2). (f) Segue o esboço da elipse y 1+sqrt(5) A1 F1 (B2) 1 B1 2 x 1-sqrt(5) -2 A2 F2 2.3 Exercícios 1) Dê as coordenads dos focos das elipses cujas equações são dadas a seguir: (a) x2 9 + y2 36 = 1 (b) x2 6 + y2 81 = 1 (c) x2 + y2 = 1 (d) x2 3 + y2 = 1 15

(e) 2x2 3 + 3y2 = 1 (f)3x 2 + y 2 = 1 (g)9x 2 + 10y 2 6 = 0 2) Uma elipse de excentricidade e = 1/2 tem centro na origem, focos no eixo x e eixo maior medindo 12. Determine sua equação. 3) Um elipse tem focos no eixo x e centro na origem. Determine sua equação sabendo que ela passa pelos pontos (0, 2) e (3, 9). ) Uma elipse com centro na origem tem um foco no ponto (3, 0) e um vértice no ponto ( 7, 0). Qual a sua excentricidade? 5) Uma elipse, cujo eixo maior é vertical, tem centro C( 1, 1), excentricidade e = 1/3 e eixo menor de medida 6. Dê a equação da elipse. 6) Uma elipse de eixo maior horizontal passa pelos pontos (0, 1) e (3, 1). Dê sua equação sabendo que o centro é o ponto (3, 1). 7) Uma elipse tem equação Determine: (a) as coordenadas do vértice (b) as coordenadas dos focos (c) a excentricidade x 2 + 2y 2 + 2x y 7 = 0. 8) Determine as coordenadas do centro e dos focos da elipse cuja equação é 3x 2 + 2y 2 + 12x + y + 8 = 0. 9) Dê a equação reduzida da elipse cuja equação é 9x 2 + 25y 2 36x + 50y 16 = 0. 16

3 Hipérbóles 3.1 Conceito e Elementos Sejam F 1 e F 2 dois pontos distintos, cuja distância indicaremos por 2c. Consideremos, ainda, um número real 2a tal que 0 < 2a < 2c. Chamaremos hipérbole de focos F 1 e F 2 e eixo real(ou transverso) 2a, o conjunto de todos os pontos P tais que o módulo da diferença entre as distâncias de P a F 1 e de P a F 2 é igual a 2a, isto é, P F 1 P F 2 = 2a. (Vide figura abaixo) B1 b F2 A2 a C a A1 F1 b c B2 c Observando a figura acima, destacamos: focos = F 1 e F 2 distância focal = distância entre F 1 e F 2 igual a 2c centro = ponto médio C do segmento F 1 F 2 eixo real = segmento A 1 A 2 de comprimento 2a eixo imaginário = segmento B 1 B 2 cujo comprimento é igual a 2b, onde b é dado por b 2 = c 2 a 2. vértices = pontos A 1 e A 2 excentricidade = número e definido por e = c a Uma hipérbole será dita equilátera se os eixos real e imaginário possuem a mesma medida, isto é, a = b. 17

Exemplo 3.1 Um hipérbole tem distância focal 2c = 10 e eixo imaginário de medida 2b = 6. Determine: (a) a medida do eixo real (b) a excentricidade Solução 3.2 (a) Temos 2b = 6 e 2c = 10e, como, c 2 = a 2 + b 2, teremos a =. Portanto, o eixo real tem medida 2a = 8. (b) Como e = c a, teremos, e = 5. Exemplo 3.3 Determine a equação da hipérbole de focos F 1 (1, 2), F 2 (, 3) e eixo real medindo 2. Solução 3. Sendo P (x, y) um ponto da hipérbole, dvemos ter,. Logo, vem D P F1 = D P F2 = 2a D P F1 = D P F2 = 2a D P F1 = D P F2 = ±2a D P F1 = D P F2 ± 2a (x 1) 2 + (y 2) 2 = (x ) 2 + (y 3) 2 ± 2 ( (x 1) 2 + (y 2) 2 ) 2 = ( (x ) 2 + (y 3) 2 ± 2) 2 (x 1) 2 + (y 2) 2 = (x ) 2 + (y 3) 2 ± (x ) 2 + (y 3) 2 + ±2 (x ) 2 + (y 3) 2 = 3x + y 12 (±2 (x ) 2 + (y 3) 2 ) 2 = (3x+y 12) 2 5x 2 +3y 2 6xy+0x = 0.(Equação da hipérbole) 3.2 Hipérbole de eixo real horizontal ou vertical Tal como no caso de parábolas e elipses nosso interesse recairá sobre hipérboles cujo eixo real seja horizontal ou vertical, já que para estas as equações se tornam bem simples, conforme os teoremas abaixo deixam claro. Teorema 3.5 Uma hipérble possui eixo real horizontal de comprimento 2a e eixo imaginário(vertical) de comprimento 2b com centro no ponto C(x C, y C ) se, e somente se, sua equação pode ser escrita na forma (x x C ) 2 (y y C) 2 = 1. a 2 b 2 De maneira análoga temos: Teorema 3.6 Uma hipérbole possui eixo real vertical de comprimento 2a e eixo imaginário(horizontal) de comprimento 2b com centro no ponto C(x C, y C ) se, e somente se, sua equação pode ser escrita na forma (y y C ) 2 (x x C) 2 + = 1. a 2 b 2 18

Novamente, as equações apresentadas nos teorema acima são ditas equações reduzidas da hipérbole. Observação 3.7 (MUITO IMPORTANTE) Note que, diferentemente do caso de elipse, o eixo real não é necessariamente maior que o eixo imaginário. O eixo real será paralelo ao eixo que tem o sinal positivo na equação reduzida. Exemplo 3.8 Determine a equação da hipérbole de eixo real horizontal medindo 8, eixo imaginário medindo e com centro C(3, 2). Solução 3.9 Claramente temos a = e b = 2, portanto, uma equação para a hipérbole, pelo primeiro teorema acima, será (x 3) 2 (y 2)2 = 1. 16 Tal como fizemos para elipse, destacamos a observação abaixo. Observação 3.10 (MUITO IMPORTANTE) Salientamos que se uma hipérbole tem eixo real horizontal, então seu centro, os focos e os vértices que estão sobre o eixo real possuem todos a mesma ordenada. Se o centro é o ponto C(α, β) com semi eixo real a e semi distância focal c, então os focos serão os pontos F 2 (α c, β) e F 1 (α + c, β). Já os vértices sobre o eixo real serão os pontos A 1 (α a, β) e A 2 (α +a, β). Temos, ainda, que o centro e os vértices sobre o eixo imaginário possuem a mesma abscissa e, portanto, se o semi eixo imaginário é igual a b, os vértices sobre o eixo imaginário são os pontos B 2 (α, β + b) e B 1 (α, β b). Se uma elipse tem eixo real vertical, então seu centro, os focos e os vértices que estão sobre o eixo real possuem todos a mesma abscissa. Se o centro é o ponto C(α, β) com semi eixo real a e semi distância focal c, então os focos serão os pontos F 2 (α, β c) e F 1 (α, β + c). Já os vértices sobre o eixo real serão os pontos A 1 (α, β a) e A 2 (α, β + a). Temos, ainda, que o centro e os vértices sobre o eixo imaginário possuem a mesma ordenada e, portanto, se o semi eixo imaginário é igual a b, os vértices sobre o eixo imaginário serão os pontos B 2 (α + b, β) e B 1 (α b, β). Exemplo 3.11 Uma hipérbole, cujo eixo real é paralelo a um dos eixos coordenados, tem equação dada por 3x 2 y 2 6x y + 2 = 0. Determine: (a)sua equação reduzida (b) eixos real, imaginário e distância focal (c) centro (d) os focos (e) os vértices 19

Solução 3.12 (a) Tal como fizemos para elipse, teremos, (3x 2 6x) (y 2 + y) = 2 3(x 2 2x + 1) (y 2 + y + ) = 2 + 3 3(x 1) 2 (y + 2) 2 = 3 (y+2)2 3 (x 1)2 1 = 1. (b) Note que temos uma hipérbole de eixo real vertical, com a 2 = 3, b 2 = 1, isto é, a = 3, b = 1 e, consequentemente, c = 2. Logo, temos, eixo real=2 3, eixo imaginário=2 e distância focal=. (c) Observando a equação reduzida obtida, temos o centro C(1, 2). (d) Usando?? temos os focos F 1 (1, ) e F 2 (1, 0). (e) Novamente, através de??, obtemos os focos sobre o eixo real A 1 (1, 2+ 3) e A 2 (1, 2 3 e os focos sobre o eixo imaginário B1 (2, 2) e B 2 (0, 2). 3.3 Exercícios 1) Uma hipérbole tem eixo real medindo 8 e eixo imaginário medindo 10. Calcule: (a) a distância focal (b) a excentricidade 2) Uma hipérbole de excentricidade /3 tem eixo imaginário medindo. Determine: (a) a medida do eixo real (b) a distância focal 3) A medida do eixo real de uma hipérbole é 20. Calcule a distância focal. ) Dê a equação da hipérbole cujos focos são F 1 ( 2, 1) e F 2 (3, 1), sabendo que seu eixo real mede 3. 5) Qual figura representa a equação Faça um esboço de tal figura! (x 2) 2 + (y 1) 2 (x 6) 2 + (y ) 2 =? 6) Qual figura representa a equação Faça um esboço de tal figura! (x + 2) 2 + (y 1) 2 (x 6) 2 + (y + ) 2 =? 7) Qual figura representa a equação (x 2) 2 + (y 1) 2 + (x 6) 2 + (y ) 2 =? 20

Faça um esboço de tal figura! 8) Qual figura representa a equação Faça um esboço de tal figura! (x + 2) 2 + (y 1) 2 + (x 6) 2 + (y + ) 2 =? 9) Consideremos uma hipérbole cujo eixo real é horizontal, o eixo imaginário mede 6, o eixo real mede 8 e o centro é C( 2, 1). Determine a equação da hipérbole. 10) Determine a equação da hipérbole de centro C(, 5), eixo imaginário medindo 8 e eixo real verticel. 11) Uma hipérbole tem focos F 1 ( 3, 0) e F 2 (5, 0). Sabendo que sua excentricidade é igual a e, determine sua equação. 12) Em cada caso a seguir é dada a equação de uma hipérbole de eixo real paralelo a um dos eixos coordenados. Determine, em cada caso, a equação reduzida. (a) x 2 2y 2 + 6x + y + 3 0 (b) 2x 2 3y 2 x 30y 67 = 0 13) Em cada caso a seguir é dada a equação de uma hipérbole cujo eixo real é paralelo a um dos eixos coordenados. Determine as coordenadas do centro e dos focos. (a) 3x 2 5y 2 + 6x 12 = 0 (b) x 2 y 2 + 8y 20 = 0 (c) 2x 2 3y 2 + x + 6y 7 = 0 (d) x 2 2y 2 + x + y = 0 21