Concetos Incas de Estatístca Módulo 3 : MEDIDAS DE POSIÇÃO Pro. Rogéro Rodrgues
MEDIDAS DE POSIÇÃO ) Introdução : Depos da coleta de dados, as varáves pesqusadas estão em estado bruto, sendo necessáro um mínmo de sstematzação para que se tornem mas compreensíves enquanto enômeno global. Em mutos casos, dspõe-se de váras varáves de uma mesma grandeza e deseja-se quantcar em torno de que valor concentram-se os valores de todas as varáves.por eemplo, as dades de uma turma de cranças:,, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6 e 7 anos.pode-se nteressar em saber,na méda, qual é a dade do grupo ou qual é a dade que mas é contemplada no grupo ou, anda, qual é a dade que está numa posção mas centralzada, em relação às outras. Nos três casos ctados, o desejo é descobrr a varável melhor posconada em relação às demas que, numa crcunstânca ou outra, representara melhor o grupo.. + 3 + 4.4 +.5 + 6 + 7 Voltando às cranças, teríamos : Méda 4, anos ; a dade mas contemplada no grupo é 4 anos e a dade mas centralzada em relação às outras é 4 anos. Poderamos dzer que a dade mas representatva do grupo é 4 anos. As três meddas essencas de posção são eatamente essas que acabamos de abordar, seus nomes são, respectvamente, MÉDIA, MODA e MEDIANA. Há anda outras meddas semelhantes à medana, são as separatrzes : Os quarts e os percents. ) A MÉDIA ARITMÉTICA ( ) O cálculo da méda artmétca va depender de como as varáves se apresentam: Não agrupapadas, Agrupadas por número ou Agrupadas em classes..) Varáves não agrupadas : Neste caso,a méda é a soma das varáves dvdda pelo seu número, ou seja, dadas as varáves,, 3,..., n, tem se n n Eemplo : Nossas cranças do eemplo anteror, suas dades : :,, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6 e 7 anos : + + 3 + 4 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 6 + 7 4, anos Observemos que nesse eemplo as cranças poderam ser agrupadas por dade e teríamos : cranças com dos anos, crança com três anos, 4 cranças com quatro anos, cranças com 5 anos, crança com 6 anos e crança com 7 anos, conorme tabela abao : Idades ( ) 3 4 5 6 7 Cranças ( ) 4 Esse crtéro de sstematzação, torna o cálculo da méda mas ágl, pos teremos :. + 3 + 4.4 +.5 + 6 + 7 4, anos Vejamos, a segur, como conerr a esse crtéro um grau maor de sstematzação.
.) Varáves agrupadas por número : Este é o caso anteror, das dades das cranças, em que as cranças oram agrupadas por dade. Temos, então, que ncorporar esse agrupamento na nossa órmula anteror, ou seja, a varável aparece vezes, a varável aparece vezes,..., a varável n aparece n vezes : n n Essa méda é conhecda como Méda artmétca ponderada. Eemplo : Nossas cranças do eemplo anteror, agrupadas por dade. É convenente elaborar uma tabela como a segunte : Idades ( ) N o de cranças ( ). 4 3 3 4 4 6 5 0 6 6 7 7. 46 Então, temos : n n 46 4, anos.3) Varáves agrupadas por classes (dstrbução de reqüênca) : Nesse caso, vamos abordar dos métodos de cálculo : A Méda artmétca ponderada, com a utlzação dos pontos médos das classes e o chamado Processo breve, mas sstematzado que o prmero. A segunte dstrbução será usada, como eemplo, para lustrar os dos processos. A dstrbução regstra os saláros pagos a 730 unconáros de uma empresa : Saláros (reas) 350 400 0 400 450 00 3 450 500 0 4 500 550 60 5 550 600 35 6 600 650 05 730 Pela Méda artmétca ponderada Acrescenta-se à tabela as colunas para e para., tendo-se,então, a tabela pronta para o cálculo :
3 Saláros (reas). 350 400 0 375 45.000 400 450 00 45 4.500 3 450 500 0 475 5.50 4 500 550 60 55 84.000 5 550 600 35 575 77.65 6 600 650 05 65 65.65 730. 367.000 De onde, 6 6 367.000 50,7 reas. 730 Pelo Processo breve, cra-se uma varável aular y, calculada em unção de 0, um dos pontos médos da dstrbução, preerencalmente o da classe de maor reqüênca ; cada e da am- pltude das classes. Assm temos y e a méda : y 0 h 0 + ( y. ). h y e y. : Para eemplcar com o eemplo anteror, acrescentemos à tabela anteror as colunas para Saláros (reas) y y. 350 400 0 375-3 - 360 400 450 00 45 - - 00 3 450 500 0 475 - - 0 4 500 550 60 55 0 0 5 550 600 35 575 35 6 600 650 05 65 0 730 y. -35 Os valores de y que compuseram a qunta coluna da tabela oram calculados abao, em unção do ponto médo da classe de maor reqüênca 0 55. da quarta classe : 375 55 45 55 475 55 55 55 y - 3, y -, y 3 -, y 4 0 50 50 50 50 575 55 65 55 y 5 e y 6 e a méda será 50 50 ( 0 y. ). h ( 35 ).50 + 55 + 55 -,3 50,7 reas. 730
4 Eercíco Proposto : Em cada caso apresentado a segur, calcule a méda artmétca das varáves apresentadas : a) Alturas, em centímetros, de atletas : 76,77,77,78,78,78,79,80,8,84,90 e 0 ; b) Número de pessoas do grupo amlar de 3 amílas : 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 e 7 ; c) Número de lhos de 40 casas : N o de lhos ( ) 3 4 5 6 N o de casas ( ) 3 38 4 7 9 d) Notas de Estatístca dos 40 alunos das turmas de mesmo período : NOTAS( ) 3 4 5 6 7 8 9 0 N o de alunos ( ) 6 0 4 8 0 8 e) Tempo,em anos,de contrbução à prevdênca ocal de 30 trabalhadores : 0 deles contrbuí- ram durante anos, 5 contrbuíram durante 3 anos, 30% deles durante 4 anos, 6 3 contr- buíram durante 5 anos e 4 trabalhadores contrbuíram durante 6 anos ; ) Tempo,em anos,de eperênca prossonal dos9 técncos de uma empresa de computadores :,, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 0, e ; g) Saláros, em reas, pagos por uma empresa aos seus 00 unconáros : (Use os dos processos vstos) SALÁRIOS. 300 30 80 30 340 70 3 340 360 90 4 360 380 90 5 380 400 70 00. SALÁRIOS y y. 300 30 80 30 340 70 3 340 360 90 4 360 380 90 5 380 400 70 00 y h) Número de jogos prossonas realzados por 0 jogadores de utebol : (Use os dos processos vstos)
5 JOGOS 5 75 58 75 5 4 3 5 75 39 4 75 35 3 5 35 375 7 6 375 45 3 0 JOGOS y y. 5 75 58 75 5 4 3 5 75 39 4 75 35 3 5 35 375 7 6 375 45 3 0 y 3) A MODA ( Mo) A moda é o valor mas contemplado para a varável numa coleta de dados. Sua determnação é de constatação quase medata, eceto quando se trata de dstrbução de reqüênca. 3.) Varáves não agrupadas : Neste caso, basta vercar, entre as varáves aquela que mas a- parece na coleta de dados. Eemplos : a) As dades de de cranças :,, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6 e 7 Mo 4 anos ; b) Estaturas, em centímetros, de 0 atletas : 76, 76, 76, 78, 78, 80, 80, 8, 8, 8. Nesse caso, o grupo de varáves é bmodal, ou seja, tem duas modas : 76 cm e 8 cm. c) Massa, em qulogramas, de 5 recém-nascdos :,5 ; ;,5 ;,8 ; 3 ; 3, ; 3,4 ; 3,5 ; 3,7 ; 3,8 ; 3,9 ; 4 ; 4, ; 4,3 e 4,5. Nesse caso não há Moda, dzemos que a sére de varáves é Amodal. 3.) Varáves agrupadas por número : Aqu também, a vercação é medata, observando na coluna da reqüênca aquela que or maor. Eemplo : Nossas cranças do prmero eemplo, agrupadas por dade ; veja a segur
6 Idades ( ) N o de cranças ( ) 3 4 4 5 6 7 Verca-se, na tabela, que a dade de 4 anos é a que mas aparece ; logo, Mo 4 anos. 3.3) Varáves agrupadas por classes (dstrbução de reqüênca) : Neste caso, calcularemos a Moda bruta e a Moda pela órmula de Czuber. A moda bruta é calculada, segundo os dos passos seguntes : o ) Selecona-se a classe modal, ou seja, aquela que tver a maor reqüênca absoluta ; o ) Calcula-se, então a méda entre os lmtes da classe seleconada, ou seja, A órmula de Czuber M o Mo l D. h + L l + calcula a moda com uma precsão maor.na D + D órmula, tem-se : l lmte neror da classe modal ; D - classe anteror ; D - classe posteror ; reqüên ca absoluta da classe modal ; h ampltude da classe modal. Eemplo : A dstrbução a segur regstra os saláros pagos aos 730 unconáros de uma empresa : Saláros (reas) 350 400 0 400 450 00 3 450 500 0 4 500 550 60 5 550 600 35 6 600 650 05 730 a) Como vemos, a classe de maor reqüênca é a quarta, onde 500 + 550 Então, a Moda bruta será Mo 55 reas ; b) Para a órmula de Czuber, tem-se : l 500 reas D 60 0 50 reas D 60 35 5 reas h 50 reas l 500 reas e L 550 reas.
7 e a moda será Mo 500 + Eercíco Proposto : 50.50 50 + 5 500 + 33,3 533,33 reas Em cada caso apresentado a segur, calcule a moda das varáves apresentadas : a) Alturas, em centímetros, de atletas : 76,77,77,78,78,78,79,80,8,84,90 e 0 ; b) Número de pessoas do grupo amlar de 3 amílas : 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 e 7 ; c) Número de lhos de 40 casas : N o de lhos ( ) 3 4 5 6 N o de casas ( ) 3 38 4 7 9 d) Notas de Estatístca dos 40 alunos das turmas de mesmo período : NOTAS( ) 3 4 5 6 7 8 9 0 N o de alunos ( ) 6 0 4 8 0 8 e) Tempo,em anos,de contrbução à prevdênca ocal de 30 trabalhadores : 0 deles contrbuí- ram durante anos, 5 contrbuíram durante 3 anos, 30% deles durante 4 anos, 6 3 contr- buíram durante 5 anos e 4 trabalhadores contrbuíram durante 6 anos ; ) Tempo,em anos,de eperênca prossonal dos9 técncos de uma empresa de computadores :,, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 0, e ; g) Saláros, em reas, pagos por uma empresa aos seus 00 unconáros : (Calcule a moda bruta e a moda por Czuber) SALÁRIOS 300 30 80 30 340 70 3 340 360 90 4 360 380 90 5 380 400 70 00
8 h) Número de jogos prossonas realzados por 0 jogadores de utebol : (Calcule a moda bruta e a moda por Czuber) JOGOS 5 75 58 75 5 4 3 5 75 39 4 75 35 3 5 35 375 7 6 375 45 3 0 4) A MEDIANA ( Md) : Dspostas as varáves em ordem crescente, há uma posção central ocupada por uma das varáves ou há duas delas que geram uma de posção central ; em ambos os casos, temos a medda chamada de Medana. Note-se que tanto abao, quanto acma da medana há o mesmo número de varáves. 4.) Varáves não agrupadas : Neste caso, ordenando as varáves, temos duas possbldades : a) Se o número de varáves é ímpar, haverá um termo central únco, que será a medana.se a sén re tem n varáves, tem-se varáves tanto à dreta, quanto à esquerda da medana. Eemplo : As dades de de cranças :,, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6 e 7. São varáves ; são 5 dades à esquerda e 5 dades à dreta da medana : Md 4 anos. b) Se o número de varáves é par, tem-se dos termos centras ; a medana é a méda desses ter n mos. Se o número de varáves é n, tem-se varáves tanto à esquerda, quanto à dreta dos dos termos centras, cuja méda é a medana. Eemplo : Estaturas, em centímetros, de 0 atletas : 76, 76, 76, 78, 78, 80, 80, 8, 8, 8. São 0 varáves ; então há 0 centras ; os termos centras são 78 e 80, a medana é Md 4 varáves tanto à esquerda, quanto à dreta dos termos 78 +80 79 cm. 4.) Varáves agrupadas por número : Neste caso, seguem-se os mesmos precetos do caso anteror quanto ao número de varáves, seja ele par ou ímpar. Na contagem das varáves ordenadas, para determnação da medana, contar ordenadamente entre as varáves,como se a tabela estvesse sendo aberta em lnha ;veja eemplos a segur :
9 Eemplos : a) Nossas cranças do prmero eemplo : Como são varáves, haverá 5 varáves em cada lado da medana, com as varáves ordenadas ; contemos cnco cranças, através das dades : com dos anos + com três anos + dos 4 com quatro anos ; a próma crança denrá a medana : Md 4 anos. b) Notas de 0 alunos de uma classe, numa prova de Estatístca : Como são 0 varáves, tem-se 9 varáves de cada lado das varáves cuja méda é a medana. Contando 9 alunos, tem-se : de nota quatro + 3 de nota cnco + 4 dos 5 de nota ses, os 6 + 7 prómos são de nota ses e o prmero dos 4 de nota sete ; a medana será Md 6,5. 4.3) Varáves agrupadas por classes (dstrbução de reqüênca) : Neste caso, como as classes não determnam reqüêncas das varáves ndvdualmente, os processos são, em geral, nterpolatvos. O processo descrto a segur tem duas etapas : a ) Identcar a classe medana como sendo aquela, cuja reqüênca acumulada para bao é me- datamente superor a ; a ) Emprega-se a órmula : Idades ( ) N o de cranças ( ) 3 4 4 5 6 7 NOTAS ( ) N o DE Alunos ( ) 4 5 3 6 5 7 4 8 3 9 3 0 Md l + - F ant. h Em que l é o lmte neror da classe medana ; h é a ampltude da classe medana ; é a reqüênca absoluta da classe medana e F ant é a reqüênca acumulada para bao anteror à da classe medana.
0 Eemplo : Saláros de 730 unconáros de uma empresa : Saláros (reas) F b 350 400 0 0 400 450 00 0 3 450 500 0 330 4 500 550 60 490 5 550 600 35 65 6 600 650 05 730 730 Prmeramente oram calculadas as reqüêncas acumuladas para bao F b de todas as clas- ses ; Como 365, temos que a reqüênca acumulada medatamente superor é 490 da quar- ta classe que é a classe medana. Então temos l 500 ; h 50 ; 60 e F ant 330. A medana será : 730-330.50 Md 500 + 500 + 0,9 50,9 reas. 60 Eercíco Proposto : Em cada caso apresentado a segur, calcule a medana das varáves apresentadas : a) Alturas, em centímetros, de atletas : 76,77,77,78,78,78,79,80,8,84,90 e 0 ; b) Número de pessoas do grupo amlar de 3 amílas : 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 7 e 7 ; c) Número de lhos de 40 casas : N o de lhos ( ) 3 4 5 6 N o de casas ( ) 3 38 4 7 9 d) Notas de Estatístca dos 40 alunos das turmas de mesmo período : NOTAS( ) 3 4 5 6 7 8 9 0 N o de alunos ( ) 6 0 4 8 0 8 e) Tempo,em anos,de contrbução à prevdênca ocal de 30 trabalhadores : 0 deles contrbuí- ram durante anos, 5 contrbuíram durante 3 anos, 30% deles durante 4 anos, 6 3 contr- buíram durante 5 anos e 4 trabalhadores contrbuíram durante 6 anos ; ) Tempo,em anos,de eperênca prossonal dos8 técncos de uma empresa de computadores :,, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 0, e ;
g) Saláros, em reas, pagos por uma empresa aos seus 00 unconáros : SALÁRIOS F b 300 30 80 30 340 70 3 340 360 90 4 360 380 90 5 380 400 70 00 h) Número de jogos prossonas realzados por 0 jogadores de utebol : JOGOS b 5 75 58 75 5 4 3 5 75 39 4 75 35 3 5 35 375 7 6 375 45 3 0