Matemática Financeira

1 Matemática Financeira Evanivaldo Castro Silva Júnior 21/05/2013

2 Matemática Financeira 1. Séries de Pagamento i. Séries Uniformes (Modelo PRICE) ii. Séries Não-Uniformes (Modelo SAC Sistema de Amortizações Constantes) 21/05/2013 Evanivaldo Castro Silva Júnior

3 Matemática Financeira Amortização de empréstimos Séries Uniformes de Pagamentos Sistema PRICE Séries Não-uniformes de Pagamentos Sistema de Amortizações Constantes (SAC) Séries Gradientes Crescente Decrescente Sistemas de Amortizações Mistos (SAM) Obs: As séries gradientes e o modelo SAM não serão abordados nesses curso. 21/05/2013 Evanivaldo Castro Silva Júnior

4 Matemática Financeira Séries Uniformes de Pagamentos (Sistema PRICE) Modelo Francês Parcelas iguais e sucessivas (sem correção monetária ou inflacionária) Podem ser antecipadas, postecipadas e diferidas Os juros decrescem com a evolução do financiamento (exceto nas diferidas) As amortização crescem com o tempo (exceto nas diferidas) Taxas constantes 21/05/2013 Evanivaldo Castro Silva Júnior

5 Matemática Financeira Sistema PRICE Postecipadas As movimentações financeiras ocorrem no final dos períodos PMT 0 1 2 3 4 5 6 n onde PMT corresponde às movimentações periódicas 21/05/2013 Evanivaldo Castro Silva Júnior

6 Matemática Financeira Sistema PRICE Postecipadas Formulações n ( i) i ( 1+ i) 1+ 1 PV = PMT = PMT a n n i% FV = PMT ( i) n 1+ 1 i PMT n i ( 1+ i) PV n ( 1+ i) 1 an i% = PV = PMT = FV i ( i) n 1+ 1 a n i% é chamado de fator de valor presente de séries uniformes 21/05/2013 Evanivaldo Castro Silva Júnior

7 Matemática Financeira Sistema PRICE Postecipadas Exemplo 1: Um computador cujo valor à vista é de R$ 1.550,00 é financiado no sistema PRICE em 12 parcelas através de uma taxa fixa de financiamento de 1,5% ao mês. Determine o valor da parcela. PMT i ( 1+ i) n ( i) n = PV = 1+ 1 ( + ) 12 ( 1+ 0, 015) 1 12 0, 015 1 0, 015 = 1550 0,195618171 = 1550 0,017934273 PMT R$142,10 HP 12C f + Clx G + 8 (END) 1550 CHS PV 1.5 i 12 n PMT Configura a calculadora para o modo POSTECIPADO (END -> Final de período!) 21/05/2013 Evanivaldo Castro Silva Júnior

8 Sistema PRICE Postecipadas PV Exemplo 2: Um carro foi comprado em 60 parcelas iguais e sucessivas (sistema PRICE) no valor de R$ 658,90 financiado com uma taxa de juros de 1,85% ao mês. Determine o valor à vista do veículo. n ( i) i ( 1+ i) 1+ 1 = PMT = n 60 ( 1+ 0, 0185) 1 ( + ) = 658,90 60 0,0185 1 0,0185 PV 2, 003737664 = 658,90 0,055569147 = 658,90 36, 05845654 R$ 23.758,92 f + Clx HP 12C { G + 8 (END) } 658,9 PMT 1.85 i 60 n PV Se a calculadora já estiver configurada para fim de período, não é necessário esse comando!

9 Sistema PRICE Postecipadas Exemplo 3: Um investidor aplicou R$ 560,00 por mês durante 5 anos a uma taxa de juros de 1,5% ao mês. Determine o valor acumulado no final desse período. FV = PMT 808, 23 0,015 ( i) n 1+ 1 i ( ) 60 560 1+ 0, 015 1 = 0,015 = R$53.880,20 HP 12C f + Clx { G + 8 (END) } 560 PMT CHS 1.5 i 60 n FV Se a calculadora já estiver configurada para fim de período, não é necessário esse comando! r

10 Sistema PRICE Postecipadas PMT Exemplo 4: Qual deve ser o valor dos depósitos mensais necessários para gerar um montante de R$ 32.500,00 em 4 anos a partir de uma taxa de juros de 0,58% ao mês. = FV ( i) 1+ 1 ( ) 48 0, 0058 32500 0,3199524 i n 0, 0058 = 32500 1 + 0,0058 1 = R$ 589,15 f + Clx HP 12C { G + 8 (END) } 32500 FV 0,58 i 48 n PMT Se a calculadora já estiver configurada para fim de período, não é necessário esse comando! 10

11 Matemática Financeira Sistema PRICE Antecipadas As movimentações financeiras ocorrem no início dos períodos PMT 0 1 2 3 4 5 6 n onde PMT corresponde às movimentações periódicas 21/05/2013 Evanivaldo Castro Silva Júnior

12 Matemática Financeira Sistema PRICE Antecipadas Formulações PMT i ( 1+ i) n ( i) n 1 = PV 1+ 1 n ( + i) n ( 1+ ) 1 1 1 PV = PMT i i 21/05/2013 Evanivaldo Castro Silva Júnior

13 Sistema PRICE Antecipadas Exemplo 1: Um computador cujo valor à vista é de R$ 1.550,00 é financiado no sistema PRICE com uma e mais 11 parcelas mensais e fixas (de modo antecipada) através de uma taxa fixa de financiamento de 1,5% ao mês. Determine o valor da parcela. PMT i ( 1+ i) n ( i) n 1 = PV 1+ 1 ( + ) 12 ( + ) 12 1 0, 015 1 0, 015 = 1550 1 0, 015 1 0,017669234 = 1550 0,195618171 = 1550 0, 090325116 = R$140, 00 HP 12C f + Clx G + 7 (BEG) 1550 CHS PV 1.5 i 12 n PMT Configura a calculadora para o modo ANTECIPADO (BEG -> Início de período!) 21/05/2013 Evanivaldo Castro Silva Júnior

14 Sistema PRICE Antecipadas Exemplo 2: Um carro foi comprado em 60 parcelas iguais e sucessivas (sistema PRICE antecipado) no valor de R$ 658,90 financiado com uma taxa de juros de 1,85% ao mês. Determine o valor à vista do veículo. PV 60 ( 1+ 0, 0185) 1 ( + ) = 658,90 60 1 0, 0185 1 0, 0185 2, 003737663 = 658,90 0, 054559791 = 658,90 36, 72553799 R$24.198,46 f + Clx HP 12C G + 7 (BEG) 658,9 PMT 1.85 i 60 n PV

15 Sistema PRICE Diferidas As movimentações financeiras ocorrem no início dos períodos (Diferidas antecipadas) ou no final dos períodos (Diferidas Postecipadas) após um período inicial de carência de pagamentos PMT 0 1 c j-1 c j c j+1 c j+2 c n Série Postecipada Diferida com início em c j+1 PMT 0 1 c j-1 c j c j+1 c j+2 c n Série Antecipada Diferida com início em c j 21/05/2013 Evanivaldo Castro Silva Júnior

16 Matemática Financeira Sistema PRICE Diferidas Acumula-se os juros até o início da série atualizando-se o valor do PV Nos sistemas de amortização, pode-se pagar somente os juros até o início da série ou acumular-se os juros no PV de início da série 21/05/2013 Evanivaldo Castro Silva Júnior

Sistema PRICE Diferidas Exemplo 2: Um automóvel cujo valor à vista é de R$ 32.500,00 é vendido em 48 parcelas iguais, mensais e sucessivas com 4 meses de carência total. Considerando-se uma taxa de financiamento de 1,9% ao mês, determine o valor das parcelas. 17 o. 1 Atualizaç o do valor inicial da s rie FV = PV (1 + i) = + = n 3 32500 (1 0, 019) R$34.387,92 á ã o. 2 C lculo do valor das parcelas na forma Postecipada ( + ) 48 ( 1+ 0, 019) 1 48 0, 019 1 0, 019 PMT = 34387,92 = R$1.098, 42 é Já lança o FV da atualização do valor inicial (1ª Parte) como o valor inicial da série (2ª parte)! HP 12C f + Clx 32500 CHS PV 1.9 i 3 n FV G + 8 (END) F + x><y (FIN) CHS PV 1.9 i 48 n PMT 21/05/2013 Evanivaldo Castro Silva Júnior

18 Sistema PRICE Diferidas Mesmo exercício porém com a resolução feita considerando-se a série antecipada o. 1 Atualização do valor inicial da série FV = PV (1 + i) = + = n 4 32500 (1 0, 019) R$35.041, 29 o. 2 -Cálculo do valor das parcelas na forma Antecipada ( + ) 48 ( + ) 48 1 0, 019 1 0, 019 PMT = 35041, 29 1 0, 019 1 0, 0460193255 = 35041, 29 1, 46808909025 = 35041, 29 0, 031346412 PMT = R$1.098, 42 Já lança o FV da atualização do valor inicial (1ª Parte) como o valor inicial da série (2ª parte)! HP 12C f + Clx 32500 CHS PV 1.9 i 4 n FV G + 7 (BEG) F + x><y (FIN) CHS PV 1.9 i 48 n PMT

19 Tabela Price Excell Monta-se primeiramente a primeira linha com as formulações Em seguida arrasta-se as fórmulas da primeira linha para as demais Consideremos um financiamento de R$ 1.000,00 por um prazo de 4 meses a partir de uma taxa de juros de 2% ao mês. Segue um roteiro para a montagem da tabela PRICE. 21/05/2013 Evanivaldo Castro Silva Júnior

20 Tabela PRICE 21/05/2013 Evanivaldo Castro Silva Júnior

21 Tabela PRICE

22 Tabela PRICE

23 Tabela PRICE

24 Tabela PRICE

25 Tabela PRICE

26 Tabela PRICE

27 Tabela PRICE

28 Tabela PRICE

29 Tabela PRICE

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31 Tabela PRICE

32 Tabela PRICE

33 Tabela PRICE

34 Tabela PRICE

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36 Exercícios 1. Um carro esta sendo vendido em 60 prestações mensais iguais e sucessivas considerando uma taxa de financiamento de 1,5% ao mês. Determine o valor das prestações mensais desse automóvel, cujo valor a vista é de R$ 28.000,00.

37 Exercícios 2. A comissão de formatura de uma faculdade deseja planejar os eventos finais do curso (a formatura em si) e possui as seguintes condições para esse planejamento: a) o gasto total por aluno será de R$ 2.000,00; b) o tempo hábil para efetuar tal projeto é de 23 meses; c) o dinheiro aplicado em um fundo de investimentos de renda fixa pode ser remunerado com uma taxa média de mercado de 1,05% ao mês, líquido. Calcule o valor que cada aluno deverá contribui para que o projeto seja realizado.

38 Exercícios 3. Num determinado ano um empresário efetua quatro depósitos mensais, iguais e sucessivos, num banco que remunera seus depósitos a juros compostos, com uma taxa de 1,2% ao mês. No final de dezembro o total acumulado é de R$ 100.000,00. Assumindo os meses de 30 dias, determinar o valor desses depósitos mensais nas seguintes hipóteses: a) o primeiro depósito ocorre no final do mês de janeiro; b) o primeiro depósito ocorre no final do mês de abril.

39 Exercícios 4. Uma televisão cujo valor à vista é de R$ 2.500,00 é financiado em 3 parcelas mensais iguais e sucessivas, com uma taxa de juros de 1,5% ao mês. Pede-se: a) Determinar o valor da parcela; b) Montar a tabela PRICE; c) Qual é o saldo devedor logo após o pagamento do 1º mês; d) O cliente vai até a loja, no final do 1º mês (portanto ele paga a 1ª prestação), e necessita de fazer um refinanciamento da dívida, uma vez que não conseguirá saldá-la nessas condições. Você pode refinanciar o bem, porém deve utilizar uma taxa de juros de 2%, mediante acerto contratual da própria loja. O cliente pede uma extensão do prazo para mais 5 meses. Nessas condições, qual será o valor da parcela para esse novo plano de financiamento?

40 Referências Bibliográficas Campos Filho, A. C., Matemática Financeira: com uso das calculadoras HP 12C, HP 19BII, HP 17BII e HP 10B, ed. Atlas, 2000. Casarotto Filho, N., Análise de Investimentos, ed. Atlas, 2011. Puccini, A. L., Matemática Financeira: objetiva e aplicada, ed. Saraiva, 2006. Samanez, C. P., Matemática Financeira: aplicações à análise de investimentos, ed. Pearson, 2002 21/05/2013 Evanivaldo Castro Silva Júnior