Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores Computação Gráfica Transformações Geométricas Edward Angel, Cap. 4
Questão 1, exame de 29/06/11 Considere o triângulo T={V 1, V 2, V 3 }, com V 1 =[0 2 3] T, V 2 =[3 3 3] T e V 3 =[4 2 3] T. Calcule o valor da normal ao triângulo T: n T. Sendo a = [V % V & ] e a = [V & V ( ] a b = y, z. z, y. z, x. x, z. x, y. y, z. = 3 2 3 3 (3 3)(2 3)? 3 3 4 3 (3 0)(4 3) 3 0 2 3 (3 2)(4 3) = 0 0 4?
Licenciatura em Engenharia Informática e de Computadores Computação Gráfica Transformações Geométricas Edward Angel, Cap. 4
LEIC CG Modelação Geométrica Grafos de Cena
Grafo de Cena Motivação Cenas geralmente complexas Modelos são dinâmicos Grafo de cena permite representação hierárquica
Grafo de Cena Motivação
Grafo de Cena Motivação
Grafo de Cena Motivação
Grafo de Cena Motivação Δx 1 Δx 2 Δx 3 α α Δx 4 Δy 2 β Δy 1 Y β Δy 4 Δy 3 X
Grafo de Cena
Grafos de Cena Hierarquia modular Construção ascendente (bottom-up) Permitem modelos complexos de primitivas básicas Propagação de actualizações
Grafos de Cena Δx θ Δv 1 φ Δv 2 Δy 1 Y Δw 1 X
Grafos de Cena
Grafos de Cena
LEIC CG Transformações Geométricas Transf. Geom. Planas Elementares
Transf. Geom. Planas Elementares Translação Escala
Transformações Geométricas Translação P P d y d x T &8 (d :, d < ) = 1 0 dx 0 1 dy 0 0 1 P @ = T &8 (d :, d < ) A P
Transformações Geométricas Escala P P s x, s y S &8 (s :, s < ) = s : 0 0 0 s < 0 0 0 1 P @ = S &8 (s :, s < ) A P
Transformações Geométricas Escala Uniforme Y Não - Uniforme Y s x = s y = 2 s x = 1; s y = 2 X P P X Y Y X s x = 2; s y = 1 X s x = 1; s y = -1
Transformações Geométricas Rotação P θ d y P d x R &8 (θ) = cos θ sin θ 0 sin θ cosθ 0 0 0 1 P @ = R &8 (θ) A P
LEIC CG Transformações Geométricas Composição de Transformações
Transformações Geométricas Composição de Transformações P @ = M % A P P @@ = M & A P P @@ = M 2 A M 1 A P
Transformações Geométricas Composição de Transformações P P P @ = M % A P
Transformações Geométricas Composição de Transformações P P P P @ = M % A P P @@ = M & A P
Transformações Geométricas Composição de Transformações P P P @ = M % A P P @@ = M & A P P @@ = M 2 A M 1 A P
Transformações Geométricas Composição de Transformações Genericamente não é comutativa T 1 após T 2 não é o mesmo que T 2 após T 1
Composição de Transformações Exemplo de composições não comutativas Translação seguida de Escala Escala seguida de Translação
Problema
LEIC CG Transformações Geométricas Transformações em 3D
Espaço vectorial tri-dimensional (1/2) Usa o referencial de mão direita Right handed coordinate system Rotações positivas Sentido oposto ao da rotação dos ponteiros do relógio counterclockwise Eixo ZZ aponta para fora da página Y Z (fora da página) X
Espaço vectorial tri-dimensional (2/2) Referencial de mão direita Convenção matemática Referencial de mão esquerda Interpretação natural em CG (câmara) Objecto com maiores valores na coordenada Z Encontram-se mais distantes do observador (vista)
Transformações Geométricas 3D Transformações 2D Matrizes 3x3 no espaço homogéneo Analogamente Transformações 3D Matrizes 4x4 no espaço homogéneo
Transformações Elementares 3D Translação M T = T(dx, dy, dz) = 1 0 0 dx 0 1 0 dy 0 0 1 dz 0 0 0 1 x 1 0 0 dx x y = 0 1 0 dy. y z 0 0 1 dz z 1 0 0 0 1 1
Transformações Elementares 3D Escala M S = S(Sx, Sy, Sz) = Sx 0 0 0 0 Sy 0 0 0 0 Sz 0 0 0 0 1 x Sx 0 0 0 x y = 0 Sy 0 0. y z 0 0 Sz 0 z 1 0 0 0 1 1
Transformações Elementares 3D Rotação Y a Z X Matriz de rotação única genérica Quaterniões
Quaterniões
Transformações Elementares 3D Rotação Y R y (f) R z (y) Z R x (q) X Abordagem mais simples Realizar rotações apenas sobre eixos de coordenadas Três matrizes distintas
Transformações Elementares 3D Rotação Y R z (y): em torno do eixo dos ZZ R z (y) Z R y (f) R x (q) X cos q -sin q 0 0 sin q cos q 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 R x (q): em torno do eixo dos XX 1 0 0 0 0 cos q -sin q 0 0 sin q cos q 0 0 0 0 1 R y (f): em torno do eixo dos YY cos q 0 sin q 0 0 1 0 0 -sin q 0 cos q 0 0 0 0 1
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