Mat. Professor: Rafael Jesus Monitor: Gabriella Teles
Geometria analítica plana: distância e reta 13 out RESUMO Distância entre dois pontos: Dado dois pontos A e B do plano cartesiano, chama-se distância entre eles a medida do segmento de reta que tem os dois pontos por extremidades. 1 caso: O segmento AB é paralelo ao eixo x Então a distância entre A e B é dada pelo módulo da diferença entre as abcissas de A e B, isto é: d = Xa Xb 2 caso: O segmento AB é paralelo ao eixo y Então a distância entre A e B é dada pleo módulo da diferença entre as ordenadas de A e B, isto é: d = Ya Yb
3 caso: Quando o segmento AB não é paralelo a nenhum dos eixos coordenados. Temos então que a distância entre A e B é definida por: 2 2 d= (Xa- Xb) +(Ya- Yb) A reta Uma reta é um conjunto de pontos colineares. Equação geral da reta ax + by + c = 0 Em que a, b e c são números reais, com a e b não nulos simultaneamente, e x e y são as coordenadas de um ponto P(x,y) genérico de r. Costuma-se escrever r:ax+by+c=0
Equação reduzida da reta Uma equação reduzida da reta respeita a lei de formação dada por y = ax + b onde x e y são os pontos pertencentes à reta. a-> O coeficiente a é chamado de coeficiente angular da reta. b-> O termo b é chamado de termo independente da reta. Equação segmentária da reta A equação segmentária da reta tem a seguinte lei de formação: ax + by = 1 c c c/a -> é a abscissa do ponto de interseção com o eixo x c/b -> é a ordenada do ponto de interseção com o eixo y. Casos particulares Quando algum dos coeficientes da equação geral da reta é igual a zero, a reta apresenta uma propriedade especial, temos três casos:
1. a=0 2..b=0 3. c=0
Distância entre um ponto e uma reta: Podemos calcular a distância de um ponto A(x,y) a uma reta ax+by+c=0 através da seguinte fórmula: ax +by +c d= 2 2 a +b Condição de alinhamento Um ponto C(x,y) qualquer pertencerá a r quando estiver alinhado a dois pontos( A e B) quaisquer de r. E então com isso temos que: EXERCÍCIOS DE AULA =0 1. A função linear f(x) = ax + b é representada por uma reta que contém o ponto (2,-1) e que passa pelo vértice da parábola. A função é: a) f(x) = -3x + 5 b) f(x) = 3x - 7 c) f(x) = 2x - 5 d) f(x) = x - 3 e) f(x) = x/3-7/3 2. Sabedoria egípcia Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que a sombra no chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre ao meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de tamanho. Depois de chegar a um comprimento máximo, ela recuava até perto da vareta. As sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as mais curtas, com dias quentes. (Adaptado de Revista "Galileu", janeiro de 2001.)
Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto, utilizando uma vareta OA de 2 metros de comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8 metros. Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente, os segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão. Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que contém o segmento AB: a) y = 8-4x b) x = 6-3y c) x = 8-4y d) y = 6-3x 3. Os pontos A=(-1; 1), B=(2; -1) e C=(0; -4) são vértices consecutivos de um quadrado ABCD. A equação da reta suporte da diagonal, desse quadrado, é: a) x + 5y + 3 = 0. b) x - 2y - 4 = 0. c) x - 5y - 7 = 0. d) x + 2y - 3 = 0. e) x - 3y - 5 = 0. 4. Uma reta de coeficiente angular m > 0 passa pelo ponto (2,0) e é tangente à circunferência inscrita no quadrado de vértices (1,1), (5,1), (5,5) e (1,5). Então: a) 0 < m < 1/3 b) m = 1/3 c) 1/3 < m < 1 d) m = 1 e) 1 < m < 5/3
5. Observe a figura. Nessa figura, a reta AC intercepta o eixo das abscissas no ponto (-1/2, 0 ), e a área do triângulo de vértices A, B e C é 10. Então, a ordenada do ponto B é: a) 20/11 b) 31/11 c) 4 d) 5 e) 6 EXERCÍCIOS DE CASA 1. A reta r é perpendicular à reta -3x + 4y - 5 = 0 e passa pelo ponto (1, 2). Determine os pontos de r que distam 5 unidades do ponto (1, 2). 2. O valor de x para que os pontos (1,3), (- 2,4), e (x,0) do plano sejam colineares é: a) 8. b) 9. c) 11. d) 10. e) 5. 3. Ache os coeficiente angulares das retas r e s da figura a seguir e verifique se elas são ortogonais.
4. Seja B (0,0) o ponto da reta de equação y=2x cuja distância ao ponto A=(1,1) é igual a distância de A à origem. Então a abscissa de B é igual a: a) 5/6 b) 5/7 c) 6/7 d) 6/5 e) 7/5 5. Na figura a seguir, tem-se o gráfico de uma reta que representa a quantidade, medida em ml, de um medicamento que uma pessoa deve tomar em função de seu peso, dado em kgf, para tratamento de determinada infecção. O medicamento deverá ser aplicado em seis doses. Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em cada dose: a) 7 ml b) 9 ml c) 8 ml d) 10 ml 6. O ponto da reta s que está mais próximo da origem é A = (-2,4). A equação da reta s é: a) x + 2y = 6 b) x - 2y + 10 = 0 c) y + 2x = 0 d) 2y - x = -10 e) y + 2x = 6 7. Observe a figura a seguir. Nessa figura, A=(2,3) e A equação da reta AB é: a) x + 4y - 14 = 0 b) x - 4y + 14 = 0 c) 4x + y - 14 = 0 d) 4x - y + 14 = 0 e) x + 2y - 7 = 0
8. Quando "a" varia sobre todos os números reais, as equações y=ax+1 representam: a) um feixe de retas paralelas. b) um feixe de retas passando por (1,0). c) todas as retas passando pela origem. d) todas as retas passando por (0,1). e) todas as retas passando por (0,1), exceto uma. Um pouco de história... Le geométric O segundo terço do século XVII foi um importante período da história da matemática, com destaque para a grande intercomunicação de ideias entre os matemáticos franceses, dos quais destacamos René Descartes e Pierre de Fermat. A eles atribui-se a invenção da geometria analítica. Outros nomes dessa época também devem ser lembrados como Roberval, Desargues, Messenne e Pascal. René Descartes dedicou grande parte de sua vida à ciência sua obra mais importante datada de 1637, - contribuição desse texto é a ideia de dar significado às operações algébricas por meio de interpretações Os pontos representados por pares ordenados de números reais; as retas, circunferência e outras curvas podem ser descritas por meio de equações algébricas. As figuras são representadas em um referencial formado por dois eixos perpendiculares conhecidos como sistema de coordenadas cartesianas, cujo nome foi dado em homenagem a Descartes. Pierre de Fermat ao contrário de descartes dedicava-se à ciência e matemática por prazer. Sua grande contribuição para simples até casos mais gerais. Sua obra foi mais sistemática e didática que a de descartes mas não foi publicada em vida e por isso na época a geometria analítica era considerada invenção única de Descartes. A geometria analítica hoje... A geometria analítica desempenha um papel importante no desenvolvimento da computação gráfica. As telas dos nossos computadores são modelos de estrutura do plano cartesiano com um número finito de pontos. Ao aumentar o número de pontos melhora-se a qualidade de imagem do monitor ou da impressão dessa imagem. Na tomografia ou na localização por satélites, por exemplo, a utilização do recurso de imagens é fundamental para a melhor interpretação dos resultados.
GABARITO Exercícios de aula 1. a 2. c 3. c 4. c 5. d Exercícios de casa 1. (-2,6) e (4,-2) 2. d 3. a 4. 4mr=2/5; ms=-8/3 5. b 6. b 7. a 8. e