Dispositivos e Circuitos de RF Prof. Daniel Orquiza de Carvalho Filtros de Micro-ondas Tópicos abordados: (Capítulo 8 pgs 402 a 408 do livro texto) Aplicação do Método da Perda de inserção no: Projeto de filtro resposta plana Projeto de filtro ondulações uniformes
Projeto de Filtro Resposta Plana Consideremos um filtro passa baixas de dois elementos, assumindo uma impedância de fonte de 1Ω. Vamos projetar um filtro com resposta plana com ω c = 1 rad/s. Razão de perda de potência (Perda de Inserção), fazendo k=1 e N = 2: ω = 1 +k 2 ω c 4 = 1 +ω 4 29/04/19 1 A impedância de entrada é dada por: Z in = jω L + R! jωc Manipulando esta última expressão: ( ) 1 1 Z in = jω L + 1/ R + jωc = jω L + 1 1+ jω RC Z in = jω L + R 1+ jω RC ( ) R 29/04/19 2
Manipulando ainda mais esta última expressão R 1 jωrc R(1 jωrc) Z in = jωl + = jωl + 1+ jωrc 1 jωrc 1+ ωrc O Coeficiente de Reflexão na entrada é dado por: Γ = Z in 1 Z in +1 Razão de Perda de Potência: 1 = = Z +1 in 1 Γ 2 Z in +1 ( ) ( ) Z in 1 ( ) 2 Γ 2 = Z 1 Z * in in 1 Z in +1 Z * in +1 ( ) Z * in +1 ( ) Z * in +1 ( ) Z * in 1 ( ) = Z +1 2 in * 2( Z in + Z in ) 29/04/19 3 R(1 jω RC) Visto que Z in = jω L +, 1+ ω RC O denominador da expressão para fica: 29/04/19 4 ( ) 2 * 2( Z in + Z in ) = 4Re{ Z in } = O numerador da expressão para fica: Z in +1 2 R = 1+ ωrc Razão de Perda de Potência: 1+ ( ωrc) 2 = 4R ( ) 2 +1 R 1+ ωrc 2 ( ) 2 +1 4R ( ) 2 1+ ω RC ωr 2 C + ωl 1+ ωrc 2 ( ) 2 2 ωr 2 C + ωl 1+ ωrc ( ) 2 2 = Z in +1 2 ( ) 2 Z in + Z in *
A expressão anterior pode ser simplificada: = 1+ 1 ( 4R 1 R ) 2 + ( R 2 C 2 + L 2 2LCR 2 )ω 2 + RCL A PLR desejada, para implementar o filro de Butterworth é ω = 1 +k 2 ω c 4 = 1 +ω 4 ( ) 2 ω 4 Para que PLR seja unitária em ω = 0, temos que impor R = 1Ω. Ademais: R 2 C 2 + L 2 2LCR 2 = C 2 + L 2 2LC = (C L) 2 = 0 C = L 29/04/19 5 O termos que multiplica ω 4 deve ser unitário, portanto: ( RCL) 2 = 4R ( CL) 2 = 4 CL = 2 Porém, como C = L: C = L = 2 A princípio a metodologia adotada pode ser utilizada para filtros de qualquer ordem, porém para ordens mais altas ela não é prática. 29/04/19 6
Os valores dos elementos para circuitos tipo escada são tabelados. Isto é feito para circuitos normalizados, como o exemplo dado, onde: - A impedância da fonte é 1 Ω; - A frequência de corte é ω c = 1 rad/s; - O filtro é tipo passa baixas. Os valores para N = 2 correspondem aos do exemplo anterior. No geral o número de elementos reativos é igual à ordem do filtro (N) e os mesmos são numerados de g 0 (fonte) a g N+1 (carga). 29/04/19 7 R L = G L = 29/04/19 8
Elementos do filtro para ω c = 1 rad/s, k = 1, N entre 1 e 10. 29/04/19 9 Os elementos alternam entre série e paralelo, e g k é definido tal que: resistência interna dogerador para configuração π g 0 = condutânciainterna dogerador para configuração T g 1..N = g N +1 = indutância em série para indutores capacitância em paralelo para capacitores Resistência da carga se g N é capacitor em paralelo Condutância da carga se g N é indutor em série 29/04/19 10
29/04/19 11 Filtro com ondulações uniformes Consideremos um filtro passa baixas de dois elementos com ondulações uniformes e ω c = 1 rad/s. Razão de perda de potência (Perda de Inserção), fazendo N = 2: =1 +k 2 2 ω T N =1 +k 2 T 22 1 ω c ( ω) 29/04/19 12
O Polinômio de Chebyshev é expresso matematicamente na forma: T 0 T 1 T N ( x) =1 ( x) = x ( x) = 2xT N 1 x ( ) T N 2 ( x) ( para N 2) Para N = 2: Assim: T 2 2 T 2 ( x) = 2x 2 1 ( ω ) = 4ω 4 4ω 2 +1 29/04/19 13 Perda de inserção: =1+ k 2 ( 4ω 4 4ω 2 +1) =1 +k 2 T 22 ( ω) Comparando com a expressão obtida anteriormente: =1+ 1 4R 1 R Temos que impor: ( )ω 2 + RCL ( ) 2 + R 2 C 2 + L 2 2LCR 2 ( ) 2 ω 4 ( k 2 = 1 R ) 2 4R R =1+ 2k 2 ± 2k 1+ k 2 29/04/19 14
Igualando os coeficientes de ω 4 e ω 2: e O sistema de 2 equações e 2 incógnitas deve ser solucionado para encontrar C e L. 4k 2 = 1 ( 4R RCL ) 2 4k 2 = 1 ( 4R R2 C 2 + L 2 2LCR 2 ) Como R não é unitário, há descasamento de impedância, o que pode ser solucionado com um transformador de quarto de onda, por exemplo. 29/04/19 15 Resposta Chebyshev de um filtro passa-baixa: k=1 k=2 29/04/19 16
29/04/19 16 Elementos do filtro para ω c = 1 rad/s, ondulações de 0.5dB. 29/04/19 17
Elementos do filtro para ω c = 1 rad/s, ondulações de 3.0dB. 29/04/19 18 29/04/19 19
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