. Gabarito Prova da Primeira Fase - Nível Alfa Questão 1 (0 pontos) A corrida de São Silvestre tem 15 km de percurso, sendo km de subida, 8 km de descida e 5 km de terreno plano. O ganhador da corrida do ano passado completou a prova em 45 minutos. Sabendo que ele correu a uma velocidade 0 km/h no terreno plano e que na descida ele correu com o dobro da velocidade da subida calcule a velocidade do corredor na subida e na descida. Solução: Denote por v a velocidade que o atleta correu na subida. Portanto, a velocidade que o atleta correu na descida foi v. Temos que o tempo total que o corredor leva para completar a corrida é igual a soma dos tempos gastos em cada trecho. O tempo gasto em horas em cada trecho é igual a distância dividida pela velocidade. Na subida o tempo é horas, na descida o tempo é 8 horas e na v v parte plana o tempo é 5 horas. Logo, o tempo total é 6 + 1 horas. Por outro lado sabemos que o atleta 0 v 4 completou a corrida em 45 minutos, ou seja, em 3 hora. Para encontrar v basta resolver a equação: 4 Resolvendo 6 v + 1 4 = 3 4 6 v = 4 v = 1. Portanto, a velocidade do corredor na subida é 1 km/h e na descida 4 km/h. Questão (0 pontos) Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone invertido com 1 metros de profundidade. Este tanque está completamente cheio com 7.000 litros de água e 37.000 litros de petróleo. A camada de petróleo está acima da camada de água. Calcule a altura da camada de petróleo. Solução: O volume do cone é dado por V = 1 3 πr h, onde R é o raio da base e h a altura. No nosso caso, V = 64.000 = 7.000 + 37.000 e h = 1, donde segue que R = 4 10 3. A camada de petróleo se acumula acima da camada de água. π Chamemos de x a altura da camada de água e r agua o raio da base desse cone. Então por semelhança Página 1 de 6
de triângulos x/1 = r agua /R, e temos que r agua = Rx/1. O volume da camada de água é então 7.000 = 1 3 π (r agua) x = 1 3 π 4 10 3 π = 103 3 3 x3 x 1 x e temos que x = 9. Assim, a camada de petroleo é 1 9 = 3. Questão 3 (0 pontos) Considere o sistema de inequações { x + y 1, x + 3y 10, (1) com x, y 0. Faça um esboço da região-solução do sistema no plano xy. Quantas soluções inteiras tem o sistema (1)? Sejam x, y soluções de (1). Qual o maior valor de x + y? Solução: a) Observe que a região é delimitada pelas retas x = 0, y = 0, x + y = 1 e x + 3y = 10. Veja na figura abaixo as retas e a região destacada. Página de 6
Os vértices da região destacada são (0, 1), (0, 10/3), (5, 0) e (1, 0). b) As soluções inteiras são os pontos de coordenadas inteiras que estão dentro da região destacada em (a). Na figura abaixo vemos todos os 13 pontos, de coordenadas: (0, 1), (0, ), (0, 3), (1, 0), (1, 1), (1, ), (, 0), (, 1), (, ), (3, 0), (3, 1), (4, 0) e (5, 0). c) Seja K o maior valor de x + y quando o par (x, y) é uma solução da (1). Então a circunferência x + y = K intercepta o espaço-solução de (1). Desta forma, procuramos o maior raio K de forma que a circunferência centrada na origem ainda intercepte a região-solução de (1). Como a circunferência está na origem e o ponto da região-solução de (1) que está mais distante da origem é o (5, 0), segue que x + y = 5 + 0 = 5 é o valor máximo. Página 3 de 6
Questão 4 (0 pontos) Considere a sequência de números naturais, a 1, a,..., a n 1, a n,..., construída da seguinte maneira: 1. a sequência é estritamente crescente (isto é, a n < a n+1 ), e. a n é o menor número natural possível de modo que o número n aparece como algum termo da sequência se, e somente se, a n é ímpar. Utilizando a construção acima pode-se verificar que a 1 = 1 e a = 4. Obtenha o décimo termo desta sequência. Solução: O exercício já fornece os dois primeiros termos a 1 = 1 e a = 4. Faremos o cálculo de cada termo a seguir: Cálculo do termo a 3 : Note que a 3 deve ser um número par pois se a 3 fosse ímpar então pela regra. o número 3 deveria aparecer na sequência no entanto como a sequência é crescente e a = 4 isso é impossível. Com isso, o menor valor possível cumprindo as condições é portanto 6, ou seja, a 3 = 6. Cálculo do termo a 4 : Como a = 4, o número quatro aparece na sequência e portanto a 4 deve ser ímpar pela regra. O menor número ímpar maior que a 3 é 7, logo a 4 = 7. Cálculo do termo a 5 : Note que 5 não aparece na sequência, logo a 5 deve ser par. Como a 5 deve ser o menor número par maior que a 4 concluímos que a 5 = 8. Cálculo do termo a 6 : Como a 3 = 6 então o número 6 aparece na sequência e por isso a 6 deve ser ímpar. Para que a 6 seja o menor número ímpar maior que a 5 devemos ter a 6 = 11. Cálculo do termo a 8 : O número 8 aparece na sequência, portanto a 8 deve ser o menor ímpar maior que 11. Logo, a 8 = 13. Cálculo do termo a 9 : O número 9 aparece na sequência, portanto a 9 deve ser o menor ímpar maior que 13. Logo, a 8 = 15. Cálculo do termo a 10 : O número 10 não aparece na sequência, portanto a 10 deve ser par. Como 16 é o menor número par maior que a 8 = 15 então a 10 = 16. Questão 5 (0 pontos) Considere um triângulo retângulo com catetos a, b e hipotenusa h. Mostre que o diâmetro D da circunferência inscrita no triângulo é igual a soma dos catetos menos a hipotenusa, ou seja, D = a + b h. Solução: Consideremos o triângulo retângulo ABC onde AB = h, AC = b e BC = a. Consideremos O o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC e D, E, F pontos nos lados AB, AC e BC Página 4 de 6
respectivamente tais que OD AB, OE AC e OF BC, como indicado na seguinte figura. Observe que, como O é o incentro, O é o encontro das bissetrizes do triângulo ABC e portanto EAO = OAD. Além disso, OE = OD e OA é hipotenusa comum aos triângulos OEA e ODA. Assim, os triângulos OEA e ODA são congruentes, portanto, tem a mesma área. Chame esta área de A 1. Analogamente, os triângulos BOF e BOD tem a mesma área. Chame esta área de A. Finalmente observe que CF OE é um quadrado de lado r e portanto tem área r. Somando a área dos triângulos BF O, BOD, AOE, AOD e do quadrado F OEC devemos obter a área do triângulo ABC. Logo Agora, sabemos que Logo A 1 + A + r = ab. A 1 = AD r, A = BD r = (h AD) r. ab = (h AD) r + AD r + r = r + h r r + h r ab = 0. Resolvendo esta equação de segundo grau na incógnita r e eliminanto a raíz negativa (pois o raio é Página 5 de 6
necessariamente positivo) obtemos r = h + h + ab = h + a + b + ab = h + (a + b) = a + b h. Portanto, o diâmetro da circunferência inscrita é dado por: r = a + b h como queríamos demonstrar. Página 6 de 6