Caítulo 2 Integrais de linha 2.1 Indeendência do caminho nas integrais de linha Definição 2.1 Dados um domínio D R 3 e P, Q, R : D R camos escalares contínuos, dizemos que a integral de linha é indeendente do caminho em D quando ara quaisquer ontos, B D, ovalor da integral B, indeende do caminho que une os ontos e B. Nosso objetivo é obter condições sob as quais uma integral indeende do caminho. Teorema 2.2 Sejam D R 3 um domínio e P, Q, R : D R camos escalares contínuos. integral de linha indeende do caminho em D seesóseeisteumcamoescalarϕ : D R de classe C 1 em D tal que ϕ (, y, z) =(P (, y, z),q(, y, z),r(, y, z)), (, y, z) D. Prova. ( ) Seja ( 0,y 0,z 0 ) D um onto fiado. Para (, y, z) D definimos ϕ (, y, z) = (,y,z) ( 0,y 0,z 0 ) 1.
2 CPÍTULO 2. INTEGRIS DE LINH Como, or hiótese, a integral indeende do caminho em D, ocamoϕ está bem definido e nós odemos considerar um caminho conveniente. Seja 1 6= tal que o segmento [( 1,y,z), (, y, z)] esteja inteiramente contido em D. Temos ϕ (, y, z) = (1,y,z) ( 0,y 0,z 0 ) + = h ( 0,y 0,z 0, 1,y,z)+ e derivando, com reseito à, segue (,y,z) ( 1,y,z) t= 1 P (t, y, z) dt, (, y, z) =P (, y, z). s outras igualdades são rovadas de modo análogo. ( ) Seja ϕ C 1 (D) satisfazendo ϕ (, y, z) =(P (, y, z),q(, y, z),r(, y, z)), (, y, z) D. Sejam =( 1,y 1,z 1 ) e B =( 2,y 2,z 2 ) dois ontos quaisquer de D. Se γ (t) =( (t),y(t),z(t)),a t b, é um caminho regular, ou regular or artes, inteiramente contido em D unindo os ontos e B temos b b = h ϕ (γ (t)),γ 0 d (t)i dt = [ϕ (γ (t))] dt = ϕ (B) ϕ (). dt γ a Portanto a integral indeende do caminho em D. a Definição 2.3 Seja D R 3 um aberto. Dizemos que o camo vetorial F : D R 3 é um camo conservativo em D quando eiste um camo escalar diferenciável ϕ : D R satisfazendo ϕ (, y, z) =F (, y, z), (, y, z) D. Este camo ϕ é chamado função otencial de F. Nota 2.4 Nas condições do Teorema 2.2 vemos que se F (, y, z) =(P (, y, z),q(, y, z),r(, y, z)), entãoaintegral R F T ds é indeendente do caminho em D se e só se F éumcamo conservativo em D. Neste caso se ϕ é a função otencial de F, e, B D, usamos a notação B B F T ds = dϕ = ϕ (B) ϕ ().
2.1. INDEPENDÊNCI DO CMINHO NS INTEGRIS DE LINH 3 Eemlo 2.5 Calculemos (5,6) (1,2) yd + dy. Vejamos se eiste ϕ : R 2 R satisfazendo no R 2 : (, y) =y (2.1) y (, y) = Integrando a rimeira igualdade em (2.1), com reseito à, obtemos ϕ (, y) =y + f (y), derivando esta igualdade com reseito à y e comarando com a segunda igualdade em (??) temos f 0 (y) =0, logo f (y) =k (constante). ssim ϕ (, y) =y + k. Temos (5,6) yd + dy = (1,2) (5,6) (1,2) dϕ (, y) =ϕ (5, 6) ϕ (1, 2) = 28. Eemlo 2.6 Verifiquemos se a integral e 2 +y 2 d + ye 2 +y 2 dy, indeende do caminho no R 2. Devemos verificar se eiste ϕ : R 2 R satisfazendo as equações Procedendo como antes vemos que (, y) =e2 +y 2, y (, y) =ye2 +y 2. ϕ (, y) = 1 2 e2 +y 2 + k, é uma solução. Pelo Teorema 2.2 concluimos que a integral indeende do caminho no R 2. Eemlo 2.7 Verifiquemos se o camo à F (, y, z) = 2 + y 2 + z, 2 y 2 + y 2 + z 2,! z 2 + y 2 + z 2
4 CPÍTULO 2. INTEGRIS DE LINH é um camo conservativo em D = R 3 {(0, 0, 0)}. Devemos encontrar ϕ : D R satisfazendo em D : Da rimeira equação temos Como (, y, z) = y (, y, z) = y z (, y, z) = z 2 + y 2 + z 2, 2 + y 2 + z 2, 2 + y 2 + z 2. ϕ (, y, z) = 2 + y 2 + z 2 + f (y, z). y (, y, z) = y orcomaraçãocomasegundaequaçãoobtemos 2 + y 2 + z + f (y, z), 2 y f (y, z) =0. y Logo f (y, z) =g (z) e ϕ (, y, z) = 2 + y 2 + z 2 + g (z). Derivando esta igualdade com reseito à z segue z (, y, z) = z 2 + y 2 + z 2 + g0 (z). Comarando com a terceira equação temos g 0 (z) =0, ou seja g (z) =k (constante). Concluimos que F admite a função otencial sendo, ortanto, um camo conservativo. ϕ (, y, z) = 2 + y 2 + z 2 + k, Eemlo 2.8 Seja D R 3 um domínio e ϕ : D R um camo escalar diferenciável com ϕ (, y, z) =0, (, y, z) D. Provemos que ϕ éconstanteemd. Para, B D quaisquer, temos ϕ (B) ϕ () = logo ϕ (B) =ϕ () ara, B D. B dϕ = B 0d +0dy =0,
2.1. INDEPENDÊNCI DO CMINHO NS INTEGRIS DE LINH 5 Teorema 2.9 Sejam D R 3 um domínio e P, Q, R : D R camos escalares contínuos. integral de linha indeende do caminho em D seesóse I =0, γ ara qualque curva γ fechada, simles, regular ou regular or artes, contida em D. Eemlo 2.10 integral 2 + y d + 2 2 + y dy 2 não é indeendente do caminho em D = R 2 {(0, 0)}, ois se considerarmos a curva γ (t) =(cost, sin t), 0 t 2π, temos γ 2 + y d + 2 2 + y dy = 2 2π 0 [( sen t)( sen t)+(cost)(cost)] dt 6= 0 ssim elo Teorema 2.9, concluimos que a integral não é indeendente do caminho em D. Teorema 2.11 Sejam D R 3 um domínio, e F : D R 3 um camo vetorial de classe C 1 em D com F (, y, z) =(P (, y, z),q(, y, z),r(, y, z)). Se a integral de linha indeende do caminho em D, então F (, y, z) =0, (, y, z) D. Nota 2.12 No caso D R 2 e F : D R 2 com F (, y) = (P (, y),q(, y)), o Teorema 2.11 se reduz a: Se a integral de linha Pd+ Qdy indeende do caminho em D, então Q (, y) = P (, y), (, y) D. y Eemlo 2.13 integral yd +2dy, não é indeendente do caminho no R 2, ois (2) 6= y (y).
6 CPÍTULO 2. INTEGRIS DE LINH Eemlo 2.14 recíroca do Teorema 2.11 não é válida, como mostra a integral 2 + y d + 2 2 + y dy. 2 Temos µ = µ, (, y) D = R 2 {(0, 0)}. 2 + y 2 y 2 + y 2 No entanto, vimos no Eemlo 2.10 que ela não é indeendente do caminho em D. Observe que D não é um domínio simlesmente coneo. Vamos ver, agora, um resultado que faz uso do Teorema de Green e ortanto é válido ara n =2. Resultado análogo, ara n =3, será visto no róimo caítulo deois do Teorema de Stokes. Teorema 2.15 Sejam D R 2 um domínio simlesmente coneo, e P, Q : D R camos escalares de classe C 1 em D. Se Q (, y) = P (, y), (, y) D, y entãoaintegraldelinha Pd+ Qdy é indeendente do caminho em D. Eemlo 2.16 Determinemos uma função u (y) de modo que a integral 1+y 2 u (y) d + + y 2 1 u (y) dy, seja indeendente do caminho no R 2. Se P (, y) = 1+y 2 u (y) e Q (, y) = + y 2 1 u (y), devemos ter Q ssim u deve satisfazer a equação ou seja Resolvendo esta E.D.O. obtemos (, y) = P y (, y), (, y) R2. u (y) =2yu (y)+ 1+y 2 u 0 (y), u 0 (y) = 1 2y 1+y 2 u (y). u (y) = 1 e {arctan y}. 1+y2
2.1. INDEPENDÊNCI DO CMINHO NS INTEGRIS DE LINH 7 Eemlo 2.17 Sejam D = {(, y) :>0} e 2 + y d + 2 2 + y dy. 2 Sendo P (, y) = 2 + y e Q (, y) = 2 2 + y, 2 temos P, Q C 1 (D) e D é um domínio simlesmente coneo. Como Q (, y) = P (, y), (, y) D, y segue do Teorema 2.15 que a integral indeende do caminho em D. Pelo Teorema 2.2 eiste um camo escalar ϕ C 1 (D) satisfazendo (, y) = Por integração obtemos 2 + y 2 e (, y) = y ϕ (, y) = arctan y,, (, y) D. 2 + y2 ou se reresentarmos or θ (, y) o ângulo olar odemos escrever ϕ (, y) =θ (, y). Deste modo temos ara ( 1,y 1 ), ( 2,y 2 ) D : (2,y 2 ) ( 1,y 1 ) 2 + y d + 2 2 + y dy = 2 (2,y 2 ) ( 1,y 1 ) dθ (, y) =θ ( 2,y 2 ) θ ( 1,y 1 ). Eemlo 2.18 Consideremos P e Q como no Eemlo 2.17 e os domínios simlesmente coneos D 1 e D 2 como nas figuras abaios o longo de qualquer caminho contido em D 1 unindo os ontos e B, temos B Pd+ Qdy = π 2.
8 CPÍTULO 2. INTEGRIS DE LINH o longo de qualquer caminho contido em D 2 unindo os ontos e B, temos B Pd+ Qdy = 5π 2. Eemlo 2.19 Verifiquemos que a integral 2 + y d + y 2 2 + y dy, 2 indeende do caminho em D = R 2 {(0, 0)}. Observemos que 2 + y d + y 2 2 + y dy = d ln 2 + y 2, 2 ou seja, o camo F (, y) = µ 2 + y, y 2 2 + y 2 é um camo conservativo em D. Pelo Teorema 2.2 segue a indeendência do caminho em D. Nota 2.20 lgumas equações diferenciais de rimeira ordem odem ser resolvidas com ajuda de funções otenciais. Se tivermos a equação y 0 = f (, y), multilicando os dois lados da igualdade or um fator Q (, y) resulta y 0 Q (, y) f (, y) Q (, y) =0. Se definirmos P (, y) = f (, y) Q (, y) e usarmos a notação de Leibnitz, temos P (, y) d + Q (, y) dy =0. (2.2) Definição 2.21 Dizemos que a equação diferencial em (2.2) é uma equação diferencial eata num domínio D, quando o camo vetorial F (, y) =(P (, y),q(, y)) admitir uma função otencial ϕ (, y) em D. função ϕ é chamada integral da equação e as curvas definidas or ϕ (, y) =c, são chamadas curvas integrais da equação diferencial.
2.1. INDEPENDÊNCI DO CMINHO NS INTEGRIS DE LINH 9 Eemlo 2.22 equação éeatanor 2. Isto orque (4 y) d +(2y ) dy =0, (2y ) = y (4 y), (, y) R2. ssim,eloteorema2.15eteorema2.2,concluimosqueocamo F (, y) =(4 y, 2y ) é um camo conservativo. É fácil ver que uma função otencial é ϕ (, y) =2 2 y + y 2.