UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL -. EXAME FINAL Nome Legível RG CPF Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. Questão. Calcule os ites, se existirem a (. pt x ln x + cos (πx Demonstração. Note que este ite é do tipo. Assim, podemos aplicar a regra de L Hôpital: x ln x + cos (πx x sen (πx π Este último ite ainda é do tipo novamente: e podemos aplicar a regra de L Hôpital x sen (πx π x cos (πx π cos (π π ( π π b (. pt x + ( x + x Demonstração. Substituindo, vemos que esta é uma indeterminação do tipo ( x + x ( x x + + x + x x + x + x + + x ( x + x x + x + + x x + x + + x
Note que x + x + + x x e assim Como e portanto x + x + + x x, para x > x +, segue do teorema do confronto que x x + x + ( x + x x + + x x x +, x Questão. (.5 pt A função f(x x, x é contínua em x ou não? Justifique. Demonstração. f será contínua em x se f(x f(. x x + Para calcular f(x, note que este é um ite do tipo x e pela regra de L Hôpital x x + x f(x f( x Portanto, f não é contínua em x. Questão. (. pt Encontre a derivada da função f(x sen Demonstração. Pela regra da cadeia: ( [ x (e f x + x e x ] (x cos e x + (e x + ( x e x + Questão. (. pt Uma janela normanda tem a forma de um retângulo tendo em cima um semicírculo, cujo diâmetro é igual à largura do retângulo. Supondo que o perímetro da janela normanda é m, encontre as dimensões da janela com maior área possível.
Demonstração. O perímetro da janela é dado por: (comprimento da base do retângulo + (comprimento da altura do retângulo + (perímetro do semicírculo. Ou seja P b + h + πr b + h + π ( + π b + h + π + π b h ( + πb h h b + h ( + πb ( b Precisamos que b > e que h >. Para que h >, temos que ter h > ( + πb > ( + πb > b < + π Ou seja, < b < + π. Por outro lado, queremos maximizar a área da janela, que é a soma das áreas do retângulo e do semicírculo: A b h + πr b h + π ( b ( ( + πb b + πb b [ ( + πb] + πb 6b ( + πb + πb ( + πb + 6b Em outras palavras, queremos maximizar a função A(b ( + πb + 6b { com domínio D(A b R < b < } + π (,. + π
Encontrando os pontos críticos de A: A (b ( + πb + 6 A (b ( + πb + 6 b 6 ( + π + π Dessa maneira, b é o único ponto crítico de A. + π Construindo a tabela de sinais de A : + π ( + πb + 6 + + + A (b + + π Tabela : Sinais de A Em virtude da Tabela, pelo Teste da Derivada Primeira para Valores Extremos Globais, b max é máximo global de A. + π Portanto, substituindo b max em h obtemos h max Ou seja h max ( + πb max ( + π ( + π ( + π ( + π +π 6 ( + π + π b max + π m e h max + π m (+π (+π +π Questão 5. Resolva as integrais indefinidas x + a (. pt (x (x (x + Demonstração. Note que o grau do polinômio do numerador é menor que o x + grau do polinômio do denominador em (x (x (x +. Portanto, aplicando a técnica de frações parciais
x + (x (x (x + A x + B x + C x + x + A(x (x + + B(x (x + + C(x (x x + A(x x + x + B(x + x x + C(x x x + x + A(x + B(x + x + C(x x + x + x + (A + B + Cx + (B Cx + ( A B + C Por igualdade de polinômios A + B + C B C B C A B + C { A + B + C A + (C + C A + C A B + C A (C + C A C { A + C A A A C A + C + C + C Logo x [ + (x (x (x + 5 B C B x + 5 C C 5 5 B 5 x + 5 x + 5 x + x + 5 x + ] ln x + 5 ln x + 5 ln x + + C cos (/t b (. pt dt t Demonstração. Faça a substituição simples u t du dt du t t dt 5
Logo cos (/t t dt sen cos u ( du ( + C t cos udu sen u + C Questão 6. Considere a região R deitada pela parábola y x, pela reta tangente a esta parábola em (,, e o eixo x. a (.5 pt Esboce a região R Demonstração. Primeiramente, vamos encontrar a equação da reta tangente à parábola y x no ponto (,. Encontrando o coeficiente angular da reta tangente, temos que y (x x m y ( Segue que m y y (x + e assim a equação da reta x tangente à parábola y x no ponto (, é y x Para encontrar o ponto onde esta reta toca o eixo x, fazemos y na equação da reta. Isto é, x x. Confira então o esboço da região R na Figura b (. pt Encontre a área da região R Demonstração. Observe (Figura que a curva que está por cima entre x e x / é y x e a que está por baixo é o eixo x (y. Já entre x / e x, a curva que está por cima é y x e a que está por baixo é y x. Segue que 6
Figura : Esboço da região R A / / x / [x ] + / [x (x ] x + (x x + / ] + [( [ x + x + x ( + / + ( + ] 7