Métodos Quantitativos II

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Victoria Assunção
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1 Métodos Quantitativos II MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

2 O que você deve aprender? o Como encontrar a média, a mediana e a moda de uma população ou de uma amostra; o Como encontrar a média ponderada de um conjunto de dados e a média de uma distribuição de frequência o Como descrever a forma da distribuição simétrica, uniforme ou assimétrica e como comparar a média a mediana de cada um desses aspectos.

3 o As medidas de tendência central são utilizadas para caracterizar um conjunto de valores, representando-o adequadamente. o A denominação medida de tendência central se deve ao fato de que, por ser uma medida que caracteriza um conjunto, tenderá a estar no meio dos valores.

4 Conceito o Uma medida de tendência central é um valor que representa uma entrada típica ou central do conjunto de dados. o Média o Mediana o Moda

5 Média o É a soma das entradas de dados dividida pelo número de entradas. μ = N x x = n x Média Populacional Média Amostral

6 Exemplo 1 Os preços para uma amostra de voos de ida e volta partindo de fortaleza para São Paulo são listados a seguir. Qual é a média dos preços dos voos? x = = x = x n = , 9

7 Exemplo 2 o As notas dos alunos da disciplina de Métodos Quantitativos II estão apresentadas abaixo: 8,0 8,0 10,0 10,0 8,0 8,0 10,0 8,0 8,0 10,0 10,0 8,0 10,0 8,0 10,0 10,0 8,0 9,0 9,0 9,0 8,0 8,0 9,0 10,0 9,0 8,0 8,0 10,0 8,0 10,0 10,0 9,0 9,0 8,0 9,0 8,0 10,0 10,0 8,0 8,0 μ = x N = = 8, 9

8 Mediana o A mediana de um conjunto de dados é um valor que está no meio dos dados quando o conjunto de dados é ordenado. o A mediana mede o centro de um conjunto de dados ordenados dividindo-se em duas partes iguais. o Se o conjunto de dados tem um número ímpar de entradas, a mediana é a entrada de dados do meio. Se o conjunto de dados tem um número par de entradas, a mediana é a média das duas entradas do meio.

9 Exemplo 3 o Encontra e Mediana dos dados abaixo: o Como os dados já estão ordenados e o número de entradas é ímpar, a Mediana será o termo central: 427.

10 Exemplo Número entradas é par; Organizar os dados; Média aritmética dos dois números centrais. ( ) 2 = 45.

11 Moda o A moda de um conjunto é uma entrada do conjunto que ocorre com a maior frequência. Se nenhuma entrada é repetida, não há moda. Se há duas entradas de mesma frequência e chama-se bimodal A moda é o número 397.

12 Moda Cursos Frequência f Administração 430 Contabilidade 344 Turismo 289 Publicidade 371 Qual a classe modal?

13 Vantagens e Desvantagens o Embora a Média, Mediana e Moda descrevam, cada uma, determinada entrada típica de dados, há vantagens e desvantagens no uso de cada uma delas. o Valores Outlier o Entrada de dados que está muito afastada das outras entradas de dados.

14 Exemplo 5 Encontra a Média, a Mediana e a Moda da amostra das idades dos alunos da turma. Qual medida central melhor descreve uma entrada típica desse conjunto de dados? Há valores discrepantes? x = x n = , Mediana= = 21,5 A moda é igual a 20 anos.

16 Média Ponderada o É a média de um conjunto de dados cujas entradas têm pesos variados. o x = (x.w) w o Onde w é o peso de cada entrada.

17 Exemplo 6 o Você está frequentando uma aula na qual sua nota é determinada com base em 5 fontes: 50% média do exame, 15% do exame bimestral, 20% do exame final, 10% dos trabalhos em sala 5% das atividades em casa. o As notas foram, respectivamente: Qual a média ponderada das notas? Fonte Nota x Peso w xw Média do exame 86 0,5 43,00 Exame bimestral 96 0,15 14,40 Exame final 82 0,2 16,40 Trabalhos 98 0,1 9,80 Casa 100 0,05 5, ,6 x = x = 88,6 1 (x. w) w

18 Medidas de Tendência Central em Dados Agrupados o A média em uma distribuição de frequência para uma amostra é aproximada por: x = x. f n o Onde x é o ponto médio e f a frequência de uma classe; o E n é igual a f.

19 Exemplo 7 (Média) PM f (x.f) 12, ,0 24, ,0 36, ,5 48, ,0 60, ,5 72, ,0 84, , x = x. f f x = ,8

20 Exemplo 8 (Média) x f (x.f) x = x. f f x = ,24

Exemplo 8 (Média) (Média) o Calcular a média do conjunto de dados abaixo: Notas 2 3 4 5 6 7 8 9

21 Exemplo 8 (Média) (Média) o Calcular a média do conjunto de dados abaixo: Notas Nº de Alunos x = x. f f 1x2=2 3x3=9 4x6=24.. =296 x = x. f f = = 5,92

22 Exemplo 9 (Média) Nº de Acidentes Nº de Motoristas a) Qual a média de motoristas que já sofreram acidente? b) Qual a classe modal? c) O número de motoristas que não sofreram acidentes? d) O número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes? e) O número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes? f) A percentagem de motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes?

23 Exemplo 10 (Mediana) Calcule a Mediana Se n for ímpar Nº de irmãos e/ ou irmãs fi Fac EMe = (n + 1) 2 = 32 2 = Se n for par EMe = n 2 Identificar a classe tal que Eme Fac Me = 3

24 Exemplo 11 (Mediana) Calcule a Mediana xi fi Fac EMe = n 2 = 4 Identificar a classe tal que Eme Fac Como EMe = Fac Então, Me = ( ) 2 = 15,5

25 Exemplo 12 (Mediana) Calcule a Mediana xi fi Fac EMe = n 2 = 5 Identificar a classe tal que Eme Fac Me = (16+16) 2 =16

26 Exemplo 13 (Mediana) o Estatura de 40 candidatos a cargos de garis da EMLURB Estatura (cm) fi Fac EMe = n 2 = 20 Identificar a classe tal que Eme Fac Me = li + Ak EMe Fac fme

27 Exemplo 13 (Mediana) o Estatura de 40 candidatos a cargos de garis da EMLURB Estatura (cm) fi Fac EMe = n 2 = 20 Me = li + h EMe Fac fme li = limite inferior da classe Med h= Largura de classe EMe = Elemento mediano Fac = Frequencia acumulada da classe anterior fme = frequencia absoluta da classe mediana

28 Exemplo 14 (Moda) Qual a moda? xi fi xi fi e 13, bimodal

29 Exemplo 15 (Moda) Salários (R$) fi Moda bruta Moda de King Moda de Czuber Mo = Mo = li + h Mo = Mo = li + h Mo = = 799,5 fpost fant + fpost = 790,9 fmáx fmín 2fmax (fant + fpost) (2x31) ( ) = 789,7

30 Passos para a escolha da melhor medida o Verifique se a distribuição é de variável qualitativa. Se sim, a melhor medida é a moda. o Se não for variável qualitativa, verifique se ela é de alta ou média dispersão. Se for de alta dispersão, a melhora medida será a mediana ou a moda. Se não for, isto é, de baixa de dispersão, a melhor medida será a média.

31 Formas de distribuição o Simétrica: quando a linha vertical pode ser desenhada ado meio do gráfico da distribuição e as metades resultantes são aproximadamente espelhadas.

32 Formas de distribuição o Uniforme (simétrica): quando todas as entradas, ou classes, na distribuição tem frequências iguais ou aproximadamente iguais.

(negativamente assimétrica) se a cauda se estende à esquerda, e

33 Formas de distribuição o Assimétrica: quando a cauda do gráfico se alonga mais em um dos lados, podendo ser assimétrica à esquerda (negativamente assimétrica) se a cauda se estende à esquerda, e assimétrica à direita (positivamente assimétrica) se a cauda se estende à direita.

34 Formas de distribuição o Se a distribuição for simétrica e unimodal, a média, a mediana e a moda são iguais! o Se for assimétrica à esquerda, a média é menos que a mediana e a mediana é igualmente menor que a moda. o Se for assimétrica à direita, a média é maior que a mediana e igualmente maior que a moda. o A média sempre irá na direção em que a distribuição for assimétrica. Por exemplo, quando a distribuição é assimétrica a esquerda, a média está à esquerda da mediana.

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