n. 6 Equivalências Lógicas A equivalência lógica trata de evidenciar que é possível expressar a mesma sentença de maneiras distintas, preservando, o significado lógico original. Def.: Diz-se que uma proposição P (p, q, r, ) é logicamente equivalente a uma proposição Q (p, q, r, ), se as tabelas-verdade destas duas proposições são idênticas. Se as proposições P (p, q, r, ) e Q (p, q, r, ) são ambas tautologias, ou ambas contradições, então são equivalentes. Notação para indicar equivalência lógica, símbolo: Ou P Q P (p, q, r, ) Q (p, q, r, ) De maneira menos formal também encontramos a representação simbólica de uma equivalência por: P = Q. A relação de equivalência nos permite verificar quando duas proposições (simples ou compostas) são equivalentes, ou seja, quando estas proposições têm sempre valor lógico igual. Exemplos de contradições: p ~p p ~p F F F F
p q p q ~(p q) p q ~(p q) (p q) F F F F F F F F F F F F F F F Tautologia e equivalência Lógica Teorema: A proposição P (p, q, r, ) é equivalente a proposição Q (p, q, r, ), ou seja: P (p, q, r, ) Q (p, q, r, ) se e somente se a bicondicional: P (p, q, r, ) Q (p, q, r, ) for tautológica. Portanto, a toda equivalência lógica corresponde uma bicondicional tautológica, e vice-versa. Para verificarmos se as equivalências são válidas, trocamos o símbolo de equivalência ( ) pela bicondicional ( ), se resultar em uma tautologia é porque a equivalência é válida. Propriedades da Equivalência Lógica a) Reflexiva (R): P (p, q, r, ) P (p, q, r, ) b) Simétrica (S): Se P (p, q, r, ) Q (p, q, r, ) então Q (p, q, r, ) P (p, q, r, )
c) Transitiva (T): Se P (p, q, r, ) Q (p, q, r, ) e Q (p, q, r, ) R (p, q, r, ) então P (p, q, r, ) R (p, q, r, ) Exemplos: 1. As proposições "~~p" e "p" são equivalentes, isto é, simbolicamente: ~~p p (Regra da dupla negação). Portanto, a dupla negação equivale à afirmação. p ~p ~~p ~~p p F F F 2. As proposições "~p p" e "p" são equivalentes, isto é, simbolicamente: ~p p p (Regra de Clavius) p ~p ~p p ~p p p F F F 3. As condicionais "p p q" e "p q" são equivalentes, isto é, simbolicamente: p p q p q (Regra de absorção) p q p q p p q p q p p q p q F F F F F F F F F 4. A condicional p q e a disjunção "~p q" são equivalentes, isto é, simbolicamente: p q ~p q
p q ~p p q ~p q p q ~p q F F F F F F F F 5. A bicondicional "p q" e a conjunção "(p q) (q p)" são equivalentes, isto é, simbolicamente: p q (p q) (q p) p q p q p q q p (p q) (q p) p q (p q) (q p) F F F F F F F F F F 6. A bicondicional "p q" e a disjunção "(p q) (~p ~q)" são equivalentes, isto é, simbolicamente: p q (p q) (~p ~q) p q ~p ~q p q p q ~p ~q (p q) (~p ~q) p q (p q) (~p ~q) F F F F F F F F F F F F F F F F F F Exemplos de bicondicionais tautológicas: 1. (p ~q c) (p q) Corresponde a: p ~q c p q Portanto: p ~q c é equivalente a p q
Nesta equivalência consiste o método de demonstração por absurdo. 2. (p q r) (p (q r)) Corresponde a: p q r p (q r) Portanto: p q r é equivalente a p (q r) Equivalência Lógica denominada Regra de exportação- Importação Exemplo de bicondicional não tautológica: 1. "x = 1 x 3" e "~(x < 3 x = 1)" Corresponde a: (x = 1 x 3) ~(x < 3 x = 1) Entretanto, pela tabela-verdade observamos que o bicondicional não é tautológico. x = 1 x 3 x = 1 x 3 x < 3 x < 3 x = 1 ~(x < 3 x = 1) (x = 1 x 3) ~(x < 3 x = 1) F F F F F F F F F F F F F Proposições associadas a uma condicional Def.: Dada a condicional p q, chamam-se proposições associadas a p q as três proposições condicionais que contém p e q: a. Proposição recíproca de p q é q p b. Proposição contrária de p q é ~p ~q Também denominada de inversa de p q
c. Proposição contrapositiva de p q é ~q ~p p q ~q ~p A equivalência entre p q é ~q ~p estabelece um procedimento para demonstrar teoremas condicionais como, se a + b = c então a = c b, onde a + b = c é a hipótese e a = c b é a tese. Para provar a propriedade podemos usar a contrapositiva ou a negação da tese. Se a negação da tese levar a concluir a negação da hipótese então a propriedade estará demonstrada. Negando a tese, a c b. Somando b a ambos os membros, a desigualdade permanece. Assim, a + b c b + b a + b c O que contraria a hipótese. Portanto a propriedade é verdadeira. Tabela-verdade das proposições associadas: p q ~p ~q p q q p ~p ~q ~q ~p p q ~q ~p q p ~p ~q F F F F F F F F F F F F Logo, A condicional p q e a contrapositiva ~q ~p são equivalentes: p q ~q ~p
A recíproca q p e a contrária ~p ~q da condicional p q são equivalentes: q p ~p ~q Entretanto, pela tabela-verdade ainda podemos observar que: p q e a sua recíproca q p: não são equivalentes p q e a sua contrária ~p ~q: não são equivalentes Negação conjunta de duas proposições Def.: Chama-se negação conjunta de duas proposições a proposição "não p e não q", isto é, ~p ~q. A negação conjunta de duas proposições p e q se indica pela notação " p q ". Assim, p e q também p q ~p ~q Tabela-verdade: p q ~p ~q ~p ~q p q p q ~p ~q F F F F F F F F F F F F F F Negação disjunta de duas proposições
Def.: Chama-se negação disjunta de duas proposições a proposição "não p ou não q", isto é, ~p ~q. A negação disjunta de duas proposições p e q se indica pela notação " p q ". Assim, p e q também p q ~p ~q Tabela-verdade: p q ~p ~q ~p ~q p q p q ~p ~q F F F F F F F F F F Os símbolos e são chamados de conectivos de SCHEFFER. Exercícios: 1. Demonstre as seguintes equivalências: a. p (p q) p b. (p q) r p ~r ~q c. q p q p q 2. Mostre que as proposições x = 1 x 3 e "~(x < 3 x = 1) " não são equivalentes. 3. Julgue se são logicamente equivalentes as proposições: Quem tem dinheiro, não compra fiado e Quem não tem, compra, provando sua resposta.
4. Determine: a. A contrapositiva da recíproca de x = 0 x < 1 b. A contrapositiva da contrária de x < 1 x < 3 5. Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que a proposição r é falsa, determine o valor lógico () ou (F) das seguintes proposições: a. (~p q) (q ~r) b. [(p q) (q r)] (r p) c. (~p ~q) [(q r) p] 6. Demonstre: [(p ~p) (p ~p)] p ~p Resoluções: 1. Demonstre as seguintes equivalências: a. p (p q) p p q p q p (p q) p (p q) p F F F F F F F b. (p q) r p ~r ~q p q r ~q ~r p q (p q) r p ~r p ~r ~q (p q) r p ~r ~q F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F
F F F F F F F F F F c. q p q p q p q p q q p q p q q p q p q F F F F F F F 2. Mostre que as proposições x = 1 x 3 e ~(x < 3 x = 1) não são equivalentes. x = 1 x < 3 x 3 x = 1 x 3 x < 3 x = 1 ~(x < 3 x = 1) x = 1 x 3 ~(x < 3 x = 1) F F F F F F F F F F F F F Não são equivalentes porque as tabelas-verdade das proposições não são idênticas, e também a bicondicional não é uma tautologia. 3. Julgue se são logicamente equivalentes as proposições: Quem tem dinheiro, não compra fiado e Quem não tem, compra, provando sua resposta. Proposições: p: quem tem dinheiro q: compra fiado Premissas: Quem tem dinheiro, não compra fiado: Quem não tem, compra: p ~ q ~p q
Para serem equivalentes: p ~ q ~ p q p q ~p ~q p ~ q ~p q p ~ q ~ p q F F F F F F F F F F F F Não são equivalentes porque as tabelas-verdade das proposições não são idênticas, e também a bicondicional não é tautológica. 4. Determine: a. A contrapositiva da recíproca de x = 0 x < 1 x = 0 x < 1 x < 1 x = 0 (recíproca de x = 0 x < 1) ~(x = 0) ~(x < 1) (contrapositiva de x < 1 x = 0) x 0 x 1 (resposta) b. A contrapositiva da contrária de x < 1 x < 3 x < 1 x < 3 ~(x < 1) ~(x < 3) (contrária de x < 1 x < 3) x 1 x 3 (contrária de x < 1 x < 3) ~(x 3) ~(x 1) (contrapositiva da contrária de x 1 x 3) x < 3 x < 1 (resposta) 5. Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras e que a proposição r é falsa, determine o valor lógico () ou (F) das seguintes proposições:
a. (~p q) (q ~r) (~p q) (q ~r) (p ~q) (~q r) p q r ~q p ~q ~q r (~p q) (q ~r) F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Outra forma de resolução: (~p q) (q ~r) (p ~q) (~q r) b. [(p q) (q r)] (r p) (p ~q) (~q r) ( F) (F F) ( F) (F) F Seja: p =, q = e r = F Então: [(p q) (q r)] (r p) [(~p ~q) (~q ~r)] ( ~r ~ p) [(~p ~q) (~q ~r)] ( ~r ~ p) [(F F) (F )] ( F) [F F] (F)
F F F c. (~p ~q) [(q r) p] Seja: p =, q = e r = F Então: (~p ~q) [ (q r) p] ~(~p ~q) [ ~(~q ~r) ~ p] ~(~p ~q) [ ~(~q ~r) ~ p] ~(F F) [ ~(F ) F] ~(F) [ ~(F) F] [ F] F F 6. Demonstre: [(p ~p) (p ~p)] p ~p Seja: p = e ~p = F Então: [(p ~p) (p ~p)] p ~p [~(~ p p) ~ (~p p)] p ~p [~() ~ ()] F [F F] F F F Exercícios: 1. (CARALHO; CAMPOS, 2010, p. 119) Numa proposição composta s, aparecem às proposições simples p, q e r. Sua tabela verdade é:
p q r s L1 L 2 F L3 F F L4 F F L5 F L6 F F L7 F F F L8 F F F Usando a conjunça o ( ), a disjunça o ( ) e a negaça o ( ), podese construir sentenças equivalentes a s. Uma dessas sentenças é: a. (p q r) (~p ~ q r) b. (p q r) (~p ~q r) c. (p q ~r) (p ~ q ~r) d. (~p q ~r) (p q ~r) e. (p q ~r) (~p ~ q r) 2. Julgue os itens (CARALHO; CAMPOS, 2010, p. 121): a. Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma do crime não estava no carro, então meu cliente não é culpado. É uma tautologia. b. Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma do crime estaria no carro. Não é uma tautologia. 3. erifique as equivalências (CASTRUCCI, 1982, p. 34): a. ~(p ~p) (p ~p) b. p (~p q ) (p q) c. p (q r) q (p r) d. ~(p q) ~(~q ~p)
e. ~(p ~ q ) ~p q 4. erifique se são equivalentes as proposições: a. Não é verdade que o triângulo é retângulo e não é retângulo. E O triângulo é retângulo ou o triângulo não é retângulo. b. Se é bonito, é feliz. E Não é bonito ou feliz. c. A: se o céu está escuro, choverá; B: o céu não está escuro ou não choverá. 1. Construir as tabelas-verdade Resolução: 1. Correta letra (d): (~p q ~r) (p q ~r) Conferência utilizando as linhas da tabela-verdade: (~p q ~r) (p q ~r) Linha 1: p =, q =, r =, s = (~p q ~r) (p q ~r) (F F) ( F) ( F) ( F) ( ) ( )
Linha 1 resulta em, logo corresponde a tabela-verdade. Linha 2: p =, q =, r = F, s = (~p q ~r) (p q ~r) (F ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Linha 2 resulta em, logo corresponde a tabela-verdade. Linha 3: p =, q = F, r =, s = F (~p q ~r) (p q ~r) (F F F) ( F F) ( F F) ( F) ( F ) ( ) F Linha 3 resulta em F, logo corresponde a tabela-verdade. Linha 4: p =, q = F, r = F, s = (~p q ~r) (p q ~r) (F F ) ( F ) ( F ) ( ) ( ) ( ) Linha 4 resulta em, logo corresponde a tabela-verdade. Linha 5: p = F, q =, r =, s = (~p q ~r) (p q ~r) ( F) (F F) ( F) ( F) ( ) ( )
Linha 5 resulta em, logo corresponde a tabela-verdade. Linha 6: p = F, q =, r = F, s = (~p q ~r) (p q ~r) ( ) (F ) ( F) ( F) ( ) ( ) Linha 6 resulta em, logo corresponde a tabela-verdade. Linha 7: p = F, q = F, r =, s = F (~p q ~r) (p q ~r) ( F F) (F F F) ( F) (F F) ( ) (F ) F Linha 7 resulta em F, logo corresponde a tabela-verdade. Linha 8: p = F, q = F, r = F, s = (~p q ~r) (p q ~r) ( F ) (F F ) ( ) (F ) ( ) ( ) Linha 8 resulta em, logo corresponde a tabela-verdade.
Caso em alguma das alternativas tivesse dado algum valor lógico diferente daquele da coluna do s, não seria uma equivalência. 2. Julgue os itens (CARALHO; CAMPOS, 2010, p. 121): a. Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma do crime não estava no carro, então meu cliente não é culpado. É uma tautologia. Inocente: p Culpado: ~p Arma está no carro: q Arma não está no carro o: ~q (P1): Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. ~p q (P2): Portanto, se a arma do crime não estava no carro, então meu cliente não é culpado. ~q p p q ~p ~q ~p q ~q p (~p q) (~q p) F F F F F F F F F F Sim, (~p q) (~q p) é uma tautologia. b. Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma do crime estaria no carro. Não é uma tautologia. Inocente: p Arma está no carro: q Culpado: ~p Arma não está no carro o: ~q
(P1): Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. ~p q (P2): Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma do crime estaria no carro. ( p q) p q ~p ~q ~p q p q (~p q) (p q ) F F F F F F F F F F Como, (~p q) (p q ) é uma tautologia e a questão afirma que não é uma tautologia, então esta questão está errada, ou seja, é falsa. 3. Resolução: Construir as tabelas-verdade. 4. erifique se são equivalentes as proposições: a. Não é verdade que o triângulo é retângulo e não é retângulo. E O triângulo é retângulo ou o triângulo não é retângulo. Proposições: O triângulo é retângulo: p O triângulo não é retângulo: ~p Premissas: (P1): Não é verdade que o triângulo é retângulo e não é retângulo: (p ~p) (P1): O triângulo é retângulo ou o triângulo não é
retângulo: (p ~p) p ~p p ~p (p ~p) p ~p (p ~p) p ~p F F F F Logo, (p ~p) p ~p (p ~p) p ~p Portanto, é uma equivalência. b. Se é bonito, é feliz. E Não é bonito ou feliz. Proposições: É bonito: p É feliz: q Premissas: (P1): Se é bonito, é feliz: (P1): Não é bonito ou feliz: Não é bonito: ~p p q ~p q p q ~p p q ~p q (p q) (~p q) (p q) (~p q) F F F F F F F F Portanto, é uma equivalência. c. A: se o céu está escuro, choverá;
B: o céu não está escuro ou não choverá. Proposições: Céu está escuro: p Não está escuro: ~p Choverá: q Não choverá: ~q Premissas: (P1): Se o céu está escuro, choverá: (P1): O céu não está escuro ou não choverá: p q ~p ~q p q ~p ~q p q ~p ~q (p q) (~p ~q) F F F F F F F F F F F F Logo, (p q) (~p ~q) F (p q) (~p q) F F Portanto, NÃO é uma equivalência. Referências Bibliográficas ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. São Paulo, Nobel, 2002. CARALHO, Sérgio; CAMPOS, Weber. Raciocínio Lógico Simplificado.. 1. Rio de Janeiro: Elsevier. 2010
CASTRUCCI, Benedito. Introdução à Lógica Matemática. 5 ed. São Paulo: Nobel, 1982. DIAS, Carlos Magno Corrêa. Lógica matemática: introdução ao cálculo proposicional. 3 ed. Curitiba: C. M. C. Dias, 2011. GERÔNIMO, João Roberto; FRANCO, aldeni Soliani. Fundamentos da Matemática: uma introdução à lógica matemáti5ca, teoria dos conjuntos, relações e funções. 2 ed. Maringá: Eduem, 2008.