Teste de Matemática A 2017 / 2018 Teste N.º 1 Matemática A Duração do Teste (Cadero 1+ Cadero 2): 90 miutos 12.º Ao de Escolaridade Nome do aluo: N.º: Turma: Este teste é costituído por dois caderos: Cadero 1 com recurso à calculadora; Cadero 2 sem recurso à calculadora. Utilize apeas caeta ou esferográfica de tita idelével, azul ou preta. Não é permitido o uso de corretor. Em caso de egao, deve riscar de forma iequívoca aquilo que pretede que ão seja classificado. Escreva de forma legível a umeração dos ites, bem como as respetivas respostas. As respostas ilegíveis ou que ão possam ser claramete idetificadas são classificadas com zero potos. Para cada item, apresete apeas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apeas é classificada a resposta apresetada em primeiro lugar. O teste iclui um formulário. As cotações ecotram-se o fial do euciado da prova. Para respoder aos ites de escolha múltipla, ão apresete cálculos em justificações e escreva, a folha de respostas: o úmero do item; a letra que idetifica a úica opção escolhida. Na resposta aos ites de resposta aberta, apresete todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para um resultado, ão é pedida a aproximação, apresete sempre o valor exato.
Formulário Comprimeto de um arco de circuferêcia αr (α amplitude, em radiaos, do âgulo ao cetro; r raio) Áreas de figuras plaas Losago: Trapézio: Diagoal maior Diagoal meor Base maior + base meor 2 2 Altura Polígoo regular: Semiperímetro Apótema Setor circular: αr2 (α amplitude, em radiaos, 2 do âgulo ao cetro; r raio) Áreas de superfície Área lateral de um coe: π r g (r raio da base; g geratriz) Área de uma superfície esférica: 4 π r 2 (r raio) Volumes Pirâmide: 1 3 Coe: 1 3 Área da base Altura Área da base Altura Esfera: 4 3 π r3 (r raio) Progressões Soma dos primeiros termos de uma progressão (u ) Progressão aritmética: u 1+u 2 Progressão geométrica: u 1 1 r 1 r Trigoometria se(a + b) = se a. cos b + se b. cos a cos(a + b) = cos a. cos b se a. se b Complexos ( r e iθ ) = r e iθ r e iθ = r Regras de derivação (u + v) = u + v (u. v) = u. v + u. v ( u v ) = u. v u. v v 2 e i(θ + 2kπ ), k {0,, 1} (u ) =. u 1. u ( R) (se u) = u. cos u (cos u) = u. se u (tg u) = u cos 2 u (e u ) = u. e u (a u ) = u. a u. l a (a R + {1}) (l u) = u u (log a u) = Limites otáveis lim (1 + 1 ) = e si x lim x 0 x = 1 e x 1 lim = 1 x 0 x l x lim x + x = 0 lim x + e x u u. l a (a R+ {1}) = + (p R) xp
CADERNO 1: 35 MINUTOS É PERMITIDO O USO DA CALCULADORA.
1. Num triâgulo [ABC] assialaram-se treze potos: um poto em [AB], dois potos em [AC] e dez potos em [BC], como idicado a figura. Quatos triâgulos diferetes se podem costruir com estes treze potos? (A) 286 (B) 285 (C) 166 (D) 120 2. Um baralho de cartas completo é costituído por 52 cartas, repartidas em quatro aipes (Espadas, Copas, Ouros e Paus). Em cada aipe há 13 cartas: um Ás, três figuras (Rei, Dama e Valete) e mais ove cartas (do Dois ao Dez). 2.1. Utilizado apeas o aipe de ouros, quatas sequêcias de 13 cartas, com as figuras todas jutas, é possível costruir? 2.2. Retirado ao acaso, simultaeamete, cico cartas de um baralho completo, de quatas maeiras é possível obter pelo meos duas figuras? 2.3. Retirado ao acaso, simultaeamete, seis cartas de um baralho completo, de quatas maeiras é possível obter exatamete dois ases e exatamete quatro cartas de copas? 3. Cosidere todos os úmeros que se podem obter alterado a ordem dos algarismos do úmero 1 788 231. Quatos desses úmeros são pares? (A) 540 (B) 900 (C) 1440 (D) 2160 FIM DO CADERNO 1 COTAÇÕES (Cadero 1) Item Cotação (em potos) 1. 2.1. 2.2. 2.3. 3. 8 15 15 20 8 66
CADERNO 2: 55 MINUTOS NÃO É PERMITIDO O USO DA CALCULADORA.
4. Para qualquer uiverso U ão vazio e quaisquer subcojutos A e B de U, A (A B) é igual a: (A) A B (B) A B (C) A B (D) A B 5. A sala da Isaura tem seis cadeeiros distitos, com um iterruptor idepedete para cada um deles. De quatas formas diferetes pode a Isaura ilumiar a sua sala? (A) 6 2 (B) 6 2 1 (C) 2 6 (D) 2 6 1 6. A turma dos gémeos, Pedro e Simão, tem um total de 24 aluos: 10 rapazes (icluido os gémeos) e 14 raparigas. Redija, o cotexto desta situação, o euciado de um problema de cálculo combiatório, 8 ivetado por si, que admita como resposta correta 2 C 2 No euciado que apresetar, deve explicitar claramete: o úmero de aluos da turma; o úmero de rapazes e de raparigas; 14 C 3 8 + C 1 14 C 3 o processo cujo úmero de maeiras pretede que seja calculado (e cujo valor terá de ser dado pela expressão apresetada).. 7. Determie o valor atural 5 que verifica a igualdade: A 4 = C 5 2 A 3 8. A orgaização de um festival de ciema pretede exibir um filme por dia durate o tempo de duração do festival. Para tal, possui m filmes de ação todos diferetes e filmes de outras categorias que ão de ação e também todos diferetes etre si. Se preteder exibir todos os filmes, sedo que os filmes de ação devem ser exibidos em dias cosecutivos, quatas formas diferetes existem de o fazer? (A) m!! (B) m! ( + 1)! (C) m!! ( + 1)! (D) (m + )! 9. De uma certa liha do triâgulo de Pascal, sabe-se que a soma do primeiro, do segudo, do peúltimo e do último elemetos é 2018. 9.1. Qual é o quito elemeto dessa liha? 9.2. Qual é o maior elemeto dessa liha? Apresete os elemetos pedidos a forma C p.
10. Cosidere o desevolvimeto de (x x 2 x )10, com x > 0. 10.1. Cosidere as proposições p e q relativas ao desevolvimeto do biómio apresetado: p: O desevolvimeto do biómio tem 10 termos. q: A soma dos coeficietes biomiais é 2 10. Idique, justificado, o valor lógico das proposições p e q. 10.2. O termo idepedete de x o desevolvimeto do biómio apresetado é da forma C p a p, ode, p N e a Z. Sem efetuar o desevolvimeto, determie os valores de, p e a. 11. Sejam E um cojuto fiito, ão vazio, P uma probabilidade o cojuto P(E) e sejam A e B dois acotecimetos em E tais que P(A) < 1. Prove que: P(A B ) 1 P(A) P(A ) + P(B) P(A ) B = P(A ) FIM DO CADERNO 2 COTAÇÕES (Cadero 2) Item Cotação (em potos) 4. 5. 6. 7. 8. 9.1. 9.2. 10.1. 10.2. 11. 8 8 20 18 8 12 12 12 16 20 134
TESTE N.º 1 Proposta de resolução Cadero 1 1. Opção (C) 13 10 C 3 C 3 = 166 2. 2.1. 3! 10! 11 = 239 500 800 3! é o úmero de maeiras diferetes de as três figuras de ouros permutarem etre si. 10! é o úmero de maeiras diferetes de as dez cartas de ouros que ão são figuras permutarem etre si. 11 é o úmero de maeiras diferetes de selecioar as três posições cosecutivas ode poderão ficar as três figuras. 52 40 40 2.2. C 5 C 5 12 C 4 = 844 272 52 C 5 é o úmero de maeiras de retirar, simultaeamete, cico cartas quaisquer de etre as 52. 40 C 5 é o úmero de maeiras de retirar, simultaeamete, cico cartas que ão são figuras. 40 12 C 4 é o úmero de maeiras de retirar, simultaeamete, cico cartas, das quais apeas uma é figura. Logo, se a todas as possibilidades retirarmos o úmero de casos em que ão saem figuras e o úmero de casos em que sai apeas uma figura, obtemos o úmero de maeiras de obter pelo meos duas figuras. 12 2.3. 1 3 C 3 36 + 3 12 C2 C 4 = 25 245 Existem duas hipóteses em alterativa: ou sai um ás de copas, um ás que ão é de copas, três copas que ão são ases e uma carta que em é copa em ás; ou saem dois ases que ão são copas e quatro cartas que são copas mas ão são ases. No primeiro caso existem 1 3 3 12 C 2 C 4 maeiras distitas. 12 C 3 36 maeiras distitas e o segudo caso existem
3. Opção (A) _2_ ou: _8_ 6 C 2 4 C2 2! 1 + 6 5 C2 3! = 540 Existem duas hipóteses em alterativa: ou termia em 2 e existem 6 C2 4 C2 2! 1 úmeros as codições pedidas; ou termia em 8 e existem 6 5 C2 3! úmeros as codições pedidas. Cadero 2 4. Opção (B) A (A B) = (A A) (A B) = (A B) = = A B 5. Opção (D) A ilumiação da sala pode ser feita ou com 1 ou com 2 ou com 3 ou com 4 ou com 5 ou com 6 cadeeiros. Assim, ilumiar a sala. 6 C1 + 6 C2 + 6 C3 + 6 C4 + 6 C5 + 6 C6 = 2 6 1 é o úmero de maeiras distitas de 6. A turma dos gémeos, Pedro e Simão, tem 24 aluos: 10 rapazes (icluido os gémeos) e 14 raparigas. Pretede-se formar uma comissão costituída por três rapazes e três raparigas da turma. Qual é o úmero de comissões que se podem formar com pelo meos um dos gémeos? 7. A 4 = C 5 2 A 3! =! ( 4)! 5! ( 5)! 23 ( 1)( 2)( 3)( 4)! ( 4)! = ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)! 8 120 ( 5)! 120 ( 1)( 2)( 3) = ( 1)( 2)( 3)( 4) 8 15( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)( 4) = 0 ( 1)( 2)( 3)(15 + 4) = 0 = 0 1 = 0 2 = 0 3 = 0 19 = 0 = 0 = 1 = 2 = 3 = 19 Como 5, vem que = 19.
8. Opção (B) m filmes de ação seguidos filmes de outras categorias Existem m! formas de ordear os m filmes de ação que irão ser exibidos em m dias cosecutivos. Por cada uma destas formas, existem ( + 1)! maeiras de permutar os filmes de outras categorias etre si e também com o bloco dos filmes de ação. 9. A soma do primeiro, segudo, peúltimo e último elemetos da liha do triâgulo de Pascal pode ser represetada por 1 + + + 1. Assim: 2 + 2 = 2018 = 2016 2 Liha = 1008. Assim: 1008 9.1. O quito termo é C 4. = 1008 1008 9.2. O maior elemeto é o elemeto cetral da liha, que é C 504. 10. 10 10 k=0 k 10.1. (x x 2 x )10 = C (x x) 10 k ( 2 x )k Assim, o desevolvimeto tem 11 termos. A proposição p é falsa. A soma dos coeficietes biomiais é A proposição q é verdadeira. 10 k=0 10 10 10 10 10 C k = C 0 + C 1 + C 2 + + C 10 = 2 10. 10 10.2. C p (x x) 10 p ( 2 x )p 10 = C p x 10 p ( x) 10 p ( 2)p = x p Para ser termo idepedete: 15 5 2 p = 0 p = 15 2 5 p = 6 Assim, = 10, p = 6 e a = 2. 10 = C p ( 2) p x 10 p (x 1 10 p 2) x p = 10 = C p ( 2) p x 10 p+5 1 2 p p = 10 = C p ( 2) p x 15 5 2 p
11. P(A B ) P(A ) P(A B ) + P(B) P(A ) B 1 P(A) = P(A) P(A ) + P(B) P(A B) = = P(A B ) + P(B) P(A B) = = 1 P(A B) + P(B) P(A B) = = 1 P(A) P(B) + P(A B) + P(B) P(A B) = = 1 P(A) = = P(A), como queríamos demostrar.