Fundamentos de Gestão de Carteiras

Fundamentos de Gestão de Carteiras Tópicos de Resolução dos Exercícios Raquel M. Gaspar Janeiro 2017 Estas soluções não são isentas de erros e/ou typos. Agradece-se aos alunos que durante o estudo identifiquem essas gralhas que as assinalem e entreguem à docente, no dia do exame, uma lista. Obrigada! 1 Teoria Média Variância 1.1 Rendimento e Risco Exercício 1.1 a) A rendibilidade esperada é a soma ponderada das rendibilidades, ponderada pela probabilidade de ocorrência de cada cenário. R 1 16% 0.25 + 12% 0.5 + 8% 0.25 = 12% ; = 6%; = 14%; = 12%. O desvio-padrão é a raiz quadrada da soma do quadrado das rendibilidades menos a rendibilidade media, ponderado pela probabilidade. = [(16% 12%) 2 0.25 + (12% 12%) 2 0.5 + (8% 12%) 2 0.25] 1/2 = 8 1/2 = 2.83% = 2 1/2 = 1.41%; = 18 1/2 = 4.24%; = 10.7 1/2 = 3.27%. R2 R3 R4 b) A covariância entre os ativos 1 e 2 vem = (16 12) (4 6) 0.25 + (12 12) (6 6) 0.5 + (8 12) (8 6) 0.25 = 4 Procedendo de igual forma para todos os pares de ativos, temos: 1 2 3 4 A correlação entre os ativos 1 e 2 é: 1 8 4 12 0 2 4 2 6 0 3 12 6 18 0 4 0 0 0 10.7. A matriz de correlações para todos os pares de ativos é: 1

1 2 3 4 1 1 1 1 0 2 1 1 1 0 3 1 1 1 0 4 0 0 0 1 c) Carteira Rendibilidade Esperada A 1/2 12% + 1/2 6% = 9% B 13% C 12% D 10% E 13% F 1/3 12% + 1/3 6% + 1/3 14% = 10.67% G 10.67% H 12.67% I 1/4 12% + 1/4 6% + 1/4 14% + 1/4 12% = 11% Carteira Variância A (1/2) 2 8 + (1/2) 2 2 + 2 1/2 1/2 ( 4) = 0.5 B 12.5 C 4.6 D 2 E 7 F (1/3) 2 8 + (1/3) 2 2 + (1/3) 2 18 + 2 1/3 1/3 ( 4) + 2 1/3 1/3 12 + 2 1/3 1/3 ( 6) = 3.6 G 2 H 6.7 I (1/4) 2 8 + (1/4) 2 2 + (1/4) 2 18 + (1/4) 2 10.7 + 2 1/4 1/4 ( 4) + 2 1/4 1/4 12 + 2 1/4 1/4 0 + 2 1/4 1/4 ( 6) + 2 1/4 1/4 0 + 2 1/4 1/4 0 = 2.7 d) Todas as correlações são extremas, -1, 0 ou 1. Ver nos slides das aulas a representação gráfica de carteiras de 2 ativos. o caso dos 2 ativos, é importante saber não só a representação gráfica mas também a dedução analítica da expressão e interpretação. Para os casos de carteiras de 3 e 4 ativos é necessário saber que o conjunto de todas as carteiras possíveis passa a ser uma área limitada (pelo teorema do envelope) por uma hipérbole que representa-se a fronteira de carteiras eficientes. Exercício 1.2 a) A fórmula da variância de uma carteira homogénea que consta do formulário pode ser reescrita como: sendo a media das variâncias dos ativos individuais, a média das covariâncias entre todos os pares de ativos e o número de ativos da carteira. 2

Sabemos que a media das variâncias é 50, logo = 50 e como a média das covariâncias é 10 temos = 10. A variância de carteiras homogéneas para as carteiras pedidas é: 5 10 20 50 100 18 14 12 10.8 10.4 b) A variância da carteira de risco mínimo é igual à média das covariâncias, logo a carteira de risco mínimo tem um risco de. Ter um risco apenas 10% superior ao da carteira de risco mínimo é ter. Para saber qual o número de ativos de uma carteira que respeite esta condição temos que resolver: Logo, a carteira deverá ter pelo menos 20 ativos. Exercício 1.3 a) Se considerarmos carteiras de apenas um ativo então média das variâncias das carteiras será idêntica à média das variâncias dos ativos individuais,. o entanto, em carteiras homogéneas com grande número de ativos, a variância das carteiras tenderá para a média das covariâncias entre todos os pares de ativos da carteira,. Assim sendo, a fracção da variância da carteira que pode ser diversificado através de uma carteira suficientemente grande é dada pelo seguinte rácio: É este rácio que em Itália é de 60% e na Bélgica 80%. b) Igualando o rácio acima às percentagens dadas e resolvendo em ordem a temos para os ativos italianos e Como a medias das variâncias individuais, covariância média em Itália é de para os belgas., em qualquer dos países é de 50, temos que a e na Bélgica de. Como temos as variâncias médias e covariâncias médias dos dois países basta-nos utilizar a fórmula da variância de carteiras homogéneas para obter: úmero de Ativos () Itália : Bélgica : 5 26 18 20 21.5 12 3

100 20.3 10.4 Exercício 1.4 Como vimos no Exercício 1.2 uma fórmula alternativa de escrever a variância de carteiras homogéneas é. Da análise da tabela sabemos a variância média, ij 7.058 2 46.619 p e a covariância média, 2 lim p ij já que há medida que o número de ativos aumenta temos. Com estes dados sabemos, e para descobrir o número de activos da carteira com variância média inferior a 8 temos que resolver: Assim sendo, o número mínimo de ativos é 42. Exercício 1.5 À partida sabemos que e. Também nos é dito que os activos A e B estão combinados de forma a anular o risco da carteira. Ora, isso diz-nos que AB=-1. Então, o peso de cada ativo na carteira vai ser: Como, temos Ou seja, x A=62,5% e x B=37,5%, dado que nos interessa a solução em que x A > 0 e x B > 0. 4

1.2 Oportunidades de Investimento e Fronteiras Eficientes Exercício 1.6 R 2 6% a) Do Exercício 1.1 temos R 1 12%,, e. Também sabemos que. Logo, o conjunto de oportunidades de investimento é composto por dois segmentos de recta. Analiticamente temos: Graficamente temos: B C = 8% A A solução final, vem: b) A carteira que tem risco mínimo é uma carteira que tem risco nulo, ou seja, 0. Graficamente (ver gráfico acima) corresponde ao ponto C. Portanto, temos que: p Logo, a carteira é composta em 33% pelo activo 1 e em 67% do activo 2. A rendibilidade esperada vai ser de: c) As carteiras situadas no segmento de recta CB dominam as carteiras situadas no segmento de recta AC porque perante duas carteiras com o mesmo risco, os investidores preferem a carteira com maior taxa de rentabilidade esperada. Assim, as carteiras eficientes são as que se situam no segmento de recta CB. 5

Exercício 1.7 a) Para resolver esta alínea vamos começar por determinar as rendibilidades esperadas, as variâncias e a covariância. Assim, temos que: 1 R1 E R1 20 14 8 14% 3 1 R2 E R2 16 12 8 12% 3 Daqui pode-se ver que as rendibilidades dos dois ativos estão positiva e perfeitamente correlacionadas, de modo que o conjunto de oportunidades de investimento, combinando os ativos 1 e 2, é dado por uma recta que passa nos pontos( 24,14) e ( 32 / 3,12). Analiticamente temos: Graficamente, temos: que: R p R 1 14% 1 R 2 12% 2 8% 8% 2 1 p b) Admitindo que não há operações de short-selling, pode-se ver no gráfico anterior que a carteira com risco mínimo vai ser constituída somente pelo ativo 2. Consequentemente 32 Rp R2 12%, ( rendimento esperado) p 2, (risco) 3 Se admitirmos operações de short-selling, i.e., se admitirmos endividamento, vamos ter: c) Como é sabido a fronteira eficiente coincide com o conjunto de oportunidades de investimento e como é dito no enunciado os investidores preferem mais rendimento a menos e 6

são avessos ao risco. Então as carteiras eficientes são todas as carteiras que estão situadas na recta. Exercício 1.8 Como vimos no Exercício 1.7 o conjunto de oportunidades de investimento gerado por dois ativos positiva e negativamente correlacionados é dado por duas rectas. Para derivar as equações, comecemos pela equação do desvio-padrão nesse caso. Substituindo agora o temos: X 1 na fórmula da rendibilidade esperada de uma carteira de dois ativos O primeiro termo do lado direito da equação é a ordenada na origem, enquanto o segundo representa do declive, que, tanto pode ser positivo quanto negativo, dando origem às duas rectas esperadas. Exercício 1.9 a) Ver slides das aulas e resoluções anteriores. b) (i) Quando ρ é 1, a combinação menos arriscadas dos ativos 1 e 2 é investir 100% no ativo 2 (assumindo que não há short sales). Logo X 0, X 1. O risco desta carteira é obviamente 1 2 equivalente ao risco do próprio ativo dois. (ii) Quando ρ é -1, é possível achar uma combinação dos dois ativos que elimina totalmente o risco. Através da fórmula da variância de dois ativos e igualando a zero, podemos facilmente descobrir que na carteira de variância mínima temos e. Como esta combinação elimina totalmente o risco, temos. 7

(iii) Quando ρ é 0, sabemos que existe uma combinação dos dois ativos que minimiza o risco, mas onde o risco não é 0%. Assim sendo temos que começar por escrever a fórmula do risco de uma carteira de dois ativos. Derivando e igualando a zero podemos achar o ponto e risco mínimo, mas mais fácil ainda é achar o risco mínimo através da variância mínima. A variância é, derivando e igualando a zero temos o caso concreto deste exercício, com os dados da tabela temos e. Para obter o risco mínimo basta substituir estes valores.. Exercício 1.10 Se a rendibilidade do ativo sem risco for de 10% o ativo sem risco é o único ativo eficiente. O ativo 1 tem a mesma rendibilidade esperada, mas com risco e o ativo 2 tem menor rendibilidade esperada apesar de ser um ativo de risco. Exercício 1.11 Para determinarmos a única carteira eficiente composta só por ativos de risco, temos que maximizar o índice de Sharpe de carteiras compostas pelos ativos A,B,C sujeito à restrição que a soma, em módulo, das proporções investidas nos diversos ativos tem que somar um (definição de Lintner). É sabido que das condições de primeira ordem do problema de maximização resulta o seguinte sistema: A carteira eficiente composta só por ativos de risco, e usando a definição de Lintner para as vendas a descoberto é, para cada um dos R F sugeridos: R F = 6% R F = 8% R F = 10% Z 1 3.510067 1.852348 0.194631 Z 2 1.043624 0.526845 0.010070 Z 3 0.348993 0.214765 0.080537 8

X 1 0.715950 0.714100 0.682350 X 2 0.212870 0.203100 0.035290 X 3 0.711800 0.082790 0.282350 Carteira Eficiente (tangente) Rendibilidade Esperada 6.105% 6.419% 11.812% Volatilidade 0.737% 0.802% 2.971% OBS: o ficheiro de excel estão ainda resolvidos o caso de vendas a descoberto sem qualquer tipo de limitação. Exercício 1.12 Uma vez que as carteiras A e B são eficientes, sabemos que se pode deduzir toda a fronteira através de combinações de A e B. Uma vez que X B = 1 X A é fácil deduzir qual a combinação de A e B que tem variância mínima (MV). Para isso basta derivar a formula da variância da carteira em ordem a X A e igualar a zero. A solução vem 1 XB 1 XA 1 3 A rendibilidade esperada e o risco da carteira de variância mínima são, respectivamente, RMV 7.33% e 3.83% Para determinar a expressão algébrica da fronteira eficiente (FE) temos que considere todas as combinações de A e B, ou seja qualquer carteira p que resolva o seguinte sistema: MV A FE é descrita pelo sistema acima para rendibilidades esperadas superiores à rendibilidade esperada da carteiras de variância mínima, 7.33%. R p Como as vendas a descoberto não estão limitadas contínua para além do ponto de maior risco (ver representação gráfica abaixo). 9

Representação Gráfica 1.3 Critérios de Segurança Exercício 1.13 a) Dado que as rendibilidades das carteiras A e B que nos dão a fronteira eficiente e seguem uma distribuição normal. Então sabemos que: Graficamente, serão todas as carteiras na parte de dentro da hipérbole (incluído a própria hipérbole) mas que verificam a restrição acima (i.e. que se encontram acima da reta 5% 1.0343 ). R p p 10

b) este caso temos O problema de otimização acima, é em tudo semelhante a maximizar um Índice de Sharpe (para um R f 5% ). Das condições de primeira ordem obtemos os pesos da carteira que minimiza a probabilidade de retornos abaixo de 5%. este caso, a carteira que minimiza a probabilidade de retornos inferiores a 5% é, então, a combinação de A e B em que se investe 71.43% em A e o resto em B. c) O RAR (return-at-risk) associado a um 15% é dado por ote-se que, onde representa a função de distribuição na ormal standardizada. Assim a restrição é dada por. Sabemos ainda que o verificará a restrição em igualdade no caso das distribuições contínuas, como é o caso da distribuição Gaussiana. Logo, na realidade temos. --- solução incompleta --- OBS: espera-se que o aluno saiba identificar a solução graficamente. A dedução analítica exata é complexa e encontra-se fora do âmbito de FGC 11

d) Critério subjacente à alínea a) é o Telser, à alínea b) o de Roy e à c) o de Kataoka. e) Caso as rendibilidades não sejam Gaussianas, as probabilidades subjecentes aos critérios não dependerão apenas da rendibilidade esperada e volatilidade, não sendo, por isso representáveis graficamente no plano da teoria média-variância. Exercício 1.14 OBS: Ver ficheiro de excel 12

1.4 Alargamento do Universo de Seleção Exercício 1.15 Por diversificação entende-se a combinação de títulos de risco diferente numa carteira no sentido de manter o rendimento e diminuir o risco total da carteira. o limite, com = -1, a diversificação é máxima porque os títulos respondem de forma inversa ao rendimento de mercado. Por sua vez, a diversificação internacional acontece quando o número de títulos da carteira () tende para infinito. Ou seja, só assim é possível reduzir o risco da carteira a um valor mínimo coincidente com a covariância média, porque: Se multiplicando e dividindo por 1 temos:. E quando o primeiro termo tende para zero e o segundo pata a covariância média, ou seja, a variância da carteira,, tende para a covariância média. Exercício 1.16 a) Determinemos, primeiro, as rendibilidades brutas (i.e. 1+rendibilidade habitual) cambiais do ponto de vista de cada um dos investidores: Período (1 + R X) (Investidor Americano) (1 + R * X) (Investidor Inglês) 1 2.5/3 = 0.833 3/2.5 = 1.200 2 2.5/2.5 = 1.000 2.5/2.5 = 1.000 3 2/2.5 = 0.800 2.5/2 = 1.250 4 1.5/2 = 0.750 2/1.5 = 1.333 5 2.5/1.5 = 1.667 1.5/2.5 = 0.600 A rendibilidade total, para o investidor Americano, de um investimento no Reino Unido vem dada por (1 + R X)(1 + R UK) 1. De igual modo, a rendibilidade total para o investidor inglês, de um investimento nos Estados Unidos, é: (1 + R * X)(1 + R US) 1. 13

Rendibilidades Totais para o Investidor Americano Período Investimento EUA Investimento Reino Unido 1 10% (0.833)(1.05) 1 = 12.5% 2 15% (1)(0.95) 1 = 5.0% 3 5% (0.8)(1.15) 1 = 8.0% 4 12% (0.75)(1.08) 1 = 19.0% 5 6% (1.667)(1.1) 1 = 83.3% Média 7.6% 7.76% Rendibilidades Totais para o Investidor Inglês Período Investimento UK Investimento EUS 1 5% (1.2)(1.1) 1 = 32.0% 2 5% (1)(1.15) 1 = 15.0% 3 15% (1.25)(0.95) 1 = 18.75% 4 8% (1.333)(1.12) 1 = 49.3% 5 10% (0.6)(1.06) 1 = 36.4% Média 6.6% 15.73% b) Para o Investidor Americano Para o investidor Inglês 14

Exercício 1.17 Podemos utilizar a seguinte desigualdade Se se verificar a desigualdade, então o investimento no estrangeiro será atrativo do ponto de vista de um investidor americano. e são dados do enunciado. Das tabelas obtemos: R US,US Austria 26.19 0.142 France 25.54 0.385 Japan 23.28 0.235 U.K. 22.01 0.564 Das tabelas podemos obter: US = 13.59. Como R F = 6%, temos: R Austria 0.305 0.129 France 0.392 0.350 Japan 0.343 0.214 U.K. 0.409 0.513 Para todos os países excepto UK, a desigualdade verifica-se pelo que, para investidor Americano, todos os outros países são atrativos. R R F Exercício 1.18 Para responder temos que achar a carteira de variância mínima. Como só temos dois ativos: 2 2 1 2 12 X 1 2 2 1 2 2 1 2 12 sendo X 1 a proporção investida no ativo 1 e X 2 = 1 - X 1. Para as ações, US = 13.59, = 16.70 e,us = 0.423. Logo, a carteira de variância mínima é: X US 2 19.0 15.39 19.0 0.423 2 2 15.39 19.0 2 15.39 19.0 0.423 0.6771 67.71% X US 1 X 0.3229 32.29% Para as obrigações, US = 6.92, = 12.87 e,us = 0.527. So the minimum-risk portfolio is: X US X 0.9924 99.24% US 1 X 0.0076 0.76% Para os bilhetes do tesouro, US = 1.01, = 10.01 e,us = 0.220. So the minimum-risk portfolio is: US US X 0.9673 96.73% X 1 X 0.0327 3.27% 15