1º REVISA CAESP EXATAS Nome: N o Turma: 9º ano B Prof.(ª): Debora Daiana Klering Wiest Data de Entrega: 0/09/018 Matemática/Álgebra GABARITO 01 Uma função quadrática passa pelos pontos ( 1, 0), (, 0) e (0, ): A lei de formação da função que representa esse gráfico é: a) y = x² + x b) y = x² x c) y = x² + x d) y = x² x e) y = x² x Alternativa correta: B Note que todas as funções das alternativas passam pelo ponto (0, ), pois, substituindo x por 0, em todas obtemos y =. Como a função passa pelo ponto ( 1, 0), podemos verificar quais das funções das alternativas passam por esse ponto: a) y = x² + x y = ( 1)² + ( 1) y = 1 1 y = b) y = x² x y = ( 1)² ( 1) y = 1 + 1 y = 0 c) y = x² + x y = ( 1)² + ( 1) y = 1 1 y = 4 d) y = x² x y = ( 1)² ( 1) y = 1 + y = 1 e) y = x² x y = ( 1)² ( 1) y = 1 + y = 1 Note que apenas a função da alternativa b passa por esse ponto. Vamos verificar se essa função também passa pelos pontos (, 0): Para x =, temos: y = x² x y = ()² () => y = 4 = 0 Portanto, a resposta correta é a alternativa b. 0 Jorge construiu um gráfico de uma função quadrática no plano cartesiano, mas esqueceu-se de indicar os pontos correspondentes às raízes dessa função, como mostra a imagem a seguir: Observando o gráfico dessa função, quais são as suas raízes?
Observando o gráfico, podemos verificar que o vértice está no ponto ( 1, ), o que indica que a escala é de uma unidade. Assim, essa função possui uma raiz negativa que se encontra a 3 unidades de distância da origem, ou seja, no ponto ( 3, 0), enquanto a raiz positiva se encontra a apenas uma unidade da origem, ou seja, no ponto (1, 0). 03 Uma empresa lançou um aplicativo que simula lançamentos de objetos. A trajetória de um dos objetos lançados, em metros, está representada no gráfico a seguir: Observando o gráfico, qual a altura máxima atingida pelo objeto lançado? Observando o gráfico, é possível perceber que, no eixo das ordenadas, a marcação dos 6 metros está três marcações acima da origem. Com isso podemos concluir que cada marcação corresponde a metros. A marcação no eixo das ordenadas correspondente ao ponto de máximo dessa função está a 4,5 marcações da origem, o que corresponde a 4,5 = 9 metros. 04 Uma pessoa que está jogando basquete dá um salto para lançar a bola, e o lançamento ocorre a 3 metros do solo. A trajetória pode ser representada por uma parábola; a metros de distância de onde ocorreu o lançamento a bola está a 3 metros de altura, e a 3 metros de distância ela atinge o solo. Considerando as informações apresentadas no gráfico e no enunciado, qual a altura máxima, em metros, atingida pela bola? Do gráfico, temos que a parábola passa pelos pontos (0, 3), (, 3) e (3, 0). Com esses três pontos, é possível definir a lei de formação da parábola como f(x) = x + x + 3. As raízes dessa função são os pontos tais que f(x) = 0, ou seja, ( 1, 0) e (3, 0). Considerando a propriedade de simetria da parábola, o é o ponto médio das raízes. Assim, temos: 1 3 1 A altura máxima corresponderá a yv: yv = f(1) yv = 1 + 1 + 3 yv = 1 + + 3 yv = 4 Então, a altura atingida pela água será de, aproximadamente, 4 m.
05 Dadas as funções quadráticas f(x) = x² 7x + 1 e g(x) = x² + 10x + 16, qual é o valor numérico que representa a soma dos zeros das funções f(x) e g(x)? x² 7x 1 0 7 1 x1 x1 4 ( 7) ( 7)² 4 1 1 7 1Z x 1 ] 7 1 x x 3 x² 10x 16 0 10 6 x1 x1 10 10² 4 1 16 10 36 Z x x 1 1 ] 10 6 x x 8 O valor numérico da soma dos zeros das funções é 3 (4 + 3 8 ). 06 Dada a função quadrática y = x² 6x + 5, analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta. I. Os zeros da função quadrática são 1 e 5. II. A parábola intercepta o eixo y no par ordenado (0, 5). III. A parábola intercepta o eixo y no ramo decrescente. a) I e II. b) I e III. c) II e III. d) I, II e III. e) Nenhuma das afirmações. Alternativa correta: C Resolução: I. Incorreta. Os zeros da função são: x² 6x 5 0 6 4 x1 x1 5 ( 6) ( 6)² 4 1 5 6 16 Z x x 1 ] 6 4 x x 1 II. Correta. Como o coeficiente c é 5, a parábola intercepta o eixo y no par ordenado (0, 5). III. Correta. Como o coeficiente b é 6, a parábola intercepta o eixo y no ramo decrescente. 07 O gráfico da função quadrática definida por f(x) = x² + 10x 1 tem vértice V(m, n). Qual é o valor numérico da expressão m² n²? 10 5 ( 1) x² + 10x 1 10² 4 ( 1) ( 1) 100 84 yv yv yv yv 4 4a 4 ( 1) 4 V(5, 4), logo: m² n² = 5² 4² = 5 16 = 9
08 O jogo de golfe é praticado em todo mundo, e seu objetivo é dar uma tacada em uma bola para que ela entre em um buraco posicionado no chão. Em uma dessas jogadas, a trajetória descrita pela bola após a tacada pode ser descrita pela função h(x) = 5x² + 0x, na qual h(x) é a altura, em metros, e x é o tempo, em segundos. Qual é a altura máxima que a bola pode atingir nessa tacada? 0² 4 ( 5) 0 400 yv yv yv yv 0 4a 4 ( 5) 0 09 Laís foi escolhida por seu professor para explicar aos colegas de classe como construir o gráfico de uma função quadrática. Para essa atividade, ela elaborou um passo a passo. Observe. 1º passo Encontrar os zeros da função quadrática; º passo Descobrir onde a parábola intercepta o eixo y; 3º passo Descobrir o da parábola; 4º passo Marcar, no plano cartesiano, os pontos encontrados nos passos anteriores; 5º passo Traçar a parábola ligando os pontos marcados. O professor, quando leu o passo a passo para a construção do gráfico, disse que Laís se esqueceu de completar um dos passos. Qual é o passo que precisa ser completado? Justifique sua resposta. O 1º, º, 4º e 5º passos estão completos. No 3º passo, faltou explicar que é preciso descobrir o e também o yv da parábola, ou seja, o vértice dessa parábola. 10 Ivan precisa encontrar a função quadrática cujas raízes são 3 e 7. Para isso, ele utilizou a ª estratégia aprendida em sala de aula. Observe. (x x 1)(x x ) = 0 1ª etapa: (x + 3)(x 7) = 0 ª etapa: x² 7x + 3x 1 = 0 3ª etapa: x² + 4x 1 = 0 Em qual dos procedimentos Ivan cometeu um erro? Justifique sua resposta. Ivan errou na 3ª etapa, a função correta é x 4x 1 = 0. Ele encontrou o coeficiente b > 0, mas o correto é b < 0. O erro foi cometido ao somar 7x com +3x e encontrar um valor positivo. 11 Seja o gráfico de uma função quadrática a seguir: Analise as seguintes afirmações em relação ao gráfico e assinale a alternativa correta. I. A função é nula para x = 0 e x = 6. II. O coeficiente a é positivo, pois a parábola é voltada para baixo. III. O coeficiente C da função quadrática é zero. a) I e II são verdadeiras. b) I e III são verdadeiras. c) II e III são verdadeiras. d) I, II e III são verdadeiras. e) Nenhuma das sentenças é verdadeira.
I. Verdadeiro. A parábola corta o eixo x nos zeros das funções, ou seja, observando o gráfico, percebemos que, para x = 0 e x = 6, a função é nula. II. Falsa. Como a concavidade da parábola está voltada para baixo, podemos afirmar que o coeficiente a é negativo. III. Verdadeiro. Como a parábola corta o eixo y no ponto 0, o coeficiente C da função quadrática é zero. 1 Ao se preparar para a avaliação de Matemática, Pedro fez o esboço do gráfico da função quadrática. Observando o gráfico de Pedro, em que momento a função será positiva? E em que momento a função será negativa? A função será positiva para: x < 3 e x > 1 A função será negativa para: 3 < x < 1 13 Qual a função quadrática que originou o gráfico a seguir? As raízes são: 3 e 5 (x 3)(x 5) = 0 x² 5x 3x + 15 = 0 x² 8x + 15 = 0 14 O gráfico a seguir representa a função quadrática y = ax² + bx + c. Sabendo que as raízes dessa função são e 6 e que a parábola intercepta o eixo y na coordenada (0, 1), qual a lei da função quadrática que representa esse gráfico?
As raízes são: e 6 (x + )(x 6) = 0 x² 6x + x 1 = 0 x² 4x 1 = 0 Como a parábola é decrescente, precisamos multiplicar a equação por 1: x² + 4x + 1 = 0 y = x² + 4x + 1 15 Alguns amigos estavam fazendo uma disputa para ver quem conseguia arremessar uma bola de basquete o mais alto possível. O gráfico representa o movimento da bola que atingiu a maior altura entre os arremessos. Com base no gráfico, qual a lei de formação da função quadrática que descreve o movimento da bola de basquete? As raízes são: 0 e 4 (x 0)(x 4) = 0 x² 4x = 0 Como a parábola é decrescente, precisamos multiplicar a equação por 1. x² + 4x = 0 y = x² + 4x 16 Lucas faz móveis planejados para apartamentos, casas e escritórios. Ele foi contratado por uma grande construtora para mobiliar todos os apartamentos de um edifício. O custo C para mobiliar x apartamentos é dado por C(x) = x² 80x + 3.000. Qual a quantidade mínima de apartamentos que ele deve mobiliar para que seu custo seja mínimo? E qual o valor mínimo do custo por apartamento? ( 80) 40 1 80 ² 4 1 3.000 6.400 1.000 5.600 yv yv yv yv yv 1.400 4a 4 1 4 4 Portanto, foram 40 apartamentos, e o custo de cada um foi de R$ 1.400,00. 17 Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição descrita pela função quadrática h(t) = t² + 10t, em que h é a altura dada em centímetros e t é o tempo dado em segundos. Ao iniciar seu salto, qual a altura máxima que esse grilo poderá atingir e após quantos segundos ele retornará ao chão? 10,5 ( ) 10² 4 ( ) 0 100 yv yv yv yv 1,5 4a 4 ( ) 8 Portanto, a altura máxima é 1,5 cm, e após,5 segundos o grilo retornará ao chão.