QUESTÕES-AULA 36 1. Determine se as funções dadas são inversa uma da outra: f(x) = x 4 4, g(x) = 4 x + 4 Se calcularmos (g f)(x) e (f g)(x) teremos, e (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 4 4) = 4 x 4 4 + 4 x (f g)(x) = f(g(x)) = f( 4 x + 4) = ( 4 x + 4) 4 4 x segue que g não é inversa de f nem f é inversa de g. Determinar a função inversa para f(x) = x 4 4 Verifique sua resposta. Temos Dom(f) = R. Entretanto f não é injetora neste domínio já que tomando x = k > 0 resulta f( k) = f(k). Entretanto, se considerarmos a função F : [0, + ) [ 4, + ); F (x) = x 4 4 teremos uma função injetora. Com efeito, se x 1, x [0, + ) são tais que F (x 1 ) = F (x ) resulta Assim, x 4 1 4 = x 4 4 x 4 1 x 4 = 0 (x 1 x )(x 1 + x )(x 1 + x ) = 0 x 1 = x ou x 1 = x ou x 1 = x Já que x 1, x 0 segue de x 1 = x ou de x 1 = x que x 1 = x = 0. Em qualquer caso, x 1 = x. Sendo F (x) = x 4 4, x 0 função injetora F é invertível. Calculemos a função inversa. Denotando y = F (x) = x 4 4, x [0, + ) resulta x = 4 y + 4 e assim F 1 (x) = 4 x + 4; x [ 4, + ) Verificamos a solução calculando (F F 1 )(x) e (F 1 F )(x). Resulta que, (F F 1 )(x) = F (F 1 (x)) = F ( 4 x + 4) = ( 4 x + 4) 4 4 = x, x [ 4, + ). Também, (F 1 F )(x) = F 1 (F (x)) = F 1 (x 4 4) = 4 x 4 4 + 4 = 4 x 4 = x, x [0, + ). Na seguinte figura mostramos o gráfico das funções F, F 1 e da reta y = x. 1
3. Determine se a função f(x) = x 1 é injetora de duas formas (a) traçando o seu gráfico e usando o critério da horizontal. (b) usando a definição de função injetora. (a) O gráfico de f(x) = x 1 é obtido a partir do gráfico de g(x) = x deslocando este último uma unidade para a direita. Veja a figura.
Considerando o critério da reta horizontal, vemos que a reta r : y = 3 é tal que Graf(f) r = {P 1, P }, conforme vemos na seguinte figura. Concluimos que f(x) = x 1 não é injetora. (Obs. Considerando a função F (x) = x 1, x 1 teremos uma função injetora.) (b) Tomando x 1 = e x = 4 resulta x 1 x. Entretanto, f(x 1 ) = f( ) = 1 = 3 = 4 1 = f(4) = f(x ) Concluimos que f(x) = x 1 não é injetora. 4. Verifique que a função f : R R dada por f(x) = x 3 + x + x 3 é crescente. Sejam s, t R tais que s < t. Para f ser crescente, devemos mostrar que f(s) < f(t) ou equivalentemente f(t) f(s) > 0 Calculemos então f(t) f(s). Tem-se que, f(t) f(s) = t 3 + t + t 3 s 3 s s + 3 = (t 3 s 3 ) + (t s ) + (t s) Fatorando o termo (t s) e multiplicando e dividindo por, f(t) f(s) = (t s)[t +ts+s +t+s+1] = Equivalentemente, f(t) f(s) = (t s) [t +ts+s +t+s+] (t s) [(t + ts + s ) + (t + t + 1) + (s + s + 1)] 3
Ou seja, f(t) f(s) = (t s) [(t + s) + (t + 1) + (s + 1) ] Desta expressão, considerando s < t, segue que f(t) f(s) > 0. Concluimos que a função f(x) = x 3 + x + x 3 é crescente. O gráfico desta função é, 5. Determine a inversa da função f(x) = x x, x 1. Completando quadrados temos que, Logo f(x) = x x = x x + 1 4 1 4 = ( x 1 ) 1 4 1 4 f : [ 1, + ) [ 1 4, + ) Vejamos que a função f é crescente e portanto admite inversa. Sejam x 1, x [ 1, + ) tais que x 1 < x. Tem-se que, 4
Assim, f(x ) f(x 1 ) = ( x 1 ) 1 4 ( x 1 1 ) 1 + 4 = ( x 1 ) ( x1 1 ) ( = x 1 + x 1 1 )( x 1 x 1 + 1 ) f(x ) f(x 1 ) = (x 1 + x 1)(x x 1 ) Observamos que o segundo fator é positivo, dado que x 1 < x. No primeiro fator, x 1 + x 1 0 dado que x 1, x 1. Agora, x 1 +x 1 = 0 só se x 1 = x = 1 o qual não ocorre já que x 1 < x. Concluimos que x 1 + x 1 > 0 e assim f(x ) f(x 1 ) > 0. Logo f é crescente e portanto admite inversa. Para calcular a inversa consideramos y = f(x) = ( x 1 ) 1 4. Resulta que ( 1) 1 x = y + 4 ou x 1 = ± y + 1 4 Sendo x 1 0 escolhemos o sinal +. Assim, x = 1 + y + 1 4. Finalmente, f 1 (x) = 1 + x + 1 4, x [ 1 4, + ) Temos a seguinte representação gráfica: 5
6. Mostre que, se f e g são injetoras, então f g é injetora e (f g) 1 = g 1 f 1 Vejamos que f g é injetora. Sejam s, t Dom(f g) tais que (f g)(s) = (f g)(t) Então f(g(s)) = f(g(t)). Sendo f injetora, temos que g(s) = g(t). Por sua vez, g é injetora. Segue então que s = t. Desta forma, (f g)(s) = (f g)(t) s = t Assim, f g é injetora. De outro lado, para x Dom(f g), pela associatividade da composição, (g 1 f 1 ) (f g)(x) = g 1 (f 1 f) g(x) = g 1 (I g)(x)g 1 (g(x)) = x Resta mostrar que (f g) (g 1 f 1 )(z) = z para z Dom(g 1 f 1 ). (Exercício). 7. Seja f : R R dada por f(x) = ax + b onde a 0 e b são constantes. verifique que a função é invertível e calcule sua inversa. 8. Considere f : R R dada por f(x) = x 8x + 4, x (4, 8]. (a) verifique que f é injetora. (sugestão: completar o quadrado) (b) determine a imagem de f. (c) calcule a função inversa f 1. 9. Determine o maior domínio onde a função f(x) = x 6x+8 seja injetora. Nesse domínio, determine a inversa da função. Verifique sua resposta. 10. Considere f(x) = x + 1, x [ 1, + ). Verifique que f é injetora e determine sua inversa. 11. Seja f : R { 1} R dada por f(x) = 5x x + 1. Determinar (a) o domínio e a imagem da função. (b) os intervalos onde f é crescente/decrescente. (c) os interceptos do gráfico com os eixos. (d) as assíntotas. Use o anterior para fazer um esboco do gráfico. 1. Seja f : R R dada por f(x) = 3x + 6x 8 3 6x 8x (função racional) Determinar se f é injetora. 6
13. Determine se a função f(x) = { x + 1, se x 0 x + 1, se x > 0 é invertível. Caso seja, determine f 1 (x). 14. Verifique se a função f(x) = 4 x x, 0 x 1 é invertível. Caso seja, determine f 1 (x). 15. Verifique se a função f(x) = f 1 (x). x 1 x é invertível. Caso seja, determine 16. Suponha f uma função bijetora. Mostrar que se f é crescente (respect. decrescente) então f 1 é crescente (respect. decrescente). 17. Verifique que a função f(x) = x, x [0, + ) é crescente. 18. Verifique que a função f(x) = 1 é crescente se x (, 0) e é decrescente se x (0, x + ). 19. Se f : A B, g : B C e (f 1 g 1 )(4) = f 1 () e g(b) = 4 determinar o valor de b. 0. Se f(x) = x 3b determinar o valor de b tal que, f(b + 1) = 3f 1 (b ) 7