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2/22 Introdução Até o momento consideramos que a força de atração exercida pela terra num corpo rígido poderia ser representada por uma única força W, aplicada no centro de gravidade do corpo. O quê realmente acontece é que a força gravitacional atua individualmente em cada uma das partículas que compõem o corpo; e veremos que todas estas pequenas forças podem ser substituídas por uma única força W equivalente. Veremos, também, como determinar o centro de gravidade ou seja onde deve ser aplicada a força W resultante. Nesta primeira aula dois conceitos serão associados com a determinação do centro de gravidade: o centroide de uma área e o primeiro momento de inércia de uma área em relação a um eixo.
3/22 Centro de Gravidade de um Corpo 2D Consideremos um corpo plano horizontal. Dividiremos a placa em n elementos pequenos. As coordenadas do primeiro elemento são x 1 e y 1 ; do segundo elemento são x 2 e y 2 e assim sucessivamente. As forças exercidas pela terra nos elementos da placa serão chamadas de ΔW 1, ΔW 2 e assim sucessivamente. Estas forças são direcionadas ao centro da terra, entretanto, para todos os efeitos práticos as consideraremos paralelas. Assim, a resultante delas é uma única força na mesma direção.
4/22 Centro de Gravidade de um Corpo 2D Assim, a magnitude W da força peso é obtida através da soma de cada uma das partes: Para se obter as coordenadas do ponto G onde a resultante W deve ser aplicada, escreve-se que a soma dos momentos de W em relação aos eixos x e y devem ser igual ao somatório dos momentos dos pesos de cada elemento:
5/22 Centro de Gravidade de um Corpo 2D Caso aumentemos o número de elementos no qual a placa é dividida ao mesmo tempo em que reduzimos o tamanho de cada elemento no limite obteremos: Estas três equações determinam o peso W e as coordenadas x e y do centro de gravidade. As mesmas equações podem ser estendidas para um fio sobre o plano xy. Note-se que o centro de gravidade G de um fio normalmente não se localiza sobre o mesmo.
6/22 Centroides de Áreas e Linhas No caso de uma placa plana homogênea, a magnitude ΔW do peso de um elemento pode ser expressa como: Tal que ϒ é o peso específico (peso por unidade de volume) do material; t é a espessura e ΔA é a área do elemento. De maneira similar, podemos expressar a magnitude W do peso de toda a placa como: Nas unidades do S.I. o peso específico deve ser expresso em N/m³; a área e espessura em m² e m, respectivamente. Trabalhando as equações anteriores em termos de peso e apresentando-as em termos de área:
7/22 Centroides de Áreas e Linhas Caso aumentemos o número de elementos no qual a área A é dividida enquanto simultaneamente reduz-se o tamanho dos elementos no limite obtém-se: Estas equações definem as coordenadas x e y do centro de gravidade de uma placa homogênea, também são conhecidas como centroide C da área A da placa. Caso a placa não seja homogênea, estas equações não podem ser usadas para se determinar a coordenada do centroide.
8/22 Centroides de Áreas e Linhas No caso de um fio homogêneo, a magnitude ΔW do peso de um elemento pode ser expressa como: Tal que ϒ é o peso específico (peso por unidade de volume) do material; a é área da seção transversal e ΔL é o comprimento do elemento. As coordenadas x e y do centroide da linha L são dadas por:
9/22 Primeiro Momento de Áreas e Linhas A integral de x da é conhecida como o primeiro momento da área A em relação ao eixo y e é representada pela letra Q y. De maneira similar, a integral de y da é conhecida como o primeiro momento da área A em relação ao eixo x e é representada pela letra Q x. Ao compararmos com as equações anteriores, nota-se que o primeiro momento de área A pode ser expresso como o produto da área e das coordenadas do centroide: Assim, torna-se claro que a coordenada do centroide de uma área pode ser obtido ao se dividir o primeiro momento daquela área pelo valor da área. Este conceito será utilizado futuramente para se determinar as tensões de cisalhamento sob carregamento transversal na disciplina de Mecânica dos Sólidos.
10/22 Primeiro Momento de Áreas Percebe-se também através da equação que se o centroide de uma área está localizado sobre um dos eixos coordenados, o primeiro momento de área em relação àquele eixo vale zero (questão de simetria). Assim, quando uma área A possui um eixo de simetria BB, o primeiro momento de inércia de área em relação a BB é zero; e seu centroide está localizado naquele eixo.
11/22 Primeiro Momento de Áreas Outra conclusão lógica é que se uma área possui dois eixos de simetria, o centroide C obrigatoriamente estará localizado na intersecção dos dois eixos. Esta propriedade nos permite determinar imediatamente o centroide de áreas de círculos, elipses, quadrados, retângulos e triângulos equiláteros; entre outras figuras simétricas.
12/22 Primeiro Momento de Áreas Uma área A é dita simétrica em relação a um centro O (centro de simetria) se para cada elemento de área da de coordenadas x e y existe um elemento da de mesma área com coordenadas -x e -y. Assim pode-se concluir que Q x = Q y = 0. E também se conclui que x = y = 0, ou seja, o centroide da área coincide com o centro de simetria O. Deve estar claro que uma figura que possua um centro de simetria não necessariamente possuirá um eixo de simetria (segunda figura); enquanto uma figura possuindo dois eixos de simetria não necessariamente possuirá um centro de simetria (primeira figura).
13/22 Centroides de Formas Comuns
14/22 Centroides de Formas Comuns
15/22 Centroides de Formas Comuns
16/22 Placas Compostas Em muitos casos uma placa placa pode ser dividida em retângulos, triângulos, e outras formas comuns mostradas anteriormente. A abscissa X do centro de gravidade G pode ser determinada a partir das abscissas x 1, x 2,, x n dos centros de gravidade das várias partes ao se expressas que o momento do peso de toda a placa em relação ao eixo y é igual à soma dos momentos dos pesos das várias partes em relação ao mesmo eixo.
17/22 Placas Compostas Caso a placa seja homogênea e de espessura uniforme, o centro de gravidade coincide com o centroide C de área.
18/22 Placas Compostas Cuidado deve ser tomado ao se determinar os sinais de cada momento de área. O primeiro momento de área, assim como uma força, pode ser positivo ou negativo. O furo de centro A 3 na figura mostrada terá um primeiro momento de área em relação ao eixo. E a área do furo também deverá ter sinal negativo.
19/22 Exemplo 6.1 Para a área mostrada, determine (i) o primeiro momento de inércia em relação aos eixos x e y; (ii) a localização do centroide.
20/22 Exemplo 6.2 Localize o centroide da área plana mostrada:
21/22 Exemplo 6.3 A figura mostrada é feita de um pedaço fino e homogêneo de fio. Determine a localização do centro de gravidade. Considere todas as medidas em milímetros.
22/22 Exemplo 6.4 O membro ABCDE é formado por um único tubo de alumínio. Sabendo que o membro está apoiado em C e que l=2m, determine a distância d para que a porção BCD do membro seja horizontal.