5.1 Espaço euclidiano tridimensional

Capítulo V Espaço-Tempo de Minkowski O propósito deste capítulo é fazer uma breve incursão na geometria e na nomenclatura do espaço-tempo quadridimensional de Minkowski, onde as equações relativísticas encontram uma formulação matemática mais adequada. No contexto da Relatividade Restrita e da equivalência dos referenciais inerciais, o conhecimento das propriedades de transformação das grandezas físicas sob as transformações de Lorentz são de importância fundamental para que a invariância das grandezas físicas derivadas e a covariância das equações de movimento possam ser facilmente estabelecidas. 5.1 Espaço euclidiano tridimensional Por habitar um mundo tridimensional cuja geometria, localmente, é plana, a geometria espacial é assumida como euclidiana. Nesse espaço, um ponto é definido através de três números ou coordenadas, que podem ser as coordenadas (,, ) no sistema de coordenadas cartesianas ou retangulares. As grandezas físicas são, em geral, funções definidas nesse espaço, e as leis físicas relacionam essas diversas grandezas através de equações ou sistemas de equações. Assumindo que todos os referenciais inerciais são equivalentes, as equações que descrevem as leis físicas devem ter a mesma forma em todos os referenciais inerciais. Assim, devem ser covariantes pelas transformações que relacionam os diversos referenciais inerciais entre si. Dentre essas transformações, há as que envolvem apenas as coordenadas espaciais, os sistemas de referenciais fixos uns em relação a outros, tais como as translações, e as rotações, = (5.1) =, (5.2) os índices variando de 1 a 3. O interesse no momento são as rotações e, por questões de simplicidade, serão consideradas apenas as rotações ao redor do eixo. Uma rotação de ângulo ao redor do eixo é definida pelo conjunto de equações que pode ser indicado na forma matricial onde = + = + = (5.3) = (5.4) 36

é a matriz de rotação. A sua transposta, 0 = 0 (5.5) 0 0 1 0 = 0, (5.6) 0 0 1 é a matriz da transformação inversa, como pode facilmente ser verificado. Essa é uma propriedade geral das matrizes de rotação. Uma matriz de rotação qualquer pode ser obtida pela composição de rotações ao redor dos três eixos de coordenadas, de modo que =, (5.7) = ( )( ) = =. (5.8) Essa propriedade está ligada à invariância por rotação da distância entre dois pontos, Tomando um dos pontos na origem, resulta = ( ) + ( ) + ( ). (5.9) = = ( ) =,,,, (5.10) que mostra a invariância do módulo do vetor posição. Na física newtoniana é comum a representação vetorial das grandezas físicas, indicadas genericamente na forma tendo por padrão o vetor posição = + + = = + + = (5.11) (5.12) onde os representam os três versores nas direções dos eixos coordenados. Por rotação as componentes dos vetores transformam-se da mesma forma que as coordenadas do vetor posição, equação (5.2), =, (5.13) Desse modo, assim como a distância, os produtos escalares entre vetores são invariantes por rotação, 37

A distância na sua forma infinitesimal = = ( ) = =. (5.14), = + + = + + (5.15) define a métrica euclidiana, positiva definida. A física newtoniana assume a geometria espacial euclidiana. 5.2 Espaço-tempo pseudo-euclidiano As transformações de Lorentz tem a característica de misturar as coordenadas do espaço e do tempo. Por exemplo, considere a equação (4.4), uma transformação de Lorentz entre referenciais inerciais e com movimento relativo uniforme ao longo do eixo comum, = ( ) = = = ( ) (5.16) para = < 1 e = 1 1 1, as coordenadas do espaço e do tempo misturando-se de forma simétrica como coordenadas de um espaço-tempo quadridimensional. Os pontos deste espaço-tempo definem os eventos, localizados pelas coordenadas (,,, ) e a separação entre dois eventos é dado pelo intervalo = ( ) (5.17) que define a medida (ou métrica) deste espaço-tempo. Em forma infinitesimal, =. (5.18) A métrica assim definida é invariante por transformações de Lorentz, como facilmente pode ser verificado. No entanto, ao contrário da métrica espacial euclidiana (5.16), a métrica do espaço-tempo não é positiva definida, de modo que a sua geometria não é euclidiana. Para mascarar o sinal negativo da métrica (5.18), pode-se definir as coordenadas de modo que a expressão formal da métrica fica ( =, =, =, = ) (5.19) 38

= = ( ) + ( ) + ( ) + ( ). (5.20) Aparentemente é uma métrica euclidiana, mas continua não sendo positiva definida, como requer a métrica euclidiana. Por essa razão diz-se que a geometria do espaço-tempo definido pelas coordenadas (5.19) é pseudo-euclidiana. Usando essas coordenadas, as transformações de Lorentz, equação (4.4), pode ser expressa na forma = = = = +, (5.21) formalmente idêntica a uma rotação, de ângulo, do plano definido pelas coordenadas e, onde = > 1 e =. (5.22) Veja que embora a identidade trigonométrica seja satisfeita, + = 1, (5.23) a condição > 1 somente é possível se for uma variável complexa (ou imaginária), 5.3 Espaço-tempo de Minkowski = (para real). (5.24) O espaço-tempo quadridimensional de Minkowski é definido pelas coordenadas (,,, ) (com índices superiores) identificadas por ( =, =, =, = ). (5.25) São as coordenadas contravariantes. Em termos dessas coordenadas, a métrica fica = = ( ) + ( ) + ( ) + ( ). (5.26) Além das coordenadas contravariantes, define-se as coordenadas covariantes (,,, ) (com índices inferiores) identificadas por ( = =, = =, = =, = = ). (5.27) Combinando as coordenadas contravariantes e covariantes, a métrica fica = = + + + (5.28) que possibilita a notação compacta = =, (5.29) 39

usando a convenção de soma dos índices repetidos. Por essa convenção, índices repetidos superior e inferior devem ser somados, variando de 0 a 3 para os índices gregos (,,,. ) e de 1 a 3 para os índices latinos (,,,. ). Para as coordenadas contravariantes, as transformações de Lorentz (5.16) ficam ou, usando a variável da equação (5.24) onde observando-se a identidade = ( ) = ( ) = = = h h = h + h = = A matriz de transformação da equação (5.30) é a condição (5.33) equivalente à condição sobre o determinante 40 (5.30) (5.31) h = > 1 e h =, (5.32) h h = 1. (5.33) 0 0 0 0 =, (5.34) 0 0 1 0 0 0 0 1 = 1. (5.35) As coordenadas covariantes, equação (5.27), transformam-se de forma inversa das coordenadas contravariantes, = ( + ) = ( + ) = =, (5.36) sendo que a matriz da transformação inversa pode ser obtida fazendo-se a substituição na matriz da transformação direta (5.34), 0 0 0 0 =. (5.37) 0 0 1 0 0 0 0 1 É possível definir uma representação invariante dos quadrivetores que, numa notação similar à dos vetores usuais, fica = + + +. (5.38)

Para ser invariante, os versores base devem transformar-se de forma inversa das coordenadas contravariantes, isto é, = ( + ) = ( + ) = =. (5.39) As denominações covariante (e contravariante) significam coordenadas que se transformam da mesma forma (e da forma inversa) que os elementos da base. 5.4 Quadrivetores e tensores Os quadrivetores são grandezas com quatro componentes que se transformam da mesma maneira que as coordenadas. No caso particular das transformações (5.30), para as componentes contravariantes = ( ) = ( ) = = (5.40) ( ) = (,,, ). (5.41) As componentes covariantes são definidas da mesma maneira que as coordenadas covariantes, = (,,, ) = (,,, ), (5.42) transformando-se também da maneira inversa das contravariantes. As grandezas físicas usuais são representadas, em geral, pelas componentes contravariantes dos quadrivetores, e muitas vezes é conveniente explicitar as suas componentes temporal e espacial, Para as componentes covariantes, ( ) = (, ) = (, ). (5.43) = (, ) =, = (, ). (5.44) Como as componentes covariantes transformam-se de forma inversa das contravariantes, o produto escalar entre dois quadrivetores ( ) e ( ) definido como (, ) = =, (5.45) com a convenção de soma dos índices superior e inferior repetidos, como no caso da métrica, equação (5.29), é claramente invariante por transformações de Lorentz. A ligação matemática formal entre as componentes contravariantes e covariantes ocorre através do tensor métrico 41

0 = = 1 = = 0 1 = = ( = 1,2,3) que permite introduzir regras para abaixar ou levantar os índices tensoriais,, (5.46) = e =. (5.47) Desse modo o produto escalar pode assumir diversas formas equivalentes, por exemplo, e, para a métrica, que também é um produto escalar, etc. = = (5.48) = = =, (5.49) 5.5 Transformações gerais de Lorentz As transformações gerais de Lorentz, que conectam os referenciais inerciais entre si, assumem a forma = Λ +. (5.50) Incluem as translações (definidas pelos parâmetros ), as rotações espaciais e as transformações especiais de Lorentz (entre referenciais inerciais em movimento relativo uniforme), além das inversões espaciais e temporais. Com as translações incluídas são conhecidas como transformações de Lorentz não homogêneas ou transformações Poincaré. Sem as translações, são as transformações de Lorentz homogêneas, = Λ. (5.51) Contém as rotações espaciais e as transformações especiais de Lorentz (entre referenciais inerciais em movimento relativo uniforme), além das inversões espaciais e temporais. As transformações especiais de Lorentz ao longo dos três eixos coordenados tem como matrizes de transformação, para deslocamentos relativos ao longo do eixo x, para deslocamentos relativos ao longo do eixo y e 0 0 = 0 0 (5.52) 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 = 0 1 0 0 (5.53) 0 0 0 0 0 1 42

0 0 0 1 0 0 = (5.54) 0 0 1 0 0 0 para deslocamentos relativos ao longo do eixo z, onde = e = 1 1, ( = 1,2,3). (5.55) As componentes contravariantes e covariantes dos quadrivetores devem transformarse como e respectivamente. Desse modo o produto escalar transforma-se como a condição de invariância do produto escalar = Λ (5.56) = Λ, (5.57) = Λ Λ = Λ Λ, = impondo a condição sobre as matrizes das transformações Lorentz. Para as componentes = = 0 resulta Λ Λ = δ (5.58) Λ Λ = Λ Λ + Λ Λ = 1 isto é, Λ Λ Λ Λ = 1 Λ = 1 + Λ Λ 1 (5.59) Quando Λ 1 a transformação é ortócrona (o sinal do tempo é mantido) e quando Λ 1 a transformação é não-ortócrona (com inversão temporal). Usando o fato de que a equação (5.58) pode ser escrita na forma matricial = =, (5.60) = Λ Λ ΛΛ =. (5.61) Dessa relação matricial pode-se extrair condições sobre o determinante de Λ, (Λ) = 1 Λ = ±1. (5.62) 43

No caso Λ = 1 diz-se que é uma transformação própria (sem reflexão espacial ou inversão temporal) e no caso Λ = 1 a transformação é imprópria (contém reflexão espacial e ou inversão temporal). Como na transformação identidade Λ = 1 e Λ = 1, (5.63) as transformações contínuas, que podem ser obtidas por uma sucessão infinita de transformações infinitesimais a partir da identidade, devem ser próprias e ortócronas. 5.6 Tensores de Minkowski Os quadrivetores são grandezas cujas componentes contravariantes e covariantes transformam-se da mesma maneira que as coordenadas contravariantes e covariantes, equações (5.56) e (5.57), respectivamente. Na nomenclatura dos tensores, quadrivetores são tensores de primeira ordem e os escalares são tensores de ordem zero. Tensores de segunda ordem são definidos de tal maneira que componentes contravariantes (dois índices superiores), covariantes (dois índices inferiores) ou mistos transformem-se, índice a índice, como as componentes contravariantes ou covariantes dos quadrivetores, = Λ Λ, (5.64) considerando apenas os índices superiores, por comodidade. A generalização para tensores de ordem mais alta é imediata, as componentes contravariantes de tensores de ordem transformando-se como = Λ Λ Λ. (5.65) O tensor métrico, com componentes contravariantes definidos pela equação (5.46), é um tensor de segunda ordem, com a propriedade especial de ser invariante de Lorentz, isto é, = Λ Λ =, (5.66) como resultado da condição (5.61). Essa invariância vem do próprio princípio da relatividade, pois a métrica deve ser a mesma em todos os referenciais inerciais. As regras de abaixamento e de levantamento de índices são válidas para cada índice do tensor, por exemplo, = g. (5.67) Para o tensor métrico, = = = =, etc.. (5.68) 44

Há um outro tensor especial, invariante de Lorentz, conhecido como símbolo ou tensor de Levi-Civita,, completamente antissimétrico nos seus quatro índices, que pode ser definido atribuindo o valor para uma das componentes, = +1. (5.69) Os demais elementos, pela propriedade de antissimetria por permutações entre dois índices quaisquer, somente podem assumir os valores 1, 0 ou 1. As permutações pares definem os elementos = = = +1, por exemplo, e as permutações ímpares definem os outros elementos não nulos, = = 1, por exemplo. Os elementos com índices repetidos, devido à antissimetria, são identicamente nulos, Sendo invariante, Veja também que = = 0, etc.. Λ Λ Λ Λ =. =. (5.70) No formalismo tensorial as grandezas físicas têm propriedades de transformação conhecidas, as equações de movimento são explicitamente covariantes e as quantidades invariantes podem ser obtidas através de produtos escalares. 5.6.1 O símbolo de Levi-Civita O variante tridimensional do tensor completamente antissimétrico de Levi-Civita, =, tem um papel importante no formalismo tensorial, sendo muito utilizado em operações matemáticas envolvendo composições antissimétricas entre componentes tensoriais. Nessa variante tridimensional, as permutações pares dos índices de relacionam as componentes com índices em ordem cíclica, de modo que = = = + e as permutações ímpares definem os outros elementos não nulos de valor 1, = = 1,.. Os elementos com índices repetidos, devido à antissimetria, são nulos. Um exemplo típico de composição antissimétrica de componentes tensoriais é o produto vetorial de dois vetores,, cujas componentes resultam = ( ) =, (5.71) 45

ou, se preferir a notação vetorial, Outro exemplo é o rotacional de um vetor, = = (5.72),, = =. (5.73),, Nesse formalismo as identidades matemáticas envolvendo os operadores diferenciais, 0 e 0, podem ser facilmente verificadas, lembrando que os índices repetidos devem ser somados e que nesse caso tridimensional não há distinção entre índices vetoriais superiores e inferiores, assim como. = = 0 (. ) = 0. Uma maneira prática para determinar as componentes de um produto vetorial é a regra do determinante, =. Esta representação é possível justamente porque o determinante de uma matriz quadrada é definido como Se = 3, logicamente Feitas as substituições = = 1!. (5.74) =.,, resulta a expressão do produto vetorial em forma de determinante. As seguintes igualdades são úteis em operações envolvendo produtos dos símbolos de Levi-Civita: = 3! = 6 = 2! = 2. (5.75) = = + 46

5.7 Quadrivetores velocidade e aceleração Para que o formalismo tensorial seja útil, é necessário que as grandezas físicas sejam representadas como quantidades tensoriais, mantendo uma conexão mínima com as quantidades usuais. Considere as grandezas cinemáticas como a velocidade e a aceleração às quais correspondem, no espaço-tempo quadridimensional de Minkowski, os quadrivetores velocidade e aceleração. O quadrivetor padrão, com as suas propriedades de transformação, é o de posição, definido pelas componentes contravariantes, equação (5.25): ( ) = ( =, =, =, = ). (5.76) O quadrivetor velocidade, ou quadrivelocidade, é definido de maneira similar à velocidade usual. É a derivada do quadrivetor posição em relação ao tempo próprio, =. (5.77) A derivada em relação ao tempo próprio, que é uma invariante relativística, garante que resulte um quadrivetor. De fato, derivando ambos os lados da transformação (5.51) em relação ao tempo próprio, resulta = Λ = Λ, (5.78) que é justamente a transformação de Lorentz de um quadrivetor, no caso a quadrivelocidade. As componentes do quadrivelocidade podem ser identificadas em função das variáveis usuais, pois isto é, = = ( ) =,, onde são as três componentes do vetor velocidade tridimensional e 1 =, =. 1 / =, (5.79) Para o caso das transformações especiais de Lorentz, equação (5.30), as transformações das componentes da quadrivelocidade ficam = ( ) = ( ) = = obtidas diretamente derivando todos os termos em relação ao tempo próprio., (5.80) 47

ou Em particular, a transformação da componente temporal é = ( ) = 1, (5.81) a partir do qual pode-se obter as transformações das componentes espaciais, ou a lei de adição das velocidades, = 1 / = (1 / ) 1, (5.82) = (1 / ) 1 Uma quantidade importante definida pelo quadri-vetor velocidade é a invariante relativística =. (5.83) Derivando a quadri-velocidade em relação ao tempo próprio resulta o quadrivetor aceleração (quadri-aceleração), cuja componente temporal é e as componentes espaciais, = = = (1 / ) = =, (5.84) (5.85) = +, (5.86) onde a é aceleração usual com as suas três componentes. Sendo um quadrivetor, as suas componentes transformam-se como = ( ) = ( ) = = resultando, para as suas componentes espaciais usuais,, (5.87) 48

= 1 1 = (1 / ) (1 / ) + (1 / ). (5.88) = (1 / ) (1 / ) + (1 / ) No referencial onde a partícula se encontra instantaneamente em repouso = 0, Também, pelas equações (5.85) e (5.86), = (, 0,0,0). = (0, ), onde é a aceleração neste referencial. Pode-se observar, de imediato, as invariantes relativísticas = 0 e = (5.89) (o sinal negativo deve-se à escolha da métrica). A invariante (5.89) pode ser obtida, também, derivando a equação (5.83) em relação ao tempo próprio, 5.8 Operadores diferenciais = = 2 = 0. (5.90) As derivadas em relação às coordenadas do espaço-tempo têm propriedades independentes das funções sobre as quais atuam. São os operadores diferenciais = e =. (5.91) Considerando as transformações de Lorentz das coordenadas contra e covariantes, equações (5.51), (5.56) e (5.57), = Λ e = Λ = (Λ ) respectivamente, pode-se determinar as transformações dos operadores diferenciais, = = = (Λ ) 49 = Λ. Mostra que as derivadas em relação às componentes contravariantes das coordenadas transformam-se como componentes covariantes,

= Λ (5.92) enquanto que as derivadas em relação às componentes covariantes das coordenadas transformam-se como componentes contravariantes, = Λ. (5.93) No caso das transformações especiais de Lorentz (5.30), as transformações dos operadores diferenciais ficam para as componentes covariantes e = ( + ) = ( + ) = = = ( ) = ( ) = = (5.94) (5.95) para as contravariantes. A notação tensorial permite escrever equações e expressões matemáticas extremamente compactas além de mostrar claramente as suas propriedades de covariância ou de invariância sob as transformações de Lorentz. Considere, por exemplo, a equação de continuidade na notação usual Em notação tensorial assume a forma compacta + = 0. (5.96) = 0, escrita em forma de um produto escalar de dois quadrivetores, explicitando claramente a sua invariância relativística. Pode-se ver também que o operador laplaciano presente nas equações de onda pode ser expresso como um produto escalar dos operadores diferenciais, explicitando ser uma invariante relativística. 5.9 Quadrivetor de onda = =, (5.97) As equações de Maxwell, na ausência de fontes, podem ser reduzidas a equações de onda que, no vácuo, fica (,,, ) = 0 (5.98) 50

mais a condição de gauge = 0, com as soluções na forma satisfeita a relação (,,, ) =, (5.99) k = 0. (5.100) Representa uma onda eletromagnética propagando-se no espaço com a velocidade da luz e frequência /2. Independente da natureza da função (,,, ) que representa o campo (potencial) eletromagnético, como a luz se propaga da mesma maneira em todos os referenciais inerciais, a fase deve ser uma invariante relativística, uma propriedade que vem naturalmente se considerar como um produto escalar, entre o quadrivetor de onda = (5.101) =, =, (5.102) e o quadrivetor de posição. Sendo um quadrivetor, as componentes devem se transformar como k = (k k ) k = (k k ) k = k k = k ou, em termos de variáveis mais familiares, a frequência angular e vetor de onda, (5.103) = = = =. (5.104) 5.9.1 Efeito Doppler As transformações relativísticas do quadrivetor de onda estão diretamente ligadas às alterações das frequências de recepção em relação às de emissão da radiação eletromagnética devido ao movimento relativo fonte observador, o efeito Doppler. Se for o ângulo formado pelo vetor de onda em relação ao eixo, resultando na relação entre as frequências angulares ou = =, (5.105) = (1 ) (5.106) 51

= (1 ) Em termos das frequências, lembrando que = /2, resulta = (1 ). (5.107), (5.108) fórmula que expressa o efeito Doppler relativístico. Aqui, representa a frequência de emissão por uma fonte em movimento com velocidade uniforme ao longo do eixo (referencial ), a frequência de recepção por um observador em repouso (referencial ), e o ângulo de incidência em relação ao eixo visto pelo mesmo observador. Se for o ângulo de emissão, considerando como ocorrendo no plano, então =. Por outro lado, pelas transformações de Lorentz, = = = ( ), resultando na equação que descreve o efeito da aberração dos ângulos de emissão e de recepção, = 5.9.2 Efeito Doppler longitudinal ( ). (5.109) O efeito Doppler longitudinal ocorre quando a emissão e a recepção da luz ocorrem ao longo da linha de movimento relativo dos mesmos, de modo que a fonte e o observador estão ou se aproximando ou se afastando. O efeito Doppler relativístico depende apenas do movimento relativo entre a fonte e o observador. Dois casos mais relevantes são discutidos: 1. Fonte e observador aproximando-se com velocidade relativa : nesse caso = 0 ( = 0), de modo que a equação (5.108) fica = 1 / (1 /). (5.110) A frequência observada é maior que a frequência de emissão, >, acarretando o desvio para a região do azul. 2. Fonte e observador afastando-se com velocidade relativa : neste caso, = 180⁰ ( = 180⁰), a equação (5.108) resultando 52

= 1 / (1 + /). (5.111) A frequência de observação é menor que a frequência de emissão, <, acarretando o desvio para a região do vermelho (red shift). O espectro eletromagnético de fontes astrofísicas como o sol é contínua e a parte visível corresponde a uma luz branca. No entanto, ao atravessar a sua camada atmosférica, formada por gases menos quentes, os elementos químicos ali presentes absorvem parte da radiação proveniente do interior do astro, formando raias de absorção características. Comparando com as raias espectrais dos elementos químicos obtidas nos laboratórios, pode-se identificar os elementos químicos presentes no sol ou nas estrelas, por exemplo. Quando se analisa o espectro eletromagnético proveniente de objetos astrofísicos distantes, observa-se que há um desvio sistemático para o vermelho (red shift) dessas raias espectrais, indicando que esses objetos estão se afastando. O parâmetro de red shift, definido pelo desvio do comprimento de onda em relação ao comprimento de onda emitida, = resulta, para velocidades não relativísticas, = /. Dados observacionais indicam que o parâmetro é proporcional à distância, que leva à lei de Hubble (5.112) = = H r, (5.113) = H r. (5.114) Significa que os objetos astrofísicos distantes afastam-se com velocidade de forma proporcional à distância. Como isso deve ser verdade para observações feitas em qualquer ponto do universo, de acordo com o princípio da relatividade, sinaliza que o universo, em escala cosmológica (quando a atração gravitacional torna-se tênue) encontra-se em expansão. O valor atual da constante de Hubble é dado por H = 100 h //, (5.115) onde 0,4 < h < 1 define a incerteza do seu valor verdadeiro e = 10 ( 3,2615 3,0856 10¹³) é uma unidade de distância usada em escalas cosmológicas. Lembrando que = / e, portanto, = (1 + /) 1 / = (1 + /) (1 /), (5.116) o parâmetro de red shift, para velocidades relativísticas, resulta 53

(1 + /) = (1 /) 1, (5.117) que pode ser invertida como = ( + 1) 1 ( + 1) + 1, (5.118) de modo que < para qualquer valor de. 5.9.3 Efeito Doppler transversal O efeito Doppler relativístico ocorre mesmo no caso de fonte e observador estar se movendo transversalmente em relação à linha de observação. Nesse caso, = ±/2, resultando = 1 = 1. (5.108) A frequência de observação é menor que a frequência de emissão, sendo identificado como consequência da dilatação do tempo, considerando =, Exercícios =. 1. Para a quadrivelocidade, mostre que =. 2. Se definirmos o tensor métrico com as componentes diagonais ( 1,1,1,1), mostre que resulta =. 3. Obtenha as componentes do quadrivetor aceleração em função das variáveis usuais velocidade e aceleração. 4. Obtenha a lei de transformação da aceleração, por derivação direta das transformações de Lorentz das coordenadas. 5. Demonstre as identidades = 0 e = a partir do resultado do primeiro exercício. 6. Mostre que o tensor métrico é invariante, =, pelas transformações de Lorentz. 7. Mostre que os operadores diferenciais = e = { definem as componentes covariantes e contravariantes, respectivamente, de um quadrivetor. 8. Mostre que a equação = 0, onde (,,, ) é uma função arbitrária, é invariante pelas transformações de Lorentz. 54

9. Mostre que = = 10. Obtenha a lei de transformação para a velocidade e a aceleração para movimentos unidimensionais (ao longo do eixo ). 11. Considerando o resultado anterior, escreva a relação entre a aceleração no referencial próprio e a aceleração no referencial de laboratório. 12. Dois objetos aproximam-se em linha reta, cada qual com velocidade (2/3), visto no referencial de laboratório. Qual é a velocidade de aproximação dos dois objetos para o observador no referencial de laboratório? Qual é a velocidade relativa entre os objetos? Bibliografia 1. H. A. Lorentz, A. Einstein e H. Minkowski, Textos Fundamentais da Física Moderna, I volume - O Princípio da Relatividade (3^{a.} edição), Editora da Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa (1958). 2. Richard A. Mould, Basic Relativity, Springer, NY, 1994. 3. C. Moller, The Theory of relativity (second edition), Oxford University Press (1972). 4. L. Landau and E. L. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Pergamon Press, Oxford (1976). 5. P. G. Bergmann, Introduction to the Theory of Relativity, Dover Publications, NY, (1976).E. L. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Pergamon Press, Oxford (1976). 55