Sistemas a Tempo Discreto - Projeto

Sistemas a Tempo Discreto - Projeto 1. Especificações de Projeto no domínio discreto 2. Projeto via Emulação 2.1 Controladores Equivalentes Discretos 2.2 Mapeamento pólo-zero 2.3 Avaliação do projeto pag.1 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Especificações de Projeto Rastreamento de referência erro em regime Suponha que a FT do controlador seja D(z) = U(z)/E(z) e que a entrada da planta é precedida por um SOZ. A FT discreta da planta é G(z) ( 1 z 1) Z { } G(s) s E o erro entre referência e saída é E(z) = R(z) 1 + D(z)G(z) ie, análogo ao modelo contínuo... pag.2 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Especificações de Projeto Constantes de Erro Entrada degrau R(z) = z/(z 1) O erro para uma referência degrau é E(z) = z z 1 1 1 + D(z)G(z) Se o sistema é estável em malha fechada (todas as raízes de 1+DG estão no interior do círculo unitário), então pelo Teorema do Valor Final e( ) = lim z 1 (z 1)E(z) = 1 1 + D(1)G(1) 1 1 + K p O tipo do sistema é dado pelo número de integradores, ou pólos em z = 1 pag.3 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Especificações de Projeto Constantes de Erro Entrada rampa R(z) = Tz/(z 1) 2. O erro é E(z) = Tz 1 (z 1) 2 1 + D(z)G(z) e do mesmo modo, pelo Teorema do Valor Final e( ) = lim z 1 (z 1)E(z) = lim z 1 Tz (z 1) [1 + D(z)G(z)] 1 K v A constante de velocidade, K v, para um sistema Tipo 1 pode ser calculada através de (z 1)D(z)G(z) K v = lim z 1 Tz pag.4 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Especificações de Projeto no plano-z Os pólos em malha fechada do sistema de 2a. ordem no caso contínuo são s 1,2 = ζω n ± jω n 1 ζ 2 e podem ser mapeados em lugares do plano-z através da relação z = e st. As especificações de sobre-elevação (via ζ) e t a (via ζω n ) são apresentadas a seguir com as regiões correspondentes no plano-z Nota Como a parte real ζω n é mapeada em r = e ζωnt, a especificação ζω n 4/t a é mapeada num círculo de raio r 0 = e 4 T/t a pag.5 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Especificações no plano-z Amortecimento Root Locus Editor (C) 1 1.88 1.57 1.26 0.8 2.2 0.1 0.942 0.2 0.6 0.4 0.2 2.83 2.51 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.628 0.314 Imag Axis 0 3.14 3.14 0.2 0.4 2.83 0.314 0.6 2.51 0.628 0.8 2.2 0.942 1 1.88 1.57 1.26 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Real Axis pag.6 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Especificações no plano-z Tempo de acomodação Root Locus Editor (C) 1 1.88 1.57 1.26 0.8 2.2 0.2 0.1 0.942 0.6 0.4 0.2 2.83 2.51 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.3 0.628 0.314 Imag Axis 0 3.14 3.14 0.2 0.4 2.83 0.314 0.6 2.51 0.628 0.8 2.2 0.942 1 1.88 1.57 1.26 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Real Axis pag.7 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Aproximação discreta D(z) de um controlador contínuo G c (s) que atenda as especificações de projeto Embora facilmente obtida, a aproximação D(z) pode degradar as especificações relativamente a G c (s) A qualidade da aproximação está vinculada ao período de amostragem T. Quanto menor T, melhor a aproximação pag.8 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Mapeamento de pólos e zeros Pólos: Os pólos de G c (s) são mapeados através de z = e st Se G c (s) possui um pólo em s = a, então D(z) terá um pólo em z = e at Se G c (s) tem um pólo em s = a + jb, então D(z) terá um pólo em re jθ, onde r = e at e θ = bt Zeros finitos: Zeros finitos de G c (s) são mapeados em zeros de D(z) através de z = e st. Aplicam-se as mesmas regras utilizadas para pólos Zeros em s = : são mapeados em zeros de D(z) no ponto z = 1 pag.9 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Ganho: O ganho de D(z) deve ser casado com o ganho de G c (s) em uma freqüência crítica de interesse, geralmente em s = 0 (ganho DC). Neste caso, Ganho DC = lim s 0 G c (s) = lim z 1 D(z) pag.10 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Exemplo Para G c (s) = obtém-se a, com pólo em s = a e um zero em s =, s + a como lim s 0 G c (s) = 1, então D(z) = K z + 1 z e at Ganho DC = 1 = lim K z + 1 ou K = 1 e at z 1 z e at 2 Logo o equivalente discreto de G c (s) é D(z) = (z + 1)(1 e at ) 2(z e at ) pag.11 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Exemplo de Projeto: Considere o processo G(s) = 1 s(10s + 1) = 0.1 s(s + 0.1) Objetivos: K v 1 Projetar D(z) via Emulação tal que M p 16%, t a 10s e Período de amostragem para fornecer pelo menos 10 amostras do tempo de subida Das especificações obtém-se, ζ 0.5 e ζω n 4/10 = 0.4 Qual é a região aceitável para se localizar os pólos em malha fechada no plano-s? pag.12 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação 0.8 Root Locus Editor (C) 0.6 0.4 0.2 Imag Axis 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 Real Axis pag.13 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Escolha do controlador contínuo G c (s) = K s + z s + p = K(s + 0.1) (s + 1) É uma boa escolha? Como fica agora o LR do sistema em malha fechada? Valor do ganho K? Note que em malha fechada obtém-se G(s)G c (s) 1 + G(s)G c (s) = 0.1 K s 2 + s + 0.1 K = ω 2 n s 2 + 2ζω n s + ω 2 n Portanto 2ζω n = 1 ω n 1. Particularmente para ω n = 1 obtém-se K = 10 pag.14 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Seleção do período de amostragem, T? Veja que t s 1.8 ω n portanto T = t s = 0.18 0.2 s 10 = 1.8s, Equivalente discreto do controlador Forma do controlador discreto D(z) = K z ẑ z ˆp Aloque o zero z = 0.1 em ẑ = e 0.1 0.2 = 0.9802 Aloque o pólo p = 1 em ˆp = e 1 0.2 = 0.8187 Calcule o ganho DC: Ganho DC = lim s 0 G c (s) = 1 = lim z 1 D(z) = K (1 0.9802) (1 0.8187) D(z) = 9.15 (z 0.9802) (z 0.8187) pag.15 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Matlab Gc = tf([10 1],[1 1]); Transfer function: 10 s + 1 -------- s + 1 % FT Controlador contínuo Dz = c2d(gc,0.2, matched ) % equivalente discreto Dz_zpk= zpk(dz) % Forma fatorada Zero/pole/gain: 9.1544 (z-0.9802) ----------------- (z-0.8187) pag.16 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Avaliação de Projeto Para analisar o comportamento do compensador projetado é necessário determinar a transformada-z da planta contínua precedida por um SOZ: { } (1 e st { } ) G(s) G(z) = Z G(s) = (1 z 1 ) Z s s Matlab Gz = c2d(tf([1],[10 1 0]),0.2) Gz_zpk = zpk(gz) % Planta discretizada p/ T=0.2s % Forma fatorada Zero/pole/gain: 0.0019867 (z+0.9934) -------------------- (z-1) (z-0.9802) pag.17 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Avaliação do Projeto Projeto contínuo (linha pontilhada) e Projeto discreto (linha cheia) 1.4 Step Response 1.2 1 Amplitude 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time (sec.) pag.18 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Avaliação do Projeto Problema: Para T = 0.2s M p = 20%. Mesmo para T = 0.1s M p = 18% (Com freqüência de amostragem 10Hz, que é 63 vezes mais rápido que ω n ) Solução: Otimizar o projeto do controlador contínuo G c (s) para obter uma folga quanto a sobre-elevação pag.19 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Efeito da Taxa de Amostragem Considere o controle para a planta do exemplo com T = 1s. A planta + SOZ e o respectivo controlador discretizado são dados por: G(z) = 0.048374 (z + 0.9672) (z 1)(z 0.9048) D(z) = 6.6425 (z 0.9048) (z 0.3679) Neste caso houve uma degradação da resposta ao degrau com M p 48% como pode ser visto na próxima figura pag.20 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Efeito da Taxa de Amostragem Step Response From: U(1) 1.4 1.2 1 Amplitude To: Y(1) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Time (sec.) pag.21 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Efeito da Taxa de Amostragem Por que uma sobre-elevação tão elevada quando se considera T = 1s ao invés de T = 0.2s (como no exemplo anterior)? Para responder a esta questão vamos analisar a resposta em freqüência do sistema contínuo descrito no diagrama de Bode a seguir pag.22 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Efeito da Taxa de Amostragem Bode Diagrams 40 Gm = Inf, Pm=51.827 deg. (at 0.78615 rad/sec) 20 0 Phase (deg); Magnitude (db) 20 40 60 80 100 120 140 160 180 10 2 10 1 10 0 Frequency (rad/sec) pag.23 Controle de Sistemas Lineares Aula 22

Projeto via Emulação Efeito da Taxa de Amostragem Uma explicação parcial a esta sobre-elevação é que o SOZ pode ser aproximado por um retardo de T/2s. Visto que um retardo de tempo de T/2 produz um decréscimo em fase na freqüência de cruzamento (onde ω cruz = 0.79 rad/s) de φ = ω cruzt 2 = 0.79(1) rad = 22.35 0 2 então o SOZ produz uma redução na Margem de Fase aproximadamente igual a MF = 51.8 0 22.35 0 = 29.45 0 Como o amortecimento ζ está diretamente associado a MF pela relação MF ζ 100, logo ζ 0.295 M p 38%!! Note que especificou-se uma sobre-elevação máxima de 16 % pag.24 Controle de Sistemas Lineares Aula 22