Utilização de Capitéi Curto em Laje Lia Túlio Peoa Souto Maior de Oliveira 1, Bernardo Horowitz 2, Paulo de Araújo Régi 3 1 UFPE/tuliooutomaior@gmail.com 2 UFPE/Departamento de Engenharia Civil/horowitz@ufpe.br 3 UFPE/Departamento de Engenharia Civil/pregi@ufpe.br Reumo A perfuração de uma placa devido à alta tenõe de cialhamento é a definição atribuída à punção que, normalmente, é crítica na delimitação da epeura da laje lia de concreto. Sua ruptura é abrupta, formando um ólido que e aemelha um tronco de cone, com pouca deformação e em prévio avio. No cao em que o delocamento não é crítico, atravé da utilização de capitéi curto, é poível aumentar a reitência à punção em aumentar a epeura da laje, nem utilizar armação para punção. Nete etudo comparam-e a precriçõe normativa para cálculo da reitência à punção em pilare interno com capitéi curto da norma NBR 6118:2014, ACI 318/2014 e epecial atenção é dada ao código modelo fib 2010. Ito e deve ao fato deta er a primeira norma a empregar um modelo mecânico e não apena expreõe puramente empírica. Apreenta-e um exemplo numérico de uma laje em viga com o objetivo de determinar ua reitência à punção utilizando-e a trê metodologia citada. O objetivo é obter uma olução com capitéi curto. O reultado ão apreentado, comparado com dado de enaio e dicutido. Conclui-e que a utilização de capitéi curto é uma olução adequada quando e quer evitar a utilização de armadura de cialhamento. A metodologia do fib apreenta uma retrição para determinação do perímetro crítico que conduz a um aumento da epeura da laje diferentemente da norma NBR e ACI. Palavra-chave Punção; capitei curto Laje lia; Introdução A neceidade de realizar uma obra mai célere e meno dipendioa incentivou o urgimento do itema de laje apoiado em pilare. Em que pee a autoria dee método eja deconhecida, exitem relato da utilização do memo dede o primórdio do éculo XX. O grande problema na utilização dee tipo de proceo é a punção. A punção é a perfuração de uma placa, ocaionada por alta tenõe de cialhamento, podendo, por ua vez, er provocada por força concentrada ou atuando em pequena área. Ee fenômeno é caracterítico da ligaçõe laje-pilar. A ruína dea ligação é abrupta, ito é, acontece em prévio avio e ua conequência ão, normalmente, deatroa. Por eta razão, é importante que a ligação eja dimenionada de forma a obter boa ductilidade, ou implemente que ofra deformação expreiva ante de atingir o etado limite último. Eta ruptura e caracteriza por um movimento predominantemente vertical da laje originando a formação de uma uperfície tronco-cônica ou tronco piramidal, dependendo da eção tranveral do pilar, partindo do
contorno da área carregada, na face da placa e e etendendo até outra face, com uma inclinação de aproximadamente 30 a 35 em relação ao plano da laje. MUTTONI (2008) apreenta um modelo fíico compatível com o reultado experimentai chamado de Teoria da Fiura Crítica de Cialhamento, de fácil aplicabilidade em projeto etruturai que é a bae do código modelo fib 2010. A reitência à punção é influenciada por divero fatore como, por exemplo: o aumento da epeura da laje, a introdução de capitéi, a reitência à compreão do concreto, a taxa de armadura, a dimenão e forma do capitéi e pilare. Quando a reitência à punção da laje não atende ao critério de projeto, uma alternativa ao uo de armadura de cialhamento é o engroamento da laje na regiõe próxima ao pilare. Ee engroamento é chamado de capitel. O capitéi ervem não ó para enrijecer a ligação laje-pilar como também tranmitir o eforço da laje para o pilar. Ele podem er curto ou longo, bem como inclinado. Nete trabalho abordaremo apena o capitéi curto, conforme a figura 1. O capitéi curto ão coniderado como um alargamento do pilar. Em geral, ua projeção vertical abaixo da laje erá de 50% a 100% maior que a epeura da laje adjacente a ete. Além dio, ele e etendem o uficiente da face do pilar, para aegurar que a reitência à punção no perímetro exterior ao capitel curto eja garantida. Deta maneira aumenta-e a reitência à punção com o aumento da epeura da laje em virtude do aumento do braço de alavanca. Ea abordagem tem como finalidade diminuir a tenõe olicitante na ligação laje-pilar poi, o aumento da epeura da laje ó funciona até certo ponto, porque ee crecimento não compena o aumento do peo próprio da laje. Figura 1 - Geometria da laje com capitel curto. Como não exitem muita pequia relacionada à introdução de capitéi curto para aumento de reitência à punção, nete trabalho apreenta-e algun reultado experimentai encontrado na literatura de laje ubmetida à punção com capitéi curto, em inclinação e em tranferência de momento fletor. O modelo preconizado pela norma NBR 6118:2014, ACI-318/2014 e fib MODEL CODE 2010 ão comparado com o reultado do enaio com o objetivo de motrar que a utilização do capitéi curto é uma alternativa viável para aumento de reitência à punção em ubtituição à armadura de punção. Precriçõe Normativa Foram elecionado trê método para erem abordado: a NBR 6118:2014, o ACI 318/2014 e o fib MODEL CODE 2010. O modelo da NBR e ACI São baeado puramente em reultado empírico onde levam em conideração o perímetro ou contorno crítico. O fib
MODEL CODE 2010 baeia-e no trabalho de MUTTONI (2008). A eguir apreenta-e um reumo da metodologia. NBR 6118 e ACI 318 Além da equaçõe de dimenionamento, a NBR e o ACI e diferenciam pela definição do contorno crítico. O ACI determina que o contorno crítico ejam a d/2 do pilare/capitéi conforme o item 22.6.4.2 enquanto que na NBR ea ditância paa a er de 2d conforme o item 19.5.2.1, ver tabela 1. A outra diferença é que, para pilare retangulare, o contorno crítico na quina no ACI formam um novo retângulo afatado a d/2, enquanto que na NBR o contorno é circular, mai preciamente um quarto de círculo. A NBR trata obre o contorno crítico do capitéi no item 19.5.2.5 e o no ACI ão o iten 8.2.4, 8.2.5 e 22.6.4. Tabela 1 Perímetro crítico e equaçõe de dimenionamento do ACI e NBR ACI NBR Perímetro p+4d p+4pd 4 f b c w d 4 2 f b d 0,131 20/ d 100 0, 10 c w Equaçõe cp d 2 fc bw d b 0 f ck 1/ 3 Onde p é o perímetro do pilar; d é a altura útil da laje; é um fator de modificação para levar em conta concreto leve; f c é a reitência do concreto; b w é o contorno crítico ituado a uma ditância d/2 do pilar; é a razão entre o maior lado do pilar e o menor lado; é um coeficiente que leva em conideração a poição do pilar na laje e pode er: 40 para coluna interiore, 30 para coluna de bordo, e 20 para a coluna de canto; b 0 é o contorno crítico ituado a uma ditância d/2 do pilar; é a taxa geométrica de armadura de flexão aderente; f ck é a reitência do concreto; cp é tenão inicial no concreto ao nível do baricentro da armadura de protenão, devida a protenão imultânea de n cabo. fib 2010 O dimenionamento à punção no fib 2010 é baeado na Teoria da Fiura Crítica de Cialhamento e é dividido em quatro nívei de precião. Para e obter o reultado deve-e reolver um itema de equaçõe não lineare entre a tenão reitente e a rotação. A principal hipótee tratada pela Teoria da Fiura de Cialhamento Crítica é que a reitência à punção da ligação laje-pilar diminui com o aumento da rotação da laje, (MUTTONI, 2008). Muttoni obervou que a tenão radial de compreão na face inferior da laje próxima a coluna, apó atingir um certo nível da carga máxima, inicia-e um proceo de decompreão. Tal fenômeno pode er explicado pelo deenvolvimento de um itema de apoio em forma de
cotovelo com uma componente horizontal de tração ao longo do intradoro da laje devido ao deenvolvimento da fiura crítica de cialhamento. À medida em que a abertura da fiura crítica de cialhamento aumenta, a biela diminui a reitência. Io deu bae para upor que a tenõe olicitante na uperfície da biela comprimida ão reitida por tenõe deenvolvida pelo engrenamento do agregado, ou eja, quanto maior a rugoidade da uperfície da fiura crítica, maoir erá o engrenamento or e, portanto, maior erá a força neceária para deprender o agregado. O engrenamento do agregado nada mai é do que a força de atrito gerada pela dua uperfície rugoa. MUTTONI e SCHWARTZ (1991) relacionaram a rotação da laje com a abertura da fiura e admitiram que havia proporcionalidade entre o produto da rotação da laje pela altura da laje Equação (1). Poteriormente, admitiram-e o conceito de WALREVEN (1981), VECCHIO e COLLINS (1986), onde afirmam que dividindo-e a abertura de fiura d pelo fator d g0 d g conforme a Equação 2, onde d g é o tamanho máximo do agregado e d g 0 o tamanho máximo do agregado de referência, é uma forma de e tranmitir a força de cialhamento pela rugoidade da fiura crítica, o que por ua vez é uma função do tamanho máximo do agregado. Muttoni obervou que o valor de d g 0 tem que er fixado em 0 (zero) para concreto com agregado leve para contabilizar o deenvolvimento da fiura atravé do agregado. b V d R d (1) f 0 v c 115 3/ 4 d d d g0 g ( SI, N,mm) (2) Onde V R é a reitência ao cialhamento; b0 é o perímetro de controle fixado em dv / 2 a partir da extremidade do pilar; d v é a altura efetiva reitente ao corte da laje; f c é a reitência a compreão do concreto; é a rotação da laje; d é a altura da laje; d g 0 é o tamanho do agregado de referência com 16mm. Tabela 2 Perímetro crítico e equação de dimenionamento do fib Perímetro FIB p+4pd f ck Equaçõe k b0 d v ; c 1, 5 r d f E yd Onde f ck é a reitência do concreto; k é um parâmetro dependente da rotação da laje; b 0 é o perímetro crítico; d v é a altura efetiva da laje coniderando a penetração do apoio; e c é o coeficiente de egurança; é a rotação da laje; r é a poição onde o momento radiai ão nulo podendo er aproximado por 0,22 veze o maior vão; r 0, 22 L ; d é a altura útil maior
para o cálculo à flexão; f yd é reitência de cálculo ao ecoamento do aço; e E é o modulo de elaticidade do concreto. Etudo de cao Foi elecionada uma laje hipotética ubmetida à punção para apreentação do dimenionamento egundo o método normativo já decrito. Claramente foi intencional fazer com que a laje não uportae a carga e neceitae er redimenionada com algum reforço. O reforço utilizado foi jutamente a introdução de capitéi curto. A laje etá apoiada em pilare de eção de 0,30x0,30m afatado 7,0m de eixo. Sua altura inicial de 0,23m foi etabelecida em atendimento ao item 8.3.1.1 do ACI, cobrimento de 0,02m e barra de flexão negativa e poitiva de 0,016m. A carga na laje a er utilizada erá alem do peo proprio da laje, CP1 = 1,0 kn/m² de carga permanente, CP2 = 1,0 kn/m² para coniderar a alvenaria e CA = 1,5 kn/m² de carga acidental. O f ck do concreto foi etabelecido em 28 MPa. A força ou tenão olicitante foi determinada conforme a combinaçõe de açoe apreentada na Tabela 3. Tabela 3 Definição da combinaçõe de açõe do método normativo MÉTODOS NORMATIVOS NBR ACI FIB COMBINAÇÃO DE AÇÕES 1,4 1,2 1,35 CP PP CA CP PP1, 6 CP PP1, 5 CA CA O reultado do cálculo etão apreentado na tabela 4. O que chamou atenção foi o método do fib. Ele não tem definiçõe quanto ao uo de capitéi e, portanto, foram eguida a mema precriçõe do ACI. Além do capitel ter ido bem epeo, a laje ó coneguiu er reitente ao eforço quando ua altura foi de 0,33m, diferentemente do método da NBR e do ACI que permaneceram com 0,23m. Foi obervado que ee fato foi reultado do item 7.3.5.2 com relação ao perímetro crítico etabelecido na figura 7.3-25 que limita o uo da face em até 3 d v, reultando que o aumento da projeção horizontal não é um fator primordial quando é percebido que a única alternativa para olução de tal problema nee cao é o aumento da epeura da laje. Claro que não foram modificado outro parâmetro em virtude da comparação entre o método normativo. O fib jutifica a ditribuição não-uniforme da força de cialhamento que é reultado da concentraçõe de tenõe no canto do apoio.
Figura 2 - Geometria da laje Tabela 4 Reitência à punção do capitel e da laje PARÂMETROS NBR 6118/2014 NORMAS ACI 318/2014 Força Solicitante a d/2 do pilar no capitel - 561 788 Força Reitente a d/2 do pilar no capitel - 987 805 FIB 2010 Força Solicitante obre Força Reitente - 57% 98% h (m) epeura do Capitel 0,36 0,35 0,51 d (m) altura útil do Capitel 0,32 0,31 0,47 Perímetro crítico no Capitel (m) - 2,44 2,42 Força/Tenão (NBR) Solicitante a d/2 do capitel curto na laje (kn; kn/m²) 572 561 788 Força/Tenão (NBR) Reitente a d/2 do capitel curto na laje (kn; kn/m²) 658 968 826 Força/Tenão (NBR) Solicitante obre Força/Tenão (NBR) Reitente 87% 58% 95% h (m) epeura da laje 0,23 0,23 0,33 d (m) altura útil da laje 0,19 0,19 0,29 Perímetro crítico a d/2 e a 2d(NBR) do capitel curto (m) 5,72 3,80 4,00 Comparação da norma com reultado experimentai Pouco reultado experimentai foram publicado para ituaçõe em abalo ímico. Todavia, MEGALLY (1998), em ua tee de doutorado, realizou entre eu experimento dua ituaçõe com capitéi curto para o cao de pilare interno. Poteriormente, ea tee foi bae para uma publicação de MEGALLY e GHALI (2002), abordando a utilização de capitéi curto. O doi capitéi curto enaiado tiveram ua propriedade geométrica iguai, endo uma laje de 0,155m de epeura, a altura do capitel de 0,075m e ua eção de 0,43m x 0,43m. O tamanho da laje foi 5,0 m x 5,0m com eção do pilar de 0,25m x 0,25m. MEGALLY (1998)
RESULTADOS DE COLAPSO POR PUNÇÃO (ENSAIADOS E CALCULADOS) PARÂ- METROS adotou que a ditância de 0,95 do centro do pilar eria a linha de momento nulo, o que ele chamou de zona de tete 1. A armadura de flexão uperior utilizada foi 16mm, 15 barra em um entido e 13 no outro. Já a armadura de flexão inferior teve área de 100mm², 10 barra em cada entido. O concreto foi dimenionado para que tivee 36MPa ao 28 dia. Entretanto, na prática, a reitência do concreto ficou em 40,6 MPa para o corpo-de-prova I-0 e 39,5 MPa para o corpo-de-prova I-1. Para o doi enaio, notou-e que a falha ocorreu fora do capitel curto de maneira quebradiça e que, apear da carga relativamente alta, a ruptura ocorreu em prévio avio. Apreentado toda a obervaçõe acerca do experimento realizado, a Tabela 5 a eguir compara o reultado obtido com o cálculo pela norma ACI 318/14, NBR 6118:2014 e pelo fib Model Code 2010. Em amba a tabela, V u é a carga de ruptura do enaio; Vaº é a reitência à compreão diagonal do concreto no perímetro do pilar; Va¹ é a reitência à compreão diagonal do concreto no perímetro do capitel; Va² é a reitência à punção d/2 do pilar; Va³ é a reitência à punção a d/2 ou 2d do capitel; Va é tomado como o valor mínimo de Va² e Va³. Tabela 5 - Reitência à punção do método normativo com o corpo-de-prova I-0 fck (MPa) Referência Vu Va Va¹ Va² Va³ Va Vu/Va 40,6 39,5 I-0 590 557 557 1,00 ACI 713 536 536 1,10 NBR 2160 4320 451 451 1,31 FIB 434 434 1,36 I-1 603 577 577 1,00 ACI 703 529 529 1,14 NBR 2112 4225 447 447 1,35 FIB 430 430 1,40 Para o fib, foi ecolhido o nível LOA II, poi a armação que foi colocada na laje não é exatamente a neceária, havendo valore divergente entre M Rd e M ed. Para e determinar o valore de reitência à punção no nível LOA II do fib, é neceário para cada corpo-deprova, reolver um itema de equaçõe não lineare entre a equação de reitência e a rotação da laje. O gráfico dee itema ão apreentado na figura 3. A curva em azul repreenta o critério de ruptura enquanto que a curva em vermelho repreenta o comportamento cargadeformação da laje. O eixo da abcia repreenta a rotação da laje enquanto que o eixo da ordenada repreenta a carga reitente. O encontro da dua curva determina a carga reitente á punção da laje e a ua rotação.
110 3 110 3 750 750 V 1 V E 1 500 V 1 V E 1 500 250 250 0 0 7.510 3 0.015 0.0225 0.03 1 0 V 1 0 0 7.510 3 0.015 0.0225 0.03 1 0 V 1 Figura 3 Gráfico da olução do itema de equaçõe não lineare do nível LOA II do fib para o corpo-de-prova I-0 e I-1 repectivamente. Como a NBR não compara força, compara tenõe, o cálculo da força indicada na tabela foram feito multiplicando a parcela do perímetro crítico e altura útil pela tenão reitente e dividindo o reultado pelo coeficiente de egurança. Aim, a força olicitante erá igual a força máxima reitente. Para comparação do trê método apreentado com o enaio de Megally, todo o coeficiente tanto de majoração quanto de minoração foram coniderado igual a 1 (um). Obervou-e que o valore fornecido pela NBR, ACI e o fib não ultrapaaram o valore do doi enaio experimentai, tanto na verificação da laje quanto do capitel. Não foram valore próximo ao enaiado, o que demontra um certo conervadorimo na utilização de capitéi curto, o que é bom, poi, fornece uma egurança adicional para o engenheiro etrutural. É de e eperar por ee comportamento vito a ruptura terem ido abrupta, com pouca deformação e em prévio avio. O reultado do enaio motraram que a falha ocorreram na laje com muita fragilidade na quina do capitel e por io MEGALLY e GHALI (2002) ugerem que ao e introduzir capitéi, a reitência da laje eja no máximo V 2 f b d, em pi, a qual correponde a metade da carga de reitência à punção n c 0 egundo o ACI. O fib demontrou er o método mai conervador quanto à verificaçõe, chegando a um valor 40% menor do que o valore enaiado. O valore obtido com o fib para o nível LOA II foram muito próximo do fornecido pela NBR. Na dua comparaçõe a diferença foi de 5%. Era de e eperar por ee valore mai conervadore mediante ao que foi apreentado no capítulo 3 do etudo de cao memo que tenha ido pelo nível de aproximação LOA I. A 4 etrutura da equaçõe do fib e do ACI ão muito parecida, onde o fatore do ACI 4, 2 e b 0 d em pi, podem er ubtituído pelo coeficiente k no fib, onde o fib é abordado para valore em SI. Ee coeficiente é no máximo 0,6. Oberva-e que como o fib é baeado em um modelo fíico, ele buca dar entido a trê equaçõe do ACI que foram obtida baeada em reultado experimentai.
O ACI e apreenta como o método meno conervador, ou eja, mai próximo do valore enaiado. A equaçõe de dimenionamento ão baeada em reultado puramente experimentai de MOE (1961) e VANDERBUILT (1972). Aim, como era de e eperar, o reultado motraram que eria neceário ainda um acrécimo entre 10% a 14% da carga reitente para e chegar a carga enaiada, o que urpreendeu por eta e tratar de uma norma conervadora. Uma obervação importante é que MEGALLY (1998) determinou o tamanho do capitéi de forma que, pelo cálculo do ACI 318-95, aumentaem em 50% a reitência da laje de Mokhtar, o que experimentalmente não foi comprovado poi, a reitência de fato variou eu aumento entre 36% a 41% (Tabela 6). Em virtude da diferença de f ck, o reultado da ruptura foram normalizado por V m 36,2 Vu. f ck Tabela 6 Reultado da ruptura com normalização do f ck do corpo-de-prova Concluõe Corpode-prova fck Vu Vm Vm/Vref (MPa) Mokhtar 36,2 408 408 1,00 I-0 40,6 590 557 1,36 I-1 39,5 603 577 1,41 O fib é um método normativo que utiliza um modelo mecânico para o dimenionamento à punção baeado na teoria da fiura crítica de cialhamento, enquanto que a NBR e o ACI ão baeado em reulatdo empírico. O critério do fib leva em conta o efeito defavorável da flexibilidade da laje e como o demai método normativo não levam ee efeito em conideração, é precio adotar em projeto valore prudente para a razão vão/epeura. A introdução de capitéi curto pode er uma boa olução quando não e deeja utilizar armadura de punção ou não e quer aumentar a epeura da laje para elevar a reitência à punção. Nota-e o ponto crítico de falha do capitéi curto ão ua quina, apear de toda a ruptura terem ocorrido na laje. A ruptura continuaram endo abrupta e em prévio avio. É deejável que ua utilização eja direcionada para pequeno incremento de carga e recomendável que a reitência eja aumentada no máximo em 30% da carga da laje, como pôde-e aferir mediante o pouco enaio na literatura. No tocante a comparação com reultado experimentai, o preente etudo tratou todo o cao para pilare interno em momento debalanceado por carga laterai e em efeito ímico. Dentre o método normativo, quando comparado com reultado experimentai, o fib e apreentou como o mai conervador para o etágio LOA II, enquanto que o ACI foi o meno conervador. Para uma melhor avaliação do método propoto pelo fib, utilizaria o etágio LOA III e IV, apear do etágio LOA II fornecer reultado batante razoávei. Percebeu-e que o fib, pelo meno para o LOA I, não forneceu valore razoávei. Apreentou capitel e laje muito epeo diferentemente do reultado do ACI e da NBR. Ee fato e deve que no item 7.3.5.2 com relação ao perímetro crítico etabelecido na figura 7.3-25 que
limita o uo da face em até, reultando que o aumento da projeção horizontal não é um fator primordial quando é percebido que a única alternativa para olução de tal problema nee cao é o aumento da epeura da laje e do capitel. Referência AMERICAN CONCRET INSTITUTE ACI. Building Code Requirement for Structural Concrete ACI 318-14. Setembro, 2014. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS E TÉCNICAS NBR 6118:2014. Projeto de etrutura de concreto Procedimento. Rio de Janeiro. FÉDÉRATION INTERNATIONALE DU BÉTON fib. Model Code for Concrete Structure. 2010 MAcGREGOR, J.G. Reinforced Concrete Mechanic and Deign. 3 rd.ed. New Jerey: Prentice-Hall Inc.,1997. MEGALLY, S. H. Puching Shear Reitance of Concrete Slab to Gravity and Earthquake Force. Diertation ubmitted to the faculty of graduate tudie. Department of Civil Engineering. Calgary, Alberta: June, 1998. MEGALLY, S., GHALI, A. Punching Of Concrete Slab due To Column Moment Tranfer. ASCE Journal of Structural Engineering, Vol. 126, No. 2, pp. 180-189, Fev, 2000. MEGALLY, S; GHALI, A. Cautionary Note on Shear Capital. Concrete International, Vol. 24, No. 3, March 2002, pp 75 82. MELGES, J. L. P. Punção em Laje: Exemplo de Cálculo e Análie Teórico-experimental. Diertação de Metrado. Univeridade de São Paulo. São Carlo, 1995. MOE, J., Shearing Strength of Reinforced Concrete Slab and Footing under Concentrated Load. V. D47, PCA, IL, 135 pp. 1961. MUTTONI, A. Shear and Punching Strength of Slab without Shear Reinforcement. Beton-und Stahlbetonbau, V. 98, No. 2, pp. 74-84. Berlin, Germany, 2003. MUTTONI, A. Punching Shear Strength of Reinforced Concrete Slab without Tranvere Reinforcement. ACI Structural Journal Technical Paper, 2008. MUTTONI, A., Schwartz, J. Behaviour of Beam and Punching in Slab without Shear Reinforcement. IABSE Colloquium, V. 62, pp. 703-708. Zurich, Switzerland, 1991. RUIZ, M. F.; MUTTONI, A. Application of Critical Shear Crack Theory to Punching of Reinforced Concrete Slab with Tranvere Reinforcement. ACI Structural Journal, July- Augut, 2009. Nº 106-S46. WALRAVEN, J. C., Fundamental Analyi of Aggregate Interlock. Journal of Structural Engineering, ASCE, V. 107, No. 11, pp. 2245-2270, 1981. VANDERBILT, D. M. Shear Strength of Continuou Plate, Proceeding ASCE. Journal of the Structural Diviion, Vol. 98, No. ST5, May 1972, pp. 961 973. VECCHIO, F. J., COLLINS, M. P., The Modified Compreion-Field Theory for Reinforced Concrete Element Subjected to Shear. ACI JOURNAL, Proceeding V. 83, No. 2, pp. 219-231, Mar.-Apr, 1986.