Eletromagnetismo I Prof. Dr. R.M.O Galvão - Semestre 014 Preparo: Diego Oliveira Aula 8 Continuidade das Amplitudes Como sabemos os vetores k 1, k 1, k ˆn estão num mesmo plano, o plano de incidência, podemos facilitar a aplicação das condições de contorno decompondo o campo elétrico numa componente paralela ao plano de incidência, componente E p, e outra normal ao plano de incidência (e, portanto, paralela à interface), componente E s. O subscrito s vem de senkrecht (alemão). Portanto, os campos elétricos das ondas incidente, refletida e transmitida, ficam e E 1 E 1p ˆp 1 + E 1s ŝ 1 ; E 1 E 1p ˆp 1 + E 1sŝ 1 ; E E p ˆp + E s ŝ ; Naturalmente, os três versores normais são iguais: ŝ 1 ŝ 1 ŝ ê y Já os versores paralelos são coplanares.para encontrar as relações entre as amplitudes, basta considerar as condições de contorno área as componentes tangenciais de E e B (1 problema da sétima série de exercícios), ou 1
seja, ˆn ( E 1 + E 1) ˆn E ˆn ( H 1 H 1) ˆn H Mas H i 1 B i 1 ˆki E i n i ˆk i E i µ i µ i v i µ i c fica Portanto, a condição de contorno para a componente tangencial do campo magnético ˆn ( ˆk1 E 1 + ˆk 1 µ E ) n 1 ˆn ( ) ˆk E 1 µ Como as componentes s e p são ortogonais entre si, elas se desacoplam nessas equações e podemos resolvê-las para cada polarização separadamente. Isto ocorre porque ˆn ˆp vetor normal ao plano de incidência ˆn ŝ vetor no plano de incidência Polarização Normal (s) Fazendo E i p 0, temos que a primeira equação (1) se reduz a ( ˆn ŝ) [ E 1s + E 1s E ] s Na segunda equação temos o produto vetorial duplo ˆn ( ) ˆki E i Ei s ˆn ( ˆki ŝ ) [ E i s ˆki 0 ( ˆn ŝ) ( ˆn ˆk ] i )ŝ Mas ˆn ˆk i cosθ 1 ; ˆn ˆk i cos(180 θ 1 ) cosθ 1 ; ˆn ˆk cosθ
Portanto, para a polarização normal, o sistema de equações das condições de contorno fica e E 1s + E 1s E cosθ 1 (E 1s E 1s ) n µ cosθ E s Este sistema pode ser facilmente resolvido, fornecendo os coeficientes de Fresnel r s E 1s E 1s t s E s E 1s cosθ 1 n µ cosθ cosθ 1 + n cosθ 1 n cosθ, para µ 1 µ µ cosθ cosθ 1 + n cosθ cosθ 1 cosθ 1 + n µ cosθ cosθ 1 cosθ 1 + n cosθ, para µ Fora menção explícita em contrário, vamos sempre considerar a situação µ. Naturalmente, nas expressões para r s e t s temos que impôr que a terceira lei de Snell, senθ 1 n senθ seja satisfeita. Impondo essa condição, obtemos ( problema da sétima série de exercícios) r s cosθ 1 n cosθ sen(θ θ 1 ) cosθ 1 + n cosθ sen(θ 1 + θ ) t s cosθ 1 cosθ 1 + n cosθ cosθ 1 cosθ 1 + n senθ Polarização Paralela (p) Fazendo E i s 0 na primeira condição de contorno, temos ˆn ˆp 1 E 1p + ˆn ˆp 1 E 1p ˆn ˆp E p Na equação para a segunda condição vamos ter o produto entre os versores ˆn ( ˆk i ˆp i ) ˆn ŝ ê x 3
Por outro lado, da figura para os versores ˆp i vemos que ˆn ˆp 1 sen(90 + θ 1 )( ê y ) cosθ 1 ê y ˆn ˆp 1 sen(90 + θ 1 )ê y cosθ 1 ê y ˆn ˆp sen(90 + θ )( ê y ) cosθ ê y Então, as duas relações para as condições de contorno ficam cosθ 1 (E 1p E 1p ) cosθ E p (E 1p + E 1p ) n µ E p Cuja solução fornece as relações de Fresnel n µ cosθ 1 cosθ r p cosθ + n µ cosθ ; t p cosθ 1 cosθ + cosθ 1, Considerando novamente a situação µ e utilizando a terceira lei de Snell, obtemos (problema da sétima série de exercícios) r p n cosθ 1 + cosθ t g (θ 1 θ ) cosθ + n cosθ 1 t g (θ 1 + θ ) t s cosθ 1 cosθ 1 senθ cosθ + n cosθ 1 sen(θ 1 + θ )cos(θ 1 θ ) Observações Importantes i) Para a polarização s, as relações de Fresnel representam as relações entre os vetores E, porque todos estão na mesma direção (perpendicular ao plano de incidência). ii) Para a polarização p, as relações de Fresnel representam as relações somente entre os módulos dos vetores E porquê eles não são paralelos. iii) Em geral, r s r p e t s t p, No entanto, ambas as polarizações têm os mesmos coeficientes de Fresnel para incidência normal; os mesmos já havíamos derivado 4
mostrar o resultado! iv) É fácil de verificar que r s + t s 1 e r p + t p 1, o quê está correto porque estes coeficientes não representam a reflexão e transmissão de energia. Reexão e Transmissão de Potência No caso de incidência oblíqua, existe sempre uma componente do vetor de Poynting paralela à interface que representa a potência da onda sendo transmitida naquela direção. Por isso, na definição dos coeficientes de reflexão e transmissão de potência é necessário considerar apenas a componente do vetor de Poynting perpendicular à interface, ou seja, definimos os coeficientes de reflexão e transmissão de energia (ou potência) como Polarização Normal (s) R S 1 ( ˆn) S 1 ˆn ; T S ˆn S 1 ˆn [ S n ] µ 0 c E ˆk R s E 1s ˆk 1 ( ˆn) E 1s ˆk 1 ˆn r s cos(180 θ 1 ) cosθ 1 T s n E s E 1s ˆk ˆn ˆk 1 ˆn n cosθ cosθ 1 t s Portanto R s r s ; T s n cosθ cosθ 1 t s e um resultado semelhante é obtido para a polarização paralela R p r p ; T p n cosθ cosθ 1 t p (exercício) 5
Exercício: Provar que R s + T s 1 e R p + T p 1. Variação de R e T com θ 1 Casos Especiais θ 1 0 θ π : r s n + n ; r p n n + r s (porque o sinal trocado?) t s + n t p R s R p ( n ) ( + n ) ; ( ) n1 T s T p + n θ 1 π : incidência rasante θ só existe se n < 1, que corresponde a onda incidente de um meio menos denso para outro mais denso. ) r s sen ( θ π sen ( θ + π ) cosθ 1 R s 1; T s 0; (reflexão total) cosθ t s cos π senθ sen ( θ + π ) 0 r p t g ( π θ ) t g ( π θ ) 1 R p 1;T p 0; (reflexão total) t p cos pi senθ sen ( π + θ ( ) cos π θ ) 0 6
Condição para Reetância Nula: Ângulo de Brewster r s 0; sen(θ θ 1 ) 0; senθ 1 n senθ θ θ 1 n : só se não houver descontinuidade! r p 0 i )t g (θ 1 θ ) 0; senθ 1 n senθ θ 1 θ 0 n : mesmo caso anterior. ii)t g (θ 1 + θ ) ; senθ 1 n senθ θ 1 + θ π define o ângulo de Brewster: θ B senθ B n sen ( π θ B ) n cosθ B t g θ B n O ângulo de Brewster existe para qualquer valor de n /n1, mas só deixa de refletir a polarização paralela. ar-vidro : 1.0; n 1.5; θ B 56 vidro-ar : 1.5; n 1.0; θ B 33,7 Reflexão Interna Total θ π senθ 1 n θ 1 ar csen ( n n ) Portanto, a reflexão interna total só pode acontecer se a onda estiver incidindo do meio opticamente mais denso para o menos denso. 7
(Compare com as figuras 9.16 e 9.17 do livro texto) Explicação do Física para o ângulo de Brewster Quando uma onda eletromagnética incide numa superfície, os elétrons da superfície são colocados me movimento oscilatório pelo campo elétrico da onda. Os elétrons vibrantes radiam, dando origem às ondas refletidas e transmitidas. Mas a direção de movimento dos elétrons tem que ser paralela à do campo elétrico (se os efeitos do campo magnético da onda puderem ser desprezados, o que é válido para v/c 1). Mas, como veremos no próximo capítulo, a energia radiada por um elétron tem uma dependência sen θ com o ângulo θ entre a direção do movimento e a direção de radiação. Como a direção da onda transmitida é 8
perpendicular à da onda refletida, na condição de Brewster θ 1 + θ π/, o campo elétrico E da onda transmitida (que coloca os elétrons no meio em movimento) é paralelo à direção que deveria aparecer a onda refletida e, portanto, não há radiação refletida. 9