Lógica Proposicional

Lógica Proposicional Equivalências Lógicas Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG junho - 2018 Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 1 / 36

Este material é preparado usando como referências os textos dos seguintes livros. GERSTING, Judith L.,Mathematical Structures For Computer Science: A Modern Approach to Discrete Mathematics, 6th ed., 2007. ROSEN, Kenneth H., Discrete Mathematics and its applications, 6th ed., 2007. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 2 / 36

Operador de Biimplicação Lembre-se: uma proposição bicondicional P Q é verdade quando P e Q têm o mesmo valor verdade, e só neste caso. Tabela verdade da biimplicação P Q P Q V V V V F F F V F F F V Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 3 / 36

Equivalências Lógicas Se duas proposições compostas, P e Q, possuem o mesmo valor-verdade em todos os casos, são chamadas de logicamente equivalentes. Exemplo: A B é logicamente equivalente a B A. A B A B B A B A V V V F F V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Nestes casos, P Q é uma tautologia. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 4 / 36

Equivalências Lógicas Se duas proposições compostas, P e Q, possuem o mesmo valor-verdade em todos os casos, são chamadas de logicamente equivalentes. Exemplo: A B é logicamente equivalente a B A. A B A B B A B A V V V F F V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Neste caso, (A B) ( B A) é uma tautologia. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 5 / 36

Equivalências Lógicas Quando duas proposições lógicas A e B são equivalentes, indicamos por uma das seguintes formas: A B A B Atenção!! Os símbolos e não são operadores lógicos! São apenas símbolos matemáticos usados para dizer que as proposições A e B têm os mesmos valores verdade em todos os casos. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 6 / 36

Equivalências Lógicas Exemplos: A B B A (Contrposição) (A B) ( A B) (Lei de De Morgan) (A B) ( A B) (A B) (B A) (Propriedade Comutativa) (A B) (B A) (A B) C A (B C) (Propriedade Associativa) (A B) C A (B C) A (B C) (A B) (A C) (Propriedade Distributiva) A (B C) (A B) (A C) Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 7 / 36

Equivalências Lógicas Como saber se duas proposições lógicas compostas são logicamente equivalentes? Use tabelas verdade! Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 8 / 36

Equivalências Lógicas Como saber se duas proposições lógicas compostas são logicamente equivalentes? Use tabelas verdade! Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 9 / 36

Equivalência Lógica Exemplo: (A B) B é logicamente equivalente a ( B A) B. A B A B (A B) A B B A ( B A) B B V V V V F F V V V F F V F V F V F V V V V F V V F F V F V V V F Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 10 / 36

Equivalência Lógica Exemplo: (A B) B é logicamente equivalente a ( B A) B. A B A B (A B) A B B A ( B A) B B V V V V F F V V V F F V F V F V F V V V V F V V F F V F V V V F Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 11 / 36

Equivalência Lógica Exemplo: (A B) A B. A B A B A A B V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V Vamos chamar essa equivalência lógica de regra da implicação. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 12 / 36

Equivalência Lógica Exemplo: (A B) A B. A B A B A A B V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V Vamos chamar essa equivalência lógica de regra da implicação. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 13 / 36

Equivalência Lógica Exemplo: A ( A). A A ( A) V F V V F V F V F F V F Essa equivalência lógica é a dupla negação. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 14 / 36

Equivalência Lógica Exemplo: A ( A). A A ( A) V F V V F V F V F F V F Essa equivalência lógica é a dupla negação. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 15 / 36

Equivalências Lógicas Exemplo: Será que é mesmo verdade que (A B) A B? Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 16 / 36

Equivalências Lógicas Exemplo: Será que é mesmo verdade que (A B) A B? A B A B (A B) A B A B V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V Esta é uma das Leis de De Morgan! Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 17 / 36

Equivalências Lógicas Exemplo: Será que é mesmo verdade que (A B) A B? A B A B (A B) A B A B V V V F F F F V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V Esta é uma das Leis de De Morgan! Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 18 / 36

Equivalências Lógicas Augustus De Morgan (1806-1871) Foi um matemático indiano. Foi professor de Augusta Ada, Condessa de Lovelace. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 19 / 36

Equivalências Lógicas Augustus De Morgan (1806-1871) Escreveu milhares de artigos para mais de 15 periódicos e muitos livros teóricos. Formalizou conceitos como indução matemática e limite. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 20 / 36

Equivalências Lógicas Augustus De Morgan (1806-1871) Deu contribuições fundamentais para o desenvolvimento da lógica simbólica. Criou notações que ajudaram a provar equivalências lógicas e as Leis de De Morgan. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 21 / 36

Equivalências Lógicas Leis de De Morgan: (A B) A B. (A B) A B. Exercício: Use as Leis de De Morgan para negar: Miguel tem um celular e um laptop. Miguel não tem um celular ou não tem um laptop. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 22 / 36

Equivalências Lógicas Leis de De Morgan: (A B) A B. (A B) A B. Exercício: Use as Leis de De Morgan para negar Miguel tem um celular e um laptop. Miguel não tem um celular ou não tem um laptop. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 23 / 36

Equivalências Lógicas Leis de De Morgan: (A B) A B. (A B) A B. Exercício: Use as Leis de De Morgan para negar Rodrigo ou Carlos vai ao concerto. Rodrigo e Carlos não vão ao concerto. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 24 / 36

Equivalências Lógicas Leis de De Morgan: (A B) A B. (A B) A B. Exercício: Use as Leis de De Morgan para negar Rodrigo ou Carlos vai ao concerto. Rodrigo e Carlos não vão ao concerto. Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 25 / 36

Provando Equivalências Lógicas Mostre que (A B) A B. (A B) ( A B) (Regra da implicação.) ( A) B (Lei de De Morgan.) A B (Regra da dupla negação.) Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 26 / 36

Provando Equivalências Lógicas Mostre que (A ( A B)) A B. (A ( A B)) A ( A B) (Lei de De Morgan.) A ( ( A) B) (Lei de Demorgan.) A (A B) (Regra da Dupla Negação.) ( A A) ( A B) (Propriedade distributiva.) F ( A B) (Pois A A é falso.) A B (Regra do elemento neutro.) Sheila Almeida (DAINF-UTFPR-PG) Lógica Proposicional junho - 2018 30 / 36