Erro de arredondamento. Erro iterativo. Erro de discretização. As três componentes do erro numérico têm comportamentos diferentes com o aumento do número de graus de liberdade (refinamento da malha).
Erro de arredondamento: > Devido à precisão finita dos computadores. > Pode ser minorado utilizando precisão dupla. > Pode ser o erro dominante em problemas mal condicionados (pequenas diferenças entre números várias ordens de grandeza superiores). > Aumenta com o aumento do número de graus de liberdade (refinamento da malha).
Erro de arredondamento, exemplo: Interpolação polinomial em 2-D (ou 3-D) a1 a x 2 φ( x, y) = 1 2...,... n anx [ ] n b, b y, b y (n+1) 2 coeficientes determinados a partir de (n+1) 2 pontos em se conhece φ i (x i,y i ) n
Erro de arredondamento, exemplo: Interpolação polinomial em 2-D (ou 3-D) Determinação dos coeficientes do polinómio conduz a um sistema de equações lineares Primeiro termo da diagonal principal: 1 Último termo da diagonal principal: x n y n
Erro iterativo: > Não linearidade das equações a resolver (convecção nas equações de balanço de quantidade de movimento). > Desacoplamento das equações (modelo de turbulência resolvido para um campo de velocidade fixo e equações de Reynolds resolvidas com viscosidade turbulenta conhecida).
Erro iterativo: > Esquemas de discretização com correcções explícitas para os termos de ordem superior. > Solução dos sistemas de equações algébricos com métodos iterativos (Jacobi, Gauss-Seidel, Gradientes Conjugados, GMRES,...).
Erro iterativo: > Em princípio, pode ser reduzido até ao nível de precisão da máquina (se não existirem problemas com o erro de arredondamento). > Aumento do número de graus de liberdade (refinamento da malha) tende a dificultar a redução do erro iterativo. Técnicas multigrid podem evitar problemas com a dimensão do sistema de equações a resolver.
Erro iterativo: > É importante definir (conhecer) o significado de uma iteração. > Estimativas do erro iterativo baseadas nas diferenças (resíduo) obtidas na última iteração realizada não são fiáveis. > Para estimativas do erro iterativo, a norma L é mais indicada que as normas L 1 e L 2.
Erro iterativo, exemplo: > Cálculo do escoamento turbulento num canal com as equações de Navier-Stokes em média temporal de Reynolds. Modelo de viscosidade turbulenta de Spalart & Allmaras (uma equação). > Estimativa inicial da solução é obtida copiando os perfis de entrada (obtidos dos resultados experimentais) para toda a malha. > Solução convergida até à precisão da máquina (10-14 ).
Erro iterativo, exemplo: > Critério de convergência baseado na diferença máxima, L, entre iterações sucessivas, e t. > Erro iterativo calculado pela diferença para a solução convergida até à precisão da máquina. > Exemplo apresentado corresponde à componente horizontal do vector velocidade, U 1.
Erro iterativo: Erro iterativo máximo é 2 ordens de grandeza maior do que e t! Para a norma L 2, pode chegar a 3 ordens de grandeza.
Erro de discretização: > Consequência da transformação da(s) equação(ões) do meio contínuo para um sistema de equações algébrico. > Pode ter uma componente geométrica, que pode até ser dominante em domínios com superfícies de elevada curvatura.
Erro de discretização: > Habitualmente é o erro numérico dominante. > Determinação do erro de discretização requer o conhecimento da solução exacta. > Tende a diminuir com o aumento do número de graus de liberdade (refinamento da malha). > Estimativa do erro de discretização pode ser feita com o refinamento sistemático da malha.
Erro de discretização: > Em estudos de refinamento de malha admite-se e( φ) = φ φ α p exacto h i φ Variável local ou integral. φ exacto Solução exacta. α Constante relacionada com o nível do erro. h i Dimensão característica da malha. p Ordem de convergência.
Erro de discretização: e( φ) = φ φ α p exacto h i > Região assimptótica, i.e. termos de ordem superior são desprezáveis. > Dimensão típica da malha, h i, pode ser difícil de definir (malhas multi-bloco, não estruturadas).
Erro de discretização: e( φ) = φ φ α p exacto h i > Número mínimo de malhas para estimar α e φ exacto : 2. > Não é aconselhável utilizar apenas duas malhas. Não há garantia que os resultados estão na região assimptótica, pelo que p não é conhecido. Em problemas não lineares a ordem de convergência não é necessariamente igual à menor ordem dos esquemas de discretização adoptados.
Erro de discretização: e( φ) = φ φ α p exacto h i > Número mínimo de malhas para estimar α, p e φ exacto : 3. > Em aplicações práticas pode existir ruído nos resultados (definição de h i, interpolações, integrações,...), pelo que 3 malhas não garantem fiabilidade dos resultados.
Erro de discretização, exemplo: > Cálculo da área de uma superfície cilíndrica com uma regra de Gauss com 1 ponto por direcção. ( ) h i 1 N 1 = i > Dois tipos de malha: A. Distâncias equidistantes ao longo do diâmetro, Z. B. Distâncias equidistantes ao longo da superfície, θ.
Erro de discretização, exemplo: Y Z X X Y Z Malha Z Z t -3 digítos para x Malha θ
Erro de discretização, exemplo: Malha θ Malha Z Malha Z t
3. Verificação de códigos Garantir que o programa não tem erros. Contrariamente ao que pode ser assumido, não é uma responsabilidade exclusiva de quem desenvolve o programa (qualquer utilizador de um popular sistema operativo para computadores pessoais percebe esta realidade...). Avaliação de erros, pelo que requer o conhecimento da solução exacta. Problema exclusivamente matemático.
4. Verificação de soluções/cálculos A solução exacta não é conhecida. Estimativa do erro numérico admite habitualmente que o erro de discretização é dominante (o que requer um erro iterativo pelo menos duas ordens de grandeza inferior). Métodos baseados em estudos de refinamento de malha são uma das alternativas para a estimativa do erro/incerteza de discretização. Problema exclusivamente matemático.
4. Verificação de soluções/cálculos Estimar a incerteza, U, de um cálculo numérico da quantidade φ para a qual a solução exacta é desconhecida Objectivo: φ U ( φ) φexact φ + U ( φ) com um grau de confiança de 95% ( φ) U ( φ) = F e S F S e( φ ) Factor de segurança Estimativa do erro
4. Verificação de soluções/cálculos e( φ ) = φ φ = δ = αh i i o RE p i φ i φ o Solução numérica de uma variável local ou integral Estimativa da solução exacta δ RE Estimativa do erro α j h i p j Constante relacionada com o nível de erro Dimensão característica da malha Ordem de convergência observada
X X X h i φ φ o 3 Malhas necessárias para calcular φ o, α, p p i RE o i i h e α δ φ φ φ = = = ) ( ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 2 2 3 1 2 1 2 2 3 1 2 1 2 1 = = = p p p p RE o h h h h h h h h φ φ φ φ φ φ δ φ φ δ RE φ o 4. Verificação de soluções/cálculos
4. Verificação de soluções/cálculos Convergência ou divergência aparente para três malhas com h 2 /h 1 =h 3 /h 2. Razão de Convergência : φ2 φ1 R = φ φ 3 2 0 < R <1 Convergência Monotónica -1 < R <0 Convergência Oscilante R > 1 Divergência Monotónica R <-1 Divergência Oscilante
5. Validação Estimativa do erro de modelação por comparação com resultados experimentais. Método para a avaliação do erro de modelação proposto recentemente pela ASME: > Diferença entre a solução numérica e a medição experimental, E, que se denomina erro de comparação (comparison error) > Incerteza de validação, U val, (validation uncertainty) obtida da combinação das incertezas numérica, experimental e dos parâmetros que definem o problema (condições fronteira, número de Reynolds,...)
5. Validação Método para a avaliação do erro de modelação proposto recentemente pela ASME: E = S Resultado numérico D Medição experimental val S U num Incerteza numérica U D Incerteza experimental U input Incerteza dos parâmetros que definem o problema (condições fronteira, número de Reynolds,...) D ( U ) + ( U ) 2 ( U ) 2 num 2 D input U = +
5. Validação Estimar com 95% de confiança o intervalo que contém o erro de modelação E U, E + E >> U val [ ] val U val Erro de modelação é provavelmente semelhante a E, pelo há uma indicação de que o modelo precisa de ser melhorado. E < U val Erro de modelação inferior ao ruído originado pelas incertezas experimental, numérica e dos dados do problema.
5. Validação Exemplo: escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo. > Equações de Reynolds em média temporal com o modelo de turbulência k-ω SST sem leis da parede. > Estudo de refinamento de malha com 6 malhas que variam entre 0,8 10 6 e 6,4 10 6 nós. > Incerteza experimental obtida da assimetria dos valores medidos (estimativa por defeito). > Incerteza dos parâmetros de entrada nula ( modelo forte ).
5. Validação Exemplo: escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo. -0.03-0.035 Experimental Numérico z/l PP -0.04-0.045-0.05-0.055-0.06 U x 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1-0.065-0.01 0 0.01 0.02 y/l PP
5. Validação Exemplo: escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo. U x 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2 Experimental SST 0 30 60 90 120 150 180 ϕ Comparação habitual: qualidade do resultado depende do tamanho dos símbolos e da espessura da linha...
5. Validação Exemplo: escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo. U x 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2 Experimental SST 0 30 60 90 120 150 180 ϕ Introdução da incerteza experimental (estimada por defeito)
5. Validação Exemplo: escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo. U x 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0-0.1-0.2 Experimental SST 0 30 60 90 120 150 180 ϕ Introdução da incerteza numérica
5. Validação Exemplo: escoamento no plano do hélice de um petroleiro à escala do modelo. U x 0.3 0.2 0.1 E= S-D U val =(U 2 num +U2 D )1/2 Erro de comparação é maior do que a incerteza de validação para a maior parte dos locais analisados. Avaliação do erro de modelação requer menores incertezas numérica e experimental. 0 0 30 60 90 120 150 180 ϕ