Integral Dupla. Aula 06 Cálculo Vetorial. Professor: Éwerton Veríssimo

Integral Dupla Aula 06 Cálculo Vetorial Professor: Éwerton Veríssimo

Integral Dupla Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros.

Calculando Integrais Duplas Exemplo 01: Calcular a integral dupla 3 0 2 0 Exemplo 02: Calcular a integral dupla 0 1 4 y² dydx x y 1 1 1 dxdy

Calculando Integrais Duplas Exemplo 03: Calcular a integral dupla 3 x y 2xy 0 0 2 ² dydx Exemplo 04: Calcular a integral dupla x 0 0 xsenydydx

Calculando Integrais Duplas

Integral Dupla Definição Considere uma função z=f(x,y) definida em uma região fechada e limitada R do plano xy.

Interpretação Geométrica Traçando retas paralelas a x e y, subdivimos o domínio em pequenos retângulos, que se considerados apenas aqueles que estão totalmente contidos na região, teremos a Soma de Riemann sobre R:

Interpretação Geométrica Se o limite existe, a integral dupla da função f(x,y) sobre a região R será representada por:

Interpretação Geométrica

Integral Dupla - Propriedades

Teorema de Fubini Se f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] [c, d], a integral dupla é igual a integral iterada. y R f ( x, y) da d c b a f ( x, y) dxdy b a d c f ( x, y) dydx d c a b x

Integral Dupla Integração em Regiões Não-Retangulares V b g 2( x) [ f ( x, y) dy] dx a g1( x)

Integral Dupla Integração em Regiões Não-Retangulares V d h2( y) [ f ( x, y) dx] dy c h1( y)

Exemplos Calcule D (x 2y)dA y = 2x 2 e y = 1 + x 2. onde D é a região limitada pelas parábolas 1 1 1 x 2 x ( x 2y 2 2 ) dydx y1 x 2 xy y dx 1 1 1 1 1 1 x(1 3x 4 x 2 y2 x 2 2 ) (1 x 3 2x 2 x 2 ) 2 x 2x 3 1dx 4x 4 dx 5 x 3 5 4 x 4 2 3 x 3 x 2 x 1 1 32 15

Exemplos Calcule xyda, onde D é a região limitada pela reta y = x 1 D e pela parábola y 2 = 2x + 6. D xyda 4 y1 1 2 2 2 y 3 2 x y 4 2 2 xy dx dy xy1 x 1 2 y 2 3 dy 4 1 2 1 2 2 2 ( 1) ( 2 2 3) y y y dy 5 4 1 y 3 2 2 4y 2y 8y dy 2 4 6 3 1 y 4 y 2 2 y 2 4y 36 24 3 4 2

Integral Dupla - Aplicações Cálculo de Área Considere f(x,y)=1, a integral dupla sobre uma região R se resume a área de uma região plana fechada e limitada, sendo denotada por:

Integral Dupla - Aplicações Cálculo de Volume Para f (x, y) 0, a integral nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.

Exercício 1. Encontre a área da região R limitada pela parábola y=x² e y=x+2. 2. Esboçe e determine a área da região R representada pela integral 6 0 2 y y² 3 dxdy

Exercício 3. Encontre o volume do sólido retangular no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x=2, y=1 e y=1-z.

Integral Dupla Mudança de Variável

Integral Dupla Mudança de Variável Coordenadas Polares

Integral Dupla Coordenadas Polares Converter Integrais Cartesianas para Integrais Polares f ( x, y) dxdy f ( r cos, rsen ) rdrd R G

Exercício 4. Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente. Então calcule a integral polar. a. b. 1 1 1 1 x² 0 1 1 x² dydx 1 x² dydx c. d. 2 4 y² x² y² 0 1 0 x² y² 1 1 y² 1 y² dxdy dydx

Integral Tripla Aula 07 Cálculo Integral Professor: Éwerton Veríssimo

Integral Tripla - Definição w = f(x,y,z) Variável dependente Variáveis independentes Características de f(x,y,z) - Domínio em R 3 - Imagem em R 4 (hiper-espaço)

Integral Tripla - Definição Particionando uma região paralepipedal que contém D em pequenos paralelepípedos. Numeramos os pequenos paralelépípedos de 1 até n em alguma ordem. Escolhendo um ponto em cada um deles, formamos a soma: S n n k1 f ( x k, y k, z k ). v k

Integral Tripla - Definição Tomando o limite quando n tende ao um número infinitamente grande e positivo, tem-se a integral tripla: I T lim n S n D f( x, y, z). dx. dy. dz

Propriedades

Integral Tripla - Volume Se F é uma função constante cujo valor é 1, então a Soma de Riemman se reduz a: I T n S n v k S n k1 V D dv n À medida em que as dimensões dos paralelepípedos se aproximam de 0, tornam-se mais numerosos os paralelepípedos no sólido. Dessa forma, o volume de D pode ser expresso como a integral tripla. lim D f( x, y, z). dx. dy. dz

Integral Tripla Cálculo de Volume z z = 1 - y V D dv 2 1 y V 1 1 y 0 2 0 0 dz. dxdy. x

Exercício 1. Resolva as integrais triplas. a. 1 0 1 0 1 0 ( x² y² z²) dzdydx 3 9x² 9x² b. 0 0 0 dzdydx

Exercício 2. Determine o volume do tetraedro no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelo plano que passa pelos pontos (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3).

Integral Tripla Mudança de Variáveis Coordenadas Cilíndricas

Integral Tripla Mudança de Variáveis Converter Integrais Cartesianas para Integrais Cilíndricas

Integral Tripla Mudança de Variáveis Coordenadas Esféricas

Integral Tripla Mudança de Variáveis Converter Integrais Cartesianas para Integrais Triplas em Coordenadas Esféricas.

Integral Tripla Mudança de Variáveis Determinante Jacobiano

Integral Tripla Mudança de Variáveis Jacobiano Coordenadas Cilindricas

Integral Tripla Mudança de Variáveis Jacobiano Coordenadas Esféricas

Exercício 3. Calcule as integrais em coordenadas cilíndricas. a. b. 2 1 2r ² 0 2 1 0 r dzrdrd r sen z² 0 0 1 2 1 2 ² dzrdrd

Exercício 4. Calcule as integrais em coordenadas esféricas. a. 2 0 4 2 4 2 b. cos 0 0 0 2 0 3 sen2 dddp ² sendpdd

Exercício

Campos Vetoriais e Integral de Linha Aula 08 Cálculo Vetorial Professor: Éwerton Veríssimo

Campo Vetorial Representação no Plano:

Campo Vetorial Representação no Espaço

Campo Vetorial Quando observamos um escoamento de água e dizemos que cada partícula possui uma velocidade, estamos definindo um campo vetorial. Exemplos : Campo de Velocidade, Campo Gravitacional, Campo Elétrico, Campo Magnético.

Campo Escalar - Exemplo Mapa de Temperatura

Campo Vetorial - Exemplos Velocidade dos Ventos

Operador Nabla O operador (nabla) é um operador vetorial diferencial, o qual é definido como: Este operador não tem significado físico nem geométrico.

Operador Nabla É muito útil na definição de três grandezas que aparecem nas aplicações práticas e conhecidas por gradiente, divergência e rotacional.

Gradiente Aplicado sobre uma campo escalar f, define um campo vetorial chamado de Gradiente de f,. f Por exemplo, o gradiente do potencial elétrico é o campo elétrico. No cálculo vetorial, o gradiente é a alteração no valor de uma quantidade por unidade de espaço.

Gradiente O gradiente da função f, f, ou grad f, é um vetor definido por: O f é um vetor que dá como resultado a máxima variação da função escalar e a direção em que esta máxima variação acontece.

Divergente O produto escalar do operador nabla com uma função vetorial V, define um escalar chamado de Divergente de V, V Ou Ainda:

Divergente Dessa forma a função V (x,y,z) = V 1 i + V 2 j + V 3 k deve ser definida e derivável em todos os pontos (x, y, z) numa da região do espaço (isto é, V define um campo vetorial derivável). A divergência de um campo vetorial, dá como resultado o fluxo líquido (fluxo que sai fluxo que entra) por unidade de volume.

Rotacional Se V (x,y,z) = V 1 i + V 2 j + V 3 k é um campo vetorial derivável, o rotacional de V, xv, é definido por:

Rotacional O rotacional de um campo vetorial é, também, um campo vetorial, ou seja a cada ponto do espaço onde definimos o rotacional será dado por um vetor. O rotacional de um campo vetorial dá como resultado um vetor cujos componentes x, y e z dão a circulação desse campo vetorial por unidade de área respectivamente nos planos normais a esses componentes.

Exercício 1. Dado o campo vetorial, calcule : j e i x y x f xy 4 2 ), ( div f a. b. c. j x i x sen y x f cos 2 ² ), ( k z y j xyz i y x y x f 2 2 2 3 2 ), ( f

Exercício 2. Encontrar o rotacional do campo vetorial dado. a. f ( x, y, z) 2x 4z, y z,3x yz b. f ( x, y, z) x², y², z²

Integral de Linha Generalização simples da integral definida na qual os limites do intervalo [a,b] são substituídos por uma curva ou caminho entre esses limites e a função integrada é um campo escalar ou vetorial definido e limitado a essa curva.

Integral de Linha Interpretação Geométrica

Integral de Linha de Campo Escalar Considere f uma função definida sobre uma curva lisa C no plano, onde: x x(t); y y(t); Caso exista o limite, a integral de linha de f sobre a curva C será: a t b l im n f ( x k, y k ). s k C f ( x, y) ds

Integral de Linha Aditividade

Integral de Linha de Campo Escalar Cálculo de uma Integral de Linha Passo 1: Encontre uma parametrização para curva. r( t) x( t) i y( t) j z( t) k, Passo 2: Calcule a integral como: C f ( x, y, z) ds b a f ( x( t), y( t), z( t)) dx dt 2 dy dt 2 dz dt 2 dt

Exercício 3. Calcule (x y) ds, onde C é o segmento de C reta x=t, y=1-t, z=0, de (0,1,0) a (1,0,0). 4. Calcule (xy y z) ds ao longo da curva C r(t)=2ti+tj+(2-2t)k, 0 t 1.

Integral de Linha de Campos Vetoriais Trabalho realizado por um campo de forças ao Longo de uma curva

Integral de Linha de Campos Vetoriais Trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva

Circulação e Escoamento Integrais de escoamento e circulação para campos de velocidade.

Fluxo através de uma curva plana Definição: Seja C uma curva lisa e fechada no domínio de um campo vetorial contínuo F=M(x,y)i+N(x,y)j no plano e se n for o versor normal exterior de C, o fluxo de f através de C é: Fluxo de F através de C = C F.nds C Mdy Ndx

Exercício 5. Encontre o trabalho realizado por F=3yi+2xj+4zk sobre o segmento de reta C: r(t)=ti+tj+tk, 0 t 1. 6. Encontre o escoamento do campo de velocidade F=(x+y)i-(x²+y²)j ao longo do segmento de reta de (1,0) até (-1,0). 7. Determine a circulação e o fluxo do campo F=xi+yj ao redor e através da circunferência r(t)=(cost)i+(sent)j, 0 t 2

Campo Conservativo e Função Potencial

Independência do Caminho

Campo Conservativo Teste de verificação de um campo conservativo Seja F=Mi+Nj+Pk um campo vetorial cujas componentes tenham derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Então, F é conservativo se e somente se:, z N y P, x P z M y M x N

Teorema de Green e Teorema da Divergência Aula 09 Cálculo Vetorial Professor: Éwerton Veríssimo

Teorema de Green - Introdução Estabelece uma relação entre uma integral de linha ao longo de uma curva C fechada, e uma integral dupla sobre a região D. O teorema de green é uma ferramenta muito útil no cálculo de áreas de figuras planas fechadas.

Teorema de Green Fluxo Divergência ou forma normal O fluxo exterior de um campo F=Mi+Nj através de uma curva fechada simples C é igual a integral dupla de divf sobre a região R limitada por C. C F.nds C Mdy Ndx R M x N y dxdy

Teorema de Green: circulaçãorotacional ou forma tangencial A circulação no sentido anti-horário de um campo F=Mi+Nj em torno de uma curva fechada simples C no plano é igual a integral dupla de (rotf).k sobre a região R limitada por C C F.Tds C Mdx Ndy R N x M y dxdy

Teorema de Green Cálculo de Área Cálculo de Área Se uma curva fechada simples C no plano e a região R que ela engloba satisfazem as hipóteses do teorema de Green, a área de R é dada por: 1 A 2 xdy ydx C

Exercício

Exercício 3. Encontre a circulação no sentido anti-horário e o fluxo exterior do campo F=xyi+y²j ao redor e através da fronteira da região limitada pelas curvas y=x² e y=x no primeiro quadrante.

Teorema da Divergência O fluxo de um campo vetorial F através de uma superfície S fechada e orientada, no sentido do campo n de versores normais exteriores da superfície, é igual a integral de sobre a região limitada D limitada pela superfície:.f S F. nd. FdV D

Exercício 4. Encontre o fluxo de F=xyi+yzj+xzk para fora através da superfície do cubo cortado do primeiro octante pelos planos x=1, y=1, z=1.