AMEI Escolar Matemática 9º Ano Equações do 2º grau Operações com polinómios. Casos notáveis da multiplicação de polinómios. Decomposição em factores (revisões) Na escrita de polinómios as letras representam números. As regras que se aplicam nas operações com polinómios são as regras da aritmética. Conteúdos desta unidade: Operações com polinómios. Casos notáveis da multiplicação de polinómios. Decomposição em factores (revisões); Resolução de equações do 2º grau incompletas. Lei do anulamento do produto (revisões); Resolução de equações do 2º grau completas: fórmula resolvente; Resolução de problemas do 2º grau. Exercícios resolvidos Operações com polinómios (propriedade distributiva) Efectua-se o produto de polinómios. Reduzem-se os termos semelhantes. Efectua-se o produto de polinómios. Reduzem-se os termos semelhantes. Exercícios resolvidos Casos notáveis da multiplicação com polinómios Aplica-se a fórmula do quadrado do binómio. Simplificam-se os cálculos. Aplica-se a fórmula da diferença de quadrados. Simplificam-se os cálculos.
Exercícios resolvidos Decomposição em factores (factorização) Aplica-se a propriedade distributiva. Aplica-se a Aplica-se a fórmula da diferença de quadrados. Aplica-se a fórmula do quadrado do binómio. Resolução de equações do 2º grau incompletas. Lei do anulamento do produto (revisões) Exercícios resolvidos Lei da anulamento do produto Aplica-se a lei do anulamento do produto. Simplificam-se os cálculos. Exercícios resolvidos Equações do 2º grau incompletas Equações do tipo Simplificam-se os cálculos (0 é o único número que ao quadrado dá 0). Apresenta-se a solução.
Exercícios resolvidos Equações do 2º grau incompletas Equações do tipo Factoriza-se o 1º membro. Aplica-se a lei do anulamento do produto. Apresenta-se a solução. Equações do tipo Factoriza-se o 1º membro. Aplica-se a lei do anulamento do produto. Apresenta-se a solução. Resolução de equações do 2º grau completas: fórmula resolvente Podemos resolver qualquer equação do 2º grau utilizando a fórmula resolvente. Esta fórmula tem particular interesse para a resolução de equações do 2º grau completas. A fórmula resolvente é seguinte: Para resolvermos uma equação com a fórmula resolvente, o primeiro passo é transformar a equação numa equação do tipo. Depois basta substituir os termos, e pelos valores correspondentes na fórmula e resolver a equação. Repara: Exercício Resolvido Resolve as seguintes equações usando a fórmula resolvente. a) a = 1; b = 4; c = -5
Exercício Resolvido (continuação) a C.S. = b) a = 1; b = 4 ; c = -21 C.S.= c) a = 1; b = 0 ; c = -4
Exercício Resolvido (continuação) c) C.S. = As equações de 2º grau podem ser classificadas em possíveis e impossíveis. As equações possíveis podem ter 2 soluções iguais ou diferentes. Quando uma equação tem 2 soluções iguais diz-se que tem uma solução dupla. Uma equação impossível não tem soluções. Exercício Resolvido Resolve as seguintes equações do 2º grau utilizando a fórmula resolvente e classifica. a) a = 1; b = -5; c = 6 C.S. = A equação tem duas soluções diferentes. A equação é possível.
Exercício Resolvido (continuação) c) a = 9; b = -6 ; c = 1 C.S. = A equação tem uma solução dupla. A equação é possível. b) a = 1; b = -2; c = 5 C.S. = Como não há nenhum número real que elevado ao quadrado dê um número negativo, a expressão não tem significado em. A equação não tem soluções. A equação é impossível.
O binómio é chamado de binómio discriminante ( pois é ele que determina quantas soluções tem a equação. Se é maior que 0, então a equação tem duas soluções diferentes. Se é igual a 0, então a equação tem uma solução dupla. Se é menor que 0, então a equação não tem soluções. Assim, podemos calcular o número de soluções de uma equação sem a resolver, calculando apenas o valor de. Exercício Resolvido Calcula o número de soluções das seguintes equações a partir do binómio discriminante, sem as resolver. a) a = 3; b = 6; c = 3 R: A equação é possível e tem uma solução dupla. b) a = 1; b = 4; c = -3 R: A equação é possível e tem duas soluções diferentes. c) a = 2; b = 5; c = 4 R: A equação é impossível, por isso não tem soluções. Exercícios 1: 1. Resolve, utilizando a fórmula resolvente, cada uma destas equações do 2º grau e classifica-as. a)
Exercícios 1 (continuação) b) c) 2. Calcula o número de soluções das seguintes equações utilizando o binómio discriminante, sem as resolver. a)
Exercícios 1 (continuação): b) Resolução de problemas do 2º grau Um problema é do 2º grau se para a sua resolução se forma uma equação do 2º grau. Na resolução de um problema ajuda: fazer um esquema ou desenho de modo a compreender melhor o enunciado; identificar os dados e a incógnita; formar a equação; resolver a equação; interpretar as soluções da equação no contexto do problema. Exercício Resolvido O Sr. Manuel decidiu ampliar o seu terreno quadrangular aumentando 8 metros ao lado. Assim, o novo terreno do Sr. Manuel é de 625 m 2. - Qual era o comprimento do lado inicialmente? x comprimento inicial do lado do terreno
Exercício Resolvido (continuação) a = 1; b = 16; c = -561 C.S. = A solução -33 não serve para o problema em questões pois os comprimentos não podem ser negativos. R: Inicialmente o terreno tinha 17 metros de lado.
Exercícios 2: 1. Descobre quais os números que se tratam nestes problemas. a) A soma de um número com o seu quadrado é 156. Qual é esse número? b) A diferença entre o quadrado de um número e 30 é igual ao próprio número. Qual é o número? 2. Um quadrado tem de lado x cm. Aumentando 6 cm ao comprimento do lado, obtêm-se um quadrado de 121cm 2. Determina x.