AA-220 AERODINÂMICA NÃO ESTACIONÁRIA Soluções para flutuações prescritas do escoamento Prof. Roberto GIL Email: gil@ita.br Ramal: 6482 1
Flutuações no escoamento Anteriormente assumimos o escoamento não perturbado. Agora assume-se que o escoamento a uma velocidade V ( ou U) possa variar de intensidade e direção no tempo, o que implicará em uma resposta aerodinâmica do corpos sujeito a estas novas condições de contorno: Ou seja, da mesma forma que se assume como condição de contorno uma variação das componentes normais ao aerofólio devido ao se movimento, pode-se assumir também que ele pode estar em estado estacionário, mas as velocidades normais induzidas pelas flutuação representaria uma nova condição de contorno para o problema. E, com certeza, a resposta aerodinâmica será diferente mesmo supondo padrões de movimento tanto do aerofólio como das componentes de velocidades associadas às flutuações de mesma natureza. 2
Rajadas do tipo senoidal O primeiro tipo de flutuação, ou também conhecida como rajada (inglês = gust) a ser investigado será por motivos lógicos aquela que apresenta um padrão senoidal de flutuação das componentes de velocidade. Ao invés do aerofólio se mover, agora o escoamento apresenta flutuações nas suas componentes de velocidade, diferentemente do que se assumiu anteriormente, o escoamento é estacionário e o corpo se move, tal como o problema de Thoedorsen. 3
Theodorsen e Sears Comparando: 4
Formulando o problema: Representando a rajada por: Ou em um sistema fixo no corpo: Podemos calcular pressão devido a rajada como: 5
Formulando o problema Da pressão podemos calcular sustentação e momento: Resultando em: 6
Função de Sears: Chega-se a uma nova versão de função de deficiência de sustentação conhecida como função de Sears: Condição de contorno: Sustentação: A função de Sears é também uma combinação de funções especiais de Bessel. 7
Função de Sears Mapeamento complexo: 8
S(k g ) e C(k) Sears e Theodorsen: 9
Sears e Wagner Carregamento decorrente da rajada senoidal: Carregamento devido a uma variação e α: De maneira análoga ao caso do aerofólio sujeito a uma súbita variação em ângulo de ataque, chegamos a resposta a uma rajada do tipo degrau aplicando transformadas de Fourier. 10
O problema da rajada degrau Küssner descreve o problema da entrada de um corpo (aerofólio) em uma rajada de canto vivo de intensidade w 0, que representa a velocidade vertical da rajada; O encontro do aerofólio com a rajada pode ser representado através da condição de contorno a pequenas perturbações, onde no caso, ao invés de uma velocidade nula sobre o aerofólio, existirá a velocidade w 0 =w g que está relacionada a condição de contorno que descreve o aerofólio como: za z + = = t x (,) (,) a V wa x t wg x t 11
Funções de Küssner e Sears Küssner e Schwartz (NACA-TM-991) tratam o problema do aerofólio em movimento, separando a velocidade normal induzida (downwash) em duas partes, uma devido a uma rajada de forma senoidal e a outra associada a uma rajada de canto vivo. (Na realidade este problema é conhecido como a solução geral de Küssner-Schwartz). Desta separação surgem duas funções, uma denominada k 2 (s) que corresponde à resposta indicial devido a uma onda unitária dada por: V0t H b a qual representa a penetração em uma rajada de canto vivo. A outra função corresponde a uma onda associada à velocidade normal senoidal que se desloca do bordo de ataque ao bordo de fuga: wg = x ( t kx) i w0e ω 12
Rajada de Canto Vivo (Degrau) Aplicando uma transformada de Fourier na expressão para o carregamento devido a uma rajada senoidal temos: f g (ω) é a transformada de Fourier de w g (t) Note que k no momento é um argumento distinto do tempo, e a transformada de Fourier só se aplica na função com dependência temporal. 13
Rajada de Canto Vivo (Degrau) E de forma inversa, agora sim podemos usar o fato que a função de Sears C g (k) (S(k g )) é sim dependente de uma frequência que será o argumento da relação integral que transforma a condição de contorno da frequência para o tempo: 14
Rajada de Canto Vivo (Degrau) Vamos empregar os conceitos de admitância indicial, supondo agira que exista um perfil de rajada do tipo degrau na forma: Que a meia corda á dado por: Aplicando a transformada de Fourier nesta nova condição de contorno temos: 15
Wagner e Küssner Fazendo o paralelo entre as transformadas de Fourier para os dois tipos de condição de contorno a degrau em a e a rajada de canto vivo pode-se notar que: Wagner Küssner 16
Função de Küssner Küssner: 17
Funções de Küssner e Sears A sustentação resultante desta velocidade normal senoidal à qual o aerofólio está submetido dada por: (solução de Schwartz) { } ( ωt) ( ) ( ) ( ) ( ) L = 2πρV w e C k J k ij k + J k i S 0 0 g 0 g 1 g 1 g Esta função ficou conhecida como função de Sears, pois a mesma foi tabelada no trabalho de Sears "Some Aspects of Non-stationary Airfoil Theory and its Pratical Applications", Journal of the Aeronautical Sciences, Vol. 8,1941, pp. 104-108. ( ) = ( ) 0 ( ) 1 ( ) + 1 ( ) g g g g g S k C k J k ij k J k O livro "The Theory of Aeroelasticity" de Y. C. Fung, páginas 407-412 é uma boa referência para conhecer as derivações de Kussner-Schwartz e Sears 18
Relação entre Küssner e Sears O problema da rajada harmônica está relacionado ao problema da rajada de canto vivo, assim como o problema de Theodorsen está relacionado ao problema de Wagner, isto é, através de uma transformada de Fourier. Vamos supor que excita uma rajada com velocidade vertical w g, que: w g 0, x ' > 0 = w0, x ' < 0 Fazendo a transformação entre os sistema fixo na atmosfera e o sistema fixo no corpo temos: x ' = x + b V t x + b = x ' + V t 0 0 t = t ' t = t ' 19
Relação entre Küssner e Sears O encontro entre o bordo de ataque da rajada ocorre em t=t =0, ou seja, quando x = x+b. Assim, no sistema de coordenadas fixo no aerofólio temos: Portanto, se quisermos obter a transformada de Fourier da função que descreve a rajada temos: w g x + b 0, > t V0 = x + b w0, < t V0 ( ω) = (, ) i t w ω g wg x t e dt iωt w0 iωt = w 0 e dt = e = ( x+ b) / V0 iω w0 ( ) w 0 0 = e = e e iω iω iω x+ b / V ik ik x b ( x+ b) / V 0 20
Relação entre Küssner e Sears Mas lembre-se, o downwash responsável pelo carregamento aerodinâmico a ¼ da corda é função da velocidade de rajada por: E neste caso: za z + = = t x (,) (,) a V wa x t wg x t w =, = ω ωα ( ) α iω 0 ik ik x b wa e e wa i h i x ba V0 Todavia, existe uma solução para o carregamento devido a uma rajada harmônica, conhecida como função de Sears, já apresentada anteriormente: { } ( ωt) ( ) ( ) ( ) ( ) L = 2πρV w e C k J k ij k + J k i S 0 0 g 0 g 1 g 1 g 21
Relação entre Küssner e Sears O carregamento, reescrita no domínio da frequência é dada por: w L = 2πρV e e C k J k ij k + J k iω { ( ) ( ) ( ) ( )} 0 ik ik x b S 0 g 0 g 1 g 1 g Realizando agora transformada para o domínio do tempo teremos L(t): 1 iωt LS ( t) = L ( ω) e dω = 2π = ρ { C ( k ) ( ) ( ) ( )} g J0 kg ij1 k g + J1 kg ik iks V0bw 0 e e dk ik = 2πρV bw ψ = πρ ( s) 2 V bw k ( s) 0 0 0 0 2 22
Relação entre Küssner e Sears Onde ψ ( ) { C ( k ) ( ) ( ) ( )} g J0 kg ij1 k g + J1 kg ik( s 1) 1 s = e dk 2π ik É a função de Küssner, que pode ser escrita também como: ψ ( ) ( ) ( 1) 1 S k g ik s s = e dk 2π ik Análoga à expressão ara a função de Wagner: φ ( s) ( ) 1 C k = 2π ik iks e dk 23
Funções de Küssner e Sears Enquanto que a dedução para a parcela referente a rajada de canto vivo é apresentada por Küssner em 1936, e a sustentação resultante é dada por: 2 0 0 2 ( ) L = 2πρV w k s s V t b 0 = Da mesma forma que a função de Wagner, a função de Küssner não pode ser escrita atrás de uma forma algébrica explícita. Portanto, ele também pode ser aproximada por: 0.130 ( ) k2 s = 1 0.500e s 0.500e Representa o quanto a rajada penetra no aerofólio E as transformadas de Laplace das funções de Küssner e Sears, estão relacionas entre si da mesma forma que as funções de Wagner e de Theodorsen estão. s 24
Funções de Küssner e Sears Também se pode obter uma resposta geral ao carregamento devido a uma rajada arbitrária, através de uma integral de Duhamel: ( ) ( 0) ( ) ( σ ) dw πρ ψ ψ ( σ ) σ dσ s g L s = bv0 wg s + s d 0 De onde se pode obter a resposta a uma turbulência, por exemplo, construída através da superposição de rajadas do tipo canto vivo (degraus). 25
Resumo (mudamos de s -> t ) Movimentos arbitrários: ( t ') ( t σ ) ' 1 πρ α α 2 πρ ' 0 ( σ ) σ, φ ( 0) = dt ' 2 t ' 2 dφ l = b h V0 ba + + bv0 Q( t ) φ ( ) + Q d 0 1 dφ l ( s ) = 2 πρbv0 + L Q( s ) t ' = V0t b 2 dt ' s = sb V 1 2 ( ) = 2πρbV + s φ ( s ) φ ( 0) Q( s ) = 2πρbV s φ ( s ) Q( s ) l s 0 0 1 0.165 0.355 φ ( s ) s s + 0.0455 s + 0.3 ( ) ( s ) l s Q 0 2 0.5s + 0.2808s + 0.01365 = 2πρbV0 2 s + 0.3455s + 0.01365 26
Significado físico: De uma sucessão de degraus unitários pode-se construir a resposta a uma movimento arbitrário, usando a integral de Duhamel, que representa a soma de vários degraus de amplitude infinitesimal e são somados ao longo do tempo. 27
E quanto as rajadas: Küssner e Sears: ( σ ) s dwg L( t ') = πρbv0 wg ( 0 ) ψ ( t ') + ψ ( t ' σ ) dσ 0 dσ 0.5 0.5 ψ ( s ) + s + 1 s + 0.13 ψ ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 + 1 S k C k J k ij k J k g g g g g g De onde se obtêm a resposta a uma rajada qualquer. ( ) ( 1) 1 S k g ik s s = e dk 2π ik 28
Significado físico: Não é o aerofólio que se move, mas sim ocorre uma perturbação no escoamento médio de forma conhecida: Sears - senóide Küssner degrau Podemos generalizar da mesma forma que fizemos com Wagner, usando uma integral de Duhamel 29
Flutuações da direção do escoamento não perturbado Assume-se que exista uma velocidade de perturbação, agora alinhada com a direção do escoamento não perturbado: Ref: Principles of Helicopter Aerodynamics J.G. Leishman, 2 nd Ed., Cap. 8. Esta flutuação modificará a distribuição de vorticidade na esteira, que será não mais convectada a uma velocidade uniforme. 30
Flutuações da direção do escoamento não perturbado O efeito da velocidade de convecção da esteira não uniforme pode ser modelado aproximadamente através de uma integração de Duhamel, onde: É o coeficiente de sustentação resultante no domínio do tempo, assumindo um movimento arbitrário o qual inclui a dependência da velocidade do escoamento alinhado com a corda com o tempo. Exemplo: onde λ é um coeficiente de proporcionalidade que representa a fração entre a velocidade de perturbação e a não perturbada. 31