PESQUISA OPERACIONAL DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS POR MEIO DA LINGUAGEM GAMS

PESQUISA OPERACIONAL DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS POR MEIO DA LINGUAGEM GAMS UNESP Aneirson Francisco da Silva- Doutorando-UNESP Fernando Augusto Silva Marins, Dr- UNESP Guilherme Martin Silva Paulo Roberto Marcondes de Andrade Lopes

O objetivo desta apostila é fornecer conceitos matemáticos sobre a estrutura da linguagem de modelagem General Algebraic Modeling System GAMS. Após a leitura desta apostila o leitor estará apto a desenvolver e otimizar modelos lineares e combinatórios utilizando a linguagem e o software GAMS. A estrutura da apostila está definida primeiramente pela revisão da história da pesquisa operacional, e em seguida a explicação a respeito dos modelos lineares, iniciando pelas particularidades desse modelo, teoria de redes DEA. Também são abordados modelos de otimização combinatória e problemas NP-HARD.

Capítulo 1 1. A EVOLUÇÃO DA PESQUISA OPERACIONAL O termo Pesquisa Operacional PO foi empregado pela primeira vez em 1939. A partir de individualizada e batizada, tornou-se possível fixar suas origens em épocas remotas da história da ciência e da sociedade. 1.1. O MÉTODO DA PESQUISA OPERACIONAL A experimentação tomada no sentido restrito - isto é, a manipulação física das variáveis - é geralmente impossível ou impraticável quando se lida com organizações governamentais, militares ou industriais. Apesar disso, a experimentação é às vezes possível, particularmente no caso de subsistemas, e desempenha papel importante na PO. Na maioria das vezes, entretanto, o sistema global em estudo não pode ser submetido a um tratamento desta natureza. Quem trabalha em pesquisa operacional é geralmente obrigado a construir representações do sistema e do seu comportamento para se orientar durante a pesquisa. Os modelos em PO assumem a forma de uma ou mais equações ou inequações para traduzir a condição de que algumas, ou todas as variações controladas só podem ser manipuladas dentro de limites. O conjunto destas equações constitui, ao mesmo tempo, um modelo de sistema e um modelo de decisão. A solução pode ser extraída do modelo mediante experimentação (isto é, por simulação) ou mediante análise matemática. Para alguns tipos de função f (por exemplo, relações algébricas elementares), desde que as restrições não sejam numerosas, a matemática clássica fornece instrumentos perfeitamente adequados para a determinação dos melhores valores das variáveis controladas. Por outro lado, a função f pode consistir em um conjunto de regras de cálculo (um algoritmo) que nos permita medir a utilidade (U) do desempenho para qualquer conjunto de valores das variáveis controladas e não controladas. Em alguns casos o comportamento do elemento humano que toma a decisão não pode ser representado no modelo. Ocorre a necessidade do uso de simulações que envolverão a participação de seres humanos, sendo denominados jogos de operações.

Introdução 4 A otimização, portanto, produz a melhor solução para o problema que foi modelado. A correspondência entre modelo e realidade terá de ser aferida (testada) e a solução avaliada. Isto é, teremos de comparar seu desempenho com o da política ou procedimento que ela irá substituir. Os resultados da pesquisa devem ser implantados. É nesta fase que se faz o teste e a avaliação final da pesquisa; proporcionando, pois, ao especialista as maiores e melhores oportunidades de aprender. Cinco fases num projeto de PO: 1. Formulação do problema 2. Construção do modelo 3. Obtenção da solução 4. Teste do modelo e avaliação da solução 5. Implantação e acompanhamento da solução (manutenção) As vantagens e desvantagens da utilização de modelos foram assim definidas: Vantagens a) Emerge sob a forma gráfica, para representar a realidade aprendida em determinado momento; b) Simplifica a visualização da amplitude das variáveis sem alterar a essência; c) Ajuda a identificar várias relações possíveis entre os elementos da realidade; d) Possibilita compreender relações complexas; e) Serve como base para estabelecer e aprimorar parâmetros. Desvantagens f) Limitações na identificação de todas as variáveis relevantes que influenciam em determinada situação; g) Problemas na definição das propriedades a serem mensuradas e na especificação de procedimentos para tal; h) Dificuldades no entendimento entre os provedores e os usuários da informação.

Introdução 5 A representação simplificada de um problema prático por meio de um modelo matemático permite que sobre ele se aplique técnicas e métodos que facilitam a obtenção de uma solução. 1.2. O IMPACTO DA PESQUISA OPERACIONAL A Pesquisa Operacional tem tido um grande impacto crescente na administração de empresas nos anos recentes. Tanto o número quanto a variedade de suas aplicações continuam a crescer rapidamente. Algumas de suas técnicas envolvem idéias sofisticadas em ciências políticas, matemática, economia, teoria da probabilidade e estatística. Como também sendo usada amplamente em outros tipos de organizações, inclusive negócios e indústria. Muitas indústrias, inclusive a de aviação e mísseis, automóveis, comunicações, computadores, energia elétrica, eletrônica, alimentos, metalúrgica, mineração, papel, petróleo e transporte, têm feito uso extensivo da pesquisa operacional. Mesmo instituições financeiras, agências governamentais e hospitais têm aumentado rapidamente o uso que fazem da pesquisa operacional. Vejamos alguns dos problemas que têm sido resolvidos por técnicas particulares de pesquisa operacional: PROGRAMAÇÃO LINEAR: tem sido usada com sucesso na solução de problemas relativos à alocação de pessoal, mistura de materiais, distribuição, transporte, carteira de investimento, avaliação da eficiência; PROGRAMAÇÃO DINÂMICA: tem sido aplicada também com sucesso a áreas como planejamento de despesas de publicidade, distribuição do esforço de vendas e programação de produção; TEORIA DAS FILAS: tem tido aplicação na solução de problemas relativos a congestionamento de tráfego, máquinas de serviços sujeitas à quebra, determinação do nível de uma força de serviço, programação do tráfego aéreo, projetos de represas, programação de produção e operação de hospitais; PROGRAMAÇÃO INTEIRA: que é uma forma de programação linear onde as variáveis podem apenas apresentar números inteiros. Tem sido utilizada na resolução de problemas de investimento dentre outros;

Introdução 6 PROGRAMAÇÃO MISTA: que é uma forma de programação linear onde as variáveis podem assumir valores binários, inteiros e contínuos, este modelo também é definido como otimização combinatória, enquadrando-se em problemas de dificuldades não polinomiais NP-HARD; PROGRAMAÇÃO NÃO LINEAR: modelo matemático onde a função objetivo, as restrições ou ambas, apresentam não linearidade em seus coeficientes. PROGRAMAÇÃO MULTIOBJETIVO: é uma forma de programação linear e não linear onde se analisa múltiplas funções objetivos; GOAL PROGRAMMING: que é uma extensão dos modelos de programação multiobjetivo, contendo vários modelos específicos para cada problema de decisão; Outras técnicas de pesquisa operacional, tais como teoria de estoque, teoria dos jogos, teoria dos grafos e simulação, também tem sido aplicadas com sucesso a(em) diversos contextos.

Capítulo 2 2. ESTRUTURAÇÃO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS LINEARES ESTACIONÁRIOS O anexo A contempla a linguagem de modelagem GAMS. Abordando as principais funções e a estrutura dessa linguagem de modelagem, mostrando suas principais vantagens. O anexo B contempla as principais linguagens de modelagens, abordando as principais vantagens da linguagem GAMS em relação às demais linguagens. Vamos iniciar a modelagem do problema do Giapetto pela linguagem GAMS. A linguagem GAMS requer que o problema seja traduzido na forma algorítmica. 1- Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira. Soldados e trens. Um soldado é vendido por R$ 27,00 e usa R$ 10,00 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional de R$ 14,00 relativo à mão de obra. Um trem é vendido por R$ 21,00 e gasta R$ 90,00. O custo de mão de obra adicional para cada trem é de R$ 10,00. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de mão de obra: Carpintaria e Acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento e 1 para carpintaria. Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até 100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas a venda de soldados é de no máximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar seu lucro diário. Formular o modelo matemático que poderia ser usado por Giapetto para maximizar seu lucro semanal. 1 passo: Modelar o problema. Vamos descrever as variáveis do problema, o que na linguagem GAMS é chamada de (SETS ) numa tradução pode-se chamar de índices ou conjuntos. Índices: Xi,j: Quantidade a ser produzida do produto i utilizando os recursos j. O GAMS é um software orientado ao objeto, logo temos que declarar esses objetos que no caso são os i produtos e os j recursos.

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários 8 2 passo: Definir os parâmetros (PARAMETER) do modelo: Neste caso sabemos a margem de contribuição unitária por produto i. Portanto, é necessário esse parâmetro que estará ligado ao índice i. Vamos chamar este parâmetro de MCi. Outro parâmetro é com relação à disponibilidade dos recursos, sendo este parâmetro ligado ao índice j. Vamos chamar este parâmetro de Aj. Finalmente, devemos criar um parâmetro que mostre o consumo unitário de cada recurso por produto, sendo este parâmetro pertencente aos índices i e j. Neste caso na linguagem GAMS deve ser criado uma Tabela (TABLE), que vamos chamar de R. 3 passo: Definir as variáveis de decisão: Temos uma decisão que é saber o valor da margem de contribuição, vamos definir essa variável de Xi. Na linguagem GAMS é necessário informar uma variável que vai definir a função objetivo, neste caso chamaremos de Z, que vai definir os valores ótimos de produção de cada produto. 4 passo: Definir as equações (EQUATIONS): as equações são definidas por meio do número de restrições mais a função objetivo. A primeira equação vai definir o valor da margem de contribuição, portanto chamaremos a mesma de margem. A segunda equação vai determinar o quanto será consumido por recurso j vamos chamar essa equação de consumo. E a última equação definirá o limite máximo de demanda do produto soldado. Agora podemos resolver o problema do Amigo Giapetto. Max Z sujeito a : n i X X R I, J i, j. X " SOLDADO" 0 i 2 i MC. X A j 40 i i A Tabela 2.1 mostra alguns comandos básicos da linguagem GAMS Tabela 2.1- Comandos básicos em linguagem GAMS

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários 9 Símbolo G L Significado Define uma inequação de sinal maior ou igual Define uma inequação de sinal de menor ou igual E Define uma equação (X= n) São fixadores de índices Também é um fixador de índices PROD SUM Model Solve Display Expressão para produto de uma série Expressão para somatório Descreve o modelo estudado Descreve a utilização de um solver específico Recurso utilizado para calcular o primal e o dual A Tabela 2.2 mostra as funções padrão de GAMS. Tabela 2.2- Funções padrão em GAMS Nome Descrição Definição Número de Argumentos ABS Valor absoluto ARG 1 ARCTAN Arco Tangente Arctan (arg); resultado em radianos 1 CEIL Função teto Maior inteiro arg 1 COS Cosseno Cos (arg) argumento em radianos ERRORF Função erro Integral de distribuição normal padrão 1 1 EXP Exponencial e arg 1 FLOOR Função piso Maior inteiro arg 1

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários 10 Nome Descrição Definição Número de Argumentos LOG Log10 Logaritmo natural Logaritmo comum Log do arg na base e 1 Log de arg na base 10 1 MAPVAL Função Atribuiu números a valores 1 mapeamento especiais MAX Maior valor Max (arg1, arg2,...,argn) >1 MIN Menor valor Min (arg1, arg2,..,argn) >1 MOD Resto arg1-trunc(arg1/arg2) x arg3 2 Normal Randômica Número aleatório distribuído 2* normal normalmente com argumento arg1 e desvio padrão arg2 POWER Potência inteira ROUND Arredondamento SIGN Sinal SIN Seno Sem (arg); arg em radianos SQR Quadrado arg x arg 1 SQRT Raiz quadrada 1 TRUNC Truncamento Sign (arg) x floor (abs(arg)) 1 UNIFORM Randômica Número aleatório distribuído 2* uniforme uniformemente entre arg1 e arg2 A Figura 1.1 mostra os processos para obtenção do modelo do Giapetto em linguagem GAMS. Clicando em F9 é obtido a solução para este modelo. A solução ótima para este modelo seria. Produzir 20 soldados e 60 trens gerando um lucro máximo de R$ 180,00 reais. O GAMS oferece algumas estatísticas referentes ao tamanho do modelo, como se pode ver abaixo no caso do

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários 11 modelo Giapetto. As contagens de BLOCKS se refere ao número de equações genéricas e variáveis. As contagens de SINGLE se refere as linhas e colunas individuais que estão sendo geradas na instancia particular do modelo. Para os modelos não lineares, são fornecidas outras estatísticas para descrever o grau de não linearidade do problema (BROOKE et al., 1997).

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários 12 Figura 1.1- Modelo Giapetto em linguagem GAMS. 2- O Senhor Martins é dono de uma oficina muito movimentada na cidade de Guaratinguetá- SP. Ele querendo maximizar seus retornos e também, visando à realização de novos investimentos na sua oficina. Resolveu procurar você/sa, para fazer um planejamento da sua produção, visando à maximização do lucro, e identificar possíveis áreas para realização de novos investimentos. Os dados da empresa estão logo abaixo: Tipo de Máquina Produto 1 Produto 2 Produto 3 Tempo disponível Torno 5 3 5 400 Fresa 8 4 0 500 Furadeira 2 5 3 300 Lucro 20 15 18 Demanda Semanal máxima 40 50 20 Uma oficina mecânica deseja alocar o tempo ocioso disponível em suas máquinas para a produção de três produtos. A Tabela abaixo mostra as informações sobre as necessidades de horas de máquina para produzir uma unidade de cada produto, assim como a disponibilidade das máquinas, o lucro dos produtos e a demanda máxima existente no mercado. Deseja-se o esquema semanal de produção de lucro máximo. Resolvendo o exemplo do senhor Martins. 1 passo: Descrever os índices. Os objetos são os i produtos e j recursos 2 passo: Descrever os parâmetros.

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários 13 R: Consumo unitários por produto i de cada recurso j. Aj: Quantidade disponível do recurso j. Di: Demanda máxima por produto i. Li: Lucro unitário por produto i. 3 passo: Descrever as variáveis de decisão. Xi: Define a produção do produto i. Z: Expressão da função objetivo. 4 passo: Descrever as equações. Margem: Define o lucro máximo Consumoj: Define o consumo por produto i do recurso j. Dprodutosi: Define a demanda máxima por produto i. 5 passo: Construção do modelo matemático. Max Z sujeito a : consumo Dprodutos X I,J 0 j n i i L.X n i i X R i i.x D i i A j

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Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários 15 Figura 1.2: Modelo matemático exemplo 2 em linguagem GAMS. Solução ótima: Produzir 40 unidades do produto 1, 32 unidades do produto 2 e 20 unidades do produto 3. Gerando um lucro máximo de R$ 1.640,00. Solução Dual: Produto 1 R$ 14,00, produto 3 R$ 9,00 e Furadeira R$ 3,00. Interpretação econômica do dual. Se a oficina aumentasse a demanda do produto 1 em uma unidade o lucro aumentaria em R$ 14,00. Se a usina aumentasse a demanda em uma unidade do produto 2, o lucro aumentaria em R$ 9,00. Se o tempo disponível de utilização da furadeira fosse aumentada em uma hora o lucro aumentaria em R$ 3,00. Desenvolva e otimize os modelos dos problemas descritos a seguir utilizando-se do software GAMS. 1 Uma indústria fabrica dois tipos de papel e para isso utiliza somente uma máquina. Devido a certas restrições de matéria prima, não se pode diariamente produzir mais do que 4 tons de papel do tipo A, nem mais do que 6 tons do tipo B. Requer-se 1 hora da máquina para produzir 1 ton. de papel do tipo A e 1 hora para produzir 1 ton. de papel do tipo B. O lucro por ton. produzida é de R$ 2,00 para o papel do tipo A e de R$ 5,00 para o papel do tipo B. O tempo de utilização da máquina é de 8 horas/dia. Elaborar o plano ótimo de produção. 2 Uma pequena indústria usa três tipos de matérias primas, P, Q, R para a fabricação de dois produtos A e B. As matérias primas em disponibilidade na fábrica são: 20 unidades de P; 12 unidades de Q; e 16 unidades de R. Por razões tecnológicas, uma unidade do produto A necessita respectivamente de 2, 2 e 4 unidades de matérias primas P, Q e R. Para o produto B esses coeficientes técnicos são 4, 2 e 0, respectivamente. O fabricante sabe que o lucro na produção de A é de 0,5 unidades monetárias e de B é de 1 unidade monetária. Qual o lucro máximo e quais as quantidades produzidas das mercadorias A e B para se obter o lucro máximo?

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários 16 3 Uma companhia de investimento dispõe de R$ 100.000,00 para investir em ações e letras imobiliárias. Sua política de aplicação consiste em: Empregar, no máximo, 50% do disponível em ações; e Empregar, no máximo, 60% do disponível em letras imobiliárias. Através de uma pesquisa de mercado, a companhia verificou que deveria empregar, no máximo, 40% do disponível, na diferença entre o dobro da quantidade investida em ações e a quantidade investida em letras; e empregar, no máximo, 1% do disponível na soma da oitava parte investida em ações com a quinta parte investida em letras. As ações produzem uma rentabilidade de 5% ao mês e as letras 4% ao mês. Qual o investimento ótimo? 4 Uma fábrica de canetas quer saber do Departamento de Engenharia quantas canetas de cada tipo (standard, luxo e esferográfica) deverão ser produzidas, para que o lucro da empresa seja máximo. INFORMAÇÕES: a) Do departamento de Produção Produções máximas mensais possíveis para cada um dos tipos de canetas (isto é, produzir-se só um tipo): Standard 15.000 Luxo 10.000 Esferográfica 20.000 b) Do Departamento de Vendas Máximo de vendas mensais para cada um dos tipos: Standard 12.000 Luxo 8.000 Esferográfica 30.000 c) Do Departamento de Contabilidade Lucro unitário para cada tipo:

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários 17 Standard R$ 0,70 Luxo R$ 0,50 Esferográfica R$ 0,30 5 Uma fábrica de automóveis e caminhões possui os seguintes departamentos; 1. Estamparia de pranchas metálicas; 2. Montagem de motores; 3. Montagem de automóveis; e 4. Montagem de caminhões. O departamento 1 deve estampar, no mínimo por mês, as pranchas necessárias para 25.000 automóveis ou 35.000 caminhões, ou as correspondentes combinações de automóveis e caminhões. O departamento 2 deve no mínimo por mês, montar 33.333 motores de automóveis e 16.667 motores de caminhões ou as correspondentes combinações de motores de automóvel e caminhão. O departamento 3 pode montar e terminar 40.000 automóveis e o departamento 4, mensalmente 25.000 caminhões (ambos utilizando sua capacidade máxima). Com o constante aumento do combustível, a fábrica sabe que o prejuízo na fabricação de um automóvel é de R$ 500,00 e na fabricação de um caminhão é de R$ 200,00. Qual a quantidade de automóveis e caminhões a ser produzida a fim de que a fábrica tenha o menor prejuízo possível, dadas as condições atuais do mercado? 6 Uma indústria de aparelhos eletrodomésticos tem equipamento para produzir geladeiras, máquinas de lavar e fogões. O regime de operação da indústria é de 45 horas semanais. Seu equipamento pode fabricar, por hora, 50 geladeiras ou 25 máquinas de lavar ou 75 fogões. Uma pesquisa de mercado revelou que a demanda semanal é de 1.000 geladeiras, 500 máquinas de lavar e 1.500 fogões.

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários 18 A geladeira proporciona, por cada unidade vendida, um lucro de R$ 40,00; a máquina de lavar R$ 120,00 e o fogão um lucro de R$ 30,00. Qual seria o modelo matemático da indústria que permitiria o lucro máximo semanal? 7 Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar uma unidade de sapato e uma unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora. 8 Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas com laranjas, tendo um lucro de 20 u.m. por caixa, pelo menos 100 caixas com pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa e no máximo 200 caixas com tangerinas a 30 u.m de lucro por caixa. Construir o modelo matemático que permita ao vendedor carregar o caminhão de modo a obter o lucro máximo. 9 Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa B com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. NO decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa devem ser levadas ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema. 10 Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas seguintes atividades produtivas.

Estruturação e otimização de modelos lineares estacionários 19 A (Arrendamento) Destinar certa quantidade de alqueires para a plantação de cana de açúcar, a uma usina local, que se encarrega da atividade e paga pelo aluguel da terra $ 300,00 por alqueire por ano. P (Pecuária) Usar outra parte para criação de gado de corte. A recuperação das pastagens requer adubação (100 kg / Alq) e irrigação (100.000 l de água / Alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 400,00 / Alq no ano. S (Plantio de Soja) Usar uma terceira parte para o plantio de soja. Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 l de água / Alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 500,00 por alqueire no ano. Disponibilidade de recursos por ano: 12.750.000 l de água; 14.000 kg de adubo; e 100 alqueires de terra. Quanto alqueire deverá destinar a cada atividade para proporcionar o melhor retorno?

Capítulo 3 3. DESENVOLVIMENTO E OTIMIZAÇÃO DE MODELOS LINEARES PRÁTICOS POR MEIO DO GAMS É comum durante o desenvolvimento de modelos matemáticos nos depararmos com problemas onde há limites de demanda para determinados produtos. Como exemplo, iremos modelar um problema em linguagem GAMS. Os dados estão dispostos abaixo. O Quadro 3.1 refere-se aos recursos disponíveis na fazenda para realização das atividades leiteiras e de corte. Abreviatura AT Quadro 3.1- Recursos disponíveis RESTRIÇÕES Área total disponível para a atividade leiteira ha/ano TR Custo da terra (devendo ser considerado o custo de oportunidade e o custo de manutenção adubação, reforma de pasto, limpeza e destoca) R$/ano BE MI EQ RE AL Custo e despesas com benfeitorias (considerando-se a depreciação, o custo de oportunidade e o custo de manutenção) R$/ano Custo e despesas com máquinas e implementos (considerando-se a depreciação, o custo de oportunidade e o custo de manutenção) R$/ano Custo e despesas com equipamentos (considerando-se a depreciação, o custo de oportunidade e o custo de manutenção) R$/ano Custo e despesas com reprodutores (considerando-se a depreciação e o custo de oportunidade) R$/ano Custo e despesas com alimentação (considerando-se o gasto com concentrados, suplementos e forrageiras e o custo alternativo) R$/ano PV Custo e despesas com produtos veterinários (considerando-se o gasto e o custo alternativo) R$/ano IA Custo e despesas com inseminação artificial (considerando-se o gasto e o custo alternativo) R$/ano TE DA MK MO Custo e despesas com transferência de embriões (considerando-se o gasto e o custo alternativo) R$/ano Gastos com despesas administrativas (considerando-se também o custo alternativo) R$/ano Gastos com marketing e propaganda (considerando-se também o custo alternativo) R$/ano Custo e despesas com mão-de-obra (considerando-se o gasto efetivo, os encargos pagos e o custo alternativo) R$/ano A Tabela 3.1 mostra os recursos disponíveis e o consumo por categoria de animal para o ano de 2004.

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS 21 Tabela 3.1- Consumo anual por animal. Restrições RECURSOS DISPONÍVEIS Unidades RECURSOS CONSUMIDOS POR CATEGORIA Bezerras Bezerros Novilhas Vacas Touro AT 196,50 ha/ano 0,09 0,09 0,25 0,35 0,42 TR 39.493,39 R$/ano 43,37 32,81 66,12 88,78 1535,85 BE 9.894,38 R$/ano 4,07 3,08 3,16 68,26 10,99 MI 51.601,87 R$/ano 70,83 53,59 45,25 276,01 57,34 EQ 13.605,94 R$/ano 3,73 2,83 2,17 99,14 15,12 RE 2.432,04 R$/ano 10,35 7,83 6,59 0,94 0,00 AL 235.063,69 R$/ano 161,32 122,07 393,56 1239,10 261,18 PV 19.243,82 R$/ano 42,26 31,98 27,62 73,10 21,38 IA 3.923,65 R$/ano 16,69 12,63 10,64 1,52 0,00 TE 7.240,00 R$/ano 30,81 23,31 19,63 2,81 0,00 DA 35.535,30 R$/ano 34,14 25,83 19,83 214,86 78,97 MK 18.089,05 R$/ano 69,52 52,60 51,92 5,61 80,40 MO 51.729,07 R$/ano 42,60 32,23 28,87 316,79 114,95 RO Orçamento disponível: R$ 487.852,20 Essa Tabela foi obtida por meio de rateio, considerando o consumo efetivo de recursos e o tempo de permanência de cada categoria animal na propriedade. Para garantir a sustentabilidade econômica da produção de leite e da produção animais da Fazenda, foram inseridas restrições adicionais as quantidades máximas e mínimas que cada categoria animal deveria possuir, conforme apresentado na Tabela 3,2. Esses valores são baseados na taxa de lotação histórica da fazenda no ano de 2003. Tabela 3.2- Categorias de animais Categoria Qtde Máxima Qtde Mínima X 1 95 39 X 2 135 53 X 3 170 60 X 4 200 100 X 5 12 - O orçamento disponível é de R$ 487.852,20. O objetivo é maximizar a quantidade de animais. Formule o modelo utilizando-se da linguagem GAMS.

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS 22 Índices: i associado às categorias de animais (Bezerras, Bezerros, Novilhas, Vacas e Touros). j associado às categorias dos recursos (AT, TR, BE, MI, EQ, RE, AL, PV, IA, TE, DA, MK, MO,RO). Parâmetros: Pj: associado ao índice j define os limites máximos de cada recurso. R: associado ao consumo unitário do recurso j por categoria de animal i. Variáveis: Xi: Quantidade por categoria de animal. Z: Associada ao cálculo da função objetivo. Equações: Animais define a função objetivo AJ: Calcula o quanto a ser utilizado do recurso j por categoria de animal i. maxbezerrai: máximo de bezerras. minbezerrai: mínimo de bezerras. maxbezerrosi: máximo de bezerros. minbezerrosi: mínimo de bezerros. maxnovilhasi: máximo de novilhas. minnovilhasi: mínimo de novilhas. maxvacasi: máximo de vacas minvacasi: mínimo de vacas. mintouroi: mínimo de touro. maxtouroi: máximo de touro. Vamos introduzir outro comando na linguagem GAMS denominado SCALAR neste caso esse comando vai representar uma constante que não está ligado a nenhum índice.

animais Z sujeito a : n i maxbezerra minbezerra maxbezerro minbezerro maxnovilhas minnovilhas maxvacas minvacas maxtouro mintouro X R. X 0 Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS 23 i i i i i i i i i X X i X X X X X X i n i P j X X X i "bezerras "bezerros "vacas" "vacas" "touro" "touro" "bezerras "bezerros "novilhas" "novilhas" 200 100 12 9 " 95 " 39 " 135 " 53 170 60 Para este modelo temos um problema de programação inteira. Este assunto será discutido nos próximos capítulos. Portanto, resolveremos o mesmo por meio da otimização linear contínua. A Figura 3.1 mostra o modelo em linguagem GAMS. A solução ótima não inteira seria: bezerras= 39, bezerros= 132,33, novilhas= 132,172, vacas= 127,773 e touro= 8,71. Utilizando 486.350,05 do orçamento.

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS 24 Figura 3.1- Modelo agricultura em GAMS. Os e as (estes pontos ) são indexadores de índices na linguagem GAMS. Exemplo 4: Alocação de tarefas. Uma empresa de correios deseja estabelecer o número de funcionários de horários integral que deve contratar para iniciar suas atividades. Para fazê-lo, recebeu uma matriz da empresa com o número mínimo de funcionários por dia da semana. Estas informações se encontram na Tabela 3.3. O

Desenvolvimento e Otimização de Modelos Lineares Práticos Por Meio do GAMS 25 sindicato dos empregados de franqueadores dos correios mantém um acordo sindical que determina que cada empregado deve trabalhar cinco dias consecutivos e folgar em seguida dois dias, e que as franquias devem ter apenas empregados com horário integral. Desenvolva e otimize o modelo de maneira a determinar o número total de empregados que a franquia deve contratar e o número de empregados por dia, utilizando a linguagem de modelagem GAMS. Tabela 3.3- Dados do problema da empresa correios. Dia da semana Número de funcionários Domingo 11 Segunda-feira 18 Terça-feira 12 Quarta-feira 15 Quinta-feira 14 Sexta-feira 14 Sábado 16 Índices: n: associado ao número de funcionários s: associado aos dias da semana. Parâmetros: Alocaçãos,n: associado ao número de funcionários n requeridos no dia da semana s. Funcionáriosn: associado ao número mínimo de funcionários n para trabalhar no dia da semana s. Variáveis: Z associada à função objetivo. Xs: número de funcionários i contratados no dia da semana s. Equações: Func: calcula a função objetivo. Alocadosn: calcula o número de funcionários alocados em cada dia da semana s. A Figura 3.2 mostra o resumo do modelo no GAMS. A solução ótima para o problema é contratar 22,6666 funcionários no total, sendo que seria contratado 5 funcionários no domingo, 1,666 na segunda, 4.667 na terça, 7,667 na quinta e 3.667 no sábado. Os totais de empregados disponíveis por dia da semana estão dispostos abaixo, sendo N1 número de funcionários que iniciam a atividade no domingo e N7 o número de funcionários que iniciam a atividade no sábado. N1= 16.333, N2= 18, N3= 15, N4= 15, N5= 19 e N6=14 e N7= 16