Soluções Cosmológicas e locais para uma Eletrodinâmica modificada

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO Soluções Cosmológicas e locais para uma Eletrodinâmica modificada Calistrato Soares da Câmara Neto Submetida para obtenção do grau de Mestre em Física Novembro 2001

SUMÁRIO 1 Introdução 5 2 Eletromagnetismo de Maxwell 7 2.1 Equações de Maxwell.............................. 7 2.2 Formulação das Equações de Maxwell na Relatividade Especial... 12 2.2.1 Covariância da equação da força de Lorentz........... 17 2.3 O tensor momento-energia para o campo eletromagnético na Relatividade Especial................................. 17 3 Eletromagnetismo na Relatividade Geral 19 3.1 O Princípio da Equivalência e as equações de Einstein......... 19 3.2 O Princípio da Covariância Geral e o Princípio do Acoplamento Gravitacional Mínimo................................ 22 3.3 Equações de Maxwell na Relatividade Geral............... 23 3.3.1 Cálculo Variacional para a Eletrodinâmica de Maxwell na Relatividade Geral............................. 25 3.4 O tensor momento-energia para o campo eletromagnético na Relatividade Geral.................................. 26 4 Propostas Alternativas de Eletromagnetismo 28 4.1 Eletrodinâmica Não-Linear.......................... 28 4.2 Lagrangeanas de Primeira Classe...................... 30 4.3 Lagrangeanas de Segunda Classe...................... 31 4.4 Lagrangeanas efetivas para uma teoria não-linear............ 32 4.5 Comentários Adicionais............................ 33 i

5 Aplicações à Cosmologia 34 5.1 Introdução..................................... 34 5.2 Solução geral para Λ = 0 e um campo magnético dependente do tempo 37 5.3 Solução Geral para Λ = constante 0 e um campo magnético dependente do tempo................................. 39 5.4 Solução Geral para um campo magnético constante e Λ dependente do tempo..................................... 40 5.5 Um comentário sobre a solução para Λ = 0 e um campo magnético dependente do tempo a partir de correções quânticas para a eletrodinâmica clássica............................. 44 6 Aplicações ao Problema da Massa Puntual Carregada 50 6.1 Introdução..................................... 50 6.2 Equações fundamentais............................. 50 6.3 Solução das Equações de Einstein-Maxwell................ 53 7 Conclusões 75 A Relatividade Especial 80 B Quadrivetores 83 ii

LISTA DE FIGURAS 5.1 O painel superior mostra o fator de escala (linha sólida) e o campo magnético (linha tracejada), enquanto que o painel inferior mostra a densidade de energia (linha sólida) e a pressão (linha tracejada) para o modelo com ω = 6, 67 10 31 m 2 /N e Λ = 0. B 0 foi escolhido de tal forma que 2ω B 0 = 0.2 e B 0 /B cr = 0.5.................................... 47 5.2 O painel superior mostra o fator de escala (linha sólida) e o campo magnético (linha tracejada), enquanto que o painel inferior mostra a densidade de energia (linha sólida) e a pressão (linha tracejada) para o modelo com ω = 6, 67 10 31 m 2 /N e uma constante não-nula Λ. Os valores para Λ e B 0 são tais que λ/α 0 = 2 10 4 e 2ω B 0 = 0.2................... 48 5.3 Como na Figura 5.2 mas para λ/α 0 = 5 10 5 e 2ω B 0 = 0.05........ 48 5.4 O fator de escala (linha sólida) e o parâmetro cosmológico (linha tracejada) para o modelo com campo magnético constante, ω = 6, 67 10 31 m 2 /N, Λ dependente do tempo e K 0 > 0 ( 2ω B 0 = 1). No painel superior λ 0 /α 0 = 1 enquanto que no painel inferior λ 0 /α 0 = 0.5.................. 49 5.5 Como na Figura 5.4 mas para K 0 < 0 ( 2ω B 0 = 0.1). No painel superior λ0 /α 0 = 1 enquanto que no painel inferior λ 0 /α 0 = 0.5........... 49 6.1 A figura mostra o campo elétrico radial E 2, relação (6.41), para ω = 1 10 12 m 2 /N, α = 382 C.m/s e π 3 > Θ π 6 ].............. 66 6.2 A figura mostra o campo elétrico radial E 2, relação (6.41), para ω = 1 10 12 m 2 /N, α = 382 C.m/s e π 3 > Θ π 2 ]............ 66 6.3 A figura mostra o campo elétrico radial E 2, relação (6.41), para ] ω = 1 10 12 m 2 /N, α = 382 C.m/s e π > Θ 5π 6............. 67 6.4 A figura mostra o campo elétrico radial E 2, relação (6.41), para ω = 1 10 12 m 2 /N, α = 382 C.m/s e 0 < Θ π 6 ]............. 67 iii

6.5 A figura mostra o campo elétrico radial E 2, relação (6.41), para ] ω = 1 10 12 m 2 /N, α = 382 C.m/s e 2π 3 < Θ π 2.......... 68 6.6 A figura mostra o campo elétrico radial E 2, relação (6.41), para ] ω = 1 10 12 m 2 /N, α = 382 C.m/s e 2π 3 < Θ 5π 6............ 68 6.7 A figura mostra o campo elétrico radial E 3, relação (6.42), para ω = 1 10 12 m 2 /N, α = 382 C.m/s e π 3 > Θ π 2 ]............ 69 6.8 A figura mostra o campo elétrico radial E 3, relação (6.42), para ω = 1 10 12 m 2 /N, α = 382 C.m/s e π 3 > Θ π 6 ].............. 69 6.9 A figura mostra o campo elétrico radial E 3, relação (6.42), para ω = 1 10 12 m 2 /N, α = 382 C.m/s e π 3 > Θ π 2 ]............ 70 6.10 A figura mostra o campo elétrico radial E 3, relação (6.42), para ] ω = 1 10 12 m 2 /N, α = 382 C.m/s e 2π 3 < Θ π 2.......... 70 6.11 A figura mostra o campo elétrico radial E 3, relação (6.42), para ] ω = 1 10 12 m 2 /N, α = 382 C.m/s e 2π 3 < Θ 5π 6........... 71 6.12 A figura mostra o campo elétrico radial E 3, relação (6.42), para ω = 1 10 12 m 2 /N, α = 382 C.m/s e 0 < Θ π 6 ]............. 71 6.13 A figura mostra o gráfico da componente g 00, solução (6.55), para ω = 6, 67 10 11 m 2 /N e α = 1, 6 10 2 C.m/s................. 72 6.14 A figura mostra o campo elétrico radial E da solução (6.58) (linha sólida) e o campo elétrico clássico (linha tracejada), obtidos para ω = 6, 67 10 11 m 2 /N e α = 160 C.m/s.................... 72 6.15 A figura mostra o campo elétrico radial E da solução (6.58) (linha sólida) e o campo elétrico clássico (linha tracejada), obtidos para ω = 6, 67 10 11 m 2 /N e α = 160 C.m/s................... 73 6.16 A figura mostra o campo elétrico radial E da solução (6.60) para ω = 6, 67 10 11 m 2 /N e α = 160 C.m/s................... 73 6.17 A figura mostra a componente g 00 da métrica para a solução de Reissner-Nordström (linha sólida) e a relação (6.59) obtida numericamente (linha tracejada) para ω = 6, 67 10 11 m 2 /N e α = 1, 6 10 2 C.m/s.... 74 iv

LISTA DE TABELAS 2.1 Equações de Maxwell, relações constitutivas e constantes eletromagnéticas nos principais sistemas de unidade........................... 11 2.2 Principais grandezas eletromagnéticas no SI e no Sistema Gaussiano..... 12 6.1 A tabela abaixo mostra o comportamento das soluções E 1 para r > r c e r > r c, o comportamento assintótico (r ) e analisa a validade física dessas soluções em relação ao campo coulombiano......................... 59 6.2 A tabela seguinte mostra, de forma análoga a tabela anterior, o comportamento para as soluções E 2................................. 60 6.3 A tabela seguinte mostra, de forma análoga a tabela anterior, o comportamento para as soluções E 3................................. 61 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE Soluções Cosmológicas e locais para uma Eletrodinâmica modificada Submetida para obtenção do grau de Novembro 2001 Calistrato Soares da Câmara Neto ABSTRACT Mestre em Física The present work investigates some consequences that arise from the use of a modified lagrangean for the eletromagnetic field in two different contexts: a spatially homogeneous and isotropic universe whose dynamics is driven by a magnetic field plus a cosmological parameter Λ, and the problem of a static and charged point mass (charged black hole). In the cosmological case, three different general solutions were derived. The first, with a null cosmological parameter Λ, generalizes a particular solution obtained by Novello et al gr-qc/9806076]. The second one admits a constant Λ and the third one allows Λ to be a time-dependent parameter that sustains a constant magnetic field. The first two solutions are non-singular and exhibit inflationary periods. The third case studied shows an inflationary dynamics except for a short period of time. As for the problem of a charged point mass, the solutions of the Einstein-Maxwell equations are obtained and compared with the standard Reissner-Nordström solution. Contrary to what happens in the cosmological case, the physical singularity is not removed. 2

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE Soluções Cosmológicas e locais para uma Eletrodinâmica modificada Submetida para obtenção do grau de Novembro 2001 Calistrato Soares da Câmara Neto RESUMO Mestre em Física No presente trabalho são investigadas algumas conseqüências da utilização de uma nova lagrangeana para a eletrodinâmica em dois contextos: um universo espacialmente homogêneo e isotrópico com campo magnético mais um parâmetro cosmológico Λ e o problema da massa puntual carregada e estática (buraco negro carregado). No caso cosmológico, foram obtidas três soluções gerais: a primeira delas, para Λ = 0, generaliza uma solução particular obtida por Novello et al gr-qc/9806076], a segunda admite um parâmetro cosmológico constante e não-nulo e a terceira corresponde a um campo magnético constante sustentado por um Λ dependente do tempo. As duas primeiras soluções são não-singulares e possuem períodos inflacionários. A terceira solução apresenta uma dinâmica inflacionária exceto por um curto intervalo de tempo. No contexto do problema da massa puntual carregada, a solução das equações de Einstein-Maxwell é obtida e comparada com a solução padrão de Reissner-Nordström. Ao contrário do caso cosmológico, a singularidade física não é removida. 3

AGRADECIMENTOS A Deus, por ter me dado essa oportunidade. A minha Família, pela paciência e colaboração durante todos os anos da minha vida. Ao meu orientador, Prof. Dr. Márcio Maia, pelos quatro anos de amizade. Aos Professores Joel Câmara Carvalho e José Ademir Sales de Lima, pela importante contribuição nesse trabalho. Ao colega Jailson, pelos conselhos e pela colaboração importante nos momentos decisivos. Aos demais colegas e professores da Pós-Graduação pela amizade e pela contribuição para a minha formação acadêmica. Ao DFTE e ao Programa de Pós-Graduação em Física da UFRN, pelo apoio importante para a realização desse trabalho. À Capes, pela bolsa concedida. 4

CAPÍTULO 1 Introdução A Relatividade Geral tem tido grande êxito na sua tentativa de explicar a origem e a evolução do universo. Várias das suas previsões teóricas foram confirmadas observacionalmente ao longo do século XX. Por outro lado, a Teoria da Gravitação de Newton é bastante adequada para descrever a maioria dos fenômenos físicos que ocorrem em nossa galáxia. Já a Eletrodinâmica Clássica de Maxwell é uma teoria formulada a partir da observação macroscópica de fenômenos eletromagnéticos e sua aplicação tecnológica atual é bastante extensa. No domínio atômico, contudo, essa teoria requer modificações. A Eletrodinâmica Quântica é uma das propostas para se descrever esse domínio da realidade. Em uma descrição mais realística da origem do universo, assim como na análise dos buracos negros, a estrutura de pequena escala deve ser considerada 1]-2]. Nessa estrutura, o acoplamento entre a gravitação e as outras interações se modificam em relação a estrutura de larga escala. O presente trabalho analisa algumas eletrodinâmicas não clássicas e suas correlações com a gravitação. Esse assunto tem sido extensivamente estudado ao longo das últimas décadas 3]-10]. Tratamos aqui, mais especificamente, da alteração de soluções cosmológicas no contexto dos modelos de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) e de soluções para uma massa puntual carregada, generalizando a solução de Reissner-Nordström 11]. A dissertação está organizada em capítulos como se segue. No Capítulo 2 é feita uma introdução ao Eletromagnetismo de Maxwell, apresentando as principais equações na formulação diferencial e na formulação covariante no contexto da Relatividade Especial. A referência 12] foi a principal fonte utilizada. No Capítulo 3 são apresentados os principais princípios e equações da Relatividade Geral. Além disso, a formulação covariante das Equações de Maxwell na Relatividade Geral é obtida 5

a partir do Princípio do Acoplamento Mínimo. O Capítulo 4 apresenta um resumo de algumas das propostas de eletromagnetismo não clássico e suas principais conseqüências. Dentre as fontes utilizadas, a mais analisada para esse capítulo foi a referência 4]. O Capítulo 5 constitui uma aplicação à Cosmologia do acoplamento escolhido para ser analisado neste trabalho. Esse capítulo mostra como uma eletrodinâmica não-linear altera a solução cosmológica padrão para o universo de FRW. Ao final do capítulo é feita uma comparação entre a nossa solução e a solução da referência 1], obtida a partir de correções quânticas. O Capítulo 6 é uma aplicação ao problema da massa puntual carregada. A solução padrão de Reissner-Nordström é resgatada e uma nova solução é obtida para uma eletrodinâmica não-linear. Essas duas soluções são comparadas e algumas diferenças são apresentadas e discutidas. O Capítulo 7 resume alguns resultados e dificuldades e apresenta propostas de desenvolvimento desse trabalho. O Sistema Internacional de Unidades (SI) será utilizado ao longo de toda esta dissertação, salvo menção explícita em contrário. A assinatura da métrica utilizada é 2. Os índices gregos assumirão os valores 0, 1, 2 e 3 enquanto os índices arábicos assumirão os valores 1, 2 e 3. 6

CAPÍTULO 2 Eletromagnetismo de Maxwell Como fundamentação teórica para essa dissertação, apresentarei um resumo da parte principal da teoria da Eletrodinâmica Clássica na Relatividade Especial, a qual será utilizada neste trabalho. As Equações de Maxwell são apresentadas, tanto nas formas diferencial e covariante, como a partir de cálculo variacional. Os aspectos e as conseqüências físicas relevantes dessas equações também são discutidos. No final do capítulo, é apresentada a formulação covariante da equação da força de Lorentz. Uma explicação mais detalhada do assunto referente a esse capítulo é encontrada nas referências 11]-13]. 2.1 Equações de Maxwell A teoria eletromagnética clássica foi desenvolvida a partir de um extenso trabalho experimental. Suas leis fundamentais são, portanto, de natureza empírica. Por essa razão, elas não podem ser provadas do ponto de vista teórico. Durante mais de dois séculos, foram realizadas diversas experiências que comprovaram macroscopicamente a sua validade. Essas leis são expressas pelas quatro Equações de Maxwell, que são as equações fundamentais da teoria eletromagnética. No SI, as equações de Maxwell, para fontes no vácuo, são 12] E = ρ ɛ 0, (2.1) B = µ 0 J + µ0 ɛ 0 E t, (2.2) E + B t 7 = 0, (2.3)

B = 0, (2.4) onde E, B, J, µ0, ɛ 0 e ρ são, respectivamente, o campo elétrico, a indução magnética, a densidade de corrente, a permeabilidade magnética do vácuo, a permissividade elétrica do vácuo e a densidade de carga. A primeira relação expressa a Lei de Gauss para a eletricidade e pode ser obtida da Lei de Coulomb para a a força elétrica. A dependência da força elétrica com o inverso do quadrado da distância foi mostrada quantitativamente por Coulomb e Cavendish. Através das suas experiências com a balança de torção e esferas concêntricas, eles mostraram essa dependência com pequena precisão. Experiências mais precisas testam a validade da lei do inverso do quadrado da distância de duas formas: (a) Supondo que a força varia com 1 r 2+δ, onde r é a distância entre duas cargas elétricas, e estabelecendo um limite superior para δ. (b) Admitindo que o potencial eletrostático tem a forma do potencial de Yukawa r 1 e αr e estabelecendo um limite para α ou α 1. Como α = mγc h onde m γ é a massa do fóton, c é a velocidade da luz no vácuo e h é a constante de Planck dividida por 2π, o teste da lei do inverso do quadrado da distância pode ser realizado através do estabelecimento de um limite superior para m γ. Williams, Faller e Hill 12], realizando uma experiência semelhante à de Cavendish, obtiveram o limite δ (2, 7 ± 3, 1) 10 16. Medidas do campo geomagnético da terra fornecem um limite para a massa do fóton de m γ 4 10 51 kg ou α 1 10 8 m. Experiências mais precisas mostram que a Lei de Coulomb é válida para r 10 17 m, podendo a massa do fóton ser considerada nula nesse caso. A segunda equação é uma generalização da Lei de Ampère. O termo µ 0 ɛ 0 E t foi adicionado por Maxwell à Lei de Ampère B = µ 0 J. A introdução desse termo é considerada como uma das maiores contribuições dada por Maxwell à teoria eletromagnética. A equação (2.3) expressa a Lei de Indução de Faraday e nos permite quantificar o fenômeno da indução eletromagnética. A última relação expressa a inexistência de monopólos magnéticos. 8

Tomando-se o divergente da relação (2.2) e empregando a equação (2.1), obtém-se uma equação de continuidade relacionando a densidade de corrente e a densidade de carga ρ t + J = 0. (2.5) Outra importante conseqüência das equações de Maxwell é que a luz é uma onda eletromagnética e sua velocidade em um determinado meio pode ser medida através da permissividade elétrica ɛ e da permeabilidade magnética µ desse meio. Para o vácuo essa velocidade é c = 2, 99792458 10 8 m/s, valor este que tem extrema importância nos fenômenos óticos e no estudo da Teoria da Relatividade. Ela também é uma das constantes fundamentais da Física e é utilizada para definir o metro no SI. Outra relação importante do Eletromagnetismo é a força de Lorentz que age sobre uma partícula carregada q movendo-se com velocidade v, F = q( E + v B). (2.6) As equações de Maxwell no vácuo são lineares nos campos E e B. A dispersão cromática e a difração dos raios-x são exemplos de fenômenos físicos em que essa linearidade é válida. Diversas observações experimentais mostram que a linearidade é válida tanto para campos macroscópicos como para campos criados em níveis atômicos. Existem também situações em que efeitos não-lineares ocorrem. Os materiais ferromagnéticos e os cristais submetidos a intensos feixes de laser são alguns exemplos. Em níveis atômicos e subatômicos, a linearidade pode também não ser válida. Existe uma não linearidade dos campos eletromagnéticos na Mecânica Quântica que surge devido ao Princípio da Incerteza permitir a criação de um par elétron-pósitron por dois fótons e um subseqüente desaparecimento do par com a emissão de dois outros fótons diferentes. Este processo é conhecido como espalhamento de luz por luz. Para um meio qualquer, as equações de Maxwell são escritas para os campos macroscópicos, ou seja, não são considerados os campos produzidos por cada partícula elementar que constitui a distribuição de carga e sim a média macroscópica dos campos por elas produzidas. Essas equações são D = ρ, (2.7) H = J + D t, (2.8) 9

E + B t = 0, (2.9) B = 0, (2.10) onde D é o deslocamento elétrico e H é o campo magnético. As relações constitutivas D = D( E), H = H( B) e J = J( E), para meios lineares e isotrópicos, são, no SI, D = ɛ E, (2.11) H = µ B, (2.12) J = g E, (2.13) onde ɛ, µ e g são, respectivamente, a permissividade elétrica, a permeabilidade magnética e a condutividade elétrica do meio. A terceira relação constitutiva é conhecida como Lei de Ohm. É possível também relacionar D e E com a polarização P e H e B com a magnetização M, D = ɛ 0 E + P, (2.14) H = 1 µ 0 B M. (2.15) Existem ainda situações mais gerais em que (2.11), (2.12) e (2.13) são generalizadas pelas relações D = D( E, B), H = H( E, B) e J = J( E, B). A Tabela 2.1 mostra as equações de Maxwell nos sistemas de unidades mais comuns 12], assim como os valores de ɛ 0 e µ 0. As relações entre D, E e P e entre H, B e M também se encontram nesta tabela. A Tabela 2.2 mostra como converter as diversas grandezas eletromagnéticas do Sistema Gaussiano para o SI. 10

Tabela 2.1: Equações de Maxwell, relações constitutivas e constantes eletromagnéticas nos principais sistemas de unidade Eletrostático 1 c 2 D = E + 4π P D = 4πρ H = B 4π M Eletromagnético c 2 1 D = 1 c 2 E+4π P H = B 4π M H = 4π J c E + 1 c B = 0 D = 4πρ + 1 c D t B t = 0 H = 4π J + D t E + B t = 0 B = 0 Gaussiano 1 1 D = E + 4π P D = 4πρ Sistema ɛ 0 µ 0 D, H Equações de Maxwell Heaviside- Lorentz MSKA 10 7 4πmc 2 H = B 4π M H = 4π J c E + 1 c B = 0 1 1 D = E + π P D = ρ H = B π M + 1 c D t B t = 0 H J = c + 1 D c t E + 1 c B = 0 4π 10 7 D = ɛ0 E + P D = ρ B t = 0 H = J + D t H = 1 µ 0 B M E + B t = 0 B = 0 11

Tabela 2.2: Principais grandezas eletromagnéticas no SI e no Sistema Gaussiano Quantidade Gaussiano Internacional Velocidade da luz c 1 ɛ0 µ 0 Campo Elétrico(potencial, voltagem) E(φ, V ) 4πɛ0 E(φ, V ) Deslocamento Elétrico D 4πɛ0 D Densidade de carga ρ(q, J, I, P ) ρ(q, J,I, P ) 4πɛ0 Indução Magnética B 4π µ 0 B Campo Magnético H 4πµ0 H Magnetização M µ0 4π M Condutividade Permissividade elétrica ɛ ɛ ɛ 0 Permeabilidade magnética µ g g 4πɛ 0 Resistência(Impedância) R(Z) 4πɛ 0 R(Z) Indutância L 4πɛ 0 L Capacitância C C 4πɛ 0 Polarização P P 4πɛ0 Densidade de corrente J J 4πɛ0 µ µ 0 2.2 Formulação das Equações de Maxwell na Relatividade Especial Em 1904, H. A. Lorentz encontrou um tipo de transformação que deixava as Equações de Maxwell invariantes na sua forma. Apesar dessa descoberta, ele não conseguiu dar um significado físico para a mesma. Essa transformação é conhecida como transformação de Lorentz. Poincaré e Lorentz demonstraram a invariância da forma das Equações de Maxwell sob as transformações de Lorentz antes da formulação da Relatividade Especial. A invariância da forma, ou covariância, dessas equações, e da força de Lorentz, implica que as fontes ρ e J e os campos E e B transformam-se de uma maneira bem definida sob as transformações entre referenciais inerciais. As Equações de Maxwell, e as equações delas derivadas, podem ser escritas em uma forma 12

covariante na Relatividade Restrita. Para a equação da continuidade (2.5) podemos definir um quadrivetor corrente J α = (cρ, J 1, J 2, J 3 ), onde J 1 = J x, J 2 = J y, J 3 = J z. Dessa forma, a equação da continuidade é escrita na forma covariante como α J α = 0. (2.16) A definição de J α como quadrivetor decorre do fato que a carga elétrica q é invariante sob as transformações de Lorentz. Esta invariância é provada experimentalmente. Experiências mostram que a carga do elétron não depende significativamente da velocidade, pelo menos para velocidades da ordem de 0, 4c. Como dq é invariante e dq = ρd 3 x onde d 3 x é o elemento infinitesimal de volume, então cρ se transforma como a componente x 0 do quadrivetor posição, isto é, como a componente temporal da quadricorrente. De forma análoga, J = (J 1, J 2, J 3 ) se transforma como as componentes espaciais da quadricorrente. Das equações (2.3) e (2.4), obtemos as relações abaixo para os campos E e B onde A é o potencial vetor e φ é o potencial elétrico. E = A φ, t (2.17) B = A, (2.18) Substituindo-se (2.17) e (2.18) em (2.2), obtemos ( A = µ 0J + µ0 ɛ 0 ) A t t φ. (2.19) Usando-se um pouco de álgebra vetorial e o fato de que A = ( A) 2 A, a equação (2.19) pode ser escrita como 1 2 A c 2 t 2 2 A + ( A + µ 0 ɛ 0 φ t ) = µ 0J. (2.20) As escolhas do potencial elétrico φ e do potencial vetor A não são únicas. A partir destes dois potenciais, podemos definir vários outros potenciais φ e A que também satisfazem as equações (2.17) e (2.18) desde que φ = φ + ψ t, (2.21) A = A ψ. (2.22) onde ψ é uma função escalar arbtrária. A escolha da função ψ é denominada condição de gauge (ou condição de calibre). A escolha mais usual é a condição de Lorentz, que é dada pela relação µ 0 ɛ 0 φ t + A = 0. (2.23) 13

Usando-se a condição de Lorentz na relação (2.20), obtemos a equação de onda para o potencial vetor, 1 2 A c 2 t 2 2 A = µ0j. (2.24) Substituindo-se a relação (2.17) em (2.1) e utilizando-se a condição de Lorentz, obtemos a equação de onda para o potencial elétrico, 1 2 φ c 2 t 2 2 φ = ρ. (2.25) ɛ 0 A equação de onda mais geral, relação (2.20), e a condição de Lorentz são escritas em uma forma covariante se definirmos um quadripotencial A α = ( φ c, A1, A 2, A 3 ) onde A 1 = A x, A 2 = A y, A 3 = A z. Obtemos assim, A α α ( β A β ) = µ 0 J α, (2.26) β A β = 0, (2.27) onde o operador é definido no Apêndice B. Substituindo (2.27) em (2.26), obtemos a forma covariante das relações (2.24) e (2.25), A α = µ 0 J α. (2.28) As componentes dos campos E e B também são obtidas através de um tensor de segunda ordem e antissimétrico: o tensor intensidade de campo eletromagnético F αβ. Observando as relações (2.17) e (2.18), definimos este tensor em termos do quadripotencial como Na forma matricial, este tensor é escrito como F αβ = F αβ = α A β β A α. (2.29) 0 E x c E y c E z c Ex c 0 B z B y Ey c B z 0 B x Ez c B y B x 0. (2.30) Com a utilização da métrica de Minkowski η αβ, relação (B.15), obtemos o tensor intensidade de campo eletromagnético covariante na forma matricial 0 Ex c Ey c Ez c F αβ = E x c 0 B z B y E y c B z 0 B x E z c B y B x 0 14 (2.31)

ou pode ser definido por F αβ = β A α α A β, (2.32) onde o quadripotencial covariante A α é obtido do contravariante A α através da relação (B.16). A forma covariante das relações (2.21) e (2.22) é Ā α = A α + α Ψ. (2.33) A partir do tensor covariante F αβ é possível definir um tensor intensidade de campo eletromagnético dual F αβ. Antes disso, é necessário definir o tensor de quarta ordem totalmente antissimétrico ɛ αβγδ, como +1 para α = 0, β = 1, γ = 2, δ = 3 e permutações pares ɛ αβγδ = 1 para permutações ímpares 0 para quaisquer índices iguais. (2.34) O tensor intensidade de campo eletromagnético dual F αβ é definido na Relatividade Restrita pela relação F αβ = 1 2 ɛαβγδ F γδ. (2.35) Na forma matricial, 0 B x B y B z E F αβ B x 0 z = c Ey c B y Ez E c 0 x c E B y z c Ex c 0. (2.36) As equações (2.1) e (2.2) assumem uma forma covariante em termos de F αβ e de J α através da relação β F αβ = µ 0 J α. (2.37) A forma covariante das outras duas Equações de Maxwell, (2.3) e (2.4), é obtida em termos de F αβ e F αβ através da equação ou, alternativamente, β F αβ = 0, (2.38) α F βγ + β F γα + γ F αβ = 0. (2.39) Para o caso das Equações de Maxwell macroscópicas (ver Tabela 2.1), define-se mais um tensor G αβ. Este tensor é obtido do tensor F αβ, substituindo-se as componentes de E c 15 pelas

de c D e as componentes de B pelas de H. A forma covariante das Equações de Maxwell macroscópicas são dadas, então, pelas relações β G αβ = J α, (2.40) β F αβ = 0. (2.41) Uma outra forma de se obter as Equações de Maxwell na Relatividade Especial é utilizando-se a densidade lagrangeana L R para o campo eletromagnético. Para obtenção dessa densidade lagrangeana são utilizados três critérios 8] : linearidade, invariância de gauge e de Lorentz. O primeiro critério exige que as equações da eletrodinâmica envolvam derivadas primeiras dos campos elétrico e magnético. O segundo e o terceiro critério exigem que as equações de campo sejam invariantes sob a escolha do calibre e as transformações de Lorentz. Portanto, a densidade lagrangeana deve ser uma combinação linear dos invariantes de Lorentz. Para a Relatividade Especial, os invariantes de Lorentz F e F são e F = F αβ F αβ. (2.42) F = F αβf αβ. (2.43) Exigindo-se a conservação de paridade como critério adicional, L R é dada pela relação onde o índice R se refere a Relatividade Restrita. No entanto, sabemos que L R = 1 4µ 0 F J γ A γ, (2.44) F αβ F αβ = g αµ g βν F αβ F µν. (2.45) As equações de Euler para a densidade lagrangeana do campo eletromagnético são ] LR x β L R = 0. (2.46) ( β A α ) A α Usando-se a densidade lagrangeana (2.44) na relação anterior e a definição de F αβ, dada por (2.29), obtemos e L R A α = J α (2.47) L R ( β A α ) = 1 µ 0 g αµ g βν F µν = 1 µ 0 F αβ. (2.48) Substituindo as relações (2.47) e (2.48) na relação (2.46), obtemos as equações de Maxwell com fontes. 16

2.2.1 Covariância da equação da força de Lorentz O quadrivetor força f que atua em uma determinada partícula é definido como f α = d(mu α ) dτ = ( U f c, U 0f 1 c, U 0f 2, U ) 0f 3 = qf βα U β, (2.49) c c onde U = (U 1, U 2, U 3 ) e U 0 são as componentes espaciais e a componente temporal da quadrivelocidade U α. A quadrivelocidade covariante U β é obtida através da relação (B.16). A grandeza m é a massa do corpo medida em um referencial em que o corpo está em repouso (massa de repouso) e f = (f 1, f 2, f 3 ) é a força tridimensional que age no corpo. A força de Lorentz (2.6) que age sobre uma partícula de carga q também pode ser expressa pela relação F = d p dt = q( E + v B), (2.50) onde p = m U = (p 1, p 2, p 3 ) é a parte espacial do quadrivetor momento. Diferenciando p em relação ao tempo próprio τ e usando a relação (2.49), temos que a componente espacial do quadrivetor força é A parte temporal é dada por d p dτ = q c (U 0 E + c U B). (2.51) dp 0 dτ = q c U E. (2.52) A covariância das equações (2.51) e (2.52), bem como das equações de Maxwell, é exigida pela teoria da Relatividade Restrita e representa a covariância da equação da força de Lorentz. 2.3 O tensor momento-energia para o campo eletromagnético na Relatividade Especial No contexto da Relatividade Restrita, podemos definir um tensor que possui entre as suas componentes as densidades de energia e de momento do campo eletromagnético. Esse tensor é chamado tensor momento-energia T µν e, para o vácuo, é definido pela relação T µν = 4 L ( ) R F F µ α F LR αν + F F L R η µν. (2.53) Utilizando-se a densidade lagrangeana (2.44) na relação (2.53), encontramos o tensor momento-energia 17

e as suas componentes ( ) 1 T µν = F α µ F αν + µ 0 T 00 = 1 2 ( ɛ 0 E 2 + B2 µ 0 ) ( ) ] 1 F αβ F αβ η µν 4 (2.54), (2.55) (T 01, T 02, T 03 ) = 1 c ( E B), (2.56) T 11 = 1 (1 ) ( ) ( )] E 2 E 2 µ 0 2 c 2 B2 x c 2 B2 y B2 z, (2.57) T 22 = 1 (1 ) ( E 2 ) ( )] E 2 µ 0 2 c 2 y B2 c 2 B2 x Bz 2, (2.58) T 33 = 1 (1 ) ( E 2 ) ( )] E 2 µ 0 2 c 2 B2 z c 2 B2 x By 2, (2.59) ( ) ] 1 Em E n T mn = µ 0 c 2 + B m B n, (2.60) onde m n. T ij = T ji. (2.61) As relações (2.55) e (2.56) expressam, respectivamente, as densidades de energia e momento do campo eletromagnético. A grandeza ( E B) também é conhecida como vetor de Poynting. Subindo-se os índices do tensor momento-energia (2.54) com o auxílio do tensor métrico contravariante η αβ e diferenciando-o em relação a x β, obtemos através das equações de Maxwell para o vácuo β T αβ = 0. (2.62) As relações (2.62) e (2.61) expressam, respectivamente, a conservação da energia- -momento e a conservação do momento angular na Relatividade Especial. 18

CAPÍTULO 3 Eletromagnetismo na Relatividade Geral 3.1 O Princípio da Equivalência e as equações de Einstein A formulação da Teoria da Relatividade teve como sua hipótese principal a covariância das equações de Maxwell e da equação da força de Lorentz. Uma das principais conseqüências dessa teoria foi a necessidade de se reformular a Mecânica Clássica, de modo que suas equações permanecessem covariantes sob as transformações de Lorentz entre referenciais inerciais. A Relatividade Restrita nada nos fala sobre como as leis da Física se transformam entre referenciais não-inerciais e nem se a Teoria de Gravitação de Newton está conceitualmente correta. Para tentar resolver esses problemas, Einstein propôs, em 1911, o Princípio da Equivalência (PE), que foi o ponto inicial para o desenvolvimento de uma nova teoria de gravitação. Em 1916, ele publicou a Relatividade Geral, uma teoria mais geral, que tem a Teoria da Gravitação de Newton e a Relatividade Restrita como casos limites. A forma forte do Princípio da Equivalência pode ser enunciada como: Em cada ponto do espaço-tempo em um campo gravitacional arbitrário, é possível escolher um sistema de coordenadas inercial local, tal que, dentro de uma região suficientemente pequena e próxima deste ponto, todas as leis da Física tomam a mesma forma que na Relatividade Especial. Neste enunciado acima, a expressão uma região suficientemente pequena e próxima do ponto se refere a uma região em que o campo gravitacional seja praticamente uniforme. A principal conseqüência desta forma forte do PE é que, dentro de uma região em que exista gravidade, os sistemas de coordenadas inerciais só podem existir localmente. Outra conseqüência é que o conceito de aceleração passa a ser relativo, uma vez que as leis da Física devem ser covariantes para os referenciais não-inerciais. 19

Como foi dito anteriormente, a Relatividade Geral é uma generalização da Relatividade Restrita e da Lei da Gravitação de Newton. Essa última possui como uma das suas relações fundamentais a equação de Poisson 2 φ = 4πGρ m, (3.1) onde φ é o potencial gravitacional, ρ m é a densidade de massa e G = 6, 67 10 11 m 3 kg 1 s 2 é a constante de gravitação universal. Quando passamos para a Relatividade Geral, o tensor métrico g αβ faz o papel do potencial φ e o tensor momento-energia T αβ passa a fazer o papel da densidade ρ m. A componente 00 deste último tensor é proporcional a densidade de massa e a equação (3.1) pode ser generalizada para R αβ 1 2 g αβr = kt αβ, (3.2) onde R αβ é o tensor de Ricci, R é o escalar de Ricci, k é a constante de gravitação de Einstein e T αβ é o tensor momento-energia com dois índices covariantes. A relação (3.2) fornece as equações de Einstein para a gravitação. O tensor e o escalar de Ricci são obtidos do tensor métrico através das relações Γ γ αβ = Γ γ β α = 1 2 gδγ ( gαδ x β R αβ = R βα = 2 ln g x α x β + g δβ x α g ) αβ x δ, (3.3) Γγ αβ x γ + Γδ µ α Γ µ δ β Γµ αβ ln g x µ, (3.4) R = R α α = g αβ R αβ, (3.5) onde g é o determinante do tensor métrico g αβ e Γ γ αβ são denominados símbolos de Christoffel. A relação (3.2) também pode ser escrita em termos de tensores mistos como onde δ αβ é o tensor misto delta de Kronecker. Definindo o tensor de Einstein como podemos escrever (3.2) na forma R α β 1 2 δ α β R = kt α β, (3.6) G αβ = R αβ 1 2 g αβr, (3.7) G αβ = kt αβ. (3.8) Esta equação mostra como a matéria (representada pelo tensor momento-energia) afeta a geometria do espaço-tempo (representada pelo tensor de Einstein). 20

Se contraírmos os índices α e β na relação (3.2) obtemos R = kt, (3.9) onde T = T α α = g αβ T αβ é o traço do tensor momento-energia. a Utilizando-se (3.9) em (3.2), temos que ( R αβ = k T αβ g ) αβt. (3.10) 2 Para o espaço vazio, o tensor momento-energia é nulo e as equações de Einstein se reduzem R αβ = 0. (3.11) As equações de Einstein no espaço vazio também são chamadas de equações de Einstein para o vácuo. O fato do tensor de Ricci ser nulo não implica que o espaço tempo é plano. Para que isso aconteça é necessário que o tensor de Riemann se anule. Este tensor é definido como R α βγδ = Γ α β γ x δ Γ α β γ x γ + Γµ β γ Γ α δ µ Γµ β δ Γ α γ µ. (3.12) A constante de gravitação de Einstein k pode ser determinada se tomarmos o limite no qual a equação (3.8) se reduz a (3.1). No SI, esta constante tem o valor k = 8πG c 4. (3.13) A derivada covariante de um tensor misto de segunda ordem E α β é dada pela relação k E α β = Eα β x k Γl β k E α l + Γ α k m Em β. (3.14) Tomando-se a derivada covariante do primeiro membro da equação (3.6), obtemos Portanto, o tensor momento-energia satisfaz a igualdade β Rα β 1 ] 2 δβ αr = 0. (3.15) β T αβ = 0. (3.16) Esta relação expressa a conservação de energia e do momento na Relatividade Geral. Uma das propriedades importantes das equações de Einstein é que elas são não-lineares em relação às componentes do tensor métrico. Conseqüentemente, o princípio da superposição não é válido para essas equações. 21

Na Relatividade Geral (RG), a distribuição e o movimento da matéria são obtidos através das equações de campo. Conseqüentemente, a distribuição e o movimento da matéria não podem ser determinados separadamente na RG. Existe ainda outra versão para (3.2), proposta pelo próprio Einstein, na qual as equações de campo tomam a forma onde Λ é a chamada constante cosmológica. R αβ 1 2 g αβr + Λg αβ = 8πG c 4 T αβ, (3.17) O termo Λg αβ é chamado de termo cosmológico e foi introduzido por Einstein para que se pudesse obter soluções estáticas para as equações do campo gravitacional. Sabe-se hoje que a nível cosmológico esse tipo de solução não é válida, uma vez que o universo está em expansão. Nas últimas décadas, a constante cosmológica ressurgiu em vários contextos da Cosmologia Moderna. Observações recentes envolvendo as supernovas do tipo 1a, indicando um universo acelerado têm levantado a possibilidade de existência atual de uma constante cosmológica positiva 14]. A constante cosmológica também tem sido utilizada no contexto do problema da idade do universo 15] e em contextos inflacionários 16]. 3.2 O Princípio da Covariância Geral e o Princípio do Acoplamento Gravitacional Mínimo Quando Einstein formulou a Relatividade Geral, ele elegeu dois princípios como sendo fundamentais para a sua teoria. Um deles é o Princípio da Equivalência e o outro é o Princípio da Covariância Geral. O primeiro foi utilizado para se obter as Leis de Einstein para a Gravitação, enquanto que o segundo é utilizado para encontrar a forma tomada pelas leis da Física em qualquer referencial. Sabe-se, da Relatividade Restrita, que não existe referencial inercial privilegiado, ou seja, as leis da Física são as mesmas para os referenciais desse tipo. Na Relatividade Geral, este conceito é extendido para todos os referenciais e não apenas para os inerciais. Conseqüentemente, as equações que descrevem as leis da Física devem ter a mesma forma para todos os sistemas de coordenadas. Essa última afirmação é o que nós conhecemos por Princípio da Covariância Geral e só é válida se as duas condições abaixo forem satisfeitas: 22

(a) As equações na Relatividade Geral devem se reduzir às equações da Relatividade Restrita quando a gravidade estiver ausente ; (b) As equações devem ser covariantes para qualquer transformação geral de coordenadas. Existe também outra forma de enunciar o princípio da covariância geral: As equações da Física devem ter uma forma tensorial. Alguns físicos acham esse enunciado muito vazio, uma vez que é possível escrever equações na forma tensorial sem que estas representem, de fato, leis da Física. Na realidade, o Princípio da Covariância Geral apenas nos diz como escrever a forma das equações da Física quando a gravitação está presente. Como foi dito anteriormente, este princípio será de grande valor para se tentar obter as leis da natureza. No entanto, essas leis só estarão corretas se tiverem comprovação experimental. Outro importante princípio é o do acoplamento gravitacional mínimo. Ele nos diz que, para generalizarmos as equações da Relatividade Especial para a Relatividade Geral, não é necessário adicionar termos a essas equações. Essa generalização é feita substituindo-se o tensor métrico de Minkowski η αβ pelo tensor métrico generalizado g αβ e as derivadas comuns pelas derivadas covariantes. Este princípio pode ser mais precisamente enunciado na forma: Nenhum termo que contenha explicitamente o tensor de Riemman deve ser adicionado às equações da Física quando elas são generalizadas da Relatividade Restrita para a Relatividade Geral. Atualmente este princípio é pouco utilizado, uma vez que há indícios de que ele não é válido para várias equações da Física. Apesar de não ter sido formulado por Einstein, este princípio foi utilizado implicitamente pelo mesmo no desenvolvimento da Teoria da Relatividade Geral. 3.3 Equações de Maxwell na Relatividade Geral Quando Minkowski introduziu o tensor intensidade de campo na eletrodinâmica, ele pensava que F αβ deveria transformar-se como um tensor apenas sob as transformações de Lorentz. Entretanto, o Princípio da Covariância Geral afirma que todas as leis da Física devem ser covariantes sob qualquer transformação geral. Sendo assim, podemos concluir que F αβ transforma-se como um tensor sob qualquer transformação de coordenadas. Para a se obter a forma das equações da Física na Relatividade Geral é usual adotar-se os seguintes procedimentos: 23

(a) Escrever as equações na Relatividade Especial ; (b) Verificar como cada grandeza física contida nestas equações se transforma sob uma transformação geral de coordenadas ; (c) Substituir o tensor métrico da Relatividade Restrita pelo da Relatividade Geral e as derivadas comuns por derivadas covariantes. Esses procedimentos constituem o Princípio do Acoplamento Gravitacional Mínimo. As equações resultantes possuirão covariância geral e serão verdadeiras na ausência de gravitação. Sendo assim, elas também serão válidas em quaisquer campos gravitacionais, desde que o sistema em questão seja pequeno comparado com a escala dos campos. Usando-se os procedimentos (a), (b) e (c), vemos que a definição do tensor intensidade de campo eletromagnético F αβ na Relatividade Geral é a mesma da Relatividade Restrita, uma vez que onde α e β representam as derivadas covariantes. F αβ = β A α α A β, (3.18) Repetindo-se o tratamento anterior para as equações de Maxwell não-homogêneas, obtemos a relação β F αβ = µ 0 J α. (3.19) As derivadas covariantes para os tensores de segunda ordem contravariante e covariante são dadas, respectivamente, por γ F αβ = F αβ x γ + Γ α δ γ F δβ + Γ β ν γ F αν, (3.20) γ F αβ = F αβ x γ Γδ αγ F δβ Γ ν β γ F αν. (3.21) Conseqüentemente, a relação (3.19) pode ser escrita como F αβ x β + Γα δ β F δβ + Γ β ν β F αν = µ 0 J α. (3.22) Utilizando a relação (3.3) para os símbolos de Christoffel, obtemos Como F αν é antissimétrico e Γ β ν α Γ β ν β = 1 g 2g x ν = 1 g g x ν. (3.23) é simétrico, o terceiro termo do primeiro membro de (3.22) se anula. Usando-se este fato em combinação com (3.23), reduzimos (3.22) a F αβ x β + 1 ( g g x ν 24 ) F αν = µ 0 J α, (3.24)

ou, de forma alternativa, 1 ( gf αν ] ) g x ν = µ 0 J α. (3.25) Pode-se definir um novo tensor intensidade de campo eletromagnético f αβ e uma nova quadricorrente j β através das relações f αβ = g F αβ, (3.26) j α = g µ 0 J α. (3.27) Multiplicando (3.25) por g e usando (3.26) e (3.27), podemos rescrever (3.25) como Derivando (3.28) em relação a x β, temos que f αβ x β = jα. (3.28) 2 f αβ x α x β = jα x α. (3.29) Como f αβ é antissimétrico, o primeiro membro da equação acima é igual a zero, portanto j α = 0. (3.30) xα A relação (3.30) expressa a equação da continuidade na Relatividade Geral. As equações de Maxwell homogêneas na Relatividade Restrita são dadas pela relação (2.39). Para a Relatividade Geral, essas equações são α F βγ + β F γα + γ F αβ = 0. (3.31) Usando-se a relações (3.21) e (3.3) e o fato do tensor intensidade de campo ser antissimétrico, reduzimos (3.31) a F βγ x α F γα + x β que é a mesma relação da Relatividade Especial. F αβ + x γ = 0, (3.32) 3.3.1 Cálculo Variacional para a Eletrodinâmica de Maxwell na Relatividade Geral Uma outra forma de se obter as equações de Maxwell na Relatividade Geral é utilizando a lagrangeana L G para o campo eletromagnético, que é dada pela relação L G = 1 4µ 0 g Fαβ F αβ g J α A α. (3.33) 25

No entanto, sabemos que F αβ F αβ = g αµ g βν F αβ F µν. (3.34) As equações de Euler para a lagrangeana do campo eletromagnético são ] LG x β L G = 0. (3.35) ( β A α ) A α Usando-se a lagrangeana (3.33) na relação acima e a definição de F αβ, dada por (2.29), obtemos L G = gj α e (3.36) A α L G = 1 gg αµ g βν F νµ = 1 gf βα. (3.37) ( β A α ) µ 0 µ 0 Substituindo as relações (3.36) e (3.37) nas equações de Euler e utilizando um pouco de cálculo tensorial, achamos a equação ( 1 g ) ( gf αβ ) x β = µ 0 J α. (3.38) Pode-se ver que as relações (3.38) são iguais às relações (3.25), representando as equações de Maxwell não-homogêneas na Relatividade Geral. Outra relação que pode ser generalizada é a equação de movimento de uma partícula carregada com carga q num campo eletromagnético. Usando-se o Princípio da Covariância Geral, a relação (2.49) fica, na presença da gravitação, ( du α ) m dτ + Γα β γ U β U γ = qf βα U β. (3.39) 3.4 O tensor momento-energia para o campo eletromagnético na Relatividade Geral As equações de Einstein, dadas pela relação (3.8), possuem um tensor de segunda ordem T µν, chamado tensor momento-energia, que representa o momento e a energia de toda a matéria e energia que gera o campo gravitacional. Também é possível definir um tensor momento-energia T µν para o campo eletromagnético. Esse tensor expressa as densidades de momento e energia do campo eletromagnético e, para uma região do espaço sem fontes, é definido pela relação T µν = 4 L ( ) G F F µ α F LG αν + F F L G g µν, (3.40) 26

onde L G = L G g. Utilizando-se a lagrangeana (3.33) na relação anterior encontramos que T µν = ( ) ( ] 1 1 F α µ F αν + F αβ F µ0 4) αβ g µν (3.41) que é válida para a Relatividade Geral. O tensor momento-energia contravariante do campo eletromagnético T αβ é definido pela relação T αβ = ( ) ( ] 1 1 F αδ F β δ + F γδ F µ0 4) γδ g αβ. (3.42) Tomando-se a derivada covariante da relação (3.42) em relação a x β e utilizando as equações de Maxwell com J α = 0, obtemos a relação (3.16), que expressa a conservação da energia e do momento na RG. Combinando-se as relações (3.8), (3.13) e (3.41), temos que ( ) ( ) ] 8πG 1 G µν = c 4 F α µ F αν + F αβ F αβ g µν. (3.43) µ 0 4 As equações de campo expressadas por (3.43) são conhecidas como equações de Maxwell-Einstein no espaço-tempo sem fontes. Para o espaço-tempo com fontes de campo, deve-se incluir todas as quantidades físicas significativas (matéria, pressão do fluido, campos eletromagnéticos, etc) no tensor momento-energia. Sendo assim, garantimos que a divergência desse tensor será nula e, conseqüentemente, a energia será conservada. 27

CAPÍTULO 4 Propostas Alternativas de Eletromagnetismo 4.1 Eletrodinâmica Não-Linear O estudo da eletrodinâmica na Relatividade Geral está principalmente restrito à análise das soluções das equações de Einstein-Maxwell. A primeira solução obtida para essas equações era baseada na validade do Princípio do Acoplamento Mínimo descrito no capítulo anterior. No domínio da Relatividade Geral, a energia eletromagnética é responsável pela curvatura do espaço-tempo. No contexto de campos gravitacionais fortes, ou pontos do espaço-tempo de grande curvatura, o acoplamento entre a Eletrodinâmica e a Gravitação não é bem conhecido. Nessas condições, algumas leis e princípios clássicos como o Princípio da Equivalência podem não ser totalmente válidos, podendo surgir alguns desvios em regiões de grande curvatura. Portanto, é razoável propor uma interação entre a Gravitação e o Eletromagnetismo mais específica do que a interação proposta pelo Princípio do Acoplamento Mínimo. Essas interações são denominadas acoplamentos não-mínimos. A utilização de acoplamentos não-mínimos entre a Gravitação e o Eletromagnetismo tem como uma de suas conseqüências o surgimento de uma Eletrodinâmica não-linear. Essa não linearidade no campo eletromagnético é observada apenas nas equações de Einstein-Maxwell, onde os campos eletromagnético e gravitacional se encontram acoplados. As equações da eletrodinâmica obtidas do cálculo variacional não evidenciam essa importante conseqüência. Outras formas de se obter uma eletrodinâmica não-linear é introduzindo, de forma ad hoc, termos aditivos na lagrangeana de Maxwell ou, ainda, através de correções quânticas. Várias propostas para eletrodinâmicas não-maxwelianas têm sido apresentadas nas últimas décadas. Uma das motivações para essas propostas é a possibilidade de geração de campos eletromagnéticos de larga escala no universo em estágios primordiais da sua expansão. De um modo geral podemos classificar as eletrodinâmicas não-maxwellianas de acordo 28

com os termos que são adicionados à lagrangeana de Maxwell. Com relação à invariância de Gauge (ver capítulo 2), podemos distinguir duas classes. Primeira classe: Segunda classe: L 1 = RA µa µ µ 0, (4.1) L 2 = R µνa µ A ν µ 0. (4.2) L 3 = RF µνf µν µ 0, (4.3) L 4 = RF µνf µν µ 0, (4.4) L 5 = R µαf µ λ F λα µ 0, (4.5) L 6 = R αβµνf αβ F µν µ 0, (4.6) L 7 = R αβµνf αβ F µν µ 0. (4.7) onde a constante µ 0 aparece nas relações (4.1)-(4.7) devido a utilização do SI. As lagrangeanas da primeira classe são obtidas de todas as combinações possíveis do tensor de Ricci e/ou escalar de curvatura com o quadripotencial, donde resulta a não invariância de gauge. De forma análoga, as lagrangeanas da segunda classe resultam de todas as combinações do tensor de Riemann e/ou suas contrações com o tensor intensidade de campo eletromagnético e/ou o seu tensor dual, donde resulta a invariância de gauge. Existe ainda uma classe de lagrangeanas efetivas para uma teoria não-linear, também invariante de gauge, mas que não possui termos que envolvem o tensor de Riemann e/ou suas contrações. Portanto, essa classe não envolve acoplamento entre a eletrodinâmica e a gravitação como as duas classes mostradas anteriormente, mas é construída a partir dos invariantes de Lorentz e de gauge. Nessa classe, a não-linearidade do campo eletromagnético é observada nas equações da Eletrodinâmica. Lagrangeanas efetivas para uma teoria não-linear: L = L(F, F ). (4.8) onde os escalares F e F são definidos, respectivamente, através das relações (2.42) e (2.43). 29

4.2 Lagrangeanas de Primeira Classe As constantes de acoplamento para as lagrangeanas de primeira classe são adimensionais, uma vez que essas lagrangeanas já possuem a mesma dimensão que a lagrangeana de Maxwell. As relações principais para esse tipo de acoplamento são L = 1 4µ 0 gf µν F µν + 1 µ 0 g (λraµ A µ + δr µν A µ A ν ), (4.9) µ F µν 2λRA ν 2δR µ νa µ = 0, (4.10) a F bc + b F ca + c F ab = 0. (4.11) A relação (4.9) é obtida através da combinação linear das lagrangeanas da primeira classe com a lagrangeana de Maxwell, onde λ e δ são constantes adimensionais. A relação (4.10) é obtida da relação (4.9) através das equações de Euler-Lagrange, enquanto que a relação (4.11) resulta das definições (2.32) e (3.18) para o tensor intensidade de campo eletromagnético. Novello 3] e Turner 4] analisaram as alterações que surgem quando são introduzidos os acoplamentos da primeira classe nas equações de Einstein-Maxwell. Os principais resultados obtidos são os seguintes: A massa do fóton depende do escalar de curvatura m γ R 1 2. As soluções das equações de Einstein-Maxwell produzem mudanças efetivas na Eletrodinâmica apenas nas regiões de altos valores de curvatura. Apenas o acoplamento dado pela relação (4.1) admite uma solução de Friedmann-Robertson-Walker (FRW), na qual o fator de escala pode ser obtido explicitamente em termos do tempo cósmico 3], enquanto a relação (4.2) produz uma solução anisotrópica. A lei da conservação da carga é modificada, permitindo duas possibilidades: a criação de carga pelo campo gravitacional ou a conservação da carga, desde que a derivada covariante de RA µ seja nula. O escalar de curvatura não nulo pode induzir efeitos como, por exemplo, o decaimento de fótons em outras partículas 3]. Utilizando o primeiro resultado, temos que a massa do fóton deveria ser da ordem da constante de Hubble, que dá m γ da ordem de 10 69 kg. Este resultado está bem abaixo do 30