Planejamento e Otimização de Experimentos Planejamentos 3 k, Box-Behnken e Plackett-Burman Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira anselmo.quimica.ufg.br anselmo.disciplinas@gmail.com
Planejamento Fatorial 3 k 3 níveis o 0: baixo (-1) o 1: intermediário (0) o 2: alto (+1) poucos fatores e muitos experimentos regressão com termos quadráticos cada efeito tem uma componente linear e quadrática não é a forma mais eficiente de modelar uma relação quadrática
Fator B Combinações em um Planejamento 3 2 2 02 12 22 1 01 11 21 0 00 10 20 0 1 2 Fator A
Combinações em um Planejamento 33
Regressão 3 2 = 9 experimentos 3 3 = 27 experimentos Modelo de regressão para 3 2 y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 12 x 1 x 2 + b 11 x 2 11 2 + b 22 x 22 termos quadráticos: adição de um terceiro nível
The effects model 3 2 factorial design y ijk = μ + τ i + β j + τβ ij + ε ijk The means model y ijk = μ ijk + ε ijk i = 1, 2,, a j = 1, 2,, b k = 1, 2,, n where the mean of the ijth cell is μ ij = μ + τ i + β j + τβ ij i = 1, 2,, a j = 1, 2,, b k = 1, 2,, n
In the two-factor factorial design we are interested in testing hypothesis abou the equality of row treatment effects, say H 0 : τ 1 = τ 2 = = τ a H 1 : at least one τ i 0 and the equality of column treatment effects, say H 0 : β 1 = β 2 = = β a H 1 : at least one β i 0 We are also interested in determining whether row and column treatment interact H 0 : τβ ij = 0 for all i, j H 1 : at least one τβ ij 0
Source of Variation Sum of Squares Degrees of Freedom Mean Square F 0 A treatments SS A a 1 SS A a 1 B treatments SS B b 1 SS B b 1 Interaction SS AB a 1 b 1 SS AB a 1 b 1 MS A MS E MS B MS E MS AB MS E Error SS E ab n 1 SS E ab n 1 Total SS T abn 1 SS A = 1 bn SS B = 1 an a i=1 b j=1 y 2 i.. y 2... abn y 2.j. y 2... abn SS AB = SS Subtotals SS A SS B SS Subtotals = 1 a b y 2 n ij. y 2... abn i=1 j=1 SS E = SS T SS A SS B SS AB SS T = a b n i=1 j=1 k=1 2 y ijk y 2... abn
A battery design experiment An engineer is designing a battery for use in a device that will be subjected to some extreme variations in temperature Three plate materials for the battery 3 2 factorial design Material Type Temperature ( F) 15 70 125 1 130 155 34 40 20 70 74 180 80 75 82 58 2 150 188 136 122 25 70 159 126 106 115 58 45 3 138 110 174 120 96 104 168 160 150 139 82 60
Material Type 1 2 3 y.j. Temperature ( F) 15 70 125 130539 155 34 40 20 70 74 180 80 75 82 58 150 188 136 122 25 70 159 126 106 115 58 45 342 138 110 174 120 96 104 168 160 150 139 82 60 1738 1291 770 y i.. 998 1300 1501 y... = 3799 SS Material = 1 bn a i=1 SS Temperature = y 2 i.. y 2... abn = 1 3 4 9982 +.. +1501 2 1 3 4 17382 +.. +770 2 37992 36 37992 36 = 39, 118. 72 = 10, 683. 72 SS Interaction = 1 4 5392 +.. +342 2 37992 10, 683. 72 39, 118. 72 36 SS T = 130 2 + 155 2 + + 60 2 37992 = 77, 646. 97 36 SS E = 77, 646. 97 10, 683. 72 39, 118. 72 9, 613. 78 = 18, 230. 75
Source of Variation Sum of Squares Degrees of Freedom Mean Square F 0 P-Value Material types 10,683.72 2 6,341.86 7.91 0.0020 Temperature 39,118.72 2 19,559.36 28.97 <0.0001 Interaction 9,613.78 4 2,403.44 3.56 0.0186 Error 18,230.75 27 675.21 Total 77,646.97 35 The main effects of material type and temperature are significant; The interaction effect is also significant
Average life (h) 180 160 140 120 100 1 80 2 3 60 40 20 0 15 70 125 Temperature ( o F) The significant interaction is indicated by the lack of parallelism of the lines
Tukey s Test Interaction is significant and comparisons between the means of one factor (e.g., A) may be obscured by the AB interaction One approach is to fix factor B at a specific level and apply Tukey s test to the means of factor A at that level Ex: To detect the differences among the means of the three material types: temperature level 2 (70 F) y 12. = 57. 25; y 22. = 119. 75; y 32. = 145. 75 T 0.05 = q 0.05,3,27 MS E n = 3. 51 675. 21 4 = 45. 47 [XLS] Statistical Tables & Calculators 3 vs 1: 145. 75 57. 25 = 88. 50 3 vs 2: 145. 75 119. 75 = 26. 00 2 vs 1: 119. 75 57. 25 = 62. 50
Model Adequacy Checking e ijk = y ijk y ijk y ijk = y ijk e ijk = y ijk y ijk 15 70 125 130.0 155.00 34.00 40.00 20.00 70.00 74.00 180.00 80.00 75.00 82.00 58.00 1.00 150.00 188.00 136.00 122.00 25.00 70.00 159.00 126.00 106.00 115.00 58.00 45.00 2.00 138.00 110.00 174.00 120.00 96.00 104.00 168.00 160.00 150.00 139.00 82.00 60.00 3.00 15 70 125 Residuals 1 134.75 57.25 57.50-4.75 20.25-23.25-17.25-37.50 12.50 2 155.75 119.75 49.50-60.75 45.25 22.75 17.75 24.50 0.50 3 144.00 145.75 85.50-5.75 32.25 16.25 2.25-24.50 20.50 3.25-29.75-13.75-4.75 8.50-4.50-6.00-34.00 28.25-25.75 10.50 18.50 24.00 16.00 4.25-6.75-3.50-25.50
60. 75 standardized residual = = 2. 34 675. 21 is the only residual whose absolute value is larger than 2 e ijk y ijk e ijk material type e ijk temperature
Planejamento Box-Behnken, 1960 É o mais usado para planejamentos fatoriais em três níveis, sendo possível para mais do que três variáveis independentes 12 pontos nos centros das arestas 3 pontos centrais
Planejamento Box-Behnken X 1 Ensaios X 2 X 3 X 1 X 2 X 3-1 -1 0 1-1 0-1 1 0 1 1 0-1 0-1 1 0-1 -1 0 1 1 0 1 0-1 -1 0-1 1 0 1-1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p1 pontos centrais
Planejamento Box-Behnken relação empírica para três variáveis, assumindo o modelo quadrático y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 12 x 1 x 2 + b 13 x 1 x 3 + b 23 x 2 x 3 + b 11 x 2 11 + b 22 x 2 2 22 + b 33 x 33
Três Níveis; k = 3 Um experimento foi conduzido para estudar o efeito de três diferentes tipos de garrafas (B) de 900 g (32 oz) em três diferentes tipos de prateleiras (C), considerando o tempo gasto para armazenar 10 pacotes de 12 garrafas nas prateleiras, com três trabalhadores (A) envolvidos.
Trabalhador (A) o 1 o 2 o 3 Prateleira (C) o Permanente o Fim do corredor o Geladeira Garrafa (B) o Plástica o Vidro de 28 mm o Vidro de 38 mm
3 k completo 27 experimentos Matriz X não é quadrada b = X T X 1 X T y Experimento Execução A B C Y 1 5-1.00-1.00-1.00 3.45 2 15 0.00-1.00-1.00 4.80 3 11 1.00-1.00-1.00 4.08 4 3-1.00 0.00-1.00 4.04 5 17 0.00 0.00-1.00 4.52 6 10 1.00 0.00-1.00 4.30 7 27-1.00 1.00-1.00 4.20 8 12 0.00 1.00-1.00 4.96 9 20 1.00 1.00-1.00 4.17 10 13-1.00-1.00 0.00 4.14 11 6 0.00-1.00 0.00 5.22 12 21 1.00-1.00 0.00 3.94 13 22-1.00 0.00 0.00 4.38 14 25 0.00 0.00 0.00 5.15 15 7 1.00 0.00 0.00 4.53 16 14-1.00 1.00 0.00 4.26 17 1 0.00 1.00 0.00 5.17 18 16 1.00 1.00 0.00 4.86 19 18-1.00-1.00 1.00 5.80 20 26 0.00-1.00 1.00 6.21 21 9 1.00-1.00 1.00 5.14 22 8-1.00 0.00 1.00 5.48 23 4 0.00 0.00 1.00 6.25 24 19 1.00 0.00 1.00 4.99 25 2-1.00 1.00 1.00 5.67 26 23 0.00 1.00 1.00 6.03 27 24 1.00 1.00 1.00 4.85
Box-Behnken 14 experimentos (12 +2pc) sempre incluir pontos centrais: alias não considerar o efeito ABC na matriz X Experimento Execução A B C Y 1 9-1.00-1.00 0.00 4.14 2 7 1.00-1.00 0.00 3.94 3 14-1.00 1.00 0.00 4.26 4 6 1.00 1.00 0.00 4.86 5 1-1.00 0.00-1.00 4.07 6 10 1.00 0.00-1.00 4.3 7 8-1.00 0.00 1.00 5.48 8 12 1.00 0.00 1.00 4.99 9 11 0.00-1.00-1.00 4.8 10 13 0.00 1.00-1.00 4.96 11 4 0.00-1.00 1.00 6.21 12 3 0.00 1.00 1.00 6.03 13 5 0.00 0.00 0.00 4.65 14 2 0.00 0.00 0.00 5.15
3 k completo Coeficientes oc = 0,66 oac = -0,24 oa 2 = -0,80 oc 2 = 0,31 Box-Behnken Coeficientes oc = 0,57 oa 2 = -0,7 oc 2 = 0,5
Planejamento Plackett-Burman, 1946 Muito eficiente quando apenas os efeitos principais são importantes. Os efeitos secundários são confundidos com os principais Screening Fatorial fracionário para estudar k = N-1 variáveis em N experimentos, onde N é um múltiplo de 4 Não geométrico
Tabelas, em linhas, apresentam a primeira coluna da matriz de planejamento N k Sinais 12 11 + + - + + + - - - + - 16 15 + + + + - + - + + - - + - - - 20 19 + + - - + + + + - + - + - - - - + + - 24 23 + + + + + - + - + + - - + + - - + - + - - - - A segunda linha (coluna) é obtida a partir dessa primeira movendose os elementos da linha para baixo em uma posição, e o colocando o último elemento na primeira posição. E assim por diante Uma linha de sinais -1 é adicionada, completando o planejamento
Matriz de contrastes para k = 11, com 12 experimentos X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 1 +1-1 +1-1 -1-1 +1 +1 +1-1 +1 2 +1 +1-1 +1-1 -1 +1 +1 +1 +1-1 3-1 +1 +1-1 +1-1 -1-1 +1 +1 +1 4 +1-1 +1 +1-1 +1-1 -1-1 +1 +1 5 +1 +1-1 +1 +1-1 +1-1 -1-1 +1 6 +1 +1 +1-1 +1 +1-1 +1-1 -1-1 7-1 +1 +1 +1-1 +1 +1-1 +1-1 -1 8-1 -1 +1 +1 +1-1 +1 +1-1 +1-1 9-1 -1-1 +1 +1 +1-1 +1 +1-1 +1 10 +1-1 -1-1 +1 +1 +1-1 +1 +1-1 11-1 +1-1 -1-1 +1 +1 +1-1 +1 +1 12-1 -1-1 -1-1 -1-1 -1-1 -1-1 A tabela do NIST é multiplicada por -1
Número de Publicações no Web of Science 700 600 500 400 300 Plackett-Burman Box-Behnken 200 100 0 2010 2011 2012 2013 2014 2015*
Application of Plackett-Burman Design to evaluate Media Components Affecting Antibacterial Activity of Alkaliphilic Cyanobacteria Isolated from Lonar Lake Turk J Biochem 2010; 35 (2) ; 114 120 Objective: To evaluate the media components affecting the antimicrobial activity of alkaliphilic cyanobacteria using Plackett-Burman design
k = 8 N = 12 todos os contrastes da última linha são iguais a -1
? x 2